[套卷]湖南省衡阳市八中高二下学期学业水平模拟考试 数学
湖南省衡阳市八中2021-2022高二数学下学期期期末考试试题 理(含解析)
湖南省衡阳市八中2021-2022高二数学下学期期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,2,3B =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．A. {}4B. {}2,4C. {}4,5D. {}1,3,4【答案】A 【解析】【详解】图中阴影部分所表示的集合A 中的元素除去集合B 中的元素构成的集合，故图中阴影部分所表示的集合是A u C B ⋂={}4，故选A.2.已知双曲线C 与椭圆E ：221925+=x y 有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线C 的标准方程为（ ） A. 221124x y -=B. 221412x y -=C. 221412y x -=D.221124y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长n =∴双曲线的方程是221412y x -=．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．3.在复平面内，复数11iz =+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数11iz =+，计算z ，再计算对应点的象限. 【详解】复数11-1111+1(1)(1-)2222i z i z i i i i ===-⇒=++ 对应点为：11(,)22故答案选A【点睛】本题考查了复数的计算，共轭复数，复数对应点象限，意在考查学生的计算能力.4.已知点F 为抛物线 C ：24y x = 的焦点. 若过点F 的直线 l 交抛物线 C 于A ， B 两点， 交该抛物线的准线于点M ，且1MA AF λ=，2MB BF λ=，则12λλ+=（ ）A. 12-B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案. 【详解】易知：焦点F 坐标为(1,0)，设直线方程为：(1)y k x =- 1122(,),(,)A x y B x y22222124(44)01(1)y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒-++=⇒=⎨=-⎩ 如图利用AFGANQ ∆∆和FBP FHM ∆∆ 相似得到：111111x MAMA AF AF x λλ+=⇒=-=--， 222211x MB MB BF BF x λλ+=⇒==-12121212121122011(1)(1)x x x x x x x x λλ++-+=-+==---- 【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力.5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ）A. 4B. 3C. 2D. -1【答案】D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C = 5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把 各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示， 十位、千位、十万位用横式表示， 以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有C 符合，故选C. 【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.7.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ） A. 5sin(2)()12y x x R π=+∈ B. 5sin()()212x y x R π=+∈C. sin()()212x y x R π=-∈ D. 5sin()()224x y x R π=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：函数sin()6y x π=+，()x R ∈的图象上所有点向左平移4π个单位长度得sin()46y x ππ=++，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得5sin()212x y π=+，选B.考点：三角函数图像变换8.函数ln ()x f xx=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值排除选项得到答案.【详解】取ln22,(2)02x f==>，排除C取1ln112,()01222x f==<，排除BD故答案选A【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.9.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A.4πB.12C. 1D. 2【答案】B【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.10.已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A. (,)e -+∞B. (,)e -∞C. (,]e -∞D. 1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x ek x=，令()xe g x x =，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=， 当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意，当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.11.已知高为 H的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P AB C --的正切值为 4 ，则RH=（ ） A.37B.35C.59D.58【答案】D 【解析】 【分析】过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2HCM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .易知：,M CD O PM ∈∈D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角P AB C --的平面角为PDC ∠ 正切值为442H HDM CM ⇒=⇒=在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2225()()28H R R H R H =-+⇒= 故答案选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A.73B.53【答案】A 【解析】【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立，原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤，令()34g m m m=+，则()g m 在区间1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间312⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13.已知向量(2,1)a =-，(,1)b λ=，若a b a b +=- ，则λ= ______． 【答案】12【解析】 【分析】由a b a b +=-得到0a b ⋅=，计算得到答案.【详解】已知向量(2,1)a =-，(,1)b λ=，若a b a b +=-2222022a b b a b b a a b b a b a a +=⋅+=⋅+⇒⋅=-⇒+-12102a b λλ⋅=-=⇒=所以答案为：12【点睛】本题考查了向量的计算，将条件转化为0a b ⋅=是解题的关键.14.设3a 0.2=，0.2b 3=，0.3c log 2=，则a ，b ，c 的大小关系用“<”连接为______． 【答案】c a b << 【解析】 【分析】分别判断出1a <，1b >，0c <，从而得到三者大小关系. 【详解】3000.20.21a <=<=，0.20331b =>=，0.30.3log 2log 10c =<=则,,a b c 的大小关系用“<”连接为c a b << 本题正确结果：c a b <<【点睛】本题考查指对数比较大小类的问题，解决此类问题的方法主要有两种：1.构造合适的函数模型，利用单调性判断；2.利用临界值进行区分.15.某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个. 【答案】7. 【解析】 【分析】设开始有细胞a 个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数898282222a a =----，根据条件列式求解.【详解】设最初有细胞a 个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以 经过1个小时细胞有1a =2(2)222a a -⋅=-，经过2个小时细胞有21(2)2a a =-⋅=2232[(22)2]2222a a --⋅=--， ······经过8个小时细胞有898282222a a =----，又8772a =，所以89822222772a ----=，8824(21)772a --=，7a =.故答案为7.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16.如图所示，在三棱锥 D ABC -中，若AB CB =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面 ABC ⊥平面ABD ； ②平面 ABC ⊥平面BCD ；③平面 ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ； ④平面 ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .【答案】③ 【解析】 【分析】由AB=BC ，AD=CD ，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE ，且平面ADC⊥平面BDE ，即可得出结论．【详解】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE ． 因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE ．又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，故答案为：③．【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60 分．17.已知在ABC △中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是a 、b 、c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角 A 的大小；（2）若ABC △的面积，S = 4c =，求 sin sin B C +的值．【答案】（1）3π； （2【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解出角A 的余弦值，进而得到角A ；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理得到最终结果. 【详解】（1）∵在△ABC 中2sin 2A+3cos （B+C ）=0，∴2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解得cosA=12，或cosA=﹣2（舍去）， ∵0＜A ＜π，∴A=3π；（2）∵△ABC 的面积S=12，∴bc=20， 再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=21 ，∴sinB+sinC ()sin sin sin 9b A c A A b c a a a =+=⨯+==∴sinB+sinC . 【点睛】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，90APD ︒∠=，且AD PB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD PB ⊥，求二面角D PB C --的余弦值. 【答案】（1）见解析； （2）277. 【解析】 【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=，所以AD = AB BD =． 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥．在△APD 中，90APD ∠=， O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==,则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥． 在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．因为OP AD O ⋂=，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B ⋂=，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， 所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直． 以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()3,0B ，()0,0,1P ， 所以()1,0,1PD =--，()0,3,1PB =-，()2,0,0BC AD ==-， 设平面PBD 的法向量为()111,,n x y z =，则1111•0,•30,n PD x z n PB y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩ 令11y =，则13x =-13z =(3,1,3n =-． 设平面PBC 的法向量为()222,,m x y z =，则222•20,•30,m BC x m PB y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 令21y =，则20x =，23z (3m =． 设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角， 所以cos cos ,m n θ= 2727==⨯． 所以二面角D PB C --27．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19.已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32e =，过椭圆的上顶点A 和右顶点B的直线与原点O 25， （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）211230x -+=，或21130x +-=. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到a 与c 的关系式，再由点,A B 求出直线AB 的方程，根据点到直线距离公式，得到a 与b 的关系式，再结合222a b c =+，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线l 斜率存在与否进行分类讨论，由“线段MN 为直径”，得0OM ON ⋅=，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题.试题解析：（1）由已知得，32c e a ==因为过椭圆的上顶点A 和右顶点B 的直线与原点的25，所以2225a b=+，解得2,1,3a b c ===故所求椭圆E 的方程:2214x y +=（2）椭圆E左焦点()，①当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆E交于11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，显然不存在满足条件的直线.………6分②当直线l 斜率存在时，设直线:ly kx =+联立2214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，()2222141240k x x k +++-=由于直线l 经过椭圆E 左焦点，所以直线l 必定与椭圆E 有两个交点，0∴∆>恒成立设()()1122,,,M x y N x y则12x x +=，212212414k x x k -=+若以MN 为直径的圆过O 点，则0OM ON ⋅=，即12120x x y y += (*)而()()()222121212123y y kx kxk x x x x k =+=+++，代入(*)式得，()()2221212130k x xx x k +++=即()22222221241301414k kk k k-+⋅⋅+=++，解得2411k =，即11k =或11k =-．所以存在11k =或11k =-使得以线段MN 为直径的圆过原点O ．故所求的直线方程为20x +=，或20x +-=.20.已知函数()()21ln 12g x a x x b x =++-. （1）若()g x 在点1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值;（2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小. 【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】【分析】（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比较法比较出8ln212-与4-的大小关系.【详解】（1）根据题意可求得切点为51,2⎛⎫⎪⎝⎭,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+-,则()'ag x x a x=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .即202400aa a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩,解得4a >,且1212,x x a x x a +==. ∴()()()()()2221212121211ln ln 22g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令()21ln (4)2f x x x x x x =-->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1'10h x x=-<,∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即, ∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-, ∴()()128ln212g x g x +<-,又∵()()228ln21248ln288ln218ln ,ln 0e e而---=-=-=<, ∴28ln0e<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.21.某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产. 如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划. 现公司 2013—2021 年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：注：=年库存积压件数年库存积压率年生产件数（1）从公司 2013—2021 年的相关数据中任意选取 2 年的数据，求该款饮料这 2 年中至少有 1 年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为9.909.30y x ∧=-.现公司计划 2021 年生产 11 千万件该款饮料，且预计 2021 年可获利 108 千万元. 但销售部 门发现，若用预计的 2021 年的数据与 2013—2021 年中畅销年份的数据重新建立回归方程， 再通过两个线性回归方程计算出来的 2021 年年销售利润误差不超过 4 千万元，该款饮料的 年库存积压率可低于千分之一. 如果你是决策者，你认为 2021 年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由. 【答案】（1）1415；（2）不需要调整. 【解析】 【分析】（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2021年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2021年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论 【详解】（1）公司2013-2021年年度存积压率分别为：2.9130001000<， 5.8150001000>，3160001000<，9180001000>，7.5190001000<，81110001000<则该饮品在13，15，17，18年畅销记1A ，2A ，3A ，4A ，14，16年不畅销记为1B ，2B任取2年的取法有：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31A B ，()32,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种.其中2年均不畅销的取法是()12,B B ，共1种 ∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：11411515P =-= （2）由题意得，2021年数据与2013，202X ，2021，2021年数据重组如下表：经计算得8x =，72y = ∵513380i i i x y ==∑，521368i i x ==∑∴51252155i i i ii x y x y b x x∧==-⋅==-∑∑23380587212510.423685812-⨯⨯=≈-⨯7210.42811.36a y b x ∧∧=-⋅=-⨯=-∴10.4211.36y x ∧=-当11x =时，10.421111.36103.26y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为103.26千万元 将11x =代入9.909.30y x ∧=-中得，9.90119.3099.6y ∧=⨯-=，此时预估年销售利润为99.6千万元∵|103.26-99.6|=3.66<4，故认为2021年的生产和销售计划不需要调整.【点睛】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修 4－4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1C：的参数方程是1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数）. 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线 l 的极坐标方程(0)3πθρ=≥，且 l 分别交曲线1C 、2 C 于 A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1C :22cos 20ρρθ--=,2C :221x y +=;（2）1.【解析】试题分析：（1）首先写出1C 的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和2C 的直角坐标方程,互化公式为cos ,sin ,x y ρθρθρ=== ；（2）根据图象分析出12AB ρρ=- .试题解析：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=， ∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=.（2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=， 解得12ρ=，即12OA ρ==.∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线=3πθ ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==. 故12211AB ρρ=-=-=.选修 4－5：不等式选讲23.已知函数()6f x x x =+-.（1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为 m ，若正实数a ， b ，c 满足a b c m ++=，求证：m ≤.【答案】（Ⅰ）[]2,8-;（Ⅱ）见解析.【解析】 试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f （x ）≤10的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．试题解析：（Ⅰ） ()26,0,6,06,26, 6.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩当0x ≤时，由2610x -+≤，解得20x -≤≤；当06x <≤时，因为610<，所以06x <≤；当6x >时，由2610x -≤，解得68x <≤综上可知，不等式()10f x ≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()f x 的最小值为6，即6m =.（或者6x x +-≥ ()66x x --=），所以6a b c ++=， 由柯西不等式可得()()123a b c ++++=222⎛⎫++ ⎪⎝⎭222⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 2≥6m ≤=.。
湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期第三次月考试题(6月)+数学答案
2Sn - 1 + an - 1 = 3n ≥ 2 ，②
由①
-
②得
2an
+
an
-
an
-
1
=
0，即
an
=
1 3
an
-
1
n
≥
2
，
对①取
n
=
1
得
，a1
=
1
≠
0，所以
an
≠
0，所以
an an - 1
=
1 3
为常数，
所以 an
为等比数列，首项为
1
，公比为
1 3
，即
an
=
1 3
n-1
，n ∈ N *.
………… 3 分
衡阳市八中 2020 年上学期高二第三次月考数学试题 参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分。共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10 11
12
答案 C B A A B C D D ACD BD BCD BCD
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分。共 20 分）
13.
故 c1 = c2 > c3 > c4 > c5 > …，
………… 8 分
假设存在三项 cs，cp，cr 成等差数列，其中 s，p，r ∈ N *，
由于 c1 = c2 > c3 > c4 > c5 > …，可不妨设 s < p < r，则 2cp = cs + cr（*），
即
22p-1 3p - 1
x = my - 2
所以直线 PQ 的方程为：x = my - 2, 联立方程得
湖南省衡阳市第八中学高二数学下学期过关考试(7月)试题 文
2018年上期衡阳市八中高二年度过关考试文科数学试题时量120分钟 满分100分(考试范围:集合、函数（不考导数）三角函数及解三角形、立体几何、数列、平面向量及复数)一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}|321 3 A x x =-≤-≤,集合B 是函数()lg 1y x =-的定义域;则A B ⋂= A. ()1,2 B. (]1,2 C. [)1,2 D. []1,2 2．已知复数3412iz i-=-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．“为假”是“为假”的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 4．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①//BM ED ②CN 与BM 成60o 角③CN 与BM 为异面直线 ④DM BN ⊥以上四个命题中，正确的序号是 A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为 A. B.C.D.6．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A. 4B. 8C.43 D. 83 7．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>8．在ABC ∆中， 3,1,6AB AC B π===，则ABC ∆的面积等于A.32 B. 32或34 C. 34 D. 32或3 9．已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则数列(){}1nn a -的前10项的和10S =A. 220B. 110C. 99D. 55 10．已知中，，，，为线段上任意一点，则的范围是A. B. C. D.11．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为A. 2B. 3C. 4D. 612．定义在区间（1，+∞）内的函数f （x ）满足下列两个条件： ①对任意的x∈（1，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； ②当x∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x.已知函数y=f （x ）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A. [1，2） B. （1，2]C. 4[23，） D. 42]3（，二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
衡阳市第八中学数学高二下期末经典测试(课后培优)
一、选择题1．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π2．已知e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 是单位向量，且e 1⃑⃑⃑ ⋅e 2⃑⃑⃑ =0，向量a ⃑ 与e 1⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑ 共面，|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1，则数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=（ ） A ．定值－1B ．定值1C ．最大值1，最小值－1D ．最大值0，最小值－13．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3πθ-=( )A ．0B ．12C ．1D 4．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1BC D ．25．在给出的下列命题中，是假命题的是（ ） A ．设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量OA OB OC 、、满足|(0)OA OB OC r r ===，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形D ．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则sin(2)2πα-=（ ）A B ．C ．12D ．12-7．已知2tan θ＝ ，则222sin sin cos cos θθθθ＋－ 等于( ) A ．－43B ．－65C ．45D ．958．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+9．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-10．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．D ．11．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒B ．120︒C ．30D ．90︒12．若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．以上答案均错13．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 14．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH15．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（）A ．25-B ．3C ．3-D ．25二、填空题16．已知向量()1,1a =，()3,2b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k =__________． 17．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ︒∠=，AB=AD 1=.若点E 为DC 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为______.18．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 19．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 20．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为__________．21．已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．22．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤． （3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）23．已知平面向量a 、b 满足||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，若（a mb -）a ⊥，则实数m 的值是___________ .24．已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．25．若x 2+y 2=4,则x −y 的最大值是三、解答题26．设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R .（1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.27．已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=. （1）求向量a 与b 的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-，且0b c ⋅=，求实数t 的值及c . 28．已知:4,(1,3)a b ==- （1）若//a b ，求a 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为120°，求a b -. 29．已知324ππβα<<<，()12cos 13αβ-=，()3sin 5αβ+=-求sin2α的值. 30．在ABC ∆中，满足AB AC ⊥，M 是BC 中点.（1）若AB AC =，求向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角的余弦值； （2）若O 是线段AM 上任意一点，且2AB AC ==，求OA OB OC OA ⋅+⋅的最小值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D7．D8．A9．A10．C11．B12．A13．A14．C15．D二、填空题16．-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程解方程即可求得实数k的值【详解】由平面向量的坐标运算可得：与垂直则即：解得：【点睛】本题主要考查向量的坐标运算向量垂直的充分必要条17．【解析】【分析】建立直角坐标系得出利用向量的数量积公式即可得出结合得出的最小值【详解】因为所以以点为原点为轴正方向为轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系因为所以又因为所以直线的斜率为易得因为所以直线18．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的19．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力20．【解析】所以的最大值为方法点睛：本题考查数形结合思想的应用根据两点间距离公式再根据辅助角公式转化为当时取得最大值21．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：23．3【解析】∵∴∴∴∴故答案为324．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作OM⊥BC于点M从而25．22【解析】【分析】由题意将原问题转化为三角函数的问题然后结合辅助角公式即可确定x-y的最大值【详解】由题意可知xy表示坐标原点为圆心2为半径的圆上的点设点的坐标为2cosθ2sinθ则x-y=2c三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化2．A解析：A 【解析】 【分析】由题意可设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，a ⃑ =(x,y)，再表示向量的模长与数量积， 【详解】由题意设e 1⃑⃑⃑ =(1,0),e 2⃑⃑⃑ =(0,1)，则向量a ⃑ =xe 1⃑⃑⃑ +ye 2⃑⃑⃑ =(x,y)，且|a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ |=1， 所以a ⃑ −e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ =(x −1,y −1)， 所以(x −1)2+(y −1)2=1， 又a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ =(x −2,y −2)，所以数量积a ⃑ ⋅(a ⃑ −2e 1⃑⃑⃑ −2e 2⃑⃑⃑ )=x(x −2)+y(y −2)=(x −1)2+(y −1)2−2=1−2=−1， 故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。
2013-2014学年湖南省衡阳八中高二下学期学业水平模拟考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2013-2014学年湖南省衡阳八中高二下学期学业水平模拟考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：116分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下表是某厂1—4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4．5 4 3 2．5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为＝－0．7x ＋a ，则a 等于（）A ．10．5B ．5．15C ．5．2D ．5．252、在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( ) A ．1 B ．C ．D ．23、下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知数列是公比为2的等比数列，若，则=" (" )A ．1B ．2C ．3D ．45、式子的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16、如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7、不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．8、已知, , 且, 则等于( )A．－1 B．－9 C．9 D．19、函数在区间上的最小值是( )A． B．0 C．1 D．210、设集合，，则（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、若实数满足约束条件：，则的最大值等于 ．12、右边的程序中, 若输入，则输出的．13、直线的倾斜角为 ．14、化简= ．三、解答题（题型注释）15、已知是首项的递增等差数列，为其前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，为数列的前n 项和．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．16、已知圆（1）将圆的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；（2）求直线被圆所截得的弦长。
湖南省衡阳市第八中学高二数学下学期第一次月考试题
衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考综合检测理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
一．选择题（共12小题，每题5分。
共60分）1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b ）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A ． B．（）C．（，1） D．（，1）2．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）C．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）3．下列4个不等式：（1）故dx ＜；（2）sinxdx ＜cosxdx；（3）e﹣x dx ＜e dx；（4）sinxdx ＜xdx．能够成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（）A．1 B ． C．2 D．25．若a＞b＞c ，则使恒成立的最大的正整数k为（）A．2 B．3 C．4 D．56．证明命题：“f（x）=e x +在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）=e x +，所以f′（x）=e x ﹣，因为x＞0，所以e x＞1，0＜＜1，所以e x ﹣＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是7．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C ．﹣ D ．8．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i9．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i10．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．411．设椭圆C ：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C ，若，则抛物线的方程为（）A．y2=4x B．y2=8x C．y2=16x D ．二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b 的值是．14．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．15．已知点（2，5）和（8，3）是函数y=﹣k|x﹣a|+b与y=k|x﹣c|+d的图象仅有的两个交点，那么a+b+c+d的值为．16．已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= ．三．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知点P（a，﹣1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x2的切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）（其中x1＜x2）．（Ⅰ）求x1与x2的值（用a表示）；（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？19．（12分）已知命题p ：实数m 满足m 2﹣7am+12a 2＜0（a ＞0），命题q ：实数m 满足方程表示焦点在y 轴上的椭圆，且非q 是非p 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 20．（12分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2+y 2﹣4y ﹣4=0，双曲线的左、右顶 点A 、B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点． （1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F 1、F 2，试在“8”字形曲线上求点P ，使得 ∠F 1PF 2是直角．21．（12分）已知函数f （x ）=﹣alnx++x （a≠0）（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1）））处的切线与直线x ﹣2y=0垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）当a ∈（﹣∞，0）时，记函数f （x ）的最小值为g （a ），求证：g （a ）≤﹣e ﹣4． 22．（12分）设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=． （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考理数参考答案选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBDDCADBA D A A非选择题 13.14.6π 15.18 16.117.（Ⅰ）由y=x 2可得，y′=2x．∵直线PA 与曲线C 相切，且过点P （a ，﹣1）， ∴，即x 12﹣2ax 1﹣1=0，∴，或，同理可得：，或． ∵x 1＜x 2，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x 1+x 2=2a ，x 1•x 2=﹣1， 则直线AB 的斜率，∴直线AB 的方程为：y ﹣y 1=（x 1+x 2）（x ﹣x 1），又y 1=x 12，∴y﹣x 12=（x 1+x 2）x ﹣x 12﹣x 1x 2，即2ax ﹣y+1=0． ∵点P 到直线AB 的距离即为圆E 的半径，即，∴=，当且仅当，即，时取等号．故圆E 面积的最小值S=πr 2=3π．18.（Ⅰ）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF∥PC． 又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴EF∥平面PAC ．（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P （0，0，1），B （0，1，0），D （，0，0），设BE=x （0≤x≤），则E （x ，1，0），设平面PDE 的法向量为=（p ，q ，1）， 由，得，令p=1，则=（1，﹣x ，）．而=（0，0，1），依题意PA 与平面PDE 所成角为45°，所以sin45°===，解得BE=x=或BE=x=＞（舍）． 故BE=时，PA 与平面PDE 所成角为45°．19.由m 2﹣7am+12a 2＜0（a ＞0），则3a ＜m ＜4a 即命题p ：3a ＜m ＜4a由表示焦点在y 轴上椭圆可得：2﹣m ＞m ﹣1＞0，∴即命题由非q 为非p 充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件 从而有：∴20.（1）上半个圆所在圆方程是x +y 2﹣4y ﹣4=0，则圆心为（0，2），半径为2．则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．双曲线的左、右顶点A 、B 是该圆与x 轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得，x=． 即有交点为（，2）．设双曲线的方程为=1（a ＞0，b ＞0），则=1，且a=2，解得，b=2．则双曲线的方程为=1；（2）双曲线的左、右焦点为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），若∠F 1PF 2是直角，则设P （x ，y ），则有x 2+y 2=8， 由解得，x 2=6，y 2=2．由解得，y=±1，不满足题意，舍去．故在“8”字形曲线上所求点P 的坐标为（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）． 21.（I ）由已知可知f （x ）的定义域为{x|x ＞0}（x ＞0）根据题意可得，f′（1）=2×（﹣1）=﹣2∴﹣a ﹣2a 2+1=﹣2 ∴a=1或a=﹣（II ）∵=①a＞0时，由f′（x ）＞0可得x ＞2a由f′（x ）＜0可得0＜x ＜2a∴f（x ）在（2a ，+∞）上单调递增，在（0，2a ）上单调递减 ②当a ＜0时，由f′（x ）＞0可得x ＞﹣a 由f′（x ）＜0可得0＜x ＜﹣a∴f（x ）在（﹣a ，+∞）上单调递增，在（0，﹣a ）上单调递减（III ）由（II ）可知，当a ∈（﹣∞，0）时，函数f （x ）的最小值f （﹣a ） 故g （a ）=f （﹣a ）=﹣aln （﹣a ）﹣3a 则g′（a ）=﹣ln （﹣a ）﹣4令g′（a ）=0可得﹣ln （﹣a ）﹣4=0∴a=﹣e ﹣4当a变化时，g’（a），g（a）的变化情况如下表∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的极大值，从而是g（a）的最大值点当a＜0时，=﹣e﹣4∴a＜0时，g（a）≤﹣e﹣4．22.（Ⅰ）∵z=a+i，|z|=，∴|z|==，即a2=9，解得a=±3，又∵a＞0，∴a=3，∴z=3+i．（Ⅱ）∵z=3+i，则=3+i，…∴+=3+i+=+i，又∵复数+（m∈R）对应的点在第四象限，∴得∴﹣5＜m＜1．。
衡阳市第八中学数学高二下期中经典测试(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13607]若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．352．(0分)[ID ：13603]已知a ，b ，c 为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=（3，-1），=（cosA ，sinA ），若⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B=（ ）A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 3．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+5．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73）A ．15B ．16C ．17D ．186．(0分)[ID ：13575]已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-8．(0分)[ID ：13616]已知函数()sin(),f x x ϕ=-且23()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π=9．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．3210．(0分)[ID ：13594]已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-11．(0分)[ID ：13549]将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 12．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3πB ．2π C ．23πD ．56π 14．(0分)[ID ：13535]已知函数()42sin(2)24f παα=-+，在锐角三角形ABC 中，()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )A ．1B ．21-C ．22D ．21+15．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)17．(0分)[ID ：13698]若1e ，2e 是两个不共线的向量，已知12AB 2e ke =+，12CB e 3e =+，12CD 2e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________.18．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________19．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.20．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .21．(0分)[ID ：13675]如图，在ABC 中，AB AC ⊥，且1AB AC ==，D 是线段BC 上一点，过C 点作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，则AD DE ⋅的最大值为______．22．(0分)[ID ：13656]已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为________.23．(0分)[ID ：13633]已知函数()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若4f m π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为___. 24．(0分)[ID ：13632]函数()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,1的单调增区间为__________．25．(0分)[ID ：13629]设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则FA FB FC ++=______． 三、解答题26．(0分)[ID ：13816]已知α，β为锐角，1tan 7α=，10sin 10β=，求2αβ+ 27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n n a x y =，且11312y x ==，111331n n n n x x y y ++⎛-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +； （2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13760]已知函数()()2cos 23sin cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=-+>的最小正周期为2π．()1求ω的值；()2ABC中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2f B =，a =ABC 面积S =，求b ． 29．(0分)[ID ：13733]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c -=，sin B C = （1）求cos A 的值； （2）求cos 26A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 30．(0分)[ID ：13826]已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==． （1）求实数n 的值；（2）若AC BD ⊥，求实数m 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．A 8．A 9．C 10．A11．B12．A13．A14．D15．B二、填空题16．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有17．-8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以19．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确21．【解析】【分析】设用以及题目中特殊向量来表示再求最值【详解】又过点C作直线AD的垂线交线段AD的延长线于点E不妨设则又当时故答案为:【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用应用向量的线性运算22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定23．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等24．（开闭都可以）【解析】【分析】由复合函数的单调性可得：解得函数的单调增区间为（）对的取值分类求得即可得解【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时=当时当取其它整数时所以函数在区间的单调25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ． 【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题2．A解析：A 【解析】 试题分析：∵=（3,-1），=（cosA,sinA ），m n ⊥3sin 0A A -=，∴tan 3A =，∴3A π=，∵cos cos sin a B b A c C +=，∴sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴6B AC ππ=--=．考点：向量垂直的充要条件、正弦定理、特殊角的三角函数值．3．C解析：C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 4．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D.本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．5．B解析：B 【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为2π3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3， 因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.点睛：扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式，可得21+cos(2+)1sin 22cos 422παπαα-⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即得解. 【详解】已知2sin 23α=，则2211+cos(2+)1sin 2132cos 42226παπαα--⎛⎫+==== ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ．解析：A 【解析】 【分析】 【详解】函数()f x 的对称轴为12x k πϕπ-=+12x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ-=23k πϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k k ππϕπππ=++=-+(12,k k N ∈) 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 9．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.10．A解析：A 【解析】 【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案． 【详解】向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，）， 故选A ． 【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yx x x，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．12．A解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】 因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.14．D解析：D 【解析】 【分析】根据()6f A =得到4A π∠=，根据cos2cos2B C =得到38B C π∠=∠=，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】())264f A A π=-+=，即sin(2)42A π-=. 锐角三角形ABC ，故32,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38B C π∠=∠=. 22tan 3tan 2tan 11tan 4B B B π===--，故tan 1B =或tan 1B =（舍去）.故选：D . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.二、填空题16．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有 解析：①④ 【解析】 【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.17．-8【解析】【分析】计算得到根据共线得到代入计算得到答案【详解】则；ABD 三点共线故即解得故答案为：【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数意在考查学生的计算能力解析：-8 【解析】 【分析】计算得到12e 4e BD CD CB =-=-，根据共线得到AB BD λ=，代入计算得到答案. 【详解】123CB e e =+，122CD e e =-，则12e 4e BD CD CB =-=-；A ，B ，D 三点共线，故AB BD λ=，即()121224e ke e e λ+=-解得2,8k λ==- 故答案为：8- 【点睛】本题考查了根据向量共线计算参数，意在考查学生的计算能力.18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=， 即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APCS AP AC sin θ=⋅， 12ABCSBC AC sin θ=⋅， 所以1.3APCABCSS =19．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案.【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.21．【解析】【分析】设 用以及题目中特殊向量 来表示再求最值【详解】又过点C 作直线AD 的垂线交线段AD 的延长线于点E 不妨设 则又当时故答案为:【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用应用向量的线性运算解析：18【解析】 【分析】设BD BC λ= ()01λ≤≤，用λ以及题目中特殊向量0AB AC ⋅=，0AD CE ⋅= 来表示AD DE ⋅，再求最值.【详解】AB AC ⊥， 0AB AC ∴⋅=，又过点C 作直线AD 的垂线，交线段AD 的延长线于点E ，AE CE ∴⊥， AD CE ∴⊥， 0AD CE ∴⋅=，不妨设BD BC λ= ()01λ≤≤，则()()()11DC BC AC AB λλ=-=--，()0AD DE AD DC CE AD DC AD CE AD DC AD DC ∴⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+=⋅，又()()1AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+，()][()()()()()22222111(1)(1)1123101AD DE AB AC AC AB AB AC AB AC AC AB λλλλλλλλλλλλλ⎡⎤∴⋅=-+⋅---=-⋅--+---⋅=-+-≤≤⎣⎦，∴当34λ=时，max 18AD DE ⋅=． 故答案为:18． 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，应用向量的线性运算表示目标式，结合二次函数求解最值，属于中档题．22．【解析】【分析】根据三点共线得向量共线再根据共线向量定理得然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得最后验证可知不符合题意故解集为空集【详解】因为是直线上的不同的三个点所以与共线根据共线向量定 解析：∅【解析】 【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得AB AC λ=,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x =-,最后验证可知不符合题意,故解集为空集. 【详解】因为A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点, 所以AB 与AC 共线,根据共线向量定理可得,存在实数R λ∈,使得AB AC λ=, 因为0AB ≠,所以0λ≠, 所以OB OA -AC λ=, 所以11AC OA OB λλ=-+,又由已知得2AC x OA xOB =--,根据平面向量基本定理可得,21x λ-=-且1x λ=-,消去λ得2x x =-且0x ≠, 解得1x =-,1λ=,当1λ=时,AB AC =,此时B 与C 两点重合,不符合题意,故舍去, 故于x 的方程20x OA xOB AC ++=的解集为∅, 故答案为: ∅. 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.23．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等 解析：[)0,+∞【解析】 【分析】根据单调区间求出θ的取值范围，由于4f m π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，即求max4f π⎛⎫⎪⎝⎭，从而得出m 的取值范围. 【详解】解：()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭当3,86x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3243x ππθθθ-+≤+≤-+， 由函数()f x 在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数得 32423k k πππθπθπ⎧-+≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩k Z ∈， 则()2243k k k Z πππθπ-≤≤+∈，又02πθ≤≤，故取0k =得，03πθ≤≤，所以5+226πππθ≤≤，因为cos 42f ππθ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数cos y x =的图像可得， 所以max04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 0m ∴≥. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解.24．（开闭都可以）【解析】【分析】由复合函数的单调性可得：解得函数的单调增区间为（）对的取值分类求得即可得解【详解】令（）解得：（）所以函数的单调增区间为（）当时=当时当取其它整数时所以函数在区间的单调解析：1[0]6，，2[1]3，（开闭都可以）. 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可得：222262k x k ππππππ-+≤+≤+，解得函数()f x 的单调增区间为11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈），对k 的取值分类，求得[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦即可得解． 【详解】 令222262k x k ππππππ-+≤+≤+（k Z ∈）解得：1136k x k -≤≤+（k Z ∈） 所以函数()f x 的单调增区间为11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） 当0k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=1[0]6， 当1k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦2[1]3， 当k 取其它整数时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+=∅⎢⎥⎣⎦所以函数()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,1的单调增区间为1[0]6，，2[1]3， 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及复合函数的单调区间求解，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．25．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB解析：6 【解析】 【分析】由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得21233y y y ++=， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴21233y y y ++=，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．三、解答题 26．4π 【解析】 【分析】由题意首先求得tan 2β的值，然后结合两角和差正切公式求得()tan 2αβ+的值，最后结合角的范围和特殊角的三角函数值可得2αβ+的值. 【详解】因为β为锐角,sin 10β=,所以cos 10β=,则1tan 3β=，22122tan 33tan 21tan 4113βββ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于β为锐角，且tan 20β>，故2β为锐角，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ+++===--⨯. 由,2αβ为锐角,得到()20,αβπ+∈,所以24παβ+=.【点睛】本题主要考查二倍角公式，两角和差正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.27．（1）()02,；11n n n n n n x x y y ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）413n n B -=【解析】 【分析】先对1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭化简，再结合1112y x ==可求得2a ，【详解】（1）1111n n n n n n n n x x x y y y ++⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==⎪-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭，即11n n n n n nx x y y ++⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，当1n =时，21121102x x y y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，所以()20,2a =；（2）1n n n x x +=①，1n n n y y ++②，将①②同时平方，得()222123n n n n n n n x x x y y +==+-⋅③，22213n n n n n y x y y +=++⋅④，③+④得()2222114n n n n xy x y+++=+，即2211224n n n n x x y y +++=+，222n n n n y b a x ==+，所以14n nb b +=，又1222111x a y =+=，所以{}n b 是以1为首相，4为公比的等比数列，所以 ()11441143nn nB b --==- 【点睛】本题考查矩阵的乘法公式应用，向量的模长公式应用，等比数列前n 项和的求解，属于中档题28．(1)12(2)3 【解析】【分析】（1）化简()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，根据函数的最小正周期2π2π2T ω==即可求出ω的值2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，求得2π3B =，再根据ABC 的面积334SS =，解得3c =，最后由余弦定理可求出b . 【详解】（1）()2223sin cos cossin f x x x x x ωωωω=-+ 3sin2cos2x x ωω=-π2sin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期2π2π2T ω==，解得12ω=. （2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得ππ2π62B k -=+（k Z ∈）.所以2π2π3B k =+（k Z ∈）.又(0,π)B ∈，所以2π3B =.ABC 的面积112π33sin 3sin 2234S ac B c ==⨯⨯⨯=，解得3c =.由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ()()222π33233cos3=+-⨯⨯ 9=，所以3b =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．29．(1)64. (2)1538-. 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得b ＝6c .结合条件得a ＝2c ，再利用余弦定理求cos A 的值；（2）先根据同角三角函数公式得sin A ，再根据二倍角公式得cos 2A ，sin 2A ，最后根据两角差余弦公式求cos π26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 试题解析：(1)在△ABC 中，由＝，及sin B ＝sin C ，可得b ＝c .由a －c ＝b ，得a ＝2c .所以cos A ＝＝＝.(2)在△ABC 中，由cos A ＝，可得sin A ＝.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝. 所以cos＝cos 2A ·cos＋sin 2A ·sin＝.30．（1）3n =-；（2）1m =±. 【解析】试题分析：（1）利用向量//AD BC ，建立关于n 的方程，即可求解n 的值；（2）写出向量,AC BD 的坐标，利用AC BD ⊥得出关于m 的方程，即可求解实数m 的值. 试题解析：（1）(1,3),(3,),(1,),AB BC m CD n =-==(3,3),//3(3)303AD AB BC CD m n AD BCm n m n ∴=++=++∴++-=∴=-（2）由（1）得(1,-3),CD =(2,3),(4,3)AC AB BC m BD BC CD m =+=+=+=-AC BD ⊥所以8(3)(3)0,1m m m ++-=∴=±考点：向量的坐标运算.。
湖南省衡阳市高二数学学业水平模拟检测试题(扫描版)
2017年衡阳市普通高中学业水平模拟检测试卷参考答案科目：数学一、选择题(10×4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCDACABCDB二、填空题（5×4分)11.21， 12.2=y ， 13. 25， 14.60°， 15。
)2131，（三、（解答题)16.（本小题6分）解:（1）由茎叶图知众数为51（g) ........................ 1分 样本平均值为4524649502513524910⨯+++⨯+⨯+=（g ） 3分由此估计这批食品每袋实际重量的平均数为49g ........ 4分 (2）由茎叶图知合格品为7袋，故估计合格率为710...... 6分 17。
(本题满分8分）解：(1）由⎩⎨⎧==+6420321a a a ，解得144a q =⎧⎨=⎩或110045a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩（不合题意，舍去)所以.4,41==q a 公比 ............................... 4分 （2）由等比数列通项公式可知：1444n n n a -=⨯= .......... 6分又因为21log 2n n b a =，所以21log 42n n b = 即n b n = ........ 8分18。
（本小题满分8分）解：(1）依题意，得)1,2(cos x P ，)2sin 3,1(x Q所以)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ................ 4分(2)因为x R ∈，所以()f x 的最小值为—2，()f x 的最大值为2， 6分 ()f x 的最小正周期T π= .............................. 8分 19.（本题满分8分）（1）证明：连结AC 与BD 相交于点O ，则O 是AC 的中点，连结OM 。
∵M 是PC 的中点， ∴OM //PA （三角形中位线性质） 而PA ⊄平面MBD ， OM ⊂平面MBD∴PA //平面MBD .................................. 4分（2)∵PD ⊥平面ABCD ∴∠PAD 就是PA 与平面ABCD 所成的角 即∠PAD =45° 在Rt △PAD 中，∠PAD =45° ∴PD ＝AD =2V 三梭锥P —ABCD ＝31624231=⨯⨯⨯ ............................. 8分20.（本题满分10分）分函数的解析式是解得即即是奇函数函数解：3............................................................................)(1:,21,2)1(002)()(`)()1(322323x x x f c c f b bx cx bx x cx bx x x f x f x f +=∴==+∴===∴---=-+--=-∴（2）证明:设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1〈x 2,]143)2)[(()1)(()())(()()(222212122212121212221212123213121+++-=+++-=-+++-=--+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f021<-x x 0143)2(22221>+++x x x )()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即∴函数)(x f ）在R 上是增函数． ......................... ６分（3）)22()4(,0)2()4(22k kx f k kx f x f k kx f x f --=+-<-∴<++-（）又因为)(x f 是增函数，则k kx x 242--<-），在（100422<-++∴k kx x 上恒成立 ................... ８分 法(一）），（令10,42)(2∈-++=x k kx x x g1033)1(042)0(≤⎩⎨⎧≤-=≤-=k k g k g 解得∴k 的取值范围是]1,(-∞ ............................... １０分法（二）上式可化为24)2(x x k -<+∵()1,0∈x 即02>+x ∴x x x k -=+-<2242令 )1,0(,2)(∈-=x x x h ∵)1,0(,2)(在x x h -=上是减函数 ∴ 1)(>x h 即1≤k ...................................... １０分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖南省衡阳市八中高二下学期学业水平模拟考试
数 学
注意: 本卷共20小题, 满分100分, 考试时间90分钟. 请把答案写在答题卡相应的位置上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.
1．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B =I （ D ）
A.{1,0}-
B.{1}-
C.{0,1}
D.{1}
2. 函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( B )
A. 1-
B. 0
C. 1
D. 2
3. 已知(,3)a x =v , (3,1)b =v , 且//a b v v , 则x 等于 ( C )
A ．－1
B ．－9
C ．9
D ．1
4. 不等式(1)0x x -<的解集是( C )
A.{}|0x x <
B. {}|1x x <
C.{}|01x x <<
D. {}|01x x x <>或
5. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．
为（ C ） A. 4π B. 2π C. π D. 32
π
6. 式子cos
cos sin sin 126126ππππ-的值为（ B ） A.12
B.22
C. 32
D. 1
7. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，错误!未找到引用源。
则1a = ( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ A ）
A.2x y =
B.1y x =
C.2y x =
D. tan y x =
9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =︒,30B =︒,2=
a ,
则b 等于( A ) A. 1 B.2 C. 3 D. 2
10．下表是某厂1—4月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( D )
A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
非选择题（共60分）
二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
11. 化简sin()2x π
+= . cos x
12. 直线10x y -+=的倾斜角为 . 45︒
13. 右边的程序中, 若输入5x =，则输出的y = . 2
14. 已知向量a v , b v 的夹角为60o , 且||2a =v , ||1b =v ,
则 a b ⋅=v v . 1
15. 若实数,x y 满足约束条件：12220
x y x y ì£ïïï£íïï+-?ïïî，则z x y =+的最大值等于 .3
三、解答题：本大题共5小题，共40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分6分）
已知函数()2sin cos ,f x x x x R =?.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）判断函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。
解：（1）因()sin 2f x x =， 故最小正周期为2.2
T ππ== ………………（3分） （2）因()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-，且x R ∈。
故()y f x =是奇函数。
………………（6分）
17．（本小题满分8分）
某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） 兴趣小组
小组人数 抽取人数 A
12 x B
36 3 C
48 y
（1）求x ，y 的值； （2）若从A ，B 两个兴趣小组所抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣 小组B 的概率．高 考 资 源 网
解：（1）1,4x y ==， ………………（3分）
（2）设A 组抽取的人记为a ，B 组抽取的人记为,,b c d 。
从中选2人，可能的结果为,;,;,;,;,;,.a b a c a d b c b d c d 共6种。
其中这2人都来自B 组的结果为,;,;,.b c b d c d 共3种。
………………（6分）
由古典概型公式知: 这2人都来自兴趣小组B 的概率为1.2
P = ……（8分）
18．（本小题满分8分）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1AD ,1CD 中点。
（1）求异面直线EF 与CD 所成角的大小;
（2）求证：EF ⊥平面11BDD B 。
（1）解: 连结AC 。
Q E 、F 分别为1AD ,1CD 中点。
∴EF AC P
∴异面直线EF 与CD 所成角即为DCA ∠。
…（2分）
在等腰直角DCA ∆中45.DCA ∠=︒
故异面直线EF 与CD 所成角的大小为45︒。
…（4分）
（2）证明：在正方形中1,.AC BD AC BB ⊥⊥
,EF AC Q P 1,.EF BD EF BB ∴⊥⊥ …（6分）
又1111,,.BD BB BDD B BD BB B ⊂=I 面 EF ∴⊥平面11BDD B …（8分）
19．（本小题满分8分）
已知圆:C 224210.x y y ++-=
（1）将圆C 的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；
（2）求直线:230l x y -+=被圆C 所截得的弦长。
解：（1）22(2)25.x y ++=故圆心的坐标是(0,2)-，半径 5.r = ………………（3分）
（2
）弦心距d == ………………（5分）
== ………………（7分）
故直线l 被圆C
所截得的弦长为
= ………………（8分）
20．（本小题满分10分）
已知{}n a 是首项11a =的递增等差数列，n S 为其前n 项和，且223a S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足12n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围.
解：（1）由223a S =，11a =得22
(1)332021d d d d d +=+⇒--=∴=-或 0d >Q 2.d ∴= ………………（2分）
21,*n a n n N ∴=-∈ ………………（4分）
（2）由（1）得211(21)(21)2121
n b n n n n ==--+-+ 所以1111112(1)()...[
]133521212121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ……（6分）
由已知得：28(1)21n n n n λ⋅
<+⋅-+恒成立， 因2021n n >+，所以21[8(1)]2n n n n
λ+<+⋅-⋅恒成立， ……（7分） 令21()[8(1)]2n n f n n n
+=+⋅-⋅，则min ()f n λ<
当n 为偶数时，214171725()(8)42222n f n n n n n +=+⋅
=++≥+= 当且仅当4n n =，即2n =时，min 25()2f n =，所以252
λ<； ……（8分） 当n 为奇数时，21415()(8)22
n f n n n n n +=-⋅=-- 可知()f n 随n 的增大而增大，所以min 21()(1)2
f n f ==-，所以21.2λ<- …（9分） 综上所诉，λ的取值范围是21
(,)2-∞- ……（10分）
（其他解法请酌情给分）。