2019-2020年大连五校高二上册期末数学试题(文科)(有答案)-(新课标人教版)-精品推荐
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)含解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】D【解析】解：对于A，要满足，，才能得到，故错；对于B，时，由，得，故错；对于C，若，，则或或，故错；对于D，若，则，则，故正确；故选：D．A，要满足，，才能得到；B，时，由，得；C，若，，则或或；D，若，则，则；本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．2.一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中A. 真命题与假命题的个数不同B. 真命题的个数一定是偶数C. 真命题的个数一定是奇数D. 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数【答案】B【解析】解：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的，真命题的个数一定是一个偶数．故选：B．根据互为逆否命题的真假性是一致的，得到原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，真命题的若有事成对出现的．本题考查命题的四种形式，是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，是一个比较简单的问题，若出现是一个送分题目．3.若点P到直线的距离比它到点的距离小1，则点P的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：点P到直线的距离比它到点的距离小1，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，即，则点P的轨迹方程为，故选：D．由题意得，点P到直线的距离和它到点的距离相等，故点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，，写出抛物线的方程．本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，是解题的关键．4.等差数列中，若，则A. 256B. 512C. 1024D. 2048【答案】C【解析】解：等差数列中，若，可得，则．故选：C．运用等差数列的性质和指数的运算性质，结合等差数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列的性质和求和公式，以及指数的预算性质，考查运算能力，属于基础题．5.已知函数既存在极大值又存在极小值，那么实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数既存在极大值，又存在极小值有两异根，，解得或，故选：D．求出函数的导函数，根据已知条件，令导函数的判别式大于0，求出m的范围．利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反．6.下面四个条件中，使成立的一个必要不充分的条件是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意；“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意；B 不正确．“”能推出“”，且“”能推出“”，故是充要条件，不满足题意；C不正确；“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意；D不正确．故选：A．欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个“”能推出的选项，但不能推出，对选项逐一分析即可．本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，解题的关键是理解必要而不充分的条件，属于基础题．7.若，则的最小值为A. B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】解：设，因为，则，则，由“对勾函数”的性质可得：在为减函数，即，故选：C．由三角函数的有界性得：，因为，则，由对勾函数的单调性得：在为减函数，即，得解．本题考查了三角函数的有界性及对勾函数的单调性，属中档题．8.平面四边形ABCD中，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：中，，，，得．，，．故选：B．由平面几何知识，不难算出，从而求得AC，AD即可．此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】解：由题意知，抛物线的焦点坐标点，直线AB的方程为，由，得，设，，则，，，，故选：A．由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出、两点坐标，由向量的数量积的坐标运算得，由韦达定理可以求得答案．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．10.若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由的图象知，当时，，时，，即当时，，排除B，C，当时，，排除A，故选：D．根据的图象得到当时，，时，，然后讨论x 的范围得到函数取值是否对应进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数符号的一致性进行排除是解决本题的关键．11.若P是椭圆上的点，点Q，R分别在圆：和圆：上，则的最大值为A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B【解析】解：椭圆中，，椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，，准线，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则．故选：B．椭圆中，，故椭圆两焦点，恰为两圆和的圆心，过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，连接，，并延长，分别交两圆于，，则，由此能求出的最大值．本题考查椭圆和圆的简单性质，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．12.已知函数的图象过点，为函数的导函数，e为自然对数的底数若1'/>恒成立，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，1'/>恒成立，恒成立，单调递增，，，不等式，，，故选：C．构造函数设确定在R单调递增，即可求出不等式的解集．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C的离心率为，那么它的两条渐近线所成的角为______．【答案】【解析】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，离心率，，，又，，，当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为，双曲线的两条渐近线互相垂直所成的角是；故答案为：．设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率，可求得，从而可求双曲线的两条渐近线所成的角．本题考查双曲线的简单性质，求得是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．【答案】1【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故答案为：1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，依此规律，这个数列前44项之和为______．【答案】116【解析】解：数列1，3，1，3，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，1，3，规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后接8个3时，共有，则前44项之和为．故答案为：116．由题意可得该数列规律为1后接着3，到第几个1后接几个3，当第8个1后结8个3时，项数为44，计算可得所求和．本题考查数列的求和，注意总结数列的规律，考查运算能力，属于基础题．16.若长度为，4x，的三条线段可以构成一个钝角三角形，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：，可得为最大边．由于此三角形为钝角三角形，，化为：，由，解得．又，解得：，的取值范围为．故答案为：．，可得为最大边由于此三角形为钝角三角形，可得，解出，根据三角形两边之和大于第三边可求，即可得解本题考查了余弦定理、不等式的解法、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：函数在定义域上单调递增；命题q：不等式对任意实数x恒成立．Ⅰ若q为真命题，求实数a的取值范围；Ⅱ若“￢”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为命题q：不等式对任意实数x恒成立为真命题，所以或综上所述：分Ⅱ因为“￢为真命题，故p真q假．因为命题p：函数在定义域上单调递增，所以分q假，由可知或所以或分所以实数a的取值范围为，分【解析】Ⅰ恒成立，时，，即，结果相并；Ⅱ为真时，；￢为真，即q为假时，或，结果再相交．本题考查了复合命题及其真假，属基础题．18.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．Ⅰ求A；Ⅱ若，求的面积．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ．由正弦定理，得分整理得，分因为，所以，又，所以分方法二：由余弦定理得：分化简整理得：分即，又，所以分Ⅱ由余弦定理得：，，即，分又，解得，分所以分【解析】Ⅰ方法一：由已知结合正弦定理及两角和的正弦公式可求，进而可求A；方法二：由余弦定理对已知进行化简可得，然后再由余弦定理可求，进而可求A；Ⅱ由已知结合余弦定理可得，结合已知，可求b，c代入三角形面积可求．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式及两角和的正弦公式，诱导公式等知识的综合应用，数中档试题19.设函数，曲线在点处的切线方程为．Ⅰ求b，c的值；Ⅱ若，求函数的极值．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分由题意得解得：，分Ⅱ依题意，由得，分所以当时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增分故的极大值为，的极小值为分【解析】Ⅰ求出函数的导数，利用已知条件推出方程，然后求解b，c的值；Ⅱ若，判断导函数的符号，然后求解函数的极值．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．20.已知函数，数列的前n项和为，点在曲线上．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ因为点，在曲线上，所以，，分当，时，分当，时，，满足上式，分，所以分，Ⅱ因为，，所以分，，分【解析】Ⅰ利用点在曲线上，通过通项公式与数列的和关系，然后求解数列的通项公式；Ⅱ化简数列，利用数列的裂项相消法，求解数列的前n项和．本题考查数列的通项公式的求法，递推关系式的应用，数列与曲线相结合，考查计算能力．21.椭圆C：的离心率为，且过点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点M作两条互相垂直的直线，，椭圆C上的点P到，的距离分别为，，求的最大值，并求出此时P点坐标．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ由题意知，，所以椭圆方程为：分Ⅱ设，因为，则分因为，所以分因为，所以当时，取得最大值为，此时点分【解析】Ⅰ利用椭圆的离心率，然后求解a，b，即可得到椭圆C的方程；Ⅱ设，结合，然后求解的表达式，然后求解表达式的最大值，然后求解求解P点坐标．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．22.已知函数．Ⅰ当时，讨论的单调性；Ⅱ证明：当时，．【答案】本小题满分12分解：Ⅰ，分当时，．令0'/>，得；令，得；分所以在单调递增，在单调递减分当时，令0'/>，得；令，得或；分所以在单调递增，在和单调递减分综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在和单调递减分Ⅱ当时，分令，则．当时，，单调递减；当时，0'/>，单调递增；分所以因此分方法二：由Ⅰ得，当时，在单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值；分当时，，，分所以当时，取得最小值；分而，所以当时，分【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过a的值，当时，导函数的符号，推出的单调性；Ⅱ当时，求出导函数，然后判断导函数的符号，推出单调区间．方法二：判断当时，判断导函数的符号，求解函数的最小值，然后求解函数的最值．本题考查函数的导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学(文)含答案
(1)(2)(3)(4)(5)2019-2020年高二上学期期末考试数学（文）含答案一、选择题：（每题5分）1．若复数满足，则等于A．2+4i B．2-4i C．4-2i D．4+2i2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数3．直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是( )A．相切B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心D．相离4．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为( )A．x2+(y-2)2=4 B．x2+(y+2)2=4C．(x-2)2+y2=4 D．(x+2)2+y2=45．点M的直角坐标为化为极坐标为（）A．B．C．D．6. 参数方程表示什么曲线( )A．一个圆B．一个半圆C．一条射线D．一条直线7．将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为，则曲线C的方程为（）A. B . c. D. 4x=18．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9. 如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成（）A. 9901B. 9902C. 9903D. 990010. 设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．11. 已知，是区间上任意两个值，恒成立，则M的最小值是（）A. 0.B. 2C. 4D. -212．已知定义在R上的奇函数为f(x)，导函数为，当时，恒有，令F(x)=x f(x)，则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是( ) A．(-1,2) B. (-1,) C. (-2,) D. (-2,1)二、填空题：（每题5分）13．函数在区间上的最小值是＿＿＿＿．14．设n为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．15．直线（t为参数）被圆x2+y2=4所截得的弦长是＿＿＿＿＿16．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为__________.三、解答题：17.（本小题满分10分）已知直线经过点P(1,1),倾斜角。
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2019-2020年高二上学期期末考试数学文含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A ．B ．C ．D ．2．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则（ ）A ．1<n <mB ．1<m <nC ．m <n <1D ．n <m <13．已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则A ．27B ．3C ．或3D ．1或274．设是所在平面内的一点，，则（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数的图象过定点，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出四个命题：①若，，，则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④7．已知等比数列的公比，其前项和，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．下图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式可为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤-≤+1131x y x y x y ，则目标函数的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．与圆：0124622=++-+y x y x ，：01421422=+--+y x y x 都相切的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．阅读下面程序框图，则输出的数据（ ）A ．B ．C ．D ．12．若直线与曲线恰有一个公共点，则 的取值范围是（ ） A ． B ．),2[]2,(+∞--∞∈Y kC ．D ． 或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．某市有、、三所学校共有高二学生人，且、、三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为的样本进行成绩分析，则应从校学生中抽取________人.14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=)1(96)1(2)(2x x x x x f x，则不等式的解集是 。
2019-2020学年辽宁省大连市第五十二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析
2019-2020学年辽宁省大连市第五十二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在处有极值0，且函数在区间上存在最大值，则的最大值为（）A. -6B. -9C. -11D. -4参考答案：C【分析】利用函数在处有极值0，即则，解得，再利用函数的导数判断单调性，在区间上存在最大值可得，从而可得的最大值．【详解】由函数，则，因为在，处有极值0，则，即，解得或，当时，，此时，所以函数单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；当时，，此时，，则是函数的极值点，符合题意，所以；又因为函数在区间上存在最大值，因为，易得函数在和上单调递增，在上单调递减，则极大值为，极小值为，所以，解得，则的最大值为：.故选：C．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.2. 已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为( )A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．解答：解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3. 函数y=在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】根据当x=2时，y=＞0，故排除A、D．当x＞0时，利用导数求得函数在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=，故当x=2时，y=＞0，故排除A、D；当x＞0时，由于y′==，令y′=0，求得x=，在（0，）上，y′＞0，函数y单调递增；在（，+∞）上，y′＜0，函数y单调递减，故排除C，故选：B．4. 文）教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺 ( )A. 平行B. 垂直C. 异面D. 相交参考答案：B5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C.D.参考答案：D6. 命题“对任意，都有”的否定为(A)对任意，都有 (B)不存在，使得(C)存在，使得 (D)存在，使得参考答案：D7. 设等差数列的前项和为，若、是方程的两个实数根，则的值是A、B、5 C、D、（）参考答案：D略8. 下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A. ①综合法，②反证法B. ①分析法，②反证法C. ①综合法，②分析法D. ①分析法，②综合法参考答案：C【分析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案。
2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年高二第一学期期末统考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.将圆平分的直线是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：，可得出圆心坐标为，将，代入A选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入B选项得：，故圆心不在此直线上；将，代入C选项得：，故圆心在此直线上；将，代入D选项得：，故圆心不在此直线上，则直线将圆平分．故选：C．将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．2.设命题p：，，则￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：，，则￢为：，．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．3.下列四个结论：两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；两条直线没有公共点，则这两条直线平行；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：两条直线都和同一个平面垂直，则这两条直线平行，根据线面垂直的性质，可得正确；两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故错误；两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故错误；一条直线和一个平面内任意直线直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行，故正确．故选：C．在中，根据线面垂直的性质，可得正确；在没有公共点的两条直线平行或异面；在中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；根据线面平行的定义可以判断．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4.若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为、半径为1，，，故选：B．利用扇形的面积公式，即可求得结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，点在双曲线方程上，所以，，故所求的双曲线方程是，故选：B．设所求的双曲线方程是，由点在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是，属于基础题．6.一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是，剩余部分的表面积，故选：B．根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.已知点，，是抛物线上的三点，其中，则，，大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点，，是抛物线上的三点，其中，．在上是减函数，，，，故有，故选：A．由题意利用对数函数的单调性可得，从而得出．本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题．8.设x，，，，且，则点到点的最短距离是A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】解：，，即，．点到点的距离为．故选：D．根据得出x，y的关系，代入两点间的距离公式，配方得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，两点间的距离公式，属于中档题．9.入射光线l从出发，经x轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意利用反射定律可得，点Q关于x轴的对称点在入射光线所在的直线上，故入射光线l所在直线的方程为：，化简可得，故选：D．求得点Q关于x轴的对称点的坐标，再用两点式求得入射光线所在的直线的方程．本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用两点式求直线的方程，属于中档题．10.“，”是“数列为等比数列”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：若，则满足，但数列不是等比数列，即充分性不成立，反之若数列为等比数列，则，，成立，即必要性不成立，即“，”是“数列为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设BC的中点为D，连接D、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角；并设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则，，，由余弦定理，得．故选：D．首先找到异面直线AB与所成的角如；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出的长度即可；不妨设三棱柱的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．12.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则的面积为A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】解：抛物线C：的焦点为，准线为设，过A点向准线作垂线AB，则，又由得，即，解得的面积为故选：B．根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设，过A 点向准线作垂线AB，则，根据及，进而可求得A点坐标，进而求得的面积．本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在中集中条件求出是关键；二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为______．【答案】【解析】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为3的扇形圆锥的母线长为，底面周长即扇形的弧长为，底面圆的半径，可得底面圆的面积为又圆锥的高故圆锥的体积为，故答案为：．由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．14.直线l垂直于，且平分圆C：，则直线l的方程为______．【答案】【解析】解：根据题意，直线l垂直于，设直线l的方程为，圆C：的圆心C为，若直线l平分圆C：，则直线l经过圆心C，则有，解可得；则直线l的方程为；故答案为：．根据题意，设直线l的方程为，分析圆C的圆心，分析可得直线l经过圆心C，则有，解可得m的值，将m的值代入直线l的方程，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆的含义，属于基础题．15.已知的三个顶点在以O为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球O的表面积为______．【答案】【解析】解：中，，，由勾股定理可知斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，三棱锥的体积为，，，球O的表面积为．故答案为：．确定斜边AC的中点就是的外接圆的圆心，利用三棱锥的体积，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．16.椭圆C：的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若，，则椭圆C的离心率为______．【答案】【解析】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得，，在中，，，，代入椭圆方程得：，，整理得，离心率．故答案为：．设点P在第一象限，由对称性可得，推导出，，由此能求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：，，命题q：点在圆的内部．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】解：命题p为真命题，：，恒成立，，解得．所以实数m的取值范围是．命题“p或q”为假命题，与q都为假命题，当q为真命题时，，解得，为假命题时或，由知，p为假命题时：．从而，解得或．或所以实数m的取值范围为．【解析】命题p为真命题，由，恒成立，可得，解得实数m的取值范围．由命题“p或q”为假命题，可得p与q都为假命题，进而得出实数m的取值范围．本题考查了不等式的性质与解法、充要条件的判定方法、点与圆的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段，BD的中点．求证：平面；四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【答案】解：连接，在中，E、F分别为线段、BD的中点，为中位线，，面，面，平面；由知，故即为异面直线EF与BC所成的角，四棱柱的外接球的表面积为，四棱柱的外接球的半径，设，则，解得，在直四棱柱中，平面，平面，，在中，，，，，则，异面直线EF与BC所成的角为．【解析】连接，由中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明平面；由和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出，在中求出，求出可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．19.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，．求圆的标准方程；直线l过点且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程．【答案】解：设圆心为M，则M应在AB的中垂线上，其方程为，由，即圆心M坐标为又半径，故圆的方程为．点在圆内，且弦长为，故应有两条直线符合题意，此时圆心到直线距离．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意．当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上，所求直线方程为或．【解析】根据题意，设圆心为M，分析可得圆心再直线和上，解可得圆心的坐标，进而可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案；根据题意，求出圆心到直线的距离，分2种情况讨论：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，当直线的斜率存在时，设其斜率为k，直线方程为，由直线与圆的方程可得k的值，综合2种情况即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，关键是求出圆M的方程，属于基础题．20.已知，动点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，动点Q满足：．求动点Q的轨迹E的方程；过点且斜率为k的直线交轨迹E于A，B两点，M点的坐标为，设直线MA，MB的斜率分别为和，求的值．【答案】解：设点，由，则点，将点代入得．动点Q的轨迹E的方程为．设过点N的直线方程为，，联立，得，则，．，，．【解析】设，则，代入得出轨迹方程；联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式计算化简即可．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．21.如图1所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，将沿AC折起，使得点D在平面ABC的正投影O恰好落在AC边上，得到几何体，如图2所示．求证：平面BCD；求点C到平面ABD的距离．【答案】证明：据题意得：平面ABC，，因为，，，满足，所以又，所以平面ADC，得，分又，，平面分设点C到平面ABD的距离为d，由知：DO是三棱锥的高，且，，，，，由，得，所以点C到平面ABD的距离：分【解析】推导出平面ABC，从而，推导出，从而平面ADC，，再由，能证明平面BCD．设点C到平面ABD的距离为d，由，能求出点C到平面ABD的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.给定椭圆C：，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．求椭圆C的方程和其“准圆”方程．点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，，使得，与椭圆C都只有一个交点求证：．【答案】解：因为，所以所以椭圆的方程为，准圆的方程为．当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，即为或，显然直线，垂直；同理可证方程为时，直线，垂直．当，都有斜率时，设点，其中，设经过点，与椭圆只有一个公共点的直线为，则，消去y得到，即，，经过化简得到：，因为，所以有，设，的斜率分别为，，因为，与椭圆都只有一个公共点，所以，满足上述方程，所以，即，垂直．【解析】欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；先分两种情况讨论：当，中有一条无斜率时；当，都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：，而直线，的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得．本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．。
2019-2020年大连五校高二上册期末数学试卷(文科)(有答案)-(新课标人教版)
辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b23．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3+4log3 B．y=e+4e﹣C．y=sin+（0＜＜π） D．y=+4．（5分）已知实数，y满足，则目标函数=﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣105．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃≤2，2﹣2≤0”D．“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．8．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B．C．2 D．179．（5分）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣1010．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知定义在R上的奇函数f（）的导函数为f'（），当＜0时，f（）满足，2f（）+f'（）＜f（），则f（）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．14．（5分）在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n=．15．（5分）已知函数，若函数f（）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2（1﹣a n），若数列的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．（12分）已知函数f（）=a2﹣（a+1）+1（a≠0）．（1）若f（）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于的不等式f（）＜0．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{c n}的通项公式为，令p n=c2n﹣1+c2n．T n为{p n}的前n项的和，求T n．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线=4交于点M，N，问：轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R）（1）若曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（）与g（）总存在公共的切线，求正数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线，则mn＞0，即“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件，故选：C2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正确．对于B：a＜b＜0时，可得＜，因此B不正确．故选：B．3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3+4log3 B．y=e+4e﹣C．y=sin+（0＜＜π） D．y=+【解答】解：A.0＜＜1时，y＜0，不正确B．∵e＞0，∴=4，当且仅当=ln2时取等号，正确．C．令sin=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．＜0时，y＜0，不正确．故选：B．4．（5分）已知实数，y满足，则目标函数=﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10【解答】解：如图作出阴影部分即为实数，y满足的可行域，由=﹣2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A，直线y=﹣的截距最大，此时最小，由得点A（3，6），当=3，y=6时，=﹣2y取最小值为﹣9．故选：A．5．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃≤2，2﹣2≤0”D．“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题【解答】解：对于A，“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，故A正确；对于B，若p∧q是真命题，则P、q均为真命题，则p∨q是真命题；反之，p∨q是真命题，p与q不一定都是真命题，则p∧q不一定是真命题，∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃＞2，2﹣2≤0”，故C错误；对于D，命题“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的否命题为：“若b≠0，则f（）=a2+b+c不是偶函数”，是真命题，则“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题，故D正确．故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与32b的等比中项，∴3a•32b==3．∴a+2b=1．则=（a+2b）=4++≥4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号．故选：D．7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A8．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B．C．2 D．17【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中a2﹣8a5=0，即a2=8a5，则有a1q=8a1q4，即有q3=，解可得q=，则===1+q4=1+（）4=；故选：A．9．（5分）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，故选A10．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故选：C．11．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选C12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（）的导函数为f'（），当＜0时，f（）满足，2f（）+f'（）＜f（），则f（）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1【解答】解：构造函数F（）=（＜0），所以F′（）==[2f（）+f'（）﹣f（）]，因为2f（）+f′（）＜f（），＜0，所以F′（）＞0，所以函数F（）在＜0时是增函数，又F（0）=0 所以当＜0，F（）＜F（0）=0成立，因为对任意＜0，＞0，所以f（）＜0，由于f（）是奇函数，所以＞0时f（）＞0，即f（）=0只有一个根就是0．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．【解答】解：函数，f′（）=﹣22+3﹣1，令f′（）≥0，即﹣22+3﹣1≥0，解得：≤1，故函数在递增，故答案为：．14．（5分）在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n=．【解答】解：∵数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{na n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得a n=．故答案为：．15．（5分）已知函数，若函数f（）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是[﹣e2，+∞）．【解答】解∵函数f（）在区间[2，4]上是单调递增函数，∴f′（）≥0在区间[2，4]上恒成立，即（﹣1）e+a≥0在区间[2，4]上恒成立，记g（）=（﹣1）e+a，则g（）min≥0，g′（）=e，∵∈[2，4]，∴g′（）＞0，故g（）在[2，4]递增，故g（）min=g（2）=e2+a≥0，解得：a≥﹣e2，故实数a的范围是：a≥﹣e2．故答案为：[﹣e2，+∞）．16．（5分）抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2（1﹣a n），若数列的前n项和为T n，求证：T n＜1．【解答】证明：（1）∵a n=2a n﹣1﹣1∴a n﹣1=2（a n﹣1），又∵a1=﹣1，∴a1﹣1=﹣2﹣1∴数列{a n﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列∴，∴．（2）由（1）知：∴，∴，所以．18．（12分）已知函数f（）=a2﹣（a+1）+1（a≠0）．（1）若f（）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于的不等式f（）＜0．【解答】解：（1）∵f（）≤2在R上恒成立，即a2﹣（a+1）﹣1≤0在R上恒成立，所以；（2）f（）＜0⇔a2﹣（a+1）+1＜0⇔（a﹣1）（﹣1）＜0（*）当0＜a＜1时，（*）式等价于；当a=1时，（*）式等价于（﹣1）2＜0⇒∈∅；当a＞1时，（*）式等价于；当a＜0时，（*）式等价于或＞1综上，当0＜a＜1时，f（）＜0的解集为；当a=1时，f（）＜0的解集为∅；当a＞1时，f（）＜0的解集为；当a＜0时，f（）＜0的解集为．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【解答】解：（1）设B（1，y1），C（2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为，即=2y﹣4，由得2y2﹣（8+p）y+8=0，∴，又∵，∴y2=4y1，由这三个表达式及p＞0得y1=1，y2=4，p=2，则抛物线的方程为2=4y…（5分）（2）设l：y=（+4），BC的中点坐标为（0，y0）由得2﹣4﹣16=0∴，线段的中垂线方程为，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b=22+4+2=2（+1）2，由△=162+64＞0得＞0或＜﹣4，∴b∈（2，+∞）…（7分）20．（12分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{c n}的通项公式为，令p n=c2n﹣1+c2n．T n为{p n}的前n项的和，求T n．【解答】解：（1）当n＞1时，⇒a n=2a n﹣1当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{a n}是公比为2，首项为2的等比数列，则：．（2）证明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列．（3）由（2）知：∴p n=c2n﹣1+c2n=，∴，两式相减得：，∴∴．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线=4交于点M，N，问：轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程可得，a=2，b=，从而椭圆的半焦距．∴椭圆的离心率为；（Ⅱ）解：依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为=ty+1．将其代入，整理得（4+3t2）y2+6ty﹣9=0．设B（1，y1），C（2，y2），∴，．直线AB的方程是，从而可得M（4，），同理可得．假设轴上存在定点P（p，0）使得MP⊥NP，则有．∴．将1=ty1+1，2=ty2+1代入上式，整理得．∴，即（p﹣4）2﹣9=0，解得p=1，或p=7．∴轴上存在定点P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．22．（12分）已知函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R）（1）若曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（）与g（）总存在公共的切线，求正数a的最小值．【解答】解：（1）函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R），f（）=，g（）=2a﹣1；曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，依据题意：（2）当a＞0，b=1时，f（）=ln，在点（t，lnt）处的切线方程为：，即由得：①∵f（），g（）总存在公切线，∴①的，即关于t的方程②总有解．∵左边＞0，a＞0，∴1﹣lnt＞0⇒0＜t＜e，于是，②式令，则当t∈（0，1）时，h'（t）＜0；当t∈（1，e）时，h'（t）＞0，∴h（t）在（0，1）递减，（1，e）递增．∴h（t）min=h（1）=4，∴要使②有解，须4a≥4，即a≥1，故a min=1．。
2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学试卷及答一、单选题1．如图，记直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，倾斜角分别为12,αα则下列结论正确的是（）A ．1212,k k αα>>B ．1212,k k αα><C ．1212,k k αα<>D ．1212,k k αα<<2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b == ,1AA c = ，则与BM相等的向量是（）A ．1122a b c++B ．1122a b c--+C ．1122a b c-+D ．1122-++a b c3．抛物线2:4C y x =的焦点坐标是（）A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(1,0)-D ．(2,0)-4．已知二面角l αβ--的两个半平面α与β的法向量分别为,a b ，且,a b 6π<>= ，则二面角l αβ--的大小为（）A ．6πB ．56πC ．6π或56πD ．6π或3π5．已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，则炮弹爆炸点的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A C 的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(4)(2)4x y ++-=D ．22(2)(1)1x y ++-=8．已知抛物线2:8C y x =上一点P ，直线12:2,:34140l x l x y =--+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．4C ．125D ．2459．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为6，过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，若AB 中点坐标为(1,1)-，则C 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．221189x y +=C ．221459x y +=D ．2217236x y +=10．如图，椭圆222:116x y C a +=的焦点为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，交y 轴于点H .若1F 、H 是线段MN 的三等分点，则2F MN 的周长为（）A ．5B ．65C ．45D ．511．在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等②存在一个平面与正方体的6个面所成的二面角的正弦值都相等③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．412．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为（）A ．52B ．2C 5D ．6二、填空题13．已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量1133OP OA OB OC λ=++，且点P 与,,A B C 共面，则实数λ=__________.14．直线2210ax y ++=与20x y --=平行，则实数a =__________.三、双空题15．已知方程22149x y k k+=--，当这个方程表示椭圆时，k 的取值的集合为________；当这个方程表示双曲线时，k 的取值的集合为_________.16．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点M 的切线方程为_____________.四、解答题17．过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线交C 于,A B 两点，l 为C 的准线，0为坐标原点.过B 做1BB l ⊥于1B ，设()()1122,,,A x y B x y .（1）求12y y ⋅的值；（2）求证：1,,A O B 三点共线.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB AD E ⊥为PD中点且12BC AB PA AD ===.（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求二面角E AC D --的余弦值.19．已知直线:20l x y ++=与圆222:(2)(0)C x y r r -+=>相切，O 为原点，(2,0)A -.（1）若过A 的直线1l 与C 相交所得弦长等于4，求直线1l 的方程；（2）P 为C 上任意一点，求||||PO PA 的值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，椭圆C 过点(2,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于,A B 两点，已知(2,1)P ，求PAB △面积的最大值.21．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，90BAC ︒∠=，111,2,AB BC BB DC DC =====，平面1CC D ⊥平面11ACC A .（1）M 为三角形1DCC 内（含边界）的一个动点，且1AM DC ⊥，求M 的轨迹的长度；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成角的正弦值为4？若存在，求BPBC的值；若不存在，说明理由.22．已知平面内的两点(0,(0,A B -，过点A 的直线1l 与过点B 的直线2l 相交于点C ，若直线1l 与直线2l 的斜率乘积为12-，设点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）设P 是E 与x 轴正半轴的交点，过P 点作两条直线分别与E 交于点,M N ，若直线,PM PN 斜率之积为4-，求证：直线MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.数学试题参考答案1-10BDACC DABBA 11-12DC13．13；14．1-；15．(,4)-∞(4,9)16．111x x y y +=22221x x y ya b+=17．（1）由题意可设直线:2AB pl x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，化简得2220(*)y pmy p --=,222440p m p =+> .由题知12,y y 为方程（）的根，所以212y y p =-.（2）因为11211122AO y y p k y x y p===，又因为122B O y k p =-，由（1）可知212y y p =-，所以12122B O y p k p y ==-，所以1AO B O k k =，所以1,,A B O 三点共线.18．（1）证明：取PA 中点F ，连接,EF BF .因为PAD △中，,E F 为中点，所以//EF AD 且12EF AD =.又因为//BC AD 且12BC AD =，所以//BC EF 且BC EF =.所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.设1PA =，所以平面ACD 的法向量为设(0,0,1)AP =.又1(1,1,0),0,1,2C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,1,0),0,1,2AC AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，设面EAC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则有：001002x y AC n y z AE n +=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，可求得平面EAC 的一个法向量为(1,1,2)n =-.设二面角E AC D --大小为θ，则0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6cos |cos ,|3n AP θ=<>= ，所以二面角E AC D --的余弦值为63.19．（1）解：由题知圆心(2,0)C ，因为l 与圆C 相切，所以422r ==，所以圆22:(2)8C x y -+=.设圆心C 到1l 的距离为d ，由题有842d =-=，设1:(2)l y k x =+，所以221d k ==+，解得33k =±，所以13:(2)3l y x =±+.（2）设()00,P x y ，所以()22220000|||2PO x y PA x y =+=++，所以()22002200||||2x y PO PA x y+=++因为()220028x y -+=，所以()()()22000220008244||2||882282x x x PO PA x x x +--+===+++--.20．（1）由题知2a =，因为12c a =，所以1c =，所以b =，所以22:143x y C +=.（2）设直线1:2l y x m =+，联立2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消掉y 整理得2230x mx m ++-=，由()22430m m ∆=-->，可解得24m <，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212,3x x m x x m +=-=-.所以2||AB ==，因为P (2,1)到l的距离为d =，所以2214||2222PABm m S AB d +-==⨯=△，当且仅当224m m =-，即22m =时，PABS .21．（1）作1CH DC ⊥，连接AH ，由题知1CC ⊥平面ABC ，所以1CC AC ⊥，因为平面1CC D ⊥平面11ACC A ，平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，所以AC ⊥平面1DCC ，所以1AC DC ⊥，因为1CH DC ⊥，且1CH DC H =∩，所以1DC ⊥平面ACH ，所以M 的轨迹为线段CH ，在1DCC △中可解得455CH =;（2）存在.以A 为坐标原点，,,AC AA AB分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,所以11(0,0,0),(0,0,1),(0,2,1)A C C D B B ，所以1(0,2,0),BB BD ==，设平面1BB D 的法向量(,,)n x y z = ，所以20y y z =⎧⎪++=，所以平面1BB D的一个法向量3)n =-，设,[0,1]BP BC λλ=∈，所以1,1)DP DB BC λλ=+=---，所以4=解得12λ=或56λ=-（舍），所以12BP BC =.22．解：（1）设(,)C x y，由题得12y y x x -+⋅=-，化简得221168x y +=，经检验所求方程为22:1(0)168x y E x +=≠（2）由题知(4,0)P ，设直线MN 方程为,(4,4)x my t t =+∈-，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22,1,168x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 化简得()22222160m y mty t +++-=，由()()2222442160m t m t ∆=-+->，化简得228160m t -+>，且2121222216,22mt t y y y y m m -+=-=++，由题得1212444y y my t my t -=⋅+-+-，整理得()()221212144(4)4(4)0m y y m t y y t ++-++-=，代入整理得：(928)(4)0t t --=，解得289t =或4t =（舍），所以直线MN 过点28,09⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2019-2020年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案
2019-2020年高二上学期期末考试数学（文）试题含答案一、选择题：（本大题共10个小题，每题5分，共50分.每题只有一个正确答案）1、已知，则等于( )A． B． C． D．2、三视图如右图的几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台3、下列说法中正确的是( )A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B. “a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a、b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4、下列说法中正确的是( )A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两个平面平行C．平行于同一直线的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面垂直5、设，则“直线与直线平行”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“非”、“非”、“或”、“且”为假命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37、如图，点P是球O的直径AB上的动点，PA＝x，过点P且与AB垂直的截面面积记为y，则y＝f(x)的大致图象是( )8、函数的最大值是( )A.1B.C. D.9、如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于( )G A．45°B．60°C．90° D．120°10、已知点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的取值范围是( )A.[0,)B.C.D.第II卷（非选择题）二、选择题：（本大题共5个小题，每题5分，共25分.请将答案填在横线上）11、_________..12、命题“存在R，0”的否定是_________________.13、函数在处的切线方程是 .14、直线与函数的图象有相异的三个公共点，则的取值范围是______.15、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16、设和是函数的两个极值点.(1)求a，b的值(2)求的单调区间.17、命题实数满足（其中），命题实数满足若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18、如图，在直三棱柱中，，，且是中点.（I）求证：；（Ⅱ）求证：平面.19、已知函数，且在点处的切线垂直于轴.（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值和最小值。
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辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b| D．a2＞b23．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3+4log3 B．y=e+4e﹣C．y=sin+（0＜＜π）D．y=+4．（5分）已知实数，y满足，则目标函数=﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣105．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃≤2，2﹣2≤0”D．“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．8．（5分）设Sn 为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B．C．2 D．179．（5分）等差数列{an }中，Sn是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣1010．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）设{an }为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知定义在R上的奇函数f（）的导函数为f'（），当＜0时，f（）满足，2f（）+f'（）＜f（），则f（）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．14．（5分）在数列{an }中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an= ．15．（5分）已知函数，若函数f（）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{an}满足．（1）求证：数列{an ﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．18．（12分）已知函数f（）=a2﹣（a+1）+1（a≠0）．（1）若f（）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于的不等式f（）＜0．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{an }，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{cn }的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线=4交于点M，N，问：轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R）（1）若曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（）与g（）总存在公共的切线，求正数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线，则mn＞0，即“mn＞0”是“方程m2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件，故选：C2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b| D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正确．对于B：a＜b＜0时，可得＜，因此B不正确．故选：B．3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）+4log3 B．y=e+4e﹣A．y=log3C．y=sin+（0＜＜π）D．y=+【解答】解：A.0＜＜1时，y＜0，不正确B．∵e＞0，∴=4，当且仅当=ln2时取等号，正确．C．令sin=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．＜0时，y＜0，不正确．故选：B．4．（5分）已知实数，y满足，则目标函数=﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10【解答】解：如图作出阴影部分即为实数，y满足的可行域，由=﹣2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A，直线y=﹣的截距最大，此时最小，由得点A（3，6），当=3，y=6时，=﹣2y取最小值为﹣9．故选：A．5．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃≤2，2﹣2≤0”D．“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题【解答】解：对于A，“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，故A正确；对于B，若p∧q是真命题，则P、q均为真命题，则p∨q是真命题；反之，p∨q是真命题，p与q不一定都是真命题，则p∧q不一定是真命题，∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“∀＞2，2﹣2＞0”的否定是“∃＞2，2﹣2≤0”，故C错误；对于D，命题“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的否命题为：“若b≠0，则f（）=a2+b+c 不是偶函数”，是真命题，则“若b=0，则f（）=a2+b+c是偶函数”的逆命题是真命题，故D 正确．故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与32b的等比中项，∴3a•32b==3．∴a+2b=1．则=（a+2b）=4++≥4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号．故选：D．7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A8．（5分）设Sn 为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B．C．2 D．17【解答】解：根据题意，等比数列{an }中a2﹣8a5=0，即a2=8a5，则有a1q=8a1q4，即有q3=，解可得q=，则===1+q4=1+（）4=；故选：A．9．（5分）等差数列{an }中，Sn是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，故选A10．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故选：C．11．（5分）设{an }为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵Sn 有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选C12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（）的导函数为f'（），当＜0时，f（）满足，2f（）+f'（）＜f （），则f （）在R 上的零点个数为（ ） A ．5 B ．3C ．1或3D ．1【解答】解：构造函数F （）=（＜0），所以F′（）==[2f （）+f'（）﹣f （）]，因为2f （）+f′（）＜f （），＜0， 所以F′（）＞0，所以函数F （）在＜0时是增函数，又F （0）=0 所以当＜0，F （）＜F （0）=0成立， 因为对任意＜0，＞0，所以f （）＜0，由于f （）是奇函数，所以＞0时f （）＞0， 即f （）=0只有一个根就是0． 故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为 ．【解答】解：函数，f′（）=﹣22+3﹣1，令f′（）≥0，即﹣22+3﹣1≥0， 解得：≤1，故函数在递增， 故答案为：．14．（5分）在数列{a n }中，a 2=，a 3=，且数列{na n +1}是等比数列，则a n =．【解答】解：∵数列{an }中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得an=．故答案为：．15．（5分）已知函数，若函数f（）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是[﹣e2，+∞）．【解答】解∵函数f（）在区间[2，4]上是单调递增函数，∴f′（）≥0在区间[2，4]上恒成立，即（﹣1）e+a≥0在区间[2，4]上恒成立，记g（）=（﹣1）e+a，则g（）min≥0，g′（）=e，∵∈[2，4]，∴g′（）＞0，故g（）在[2，4]递增，故g（）min=g（2）=e2+a≥0，解得：a≥﹣e2，故实数a的范围是：a≥﹣e2．故答案为：[﹣e2，+∞）．16．（5分）抛物线y2=2p（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{an}满足．（1）求证：数列{an ﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．【解答】证明：（1）∵an =2an﹣1﹣1∴an ﹣1=2（an﹣1﹣1），又∵a1=﹣1，∴a1﹣1=﹣2∴数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列∴，∴．（2）由（1）知：∴，∴，所以．18．（12分）已知函数f（）=a2﹣（a+1）+1（a≠0）．（1）若f（）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于的不等式f（）＜0．【解答】解：（1）∵f（）≤2在R上恒成立，即a2﹣（a+1）﹣1≤0在R上恒成立，所以；（2）f（）＜0⇔a2﹣（a+1）+1＜0⇔（a﹣1）（﹣1）＜0（*）当0＜a＜1时，（*）式等价于；当a=1时，（*）式等价于（﹣1）2＜0⇒∈∅；当a＞1时，（*）式等价于；当a＜0时，（*）式等价于或＞1综上，当0＜a＜1时，f（）＜0的解集为；当a=1时，f（）＜0的解集为∅；当a＞1时，f（）＜0的解集为；当a＜0时，f（）＜0的解集为．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【解答】解：（1）设B（1，y1），C（2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为，即=2y﹣4，由得2y2﹣（8+p）y+8=0，∴，又∵，∴y2=4y1，由这三个表达式及p＞0得y1=1，y2=4，p=2，则抛物线的方程为2=4y…（5分）（2）设l：y=（+4），BC的中点坐标为（0，y）由得2﹣4﹣16=0∴，线段的中垂线方程为，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b=22+4+2=2（+1）2，由△=162+64＞0得＞0或＜﹣4，∴b∈（2，+∞）…（7分）20．（12分）已知数列{an }，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{cn }的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．【解答】解：（1）当n＞1时，⇒an =2an﹣1当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{an}是公比为2，首项为2的等比数列，则：．（2）证明：∵a 2=4b 1， ∴b 1=1， ∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列．（3）由（2）知：∴p n =c 2n﹣1+c 2n =，∴，两式相减得：，∴∴．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB 和AC 分别与直线=4交于点M ，N ，问：轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆方程可得，a=2，b=，从而椭圆的半焦距．∴椭圆的离心率为；（Ⅱ）解：依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为=ty+1． 将其代入，整理得（4+3t 2）y 2+6ty ﹣9=0．设B（1，y1），C（2，y2），∴，．直线AB的方程是，从而可得M（4，），同理可得．假设轴上存在定点P（p，0）使得MP⊥NP，则有．∴．将1=ty1+1，2=ty2+1代入上式，整理得．∴，即（p﹣4）2﹣9=0，解得p=1，或p=7．∴轴上存在定点P（1，0）或P（7，0），使得MP⊥NP成立．22．（12分）已知函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R）（1）若曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（）与g（）总存在公共的切线，求正数a的最小值．【解答】解：（1）函数f（）=bln，g（）=a2﹣（a∈R），f（）=，g（）=2a﹣1；曲线f（）与g（）在公共点A（1，0）处有相同的切线，依据题意：（2）当a＞0，b=1时，f（）=ln，在点（t，lnt）处的切线方程为：，即由得：①∵f（），g（）总存在公切线，∴①的，即关于t的方程②总有解．∵左边＞0，a＞0，∴1﹣lnt＞0⇒0＜t＜e，于是，②式令，则当t∈（0，1）时，h'（t）＜0；当t∈（1，e）时，h'（t）＞0，∴h（t）在（0，1）递减，（1，e）递增．∴h（t）=h（1）=4，∴要使②有解，须4a≥4，即a≥1，min=1．故amin。