固体物理学课后题答案

第一章 晶体结构

1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：

结构 X

简单立方

52.06

=π

体心立方

68.08

3

≈π 面心立方

74.06

2

≈π 六角密排

74.06

2

≈π 金刚石

34.06

3≈π

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc

nV

x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=

3

r 3

4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====π

ππr

r

a r x

（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3

3

4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3

∴68.083)3

34(3423423

3

3

3≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3

74.062)

22(3443443

3

33≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62

60sin a a 6S ABO ⨯⨯

=⨯∆=2

a 233

晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3

8

a 233C S ==⨯=

⨯ n=1232

1

26112+⨯+⨯

=6个 74.062)

22(3443443

3

33≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3

r 8a r 24a 3=

⇒⨯= n=8, Vc=a 3

34.0633

38

34

83483

3

3

33≈=⨯=⨯=πππr r a r x 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪

⎪=+⎨⎪

⎪=+⎪⎩r r r r r r

r r r

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r

31230,

,22

(),

0,224

,,0

2

2a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r r

Q ，223,,,

0,()224,,0

2

2

i j k

a a a a a i j k a a ⨯==-++r r

r r r r r r

213422()()4a b i j k i j k a a

ππ∴=⨯⨯-++=-++r r r

r r r r

同理可得：232()

2()

b i j k a

b i j k a

ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪

⎪=-+⎨⎪

⎪=+-⎪⎩r r r r r r r r

r r r r

由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω

r r r

3123,,

222

(),,2222

,,222

a a a a a a a a a a a a a

-Ω=⋅⨯=-=

-

r r r

Q ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+-r r r r r r r 213222()()2a b j k j k a a

ππ∴=⨯⨯+=+r r r

r r

同理可得：232()

2()

b i k a

b i j a

ππ=+=+r r r r r r 即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v

垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

证明：

因为3312

1323

,a a a a CA CB h h h h =

-=-v v v v u u u r u u u r ，112233G h b h b h b =++v v v v 利用2i j ij a b πδ⋅=v

v ，容易证明12312300h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=u u u r v

u u u r

v 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++v v v v

垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。

、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2

2

2

2

2

()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥r

r v ，123,,a ai a aj a ak ===v v v v v v