2015-2016学年河北省邢台市第一中学高二下学期第一次月考数学(理)试题
河北省邢台市第二中学高二下学期第一次月考数学(理)试题.pdf
一、选择题 1．下列求导运算正确的是( ) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx ．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( ) A．2 B．－1C．1 D．－2 ．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t) (S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为( ) ．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－12 D．a6 ． (sinx＋cosx)dx的值是( ) A．0 B. C．2 D．4 ．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( ) ．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A．sin2x B．x＋sinC．x3－x D．－x＋ln(1＋x) ．已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上是增函数，则m的取值范围是( ) A．m4B．－4<m<－2C．2≤m≤4D．m≤2或m≥4 ．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为( ) A．1 B．3C．5 D．7 <b，且f (x)＝，则下列大小关系式成立的是 （ ）A.f ()< f ()<f ()B. f ()<f (b)< f ()C. f ()< f ()<f ()D. f (b)< f ()<f () 11．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为( ) A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m 1. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为……………………( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 二、填空题： 13．经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程为______________． 处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 __ _ 15．函数f(x)＝－x3＋3x2在[－1,1]上的最大、小值分别为M和m，则f(x)dx＝_____. 16．下列四个命题中，正确命题的个数为________． ①若f(x)＝，则f′(0)＝0； ②若函数f(x)＝2x2＋1，图象上点(1,3)的邻近一点为(1＋Δx,3＋Δy)，则＝4＋2Δx； ③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数； ④曲线y＝x3在(0,0)处没有切线． 17．(本题满分12分)求定积分－1f(x)dx，其中f(x)＝.．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[0，t](0<tln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.20．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去． (1)若存款利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式； (2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？ （Ⅰ）若，试确定函数的单调区间； （Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； 22．已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(aR)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)当a≤时，讨论f(x)的单调性． 6．[答案] D[解析] 函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D. [答案] B[解析] ∵y＝x，y′＝1>0恒成立，∴函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数．故选B. [答案] [ 9．[答案] D[解析] 所求路程S＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)|＝7. 11．[答案] [解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x时，V′>0，x时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m. 13．[答案] x＋y－2＝0 f(x) ＝x3＋x2－x＋ 15．[答案] 0[解析] 由f′(x)＝－3x2＋6x＝0得x＝0或2，∵x∈[－1,1]，∴x＝0.当x∈(－1,0)时f′(x)0. ∴x＝0时，f(x)取极小值f(0)＝0.又f(－1)＝4，f(1)＝2 ∴M＝4，m＝0，∴f(x)dx＝(－x3＋3x2)dx＝＝0. [答案] 1[解析] f(x)＝在x＝0处无导数，因此①不对；速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数，因此③不对；y＝x3在(0,0)处的切线方程为y＝0，因此④不对． [解析] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，所以a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，所以b＝2. 所以f(x)＝x3－3x2＋2. (2)由f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表： x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋＋f(x)2－2t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0. 于是对任意xR，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln2－1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x(0，＋∞)，g(x)>0. 即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1. [解析] (1)由题意，存款量g(x)＝kx2.银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx3. (2)设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx2－kx3. ∴y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0，得x＝0(舍去)或x＝0.032. 当x∈(0,0.032)时，y′>0；当x∈(0.032,0.048)时，y′0，f′(x)<0，f(x)递减；当x(1，＋∞)时，g(x)0，f(x)递增； 当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]， ()当a＝时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减； ()当01>0， x(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； x(1，－1)时，g(x)0，f(x)递增； x(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；。
2016-2017年河北省邢台市高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省邢台市高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点为（）A．1B．2C．1.7D．2.72．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝﹣sin x，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应3．（5分）曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示，两个阴影部分的面积之和可表示为（）A．B．C．D．5．（5分）若a，b，c∈R且c﹣a＝2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．27．（5分）若函数在区间（1，m）上递减，则m的最大值为（）A．e B．2C．e2D．8．（5分）若∀x＞0，4a＞x2﹣x3恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值210．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90B．100C．110D．12012．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，f（1）＝e，其中f′（x）为f （x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝．14．（5分）若，则a3＝．15．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）＝5，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+x．（1）求定积分的值；（2）若曲线y＝f（x）的一条切线经过点（0，﹣2），求此切线的方程．19．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+6（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝9时，求方程的解的个数．20．（12分）如图，将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分别在AC、AB边上，且AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点A′为点A 折后对应的点，当四棱锥A′﹣BCDE的体积取得最大值时，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝．（1）设a＝3xf（x）﹣7（x﹣1），b＝﹣2lnx+6x﹣6，求证：对任意正数x，在a与b中至少有一个不大于0；（2）讨论函数g（x）在区间上零点的个数．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，求a的值；（2）若f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年河北省邢台市高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点为（）A．1B．2C．1.7D．2.7【解答】解：由图可知f（x）在（1，1.7）上递增，在（1.7，2）上递减，∴f（x）的极大值点为1.7．故选：C．2．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝﹣sin x，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选：D．3．（5分）曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y′＝2x+1，所以y′|x＝0＝1，所以切线方程为y﹣＝x，即．故选：B．4．（5分）如图所示，两个阴影部分的面积之和可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：由定积分的定义及数形结合可知两个阴影部分的面积之和为．故选：C．5．（5分）若a，b，c∈R且c﹣a＝2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，a+b+a+2＞3，∴2a+b＞1，反之，亦成立，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．2【解答】解：∵f′（x）＝2cos2x，∴．故选：D．7．（5分）若函数在区间（1，m）上递减，则m的最大值为（）A．e B．2C．e2D．【解答】解：令得x＝e；当x＞1时，令f′（x）＜0得1＜x＜e，∴m max＝e．故选：A．8．（5分）若∀x＞0，4a＞x2﹣x3恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设f（x）＝x2﹣x3（x＞0），则f′（x）＝2x﹣3x2＝x（2﹣3x），当时，f′（x）＜0，f（x）递减；当时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴，∴，∴．故选：A．9．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值2【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵、，∴，为定值．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）＝，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90B．100C．110D．120【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），可得4S3＝3（a3+7），4S2＝2（a2+a3），4S1＝a1+a2，∴a2＝3a1，a3＝5a1，从而4×9a1＝3（5a1+7），即a1＝1，∴a2＝3，a3＝5，∴4S4＝4（a4+a5），∴a5＝9，同理得a7＝13，a8＝15，…，a n＝2n﹣1，∴，经验证4S n＝n（a n+a n+1）成立，∴S10＝100．故选：B．12．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，f（1）＝e，其中f′（x）为f （x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，得到[x3f（x）﹣e x]'＝0，设x3f（x）﹣e x＝c，因为f（1）＝e，所以c＝0，∴x＝0不满足题意，x≠0时，f（x）＝，f′（x）＝，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝169．【解答】解：易知数组的第1个数依次成等差数列，第2个数依次成等比数列，且这两个数列的通项公式分别为a n＝2n﹣1，，第3个数为该数组前2个数的积．∴a＝a5＝9，∴b＝b5＝16，∴c＝ab＝144，∴a+b+c＝169．故答案为169．14．（5分）若，则a3＝．【解答】解：由题可知，得到＝，∴，即．故答案为：．15．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x＝x；第3关收税金：（1﹣﹣）x＝x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）＝5，则不等式的解集为（0，1）．【解答】解：由x2f′（x）+1＞0，设，则＝＞0．故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，故g（x）＜0的解集为（0，1），即的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【解答】解：（1）f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＝0得x＝﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min＝f（0）＝5，f（x）max＝f（0）＝e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+x．（1）求定积分的值；（2）若曲线y＝f（x）的一条切线经过点（0，﹣2），求此切线的方程．【解答】解：（1），∵f（x）＝x3+x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴，，∴．（2）设切点为（m，m3+m），f（x）＝x3+x的导数为f′（x）＝3x2+1，∵f′（m）＝3m2+1，∴，∴m3+m+2＝3m2+m，∴m3＝1，∴m＝1．故切点为（1，2），且该切线的斜率为4，则此切线的方程为y﹣2＝4（x﹣1）即y＝4x﹣2．19．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+6（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝9时，求方程的解的个数．【解答】解：（1）令得x1＝0，，当a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，则f（x）在R上递增．当a＞0时，x1＜x2，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得x＜0或．则f（x）在上递减，在（﹣∞，0），上递增．当a＜0时，x1＞x2，同理可得，f（x）在上递减，在，（0，+∞）上递增．（2）当a＝9时，f′（x）＝6x（x﹣3），当0＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上递减．当x＜0或x＞3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）上递增，∴f（x）在x＝0处取得极大值f（0）＝6，在x＝3处取得极小值f（3）＝﹣21，∵，∴方程的解的个数为3．20．（12分）如图，将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分别在AC、AB边上，且AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点A′为点A 折后对应的点，当四棱锥A′﹣BCDE的体积取得最大值时，求AD的长．【解答】解：由勾股定理得AC＝4，设AD＝x，则CD＝4﹣x．因为△AED∽△ABC，所以，则四棱锥A′﹣BCDE的体积为：，所以，当时，V′（x）＞0，V（x）递增；当时，V′（x）＜0，V（x）递减．故，故时，V（x）取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝．（1）设a＝3xf（x）﹣7（x﹣1），b＝﹣2lnx+6x﹣6，求证：对任意正数x，在a与b中至少有一个不大于0；（2）讨论函数g（x）在区间上零点的个数．【解答】解：（1）（反证法）证明：假设a，b中没有一个不大于0，即a＞0，b＞0，则a+b＝lnx﹣x+1＞0．设h（x）＝lnx﹣x+1，则，令h′（x）＞0，得0＜x＜1；令h′（x）＜0，得x＞1．所以h（x）max＝f（1）＝0，即h（x）＝lnx﹣x+1≤0．故a+b＝lnx﹣x+1＞0与lnx﹣x+1≤0矛盾，从而，对任意正数x，在a，b中至少有一个不大于0．（2）由题可得，令g（x）＝0，得．设＝，令F′（x）＜0，得；令F′（x）＞0，得e2＜x≤e4．故F（x）在上递减，在（e2，e4]上递增．∴，且，．当或m＞2ln4时，g（x）无零点．当或时，g（x）有1个零点；当时，g（x）有2个零点．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，求a的值；（2）若f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，代入得a+5＝﹣2a﹣1⇒a＝﹣2．（2）∵为（0，+∞）上的减函数，f（x）在（1，2）上存在极值，∴．（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则，即对x＞0恒成立．设，，设h（x）＝1﹣lnx﹣x3（x＞0），，∴h（x）在（0，+∞）上递减，又h（1）＝0，则当0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0；当x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0．∴，∴，即a的取值范围为．。
河北邢台一中1415学年度高二3月月考——数学理数学(理)
河北邢台一中2014—2015学年度下学期3月月考高二数学理试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若复数满足，则（ ）A ．1B ．-1C ．D ． 2.ab b a ba <+<<)1(,011则下列不等式中若 (2)|a|>|b| (3)a<b (4) 则正确的个数是( )(A ) 1 (B) 2 (C ) 3 ( D ) 43.“|x －a|＜m ，且|y －a|＜m”是“|x －y|＜2m”(x ，y ，a ，m ∈R)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设a ，b ，c ∈（0，1），则a （1﹣b ），b （1﹣c ），c （1﹣a ）（ ）A.都不大于B.都不小于C.至少有一个不大于D.至少有一个不小于 5．下列命题中正确的是（） A ．若，则方程只有一个根B ．若且，则C ．若，则不成立D ．若，且，那么一定是纯虚数6．不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设函数f （x ）=，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算f （﹣4）+f （﹣3））+…+f （0））+f （1））+…+f （5）的值为（ ）A. B. C.3 D.8．某个命题与自然数n 有关，若n=k （k ∈N *）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=6时，该命题不成立，那么可推得（ ）A.当n=7时，该命题不成立B.当n=7时，该命题成立C.当n=5时，该命题不成立D.当n=5时，该命题成立9．若a ＞b ＞c ，则使恒成立的最大的正整数k 为（ ）A.2B.3C.4D.510．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）A.2097B.1553C.1517D.211112.设．若f （x ）=x 2+px+q 的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n ，使得n ＜α＜β＜n+1成立，则（ ）A 、B 、C 、D 、第卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13设函数的图象关于点中心对称，则的值为_______. 14若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 。
2015-2016学年河北省邢台一中高二下期中考试数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年河北省邢台一中高二下期中考试数学（理）试题一、选择题1．在对两个变量,x y 进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释； ②收集数据(,),1,2,,i i x y i n = ；③求线性回归方程； ④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．若根据可靠性要求能够作出变量,x y 具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是（ ）A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③① 【答案】D【解析】试题分析：对两个变量进行回归分析时，首先要收集数据(,),1,2,,i i x y i n = ；根据所搜集的数据绘制散点图，观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求出相关系数，写出线性回归方程，最后对所求的回归直线方程作出解析，所以正确顺序为②⑤④③①，故选D ．【考点】线性回归分析．2．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为2(80)200()()x f x x R --=∈，则下列命题中不正确的是（ ）A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同C ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】C【解析】试题分析：因为其密度函数为2(80)200()()x f x x R --=∈，所以该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线80x =对称，所以分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数是不同的，故选C ．【考点】正态分布曲线的特征及表示的意义．3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，曲线C的参数方程可化为2x y θθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，化为普通方程为22(2)2x y -+=，表示以(2,0)A ． 【考点】参数方程与普通方程的互化．4．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2016年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ）A ．105B ．210C ．240D ．630 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有155C =种，再从剩余的7人中，选两名监考员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有227242C A =种，所以不同的安排方案共有542210⨯=种方法，故选B ． 【考点】排列、组合的应用．5．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为（ ） A.13 B.12 C.536 D.512【答案】D【解析】试题分析：由题意得，蓝骰子点数为3或6时，共有12结果，两个骰子的和大于8的共有(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共5种情形，所以满足条件的概率为512． 【考点】古典概型及其概率的计算．6．某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将5个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有1225422215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有33(1015)150A +⨯=种不同的分配方案，故选A ．【考点】排列、组合的应用．【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．7．设随机变量ξ的概率分布列如表所示：其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为43，则ξ的方差为（ ） A ．18B ．38C ．59D ．78【答案】C【解析】试题分析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2a c b +=，又因为1a b c ++=，所以13b =，因为14()01233E a c ξ=⨯+⨯+⨯=，解得11,26c a ==，所以随机变量的方差为2224141415()(0)(1)(2)3633329D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，故选C ．【考点】随机变量的期望与方差的计算．8．一张银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在自动取款机中取款时，忘记了最后一位密码，只记得最后一位是奇数，则他不超过两次就按对密码的概率是（ ） A ．15 B ．25C ．110 D ．12【答案】B【解析】试题分析：由题意得，记“第i 次按对密码”为事件(1,2,3)i A i =，“不超过2次就按对密码”为事件A ，记“最后一位按偶数”为事件B ，则1121412(|)(|)(|)5545P A B P A B P A A B ⨯=+=+=⨯，故选B ． 【考点】相互独立事件概率的计算．9．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a +++++等于（ ）A ．55 B ．-1 C ．52 D ．52-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的通项为551552(3)(3)2r r r r r r rr T C x C x --+=-=-，可得00a >，10a <，20a >，30a <，40a >，50a <，所以令1x =-，则012345012345a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+- 55[2(3)]5=--=，故选A ．【考点】二项式定理的系数问题．10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（ ）A ．40种B ．70种C ．80种D ．100种 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，Grace 不参与该项任务，则有125430C C =种；Grace 参与该项认为，则有2510C =种，共有301040+=种，故选A ．【考点】排列、组合的实际应用．11．正方体1111ABCD A BC D -6个面的中心分别为,,,,,E F G H I J ，甲从这6个点中任选两个点连成直线，乙也从这6个点中任选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行的概率为（ ） A.175 B.275 C.375 D.475【答案】D【解析】试题分析：由题意得，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有2615C =种，乙也从6个点中任意选出两个点连成直线，共有2615C =种，所以甲乙从中任选一条共有1515225⨯=种不同的取法．因为正方体6各面的中心构成一个正八面体，有六对互相平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合的有12对，所以根据古典概型及其概率的计算公式可得，概率为12422575P ==，故选D. 【考点】古典概型及其概率的计算．【方法点晴】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，利用利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体的六个面的中心构成一个正八面体，求出相互平行但不重合的直线的对数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解其概率，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =⋅-，当[]3,3x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（ ）A 、8B 、6C 、4D 、2【答案】B【解析】试题分析：由题意得，函数()2f x xπ=-在[]3,3x ππ∈-是奇函数其是反比例函数，()c o s s i n g x x x x =⋅-在[]3,3x ππ∈-是奇函数，则()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-，所以()g x 在[0,]π上是减函数，在[,2]ππ上是增函数，在[2,3]ππ上是减函数，且()()00,,(2)2,(3)3g g g g ππππππ==-==-,所以作出函数()f x 与()g x 在[]3,3x ππ∈-上的图象，如图所示，结合图象可知，共有6个交点，故选B ．【考点】根的存在性及根的个数的判断；函数的图象． 【方法点晴】本题主要考查了方程根的存在性和根的个数的判断及函数的图象与性质的应用，同时考查了利用导数研究函数的单调性及利用导数研究函数的极值与最小值，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想及数形结合思想方法的应用，本题的解答中方程()()f x g x =根的个数转化为函数()y f x =与()y g x =的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象即可得到交点的个数，确定方程根的个数．二、填空题13．24(1)(1)x x x ++-展开式中2x 项的系数为___________． 【答案】3【解析】试题分析：由题意得，24(1)(1)x x x ++-展开式中2x 项为20122444()1()3x C x C x C x x +-+⨯-=，所以展开式中2x 的系数为3． 【考点】二项式定理中项的系数．14．若直线l 的极坐标方程是cos()4πρθ-=，圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=．则l 与C 交点的极坐标为___________．【答案】(4,)2π或)4π【解析】试题分析：由题意得，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为4x y +=，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，联立方程组22440x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，化为极坐标可得(4,)2π或)4π．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化．15．某校教师趣味投篮比赛的规则是:每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是2,3教师甲在一场比赛中获奖的概率为______． 【答案】3281【解析】试题分析：由题意得，前四次投篮中，至少投进两个的概率为4134422281(1)(1)3339C C ---⨯-=，后两次投篮都进的概率为224()39=，所以教师甲在一场比赛中获奖的概率为84329981P =⨯=．【考点】相互独立事件同时发生的概率．【方法点晴】本题以教师投篮比赛为背景主要考查了相互独立事件同时发生的概率，解答中正确梳理题设条件至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖的情形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，可分为两步先求出前四次投篮中至少投进两次的概率，再求出后两次投篮都命中的概率，利用分步计数原理即可求解答案．16．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法有 种．【答案】108【解析】试题分析：由题意得，首先看图形中1,5,9有133C =种涂法；当1,5,9为其中一种颜色时，2,6共有4种可能，其中2种2,6是涂相同颜色，各有2种可能共有6种可能，4,8,7与2,6,3相对称的位置，也有6种可能，并且与2,6,3的颜色无关，所以共有366108⨯⨯=种不同的涂色方法． 【考点】排列、组合的实际应用．【方法点晴】本题以涂色为背景主要考查了排列、组合的中和应用、分步计数原理的应用，是一道限制元素（条件）比较多的试题，解答时要注意合理分类，作出不重复、不漏涂是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中可根据图形的对称性，填涂好一侧，即可得到另一侧的涂法，这样更加简便运算．三、解答题17．已知直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（1）若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，求||||FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）12||||||2FA FB t t ⋅==；（2）16．【解析】试题分析：（1）求出曲线C 的普通方程和焦点坐标，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义，即可得到结果；（2）设矩形的顶点坐标为(,)x y ，则根据,x y 的关系消元得出P 关于x 的函数，即可求出此函数的最大值．试题解析：（1） 已知曲线C 的普通方程为221124x y +=，则其左焦点为(-，则m =-将直线l的参数方程22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立， 得2220t t --=，则12||||||2FA FB t t ⋅==.（2） 由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的动点,2sin )P θθ 则以P 为顶点的内接矩形周长为423c o s2s i n )16s i n (32ππθθθθ⨯+=+<<， 因此该内接矩形周长的最大值为16.【考点】曲线的极坐标方程与曲线的参数方程．18．有2名老师，3名男生，3名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？（1）3名男生必须站在一起； （2）2名老师不能相邻；（3）若3名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站．（最终结果用数字表示）【答案】（1）4320；（2）30240；（3）6720． 【解析】试题分析：（1）男生必须相邻，可把三个男生看成一个整体，进行全排列，再乘以三个男生的全排列，即可计算结果；（2）先把6名学生进行全排列，利用插空法插入两名教师，即可得到计算结果；（3）先从8个位置中选出3个位置给3个女生，再在剩下的5位置上排其余5人，即可计算结果．试题解析：（1）把3名男生看成一个整体与其他人排列有66A 种，再来考虑3名男生间的顺序有33A 种，故3名男生必须站在一起的排法有36364320A A =种;（2） 6名学生先站成一排有66A 种站法，再插入两名老师有27A 种插法，故2名老师不相邻的站法有626730240A A =种;（3）先从8个位置中选出3个位置给3个女生有38C 种，再在剩下的5个位置上排其余5人有55A 种，故4名女生从左到右女生由高到矮的顺序的站法有35856720C A =种．【考点】排列组合的实际应用．19．已知一个袋子中有2个白球和4个红球，这些球除颜色外完全相同．（1）每次从袋中取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望()E η． 【答案】（1）75；（2）2． 【解析】试题分析：（1）先确定出随机变量ξ的取值，分别求出对应的概率，然后利用期望的公式求解取球次数的数学期望；（2）确定连续摸4次球可视为四次的独立重复试验，然后根据重复试验的方差公式，即可求得取到红球次数的数学期望． 试题解析：（1） ξ的可能取值为1.2.342(1)63P ξ===;112426244(2)6515A A P A ξ⨯====⨯;212436241(3)65415A A P A ξ⨯====⨯⨯故ξ的分布列为：241217()12331515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯==（2）取出后放回，取3次球，可看做3次独立重复试验，所以2(3,)3B η ，所以2()323E η=⨯=． 【考点】随机变量的期望与方差的计算．20．甲、乙两家快递公司，其快递员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪， 40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司快递员一天的送快递单数相同，现从两家公司各随机抽取一名快递员，并分别记录其100天的送快递单数，得到如下频数表：若将频率视为概率，回答以下问题：（1）记乙公司快递员日工资为X (单位：元), 求X 的分布列和数学期望；（2）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘快递员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由. 【答案】（1）162；（2）推荐小明去乙公司应聘． 【解析】试题分析：（1）设乙公司快递员送快递单数为a ，则可计算出随机变量X 的取值，列出分布列，求解数学期望；（2）计算出甲公司送餐员日平均工资，再由（1）得乙公司送餐员日平均工资，比较大小即可得到结论．试题解析：（1）设乙公司快递员送快递单数为a ，则当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=；当40a =时，404160X =⨯=； 当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172 故X 的分布列为：11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以 （2）依题意， 甲公司快递员日平均快递单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元 由（1）得乙公司送餐员日平均工资为162元． 因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘．【考点】随机变量的分布及数学期望；期望的应用．21．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：（1）若90100x y ≤+<，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元?（利润L ＝销售收入－成本）附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式：121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-，其中x 、y 表示样本均值．【答案】（1）1；（2）单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．【解析】试题分析：（1）根据推移，得出X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，即可求解数学期望；（2）计算,x y ，求出ˆˆ,ba ，写出y 关于x 的线性回归方程，得出利润()L x 的解析式，利用二次函数的性质求出函数的最大值即相应的x 的值． 试题解析：（1）X 取值为0,1,2．使90100x y ≤+<的有3组，所以23261(0)5C P X C ===，1133263(1)5C C P X C ===，23261(2)5C P X C ===．X 的分布列为数学期望为1310121555EX =⨯+⨯+⨯=． （2）因为8.5x =，80y =，21()0.7nii x x =-=∑，1()()14ni i i x x y y =--=-∑．所以14ˆ200.7b-==-，ˆˆ250ay b x =-=．y 关于x 的线性回归方程是20250y x =-+． 利润2(20250)4(20250)203301000L x x x x x =-+--+=-+-． 当3308.252(20)x =-=⨯-时，L 取最大值361.25．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．【考点】随机变量的分布列与数学期望；线性回归方程；二次函数的性质的应用． 【方法点晴】本题主要考查了随机变量的分布列与数学期望的计算、线性回归方程的求解及二次函数的性质的应用．试题运算量大，需要仔细、认真计算，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，本题的解答中计算,x y ，利用公式求出ˆˆ,ba ，确定y 关于x 的线性回归方程是解答的一个难点． 22．已知函数()ln f x x x =.（1）曲线()y f x =在点(1,(1))M f 处的切线为l ，求证除M 点外，曲线()y f x =上的所有点都在直线l 的上方；（2）若22()(0)f x ax a a≥+≠在(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）证明解析；（2）3e -．【解析】试题分析：（1）利用函数的导数，确定出过点(1,(1))M f 的切线方程，要证()1f x x ≥-，当且仅当1x =时等号成立，只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，即可证明；（2）要使22()(0)f x ax a a ≥+≠在(0,)+∞上恒成立，等价于2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，利用函数的导数，通过0a <和0a <两种情况，确定函数的最小值，即可得到a 的最小值．试题解析：（1）()ln 1f x x '=+，设切线的斜率为k ， 则()1ln111k f '==+= 因为()11ln10f =⋅=，切点为()1,0．故切线方程为()011y x -=⋅-，即：1y x =-．问题转化为要证明：()1f x x ≥-，当且仅当1x =时等号成立只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在()0,+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x'=+-= 当()0,1x ∈时()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；当1x =时()()min 11ln1110g x g ==⋅-+= ()ln 10g x x x x =-+≥在()0,+∞恒成立 所以()1f x x ≥-．当且仅当1x =时等号成立（2）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在()0,+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax ≥+在()0,+∞恒成立，等价于：()2ln 0h x x ax ax =--≥在()0,+∞恒成立 因为()22222212122a x x a x ax a a h x a x ax ax ax ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭'=-+== ①当0a >时，()21ln10h a a =--<，0a >不满足题意②当0a <时，令()0h x '=，则1x a =-或2x a =（舍）．所以10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0h x '<，()h x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时()0h x '>，()h x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1x a =-时()min 11ln 12h x h a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当1ln 30a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为3e -【考点】利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用导数研究函数的单调性与极值（最值）．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值与最值，着重考查了函数的单调性与极值、最值在求解函数问题中的应用，充分体现了转化与化归思想和分类讨论思想方法的而应用，同时此类问题的思维量大、运算繁琐，需要认真审题、仔细作答，同时注意方法的积累与总结．。
(2021年整理)河北省邢台市2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题理(扫描版)
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参考答案1.C 2。
D 3。
D 4.B 5。
C 6.A 7。
C 8。
C 9。
D 10.A 11.A 12。
A 13.D 14.C 15。
C 16。
A 17.D 18。
A19．)2)(1(2,301--n n n 【解析】试题分析：第六行第一个数是61,第二个数设为()2,6a ，那么()51612,6=+a ,所以()30161-512,6==a ， （2）将杨辉三角形中的每一个数r n C 都换成分数()r nC n 11+,就得到一个如图所示的分数三角形， 因为杨辉三角形中的第()3≥n n 行第3个数字是21-n C ,那么如图三角形数的第()3≥n n 行第3个数字是()()212121--=-n n n nC n 考点：1．杨辉三角形;2．归纳推理．【方法点睛】本题考查了学生的归纳推理能力，属于中档题型，学生在课堂上学习过杨辉三角,这个三角形数阵与杨辉三角有关联，所以要熟悉杨辉三角与二项式系数的关系,并且有很好的观察能力，将杨辉三角形中的每一个数r n C 都换成分数()r nC n 11+，就得到一个如图所示的分数三角形，并且在转化的时候，组合数的上标和下标不要弄错，仔细解答．20．2(2)2n n f +>【解析】试题分析：因为27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，…由此归纳可得:不等式左边为：()2n f ,不等式右边为一个分式，分母均为2,分子为：2n +，所以当n ≥2时，有2(2)2n n f +>． 考点：归纳推理21．【解析】 试题分析：复数满足，则对应的点在以为圆心，半径的圆上，表示到点的距离，又，所以．考点：复数模的几何意义． 【名师点睛】复数的模为，它表示向量的模,也即点到原点的距离，利用复数模的几何意义可代数问题几何化,减少大量的计算，增加正确率，本题中表示点在以为圆心，半径的圆上，而表示点到点的距离，由两点间距离公式就可得该题结论． 22．PA PB PC PA PB PC '''⋅⋅⋅⋅ 【解析】 试题分析：过点p 作直线''A H ⊥平面PAC,BH ⊥平面PAC ，'''''1''3P A B C PB C V A H S -=;13P ABC PAC V BHS -= 2211()(1)2,(10)()(1)2,(1)f a aa f a a a ⎧=+->>⎪⎨⎪=+->⎩因为''//A H BH ，所以由(1）类比得'''P A B C P ABC V V --=''1''313PB C PAC A H S BHS =''''PB PC A H PAPCBH =PA PB PC PA PB PC '''⋅⋅⋅⋅ 考点：类比法.23．（1）32()332f x x x x =--+；(2）(,12)2,)-∞-+∞与(1+为()f x 的增区间；[122]-,1+为()f x 的减区间。
河北省邢台市2015-2016学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2015-2016学年第二学期第一次月考高二年级理科数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共90分）一、选择题(共18小题，每题5分，共90分） 1。
若复数()22(m 3m 4)56m m i --+--为虚数，则实数m 满足（ ）A 。
1m ≠- B. 6m ≠ C 。
1m ≠-或6m ≠ D.1m ≠-且6m ≠2。
在复平面内，复数11,11i i+-(i 为虚数单位）对应的点分别为A ，B,若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为（ ) A. i B.1 C 。
12i D. 123。
曲线()ln f x x x =在点1x =处的切线方程为（ ） A.22y x =+ B. 22y x =- C 。
1y x =+ D 。
1y x =-4。
()102xex dx +⎰等于（）A. 1 B 。
e C.1e -D 。
1e +5.函数ln 2()x x f x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ） A 。
240x y --= B 。
20x y +=C 。
30x y --= D. 10x y ++=6.已知12-+是方程210xpx ++=的一个根，则p =()A. 1B. 0C. i D 。
i -7。
由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为( ）A.12B 。
1 C.D.28。
【改编】若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()4f x '=,则0()(2h)n f x f xlim h→--的值为（ )A. 2B. 4 C 。
8 D 。
129。
函数cos sin y x x x =+的部分图象大致为（ )10。
已知复数22cos sin 33z i ππ=+（i 为虚数单位),则3z 的虚部是（ ）A 。
0 B. 1- C 。
i D 。
111。
若函数()y f x =的图象如右图所示，那么导函数()y f x '=的图象可能是( )12。
邢台市2016年高二下数学第一次月考试卷文含解析
邢台市2016年高二下数学第一次月考试卷（文含解析）2015—2016学年第二学期第一次月考高二年级文科数学试题第Ⅰ卷选择题（共80分）一、选择题（共16小题，每题5分，共80分）1.复数（i为虚数单位）的实部是（）A.B.C.D.2.下表是某厂1-4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为，则等于A.B.C.D.3.①由“若，则”类比“若为三个向量，则”；②在数列中，猜想；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；以上三个推理中，正确的个数为（）A.3B.2C.1D.04.如右图是一个算法的流程图，如果输入的值为2，则输出的值（）A.B.C.D.05.已知定义在复数集C上的函数满足则等于A.B.C.D.6.若右图所示的程序框图，该算法的功能是（）A.计算的值B.计算的值C.计算的值D.计算的值7.复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限8.观察下列各式：则（）A.B.C.D.9.统计中有一种非常有用的统计量，用它的大小可以确定有多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班（甲班A老师教，乙班B老师教）进行某次数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的列联表.不及格及格总计甲班（A教）43640乙班（B教）162440总计206080根据的值，你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为（）A.B.C.D.无充分依据10.下列说法正确的有（）个①在回归分析中，可用指数系数的值判断模型的拟合程度，越大，模型的拟合效果越好②在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好③在回归分析中，可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好④在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.A.1B.2C.3D.411.菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，在以上三段论的推理中（）A.推理形式错误B.小前提错误C.大前提错误D.结论错误12.用反证法证明命题“若，则全为”其反设正确的是（）A.中只有一个为B.至少一个为C.全不为D.至少有一个不为13.规定“”表示一种运算，即（为正实数），若，则（）A.B.C.D.或14.某商场为了了解毛衣的销售量（件）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月销售量（件）24334055由表中数据算出回归直线方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为,据此估计该商场下个月毛衣的销售量约为（）件A.B.C.D.15.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中总的点数为，则（）A.B.C.D.16.（选修4-4；参数方程与极坐标）在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（）A.B.C.D.（选修4-5；不等式选讲）不等式的解集为（）A.B.C.D.第Ⅱ卷非选择题（共70分）二、填空题（共4题，每题6分，共24分）17.已知数组：记该数组为：则.18.如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于.19.如图（1）有面积关系：,则图（2）有体积关系：.20.（选修4-4）在极坐标系中，点到直线的距离为. （选修4-5）已知，则与的大小关系为.三、解答题（21—23题每题12分，24题10分，从两个题中任选一题）21.随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动，某潜水中心调查了100名男性与100名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，如图为等高条形图：（Ⅰ）绘出列联表；（Ⅱ）利用独立性检验方法判断性别与耳鸣是否有关系？若有关系，所得结论的把握有多大？22.某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据:（1）画出散点图，并说明销售额与广告费用支出之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，，求出回归直线方程.（3）据此估计广告费用为10时，销售收入的值.23.求证：24.（选修4-4，极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为，试判断点A 与圆E的位置关系.（选修4-5，不等式选讲）设函数（1）解不等式（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.参考答案1.A2.C3.B4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.B11.C12.D13.C14.B15 .B16.AC17．7【解析】试题分析：由题意知，第个数组包含个数，其最后的个数为因为，所以是第63个数组的倒数第8个数，所以答案填7.考点：1、数列的概念；2、归纳推理.18．0，1或-1【解析】设样本点为，回归直线为；若散点图中所有的样本点都在一条直线上，则此直线方程就是回归直线方程。
河北省邢台市第一中学2015-2016学年高二数学6月月考试题 理
某某省某某市第一中学2015-2016学年高二数学6月月考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1. 已知全集为R ，且集合2{|log (1)2}A x x =+<，2{|0}3x B x x -=≥+，则)(B C A R 等于 （ ）A ． [3,2)-B ．[3,2]-C ． (1,2)-D ．(1,2]- 2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∨⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题4．若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则实数m 的取值X 围为 （ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞5．已知函数212lg(1)()22x f x x -=--；2()(f x x =-；3()log (0,1)a f x x a a =>≠；411()()212x f x x =+-，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是 （ ） A ．都是偶函数 B ．一个奇函数，三个偶函数 C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数 D ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数6 （ ）A.-332.B.332C. 166D. -1667．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为 （ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．3208.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为 （ ） A.144 B. 132 C. 96 D.489．已知定义在R 上的函数满足条件3()()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-为奇函数，则下面给出的命题中错误的是 （ ） A ．函数()y f x =是周期函数，且周期T=3 B ．函数()y f x =在R 上有可能是单调函数C ．函数()y f x =的图像关于点3(,0)4-对称 D ．函数()y f x =是偶函数10.已知函数22,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若()f x ax ≥，则a 的取值X 围是 （ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-11．已知函数4log 3(0),()1() 3 (0),4x x x x f x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩若()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，则12||x x -= （ ）A ． 3ln 2-B ． 3ln 2C ．22D ． 312.定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+< 恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为 （ ）A ．{}1x x ≠± B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．设p ：3||>-a x ，q ：0)12)(1(≥-+x x ，若p ⌝是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值X 围是．14．51x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项系数和是1024，则由曲线2y x =和ay x =围成的封闭图形的面积为_______ 15.已知函数4()1||2f x x =-+的定义域是[],a b (,a b 为整数)，值域是[]1,0，则所有满足条件的整数数对),(b a 组成的集合为．16.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=． （I ）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求||||OA OB ⋅的取值X 围． 18．（12分）已知函数()|||21|f x x a x =-+-()a ∈R ．（I ） 当1a =时，求()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1[,1]2，某某数a 的取值X 围． 19. (12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 （I ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （Ⅱ）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（I ）求出的线性同归方 程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（附：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ---⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，其中x ，y 为样本平均值） 20. （12分）为了研究某学科成绩（满分100分）是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优秀(含80分)．（Ⅰ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；并据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优秀的概率。
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2015-2016学年河北省邢台市第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．下列推理过程属于演绎推理的为（ ）A ．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某种药物先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验 B ．由22211,132,1353,=+=++= 得出1+235(21)n n +++-=C ．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连 线）交于一点D ．通项公式形如(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 为等比数列，则数列{2}n -为等比数列2．若复数z 满足11z i i i -=-+（），则z 的共轭复数为（ ） A ．i 212212+-- B ． i 212212--+ C ．i 2321+ D ．i 2321- 3．若sin 211)i θθ-++是纯虚数（其中i 是虚数单位），且[0,2)θπ∈，则θ的值是（ ） A.4πB.34πC.54π D. 544ππ或 4．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为( )A. 423π+ B . 32π+ C. 443π+ D. 34π+6．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100 7．已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如右图所示，则函数()|2|xg x a =-的图像可能是( )8．二次函数f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，且()1f x x =--，则不等式(10)0xf >的解集为( )A ．(－3，1)B ．(－lg3，0) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫11000，1 D ．(－∞，0)9．设曲线1()n y xn N +*=∈在(1,1)处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20151201522015320152014log log log log x x x x ++++L 的值为( )A ．2015log 2014-B ．－1C ．2015log 20141-D ．1 10．已知1,1x y <<,下列各式成立的是 （ ）A ．2x y x y ++->B ．221x y +< C ．1x y +< D ．1xy x y +>+11．若实数,,,a b c d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）B. 2C. 8D.12．设函数)(x f 在R 上的导函数为)(x f '，在)0(∞+，上x x f 2sin )(<'，且R x ∈∀，有 x x f x f 2sin 2)()(=+-，则以下大小关系一定正确的是 （ ） A. )34()65(π<πf f B. )()4(π<πf f C. )34()65(π-<π-f f D. ()()4f f ππ->-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13. 已知函数2()xf x e ax -=-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线垂直于直线210x y +-=,则a 的值为________________. 14.观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……， 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，有：_______________________________.15. 在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.16．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作切线l 1，且l ∥l 1，则称曲线()y f x =具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y ＝x 3－x ②y ＝x ＋1x③sin y x = ④y ＝(x －2)2＋ln x三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（10分）m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)满足下列要求： （1）z 是纯虚数；（2）z 在复平面内对应的点在第二象限； （3）z 在复平面内对应的点在直线x －y －5＝0上.18．(12分)已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+。
(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．19. (12分)若函数3()4f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-。
(1) 求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2) 若方程()f x k =有3个不同的根，求实数k 的取值范围．20 (12分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为x ,那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式;(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.(2)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．22.（12分）已知函数2()2ln ()f x x x a x a R =-+∈。
（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，且不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围。
邢台一中2015-2016学年下学期第一次月考高二年级数学试题（理科）参考答案一、选择题 DAAAD DBDBD BC 二、填空题 13. 4- ； 14.31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1 ×12n ＝1－1n ＋1 ·2n ； 15. 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)；16.②③。
三，解答题17.解：z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)＝2m 2＋m 2i －3mi －3m －2＋2i＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.（1）由⎩⎨⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 是纯虚数．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧>+-<--023023222m m m m ，得121<<-m ，即)1,21(-∈m 时，z 在复平面内对应的点在第二象限。
（3）由(2m 2－3m －2)－(m 2－3m ＋2)－5=0，得3±=m ， 即3±=m 时，z 在复平面内对应的点在直线x －y －5＝0上.18. (1)证法1：任取12,(1,)x x ∈-+∞，不妨设12x x <，则210x x ->，211x x a ->且10x a >，∴21121(1)0x x x x x a a a a --=->，又∵1210,10x x +>+>，∴21212112223()011(1)(1)x x x x x x x x ----=>++++ 于是2121212122()()()()011x x x x f x f x a a x x ---=-+->++， 故函数()f x 在(－1，＋∞)上为增函数． 证法2：23()ln (1)xf x a a x '=++，231,ln 0,ln 0(1)xa a a a x >∴>∴+>+ ()0f x '>在(－1，＋∞)上恒成立，即()f x 在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在000(1)x x <≠-满足0()0f x =， 则00021x x a x -=-+，且001x a <<∴002011x x -<-<+，即0122x <<，与假设00x <矛盾． 故方程()0f x =没有负数根．19.解 (1) 2()3f x ax b '=-,由题意得(2)1204(2)8243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故所求函数的解析式为31()443f x x x =-+. 2()4f x x '=-，1(1)3,(1)3f f '=-=， ()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：13(1)3y x -=--，即93100x y +-=。
(2)由(1)可得2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '=，得2x =或2x =-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值3，当2,x =时，()f x 有极小值－3，所以函数31()443f x x x =-+的图象大致如图所示．若()f x k =有3个不同的根，则直线y k =与函数()f x 的图象有3个交点，所以－43<k <283.20解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1)x +元,月平均销售量为2(1)a x -件,则月平均利润2(1)[20(1)15]y a x x =-⋅+-元,所以y 与x 的函数关系式为235(144)(01)y a x x x x =+--<<. (2)由25(4212)0,y a x x '=--=,得1212,23x x ==- (舍). 当102x <<时, 0y '>; 112x <<时, 0y '<, 所以函数235(144)(01)y a x x x x =+--<<在12x =处取得最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为120(1)302+= (元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.22,解：（1）222()22(0)a x x af x x x x x-+'=-+=>,记48a ∆=-， 当0∆≤即12a ≥时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当0∆>即12a <时，由2220x x a -+=得 1211x x =-=+若0,a ≤则10x ≤，20x >，()f x 在2(0,)x 单调递减，在2(,)x +∞单调递增 若10,2a <<则10x >，20x >，()f x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减 （2）12()g x mx ≥恒成立等价于1min 2()[]f x m x ≤由（1）可知，若函数()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，则10,2a <<且 12,x x 是方程2220x x a -+=的两个根，故12121,2a x x x x +=⋅=，12110,122x x ∴<<<< 221111111111112211()2ln 22(1)ln 112ln 11f x x x a x x x x x x x x x x x x x -+-+-∴===-++--令11()12ln (0)12g x x x x x x =-++<<-， 则22211(2)()12ln 212ln 2ln (1)(1)(1)x x g x x x x x x x -'=--++=-+=+--- 10,2x << (2)0,2ln 0x x x ∴-<<，(2)0x x -<，()0g x '∴<，()g x 在上单调递减，133()()ln 2,ln 2222g x g m >=--∴≤--故实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--。