浙江省高中学业水平考试数学模拟试卷
2024年7月浙江省普通高中学业水平考试——数学仿真模拟试卷01(解析版)
2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。
浙江省高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题(解析版)
高二上学期学业水平合格性模拟考试数学试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}1A x x =≥{}12B x x =-<<A B = A ．B ．C ．D ． {}1x x >-{}1x x ≥{}11x x -<<{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：.{}|12A B x x =≤< 故选：D.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1 ≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1 ≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知i 是虚数单位，则= 31i i +-A ．1-2iB ．2-iC ．2+iD ．1+2i 【答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于，故可知选D. 33124121112i i i i i i i i ++++=⨯==+--+【解析】复数的运算点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题．4．等于（ ）()sin πα-A ．-B ．C ．-D ． sin αsin αcos αcos α【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】. ()sin sin παα-=故选：B5．函数f (x )＝＋lg(1＋x )的定义域是（ ） 11x-A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【答案】C【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.【详解】因为f (x )＝＋lg(1＋x )， 11x-所以需满足， 1010x x -≠⎧⎨+>⎩解得且，1x >-1x ≠所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C【点睛】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.6．不等式4-x 2≤0的解集为（ ）A ．B ．或 {}|22x x -≤≤{2x x ≤-}2x ≥C ．D ．或 {}|44x x -≤≤{4x x ≤-}4x ≥【答案】B【分析】根据一元二次不等式的求解方法直接求解即可.【详解】不等式即，解得或，240x -≤()()220x x -+≥2x ≤-2x ≥故不等式的解集为或.{2x x ≤-}2x ≥故选：B. 7．“”是“一元二次方程”有实数解的 14m <20x x m ++=A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分必要条件【答案】A 【详解】试题分析：方程有解，则．是的充分不必20x x m ++=11404m m ∆=-≥⇒≤14m <14m ≤要条件．故A 正确．【解析】充分必要条件8．已知 是空间三个不重合的平面，是空间两条不重合的直线，则下列命题为真命题的,,αβγ,m n 是（ ）A ．若，，则B ．若，，则 αβ⊥βγ⊥//αγαβ⊥//m βm α⊥C ．若，，则D ．若，，则 m α⊥n α⊥//m n //m α//n α//m n 【答案】C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由，，得或与相交，故A 错误；αβ⊥βγ⊥//αγαγ由，，得或或与相交，故B 错误；αβ⊥//m β//m αm α⊂m α由，，得，故C 正确；m α⊥n α⊥//m n 由，，得或与相交或与异面，故D 错误．//m α//n α//m n m n m n 故选：C ．9．设函数,则（ ） 331()f x x x =-()f x A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， {}0x x ≠()f x 再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， ()331f x x x =-{}0x x ≠()()f x f x -=-所以函数为奇函数．()f x 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 3y x =()0,+¥(),0-¥而在上单调递减，在上单调递减， 331y x x-==()0,+¥(),0-¥所以函数在上单调递增，在上单调递增． ()331f x x x=-()0,+¥(),0-¥故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．10．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 a b ，2a b =ba b ⊥ （–）a b A ． B ． C ． D ． π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b 可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ． a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π11．下列函数中，既是偶函数又区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ． 3y x =1y x =+21y x =-+2x y -=【答案】B【详解】试题分析：因为A 项是奇函数，故错，C ，D 两项项是偶函数，但在上是减函数，(0,)+∞故错，只有B 项既满足是偶函数，又满足在区间上是增函数，故选B ．(0,)+∞【解析】函数的奇偶性，单调性．12．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） 2()2f x x ax b =-+A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]【答案】A【分析】由对称轴与1比大小，确定实数a 的取值范围.【详解】对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以2()2f x x ax b =-+x a =. [)1,a ∈+∞故选：A13．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平()y f x =12移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） 3πsin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x =A ． B ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ． D ． 7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到()y f x =，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()y f x =解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y f x =解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到()y f x =12的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， (2)y f x =3π23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦根据已知得到了函数的图象，所以， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,则, 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,234212t t x x πππ=+-=+所以,所以； ()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解法二：由已知的函数逆向变换， sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 3πsin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为的图象，所以. ()y f x =()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.14．函数的图象大致为（ ） 241x y x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标()()241x f x f x x --==-+()f x 原点对称，选项CD 错误；当时，，选项B 错误. 1x =42011y ==>+故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 15．若定义在的奇函数f (x )在单调递减，且f (2)=0，则满足的x 的取值范围是R (,0)-∞(10)xf x -≥（ ）A ．B ． [)1,1][3,-+∞ 3,1][,[01]--C ．D ．[1,0][1,)-⋃+∞[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积()f x 大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，R ()f x (,0)-∞(2)0f =所以在上也是单调递减，且，，()f x (0,)+∞(2)0f -=(0)0f =所以当时，，当时，，(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃()0f x >(2,0)(2,)x ∈-+∞ ()0f x <所以由可得： (10)xf x -≥或或 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩0012x x >⎧⎨≤-≤⎩0x =解得或，10x -≤≤13x ≤≤所以满足的的取值范围是，(10)xf x -≥x [1,0][1,3]-⋃故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.16．若，则的最小值为（ ） 0,0,2a b a b >>+=41y a b =+A ． B ． C ．5 D ．4 7292【答案】B【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的y ()()241a b a b++y最小值．【详解】解：，2a b += ∴12a b +=（当且仅当时等号成立） ∴41415259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=+++=…2b a =故选：B ． 17．如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AC =AB =BD =CD =2，且∠CDB =90°．取AB 中点E 以及CD 中点F ，连接EF ，则EF 与AB 所成角的正切值取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 1[21[2【答案】C 【分析】由题意可得当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大，从而可得最ABC ⊥BCD 大值，当平面与平面重合时，张角最小，即EF 与AB 所成角最小，从而可得最小值，又ABC BCD 平面与平面不能重合，即可求得EF 与AB 所成角的正切值取值范围.ABC BCD 【详解】解：如图，作于H ，EH BC ⊥因为，当平面平面时，张角最大，即EF 与AB 所成角最大， 112BE AB ==ABC ⊥BCD 如图①，作与M ，HM CD ⊥BF==EF==因为，所以，BC==222AB AC BC+=90BAC∠=︒所以EF与AB的夹角为或其补角，BEF∠，所以cos∠sin BEF∠=tan∠故EF与AB，当平面与平面重合时，张角最小，即EF与AB所成角最小，ABC BCD如图②所示，即为EF与AB所成角的平面角，45FEA∠=︒，tan1FEA∠=又平面与平面不能重合，ABC BCD所以EF与AB所成角的正切值取值范围为.故选：C.18．在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝2DC＝4，，则AD的最大值为（）60BAC∠=︒A．B．4 C D．221【答案】A【分析】由正弦定理可得，再在中由余弦定理化简得出AB C=ABD△，即可求出.2216AD C=+【详解】因为，所以，24BD DC==6BC=在中，由正弦定理可得，则，ABCA sin sinAB BCC BAC===∠AB C=在中，由余弦定理得ABD△2222cosAD AB BD AB BD B=+-⋅⋅248sin1624cosC C B =+-⨯⨯()248sin16cosC C A C=+++2148sin16cos2C C C C⎛⎫=++-⎪⎝⎭，cos16216C C C=+=+因为，所以，0120C︒<<︒02240C︒<<︒则当，即时，290C=︒45C=︒.AD2==+故选：A.二、填空题19．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中的_________；=a（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【详解】由频率分布直方图及频率和等于1可得，0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=解之得．于是消费金额在区间内频率为，所以消3a =[0.5,0.9]0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=费金额在区间内的购物者的人数为：，故应填3；6000．[0.5,0.9]0.6100006000⨯=【解析】本题考查频率分布直方图，属基础题．20．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】. 710【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.2510C =若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，11326C C =若选出的2名学生都是女生，有种情况，221C =所以所求的概率为. 6171010+=【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 21．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC那么P 到平面ABC 的距离为___________．.【分析】本题考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面P 垂直定理，得到垂直关系，勾股定理解决．【详解】作分别垂直于，平面，连，,PD PE ,AC BC PO ⊥ABC CO 知，，,CD PD CD PO ⊥⊥=PD OD P 平面，平面，CD \^PDO OD ⊂PDOCD OD ∴⊥，．， PD PE ==∵2PC =sin sin PCE PCD ∴∠=∠=， 60PCB PCA ︒∴∠=∠=，为平分线， PO CO ∴⊥CO ACB ∠，451,OCD OD CD OC ︒∴∠=∴===2PC =．PO ∴==【点睛】画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题即很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．22．若函数恰有两个零点，则实数的范围是________ 2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩a 【答案】 1[,1)[2,)2+∞ 【分析】分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围.()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--a 【详解】解：设，()2,()4()(2)x h x a g x x a x a =-=--若在时，与轴有一个交点，1x <()2x h x a =-x 所以，并且当时， ，所以，0a >1x =(1)20h a =->02a <<而函数有一个交点，所以，且，()4()(2)g x x a x a =--21a ≥1a <所以， 112a ≤<若函数在时，与轴没有交点，()2x h x a =-1x <x 则函数有两个交点，()4()(2)g x x a x a =--当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），0a ≤()h x x ()g x 当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的， (1)20h a =-≤2a ≥()g x 12,2x a x a ==综上所述的取值范围是，或. a 112a ≤<2a ≥故答案为：. 1[,1)[2,)2+∞ 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题23．已知函数 ()21sin cos cos 2,2f x x x x x x R =+-∈（1）求函数的单调减区间；()f x （2）求当时函数的最大值和最小值． 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；（2）. 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()()min max 15,22f x f x =-=【分析】（1）将化为，然后解出不等式()f x ()12sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3222262k x k πππππ+≤-≤+即可；（2）当时，，然后可求出答案. 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）()211cos 211sin cos cos 22cos 22cos 22222x f x x x x x x x x x -=+-=-=-+ 12sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，可得 3222262k x k πππππ+≤-≤+5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数的单调减区间为 ()f x 5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以 ()15,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦即 ()()min max 15,22f x f x =-=24．如图，已知四边形ABCD 是菱形，，绕着BD 顺时针旋转得到60BAD ∠=︒ABD △120︒PBD △，E 是PC 的中点.(1)求证：平面BDE ；//PA (2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线可得到，再利用直线与平面平行AC BD F EF //EF PA 的判定即可证明；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，然后过EF F 作，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到为直线与平面FQ BE ⊥FQ ⊥PBC QEF ∠EF PBC 所成的角，最后求的正弦值即可.QEF ∠【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形ABCD 是菱形，AC BD F EF 所以为的中点，又因为是的中点，所以，F AC E PC //EF PA 平面，平面，所以平面. EF ⊂BDE PA ⊄BDE //PA BDE（2）过作，垂足为，连接，F FQ BE ⊥Q FP由（1）知：，//EF PA 则直线AP 与平面PBC 所成的角为直线与平面PBC 所成的角，EF 易知，又是的中点，所以，同理，BP BC =E PC BE PC ⊥DE PC ⊥又，面，所以面，又面，BE DE E ⋂=,BE DE ⊂BDE PC ⊥BDE PC ⊂PBC 所以面面，面面，面，，PBC ⊥BDE PBC =BDE BE FQ ⊂BDE FQ BE ⊥所以面，所以为直线与平面PBC 所成的角，FQ ⊥PBC QEF ∠EF 由△绕着BD 顺时针旋转得到△，可得到，ABD 120︒PBD 120AFP ∠=︒假设，则，2AB a =,AF FP ===在中，由余弦定理可得：，AFP A 22222cos1209AP AF FP AF FP a =+-⋅︒=所以，3AP a =因为，所以，又为的中点，所以，PDC PCB ≅A A DE BE =F BD EF BD ⊥则在中，， Rt EFB △13,,22EF AP a FB a BE =====所以， sin FB FEB BE ∠==所以直线AP 与平面PBC 25．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k log 2x ＝0在[2，4]上有解，求实数k 的取值范围； ⋅（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，求实数m 的取值范围．（附：函数g （t ）＝t 在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．） 1t+【答案】（1）﹣1；（2）0≤t ；（3）m ≤﹣3或m ≥3． 14≤【分析】（1）由二次函数的图像与性质即可求解.（2）采用换元把方程化为t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，然后再分离参数法，化为t 与2+2k 在[1，2]上有交点即可求解. ()g t =1t+y =（3）求出|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，把问题转化为1≤m 2﹣2mp ﹣2恒成立，研究关于p 的函数h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，使其最小值大于零即可.【详解】（1）函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 对称轴为x ＝1，所以在区间[1，2]上f （x ）min ＝f （1）＝a ，由根据题意函数f （x ）＝x 2﹣2x +1+a 在区间[1，2]上有最小值﹣1．所以a ＝﹣1．（2）由（1）知f （x ）＝x 2﹣2x ，若关于x 的方程f （log 2x ）+1﹣2k •log 2x ＝0在[2，4]上有解，令t ＝log 2x ，t ∈[1，2]则f （t ）+1﹣2kt ＝0，即t 2﹣（2+2k ）t +1＝0在[1，2]上有解，t 2+2k 在[1，2]上有解， 1t+=令函数g （t ）＝t ， 1t+在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．所以g （1）≤2+2k ≤g （2），即2≤2+2t ， 52≤解得0≤t ． 14≤（3）若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，|f （x 1）﹣f （x 2）|max ＜1，若对任意的x 1，x 2∈（1，2]，任意的p ∈[﹣1，1]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤m 2﹣2mp ﹣2成立，则1≤m 2﹣2mp ﹣2，即m 2﹣2mp ﹣3≥0，令h （p ）＝﹣2mp +m 2﹣3，所以h （﹣1）＝2m +m 2﹣3≥0，且h （1）＝﹣2m +m 2﹣3≥0，解得m ≤﹣3或m ≥3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、函数与方程以及不等式恒成立问题，综合性比较强，需有较强的逻辑推理能力，属于难题.。
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试题
浙江省温州市2024年6月普通高中学业水平模拟测试数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
13．下列选项中正确的是（ ）
A ．33log 1.1log 1.2
<B ．
()
()
3
3
1.1 1.2-<-C ． 1.1 1.2
0.990.99<D ．30.99
0.993<14．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从
20．在ABC V 中，已知4BC =，4BC BD =uuu r uuu r ，连接AD ，满足
sin sin DB ABD DC ACD ×Ð=×Ð，则ABC V 的面积的最大值为四、解答题
21．某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟），并将样本数据分成
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，绘制如图所示的频率分布
直方图．
20．3
【分析】分别在ADB
V和
由角平分线定理得到AB AC
cos BAC
Ð，即可得到sin
ADB
V。
2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．2. 设，为双曲线C：的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点P （0，2）．当取最小值时，的值为（ ）A．B．C．D．3. 已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n 的最大值为A ．19B ．20C ．21D ．224. 设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ）A ．0.01B ．0.1C ．1D ．105. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）A．B．C．D．6.已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则( )A．B．C．D．7.已知函数，若，且，则实数a 的最大值为（ ）A ．2B．C ．ln2D ．e8. 已知展开式的常数项为76，则（ ）A ．1B ．61C ．2D．9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若且，则D ．若，则或10. 已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C 上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1B．过点作圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，直线MN的方程为C ．一条直线与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且有，则∠PCQ的最大值为D ．若圆C 与E ：相外切，则2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题三、填空题四、解答题11. 下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．若，则的最小值为2C ．若，则的最大值为2D ．若，则12. 在不透明的罐中装入大小相同的红、黑两种小球，其中红球个，黑球个，每次随机取出一个球，记录颜色后放回．每次取球记录颜色后再放入个与记录颜色同色的小球和个异色小球（说明：放入的球只能是红球或黑球），记表示事件“第次取出的是黑球”，表示事件“第次取出的是红球”．则下列说法正确的是（ ）A．若，则B．若，则C．若，则D ．若，则13.如图，一个几何体的正视图是底为高为的等腰三角形，俯视图是直径为的半圆，该几何体的体积为_________.14.已知函数，则的值域为__________．15. 函数的最大值为________.16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若E 是侧棱上的一点，且与底面所成的是为45°，求二面角的余弦值.17.已知函数，且.(1)求实数的取值范围；(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；(3)证明：.18.已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 设为椭圆（）上任一点，，为椭圆的左右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）直线：与椭圆交于、两点，直线，，的斜率依次成等比数列，且的面积等于，求椭圆的标准方程．20. 如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点．(1)求证：//平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值．21. 在中，，，分别上的点且，，将沿折起到的位置，使．(1)求证：；(2)是否在射线上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．。
浙江省数学学考仿真模拟试题卷五(含答案)
浙江省普通高中学业水平考试卷五一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知{1,0,1,2,3}A =-，}1|{>=x x B ，则B A 的元素个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．52．10.51()log 42-+的值为（ ）A ．6B ．72C ．0D ．373．已知等比数列{}n a 中，10a <，3716a a =，则5a 等于（ ） A ．4±B ．4C ．4-D ．不确定4．设x ∈R ，则“|3|1x -<”是“2x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则函数()()xg x f x e =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．67．直线3y =与函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的交点中，相邻两点的距离为4π，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．3- B ．33-C ．33D ．38．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(,3]-∞9．已知直线l 与x 轴的交点为()3,0A ，与y 轴的交点为()0,2B ，则直线l 的方程为（ ） A ．2360x y +-=B ．2360x y ++=C ．3260x y +-=D ．3260x y ++=10．已知一个扇形的弧长和半径都等于2，则这个扇形的面积为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．111．函数2()log f x x x =+的零点的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ） A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定13．若双曲线221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．22y x =±C ．12y x =±D ．y x =±14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若222c a ab b =++，则C =（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3015．已知圆22:4230P x y x y +-+-=与直线30()x my m R -=∈相交于,A B 两点，且90APB ∠=︒，则m 的值为（ ） A ．0B ．4C ．0或4D ．0或1-16．已知首项为1的正项数列{}n a 满足()2212241n n n na a na n an +++=+，若7732a λ=-，则实数λ的值为（ ） A ．64 B ．60 C ．48D ．3217．如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，设1AA 与面ABCD 所成角为α， 二面角1D AD B --为β，1AC 的长度为a ，则（ ）A ．αβ>，且3a =B ．αβ>，且6a =C ．，且3a =D ．，且6a =18．过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ，若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ，当ABCM最大时点C 的横坐标为（ ） A ．5B ．231-C ．4D ．231+二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则实数a = ，数列{}n a 的通项公式为 .20．函数1()x f x a -=的定义域和值域都是[]1,2，则实数a 的值是 .21．若ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=且OA AB =,则CA CB ⋅等于 .22．在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =棱锥S ABC -的外接球的体积是 . 三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()22cos cos f x x x x =（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域.24．（本小题满分10分）如图，A ，B 为椭圆22:143x y C +=的左、右顶点，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且交椭圆于P ，Q 两点.连结PB 并延长交直线4x =于点M . （1）若直线PB 的斜率为34-，求直线PA 的方程； （2）求证：A ，Q ，M 三点共线.25．（本小题满分11分）已知函数21()x f x ax b+=+是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()12f =，()22g x x x -=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；（3）令()()()()2,0h x g x mf x m =-<，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12114h x h x -≤，求实数m 的取值范围.浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题卷五选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知{1,0,1,2,3}A =-，}1|{>=x x B ，则B A 的元素个数为（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．51．【答案】B【解析】因为A B ⋂={}2,3，所以A B ⋂的元素个数为2个，故本题选B.2．10.51()log 42-+的值为（ ）A ．6B ．72C ．0D ．372．【答案】C【解析】112-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋log 0.54＝112-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋12log 4＝2－2＝0.故选C ．3．已知等比数列{}n a 中，10a <，3716a a =，则5a 等于（ ） A ．4± B ．4 C ．4- D ．不确定3．【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n a 为等比数列，且10a <，∴4510a a q =⋅<，又3716a a =，∴253716a a a ==，∴54a =-.故选：C.4．设x ∈R ，则“|3|1x -<”是“2x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．【答案】A【解析】由|3|1x -<得131x -<-<，即24x <<，所以“|3|1x -<”是“2x >” 充分不必要条件.故选A. 5．已知二次函数()f x 的图象如右图所示，则函数()()xg x f x e =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．【答案】A【解析】由图象知，当1x <-或1x >时，()0g x >;当11x -<<时，()0g x <,故选A.6．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．66．【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由4y xx y =⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，由2z x y =+，得122z y x =-+，平移直线122zy x =-+，由图象可知当直线经过点A ， 直线的截距最大，此时z 最大，此时6z =，故选：D ．7．直线3y =与函数()tan (0)f x x ωω=>的图象的交点中，相邻两点的距离为4π，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 7．【答案】D【解析】由已知可得，()()tan 0f x x ωω=>的最小正周期4T π=，所以44T ππωπ===，所以()tan 4f x x =，所以tan 123f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭D. 8．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(,3]-∞8．【答案】D【解析】当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，11a x x ∴≤+-对一切非零实数1x >均成立，由于111121311x x x x +=-++≥+=--，当且仅当2x =时取等号，故11x x +-的最小值等于3，3a ∴≤，则实数a 的取值范围为](3-∞，，故答案选D. 9．已知直线l 与x 轴的交点为()3,0A ，与y 轴的交点为()0,2B ，则直线l 的方程为（ ） A ．2360x y +-= B ．2360x y ++= C ．3260x y +-= D ．3260x y ++=9．【答案】A【解析】由题意可知，直线l 的截距式方程为132yx +=，其一般式方程为2360x y +-=.故选：A.10．已知一个扇形的弧长和半径都等于2，则这个扇形的面积为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．110．【答案】C【解析】因为扇形的弧长2l =，半径为2R =,所以这个扇形的面积1122222S lR ==⨯⨯=.故选：C. 11．函数2()log f x x x =+的零点的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．【答案】B【解析】由于函数2()log f x x x =+定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上是增函数，211111log 1022222f ⎛⎫=+=-+=-< ⎪⎝⎭，()21log 1110f =+=>，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，根据零点存在性定理，结合()f x 的单调性可知()f x 在()0,∞+有唯一零点.故选：B12．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定12．【答案】A【解析】如图，∵平面AA 1B 1B ∵平面DD 1C 1C ，∵有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形（水面与两平行平面的交线）因此呈棱柱形状．故选A.13．若双曲线221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．12y x =±D ．y x =±13．【答案】D【解析】因为实轴长为2，所以1a =，所以双曲线为221x y -=，所以渐近线方程为y x =±.故选：D. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若222c a ab b =++，则C =（ ） A ．150︒ B ．120︒C ．60︒D ．3014．【答案】B【解析】在ABC 中，∵222c a ab b =++，∵2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∵()0,A π∈，∵120A =，故选：B ．.15．已知圆22:4230P x y x y +-+-=与直线30()x my m R -=∈相交于,A B 两点，且90APB ∠=︒，则m 的值为（ ） A ．0B ．4C ．0或4D ．0或1-15．【答案】C 【解析】P 为圆224230x y x y +-+-=的圆心，(2,1)P -∴，圆半径r =又90APB ∠=︒，∴圆心到直线30x my -=的距离2d ==，解得0m =或4，故选：C.16．已知首项为1的正项数列{}n a 满足()2212241n n n na a na n an +++=+，若7732a λ=-，则实数λ的值为（ ） A ．64 B ．60 C ．48D ．3216．【答案】A【解析】由题意得：2222124142n n n n n n a na n n n n a a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭,21122n n n n a a +⎛⎫+∴+=+ ⎪⎝⎭, 令2n nn b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得：1lg 2lg n n b b +=,又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则数列{}lg n b 是首项为lg3，公比为2的等比数列,112lg 2lg3lg3n n n b --∴==⋅, 123n n b -∴=，即1232n nna -+=, 1232n n n a -∴=-,672732a ∴=-,又7732a λ=-,6264λ∴==,本题正确选项A. 17．如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，设1AA 与面ABCD 所成角为α， 二面角1D AD B --为β，1AC 的长度为a ，则（ ）A ．αβ>，且a =B ．αβ>，且a =C ．，且a =D ．，且a =17．【答案】D【解析】由题可知，1A 在底面的投影一定在AC 上，设1AO ⊥底面于点O ，则1A AO α，设AD 的中点为E ，连接11,,A E BE A B ，可判断1A AD ∆为等边三角形，1A E AD ⊥，同理CE AD ⊥，则1A EB β=∠，因为,αβ都为锐角，111111sin ,sin ,sin sin AO AO AA A E AA A Eαβαβ==>∴<，αβ∴<，()2111a AC AC AB BC CC ===++()22211126AB BC CC AB BC BC CC CC AB +++⋅+⋅+⋅=故选：D.18．过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ，若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ，当ABCM最大时点C 的横坐标为（ ）A ．5B ．1C ．4D ．118．【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为抛物线24y x ＝的焦点F ()1,0，所以设直线,A B 的方程为1x my =+，则联立241y xx my ⎧⎨=+⎩＝ 得：2440y my --=，12124,4y y m y y +=⋅=-. 则()221,2C m m +，则直线AB 的中垂线为()2212y m x m m =---+，联立()27212x y m x m m=-⎧⎪⎨=---+⎪⎩ 解得：()37,210M m m -+.()21241AB y y m =-==+，CM =()4226421621()4369664m m AB CM m m m ++=+++ =()()()222224114m m m +++ ()()222414m m +=+ ()()()2222411619m mm +=++++2249161m m =++++ ，229166121m m +++≥=+，所以当且仅当213m +=，即m =时，AB CM 有最大值3，此时C 点的横坐标为5.故选：A.非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则实数a = ，数列{}n a 的通项公式为 .19．【答案】0 23n a n =-【解析】因为等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，所以12322a a a -++=+，解得0a =，所以等差数列{}n a 的首项为1-，公差为2，所以数列{}n a 的通项公式为()11223n a n n =-+-⨯=-，故答案为：0，23n a n =-.20．函数1()x f x a -=的定义域和值域都是[]1,2，则实数a 的值是 . 20．【答案】2【解析】当01a <<时，指数函数1()x f x a -=在定义域[]1,2上为单调递减函数，则由题意得11(1)2f a -==无解；当1a >时，指数函数1()x f x a -=在定义域[]1,2上为单调递增函数，则由题意得11(1)1f a -==，21(2)2f a -==，解得2a =满足题意要求.故答案为2.21．若ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，20OA AB AC ++=且OA AB =,则CA CB ⋅等于 . 21．【答案】3【解析】因为20OA AB AC ++=，所以0OA AB OA AC +++=， 所以OB OC =-，所以,,O B C 三点共线，且BC 为直径，如图所示，所以AB AC ⊥，因为1,2,OA AB BC AC ====，所以6ACB π∠=，则cos36CA CB CA CB π⋅=⋅==，故答案为3．22．在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则此正三棱锥S ABC -的外接球的体积是 .22．【答案】36π【解析】因为M N 、分别是棱SC BC 、的中点， 所以MNSB ，又MN AM ⊥，所以SB MN ⊥，因为S ABC -是正三棱锥，所以SB AC ⊥，所以SB ⊥面SAC ，,SB SA SB SC ⊥⊥，由正三棱锥的性质得，SA SB ⊥，因此S ABC -是棱长为其外接球也即是正方体的外接球，(((2222436R =++=，3R =，34363V R ππ==，故答案为36π.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23．（本小题满分10分）已知函数()22cos cos f x x x x =（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像,求()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的值域. 23．（本小题满分10分）【解析】（1）∵()cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, （2分） 由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解出2,63k x xk k Z ππππ+≤≤+∈, 所以()f x 的减区间为2k ,k ,63k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （4分） （2）因为将()f x 左移12π得到2sin 212sin 211263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 横坐标缩短为原来的12,得到()2sin 413g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, （6分）∵04x π≤≤,44+333x πππ∴≤≤. （7分）sin 413x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭,12sin 4133x π⎛⎫∴++≤ ⎪⎝⎭, （9分）所以所求值域为1⎡⎤-⎣⎦. （10分）24．（本小题满分10分）如图，A ，B 为椭圆22:143x y C +=的左、右顶点，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且交椭圆于P ，Q 两点.连结PB 并延长交直线4x =于点M .（1）若直线PB 的斜率为34-，求直线PA 的方程； （2）求证：A ，Q ，M 三点共线. 24．（本小题满分10分）【解析】（1）设()00,P x y ，所以2200143x y +=，由题意可知：(2,0),(2,0)A B -， （1分）则02222003334444PAPBx y kk x x -⋅===---. （2分） ∵1PA k =，∵直线PA 的方程为：2y x =+. （3分）（2）当PQ 垂直于y 轴时，方程为0y =，此时显然有A ，Q ，M 三点共线； （4分）当PQ 不垂直于y 轴时，设PQ 方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y , （5分）则直线PB 方程为21(2)2y y x x =--，令4x =得，1122y y x =-，即1124,2y M x ⎛⎫⎪-⎝⎭. （6分） ()22221346903412x my m x my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩, （7分） ∵122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,()()()()()1221212112322232322AQ AMx y x y y k k x x x x y --+-=-=+--+, ∵()()()()()21122112121232231323y x y x y my y my my y y y --+=--+=-+22962303434mm m m --=⋅-⋅=++,∵AQ AM k k =,∵A ，Q ，M 三点共线. （10分） 25．（本小题满分11分）已知函数21()x f x ax b+=+是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()12f =，()22g x x x -=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；（3）令()()()()2,0h x g x mf x m =-<，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12114h x h x -≤，求实数m 的取值范围.25．（本小题满分11分） 【解析】（1）()12f =，22a b∴=+，即1a b += ， （1分）又函数()21x f x ax b+=+是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()()112f f ∴-=-=-，22a b∴=--+，即1a b -= ，解得：10a b ==，，()211x f x x x x+∴==+. （3分）(2) 函数()f x 在()0,1上的单调递减，在()1,+∞上单调递增， （4分） 证明如下：取()12,0,1x x ∈且12x x <，()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212121x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()12,0,1x x ∈且12x x <，12120,01x x x x ∴-<<<，即1210x x -<，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >， ∴函数()f x 在()0,1上的单调递减，同理可证得函数()f x 在()1,+∞上单调递增. （6分）(3)()()()()20h x g x mf x m =-<,()22112h x x m x x x ⎛⎫∴=+-+ ⎪⎝⎭, （7分） 令2122t x y t mt x=+=--，, 由（2）可知函数1t x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增,52,2t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, （8分） 函数222y t mt =--的对称轴方程为0t m =<,∴函数222y t mt =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,当2t =时，min 42y m =-+；当52t =时，max 1754y m =-+, 即()min 42h x m =-+，()max 1754h x m =-+, 又对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()12114h x h x -≤恒成立,∴ ()()max min 114h x h x -≤,即()171154244m m -+--+≤, 解得102m -≤<. （11分）。
浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题考试
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知集合{1,2}P =，{2,3}Q =，全集{1,2,3}U =，则()UP Q 等于A ．{3}B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}2．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是 A ．(2,3)-B ．(2,3)-；2C ．(2,3)-；1D ．(2,3)-3．已知向量(0,1),(k ==-=a b c ，若(2)-⊥a b c ，则k =A．B ．24．若π1cos()123θ-=，则5πsin()12θ+＝ A ．13B．3C ．13-D．5则()f x 的定义域是 A ．[1,2)-B ．[1,)-+∞C ．(2,)+∞D ．[1,2)(2,)-+∞ 6．若双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，则正实数a 的值为 A ．9B ．3C ．13 D ．197．若直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为A ．3210x y +-=2310x y +-=C ．3210x y ++=D ．2310x y --=8．已知(1,1,0)AB =-，(0,1,2)C -，若2CD AB =，则点D的坐标为A ．(2,3,2)--B ．(2,3,2)-C ．(2,1,2)-D ．(2,1,2)--9．已知平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，若α⊥β，则“m ∥β”是“m ⊥α”的A ．充分而不必要条件?????????B ．必要而不充C ．充要条件??D ．既不充分也10．将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后，所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC △的面积为A BCD ．12．函数331x x y =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．13．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，则22z x y =+的最大值是A 10B ．4C ．9D ．1014．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若236,,a a a 成等比数列，则A ．130,0a d dS >>B ．130,0a d dS ><C ．130,0a d dS <>D ．130,0a d dS <<15．如图所示，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为 A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒D ．0︒16．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为 A ．64???B ．643???? C ．1283??D ．12817．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，则m = A ．8 C ．1218．已知函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且，若对任意0x >，恒有0y ≤，则ab 的取值范围是A ．[1，3)B ．(1，3]C ．(0，3)D ．(1，3)非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________．20．设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤，则(1)f =___________．21．若半径为10的球面上有A 、B 、C三点，且心O 到平面ABC 的距离为___________.22．已知动点P的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN，则PM PN ⋅的取值范围是___________.?三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若222sin sin sin sin sin A B C A B+-=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC △的面积为c=ABC △的周长.?24．（本小题满分10分）如图，直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ，N 两点，且|MN |=2，点N 关于原点O 的对称点为P.（1）若直线MP 的斜率为12-，求此时直线MN 的斜率k 的值； （2）求点P 到直线MN 的距离的最大值.25．（本小题满分11分）已知函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-.（1）若0a =，解方程()3f x =； （2）若函数()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ，求()g a 的解析式.。
浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题
浙江省普通高中学业水平考试数学模拟试题一、选择题(共25小题，1－15每小题2分,16－25每小题3分,共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.)1、设集合M={0，1，2｝，则（）A.1∈M B。
2∉M C。
3∈M D.｛0｝∈M2、函数y=(）A。
［0,+∞）B。
［1,+∞)C。
(－∞，0] D。
(－∞，1］3、若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x｜x>2｝,则实数m等于(）A.－1 B。
－2 C.1 D.24、若对任意的实数k，直线y－2=k(x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A。
（1，2) B。
（1，－2）C。
（－1,2) D。
（－1，－2）5、与角－6π终边相同的角是（)A.56πB。
3πC。
116π D.23π6、若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是（）（第6题图）A. B。
C。
D.7、以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A。
x2+(y－1）2=2 B. （x－1）2+y2=2 C。
x2+（y－1）2=4 D. （x－1）2+y2=48、在数列｛a n }中，a1=1,a n+1=3a n(n∈N＊），则a4等于(）A.9B.10C.27 D。
819、函数y=的图象可能是(）xxxA。
B. C。
D。
10、设a,b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a｜＝｜b|”的（ ）A.充分而不必要条件B 。
必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线C ：2221(0)3y x a a-=>的一个顶点坐标为（2，0),则双曲线C 的方程是（ ） A. 221163y x -=B 。
221123y x -=C 。
22183y x -= D.22143y x -= 12、设函数f （x)＝sinxcosx ，x ∈R ，则函数f(x ）的最小值是（ ）A.14-B 。
2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知命题，，则为（ ）A．，B ．，C．，D ．，2. 已知则A．B．C．D．3. 若，则=（ ）A．B ．7C．D ．-74. 下列关于函数的命题正确的是A ．函数在区间上单调递增B．函数的对称轴方程是（）C．函数的对称中心是（）（）D ．函数以由函数向右平移个单位得到5. 给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36. 设数列的前项和为，若，则（ ）A ．0B ．-2C ．4D ．27. 关于复数的命题,下列正确的为A ．复数的模为1B ．复数的虚部为C．D ．若（，），则8. 函数的所有零点的乘积为，则（ ）A．B．C．D．9.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．四面体的体积为定值2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题 (2)2023年7月浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试模拟数学试题 (2)三、填空题四、解答题B．的最小值为C ．平面D ．当直线与AC 所成的角最大时，四面体的外接球的体积为10. 点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）A ．-1B．C．D ．011.如图所示，在正方体中，E 是棱的中点，F 是侧面，(包含边界)内的动点，且平面，下列说法正确的是（）A ．与BE 是异面直线B ．不可能与平行C ．DF 不可能与平面垂直D ．三棱锥的体积为定值12.已知向量满足，，且，则（ ）A．B．C．与的夹角为D．与的夹角为13.已知命题， 则：_______．14. 如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为__________.15. 已知f （x ）＝sin（ω＞0），f （）＝f （），且f （x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16. 已知函数．(1)若函数为偶函数，求a 的值；(2)若函数的最小值为8．求a 的值．17. 某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金．(1)求顾客甲获得了100元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；(2)若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则该活动是否会超过预算？请说明理由．18. 已知复数（是虚数单位）在复平面上对应的点依次为，点是坐标原点.（1）若,求的值；（2）若点的横坐标为,求.19. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值参考公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82820. 设数列满足.(1)求的通项公式(2)记数列的前n项和为，是否存在实数k，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.21. 某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.。
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2016年4月浙江省高中学业水平考试数学模拟试卷(二)一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分) 1．直线x ＝1的倾斜角为( )A. 0°B. 45°C. 90°D. 不存在2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的几何体是( )A. 圆锥B. 正方体C. 正三棱柱D. 球3．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )A. y ＝1xB. y ＝x 2C. y ＝2xD. y ＝x 34．若直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0，则直线l 在x 轴与y 轴上的截距分别为( ) A. －1，2 B. 1，－2 C. －1，－2 D. 1，2 5．已知实数a ，b ，满足ab >0，且a >b ，则( ) A. ac 2>bc 2 B. a 2>b 2 C. a 2<b 2 D. 1a <1b6．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝()a －2()a －3，则有( )A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7．已知sinα＝35，且角的终边在第二象限，则cosα的值为( )A. －45B. －34C.45D.348．已知等差数列{a n}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则a5＋a7等于( ) A. 16 B. 18 C. 22 D. 289．设x∈R，则“x>1”是“x2>x”的(A)A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10．已知(3，2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则( )A. 点(－3，－2)不在椭圆上B. 点(3，－2)不在椭圆上C. 点(－3，2)在椭圆上D. 无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上11．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件12．下列函数中，只有一个零点的是( )A. y ＝x －1B. y ＝x 2－1C. y ＝2xD. y ＝lg x13．已知△ABC ，AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 414．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5构成等比数列，其中a 1＝2，a 5＝8，则a 3的值为( ) A. 5 B. 4 C. －4 D. ±415．已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则直线y ＝x sin θ＋1的倾斜角的取值范围是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π416．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，则异面直线与所成角的余弦值等于( )A.62 B. 63 C. 33 D. 2217．若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＋4x －1＝0切于点P (－1，2)，则ab 的值为( ) A. 3 B. 2 C. －3 D. －218．已知平面α内有两定点A ，B ，|AB |＝3，M ，N 在α的同侧且MA ⊥α，NB ⊥α，|MA |＝1，|NB |＝2，在α上的动点P满足PM，PN与平面α所成的角相等，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A. 9πB. 8πC. 4πD. π二、填空题(每空3分，共15分)19．若直线2(a＋3)x＋ay－2＝0与直线ax＋2y＋2＝0平行，则a＝，两直线之间的距离为．20．已知数列{a n}是非零等差数列，又a1，a3，a9组成一个等比数列的前三项，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是．21．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为_ _．22．若正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题(本大题共3小题，共31分)23．(本题10分)如图所示，在四棱锥C-A1ABB1中，A1A∥BB1，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝π2，AC＝AA1＝1, BC＝BB1＝2.(1)求证：平面A1AC⊥平面B1BC；(2)若点C在棱AB上的射影为点P，求二面角A1-PC-B1的余弦值．24．(本题10分)已知动圆过定点F(1，0)，且与直线l：x＝－1相切．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点M(1，2)作曲线C的两条弦MA，MB, 设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2, 当k1，k2变化且满足k1＋k2＝－1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．25．(本题11分)设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．参考答案一．选择题二．填空题15或1316. 21.9222.(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞三．解答题23. (1)证明：∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC.又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面B1BC.(2)解法一：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CP.又∵CP⊥AB，∴CP⊥面A1ABB1，∴CP⊥A1P，CP⊥B1P，∴∠A1PB1即二面角的A1-PC-B1的一个平面角，∵tan∠A1PA＝AA1AP＝115＝5，tan∠B1PB＝BB1BP＝245＝52，∴tan∠A1PB1＝tan()π－∠A1PA－∠B1PB，∴tan∠A1PB1＝－tan()∠A1PA＋∠B1PB＝－tan∠A1PA＋tan∠B1PB 1－tan∠A1PA·tan∠B1PB＝－5＋521－5·52＝35232＝5，∴cos∠A1PB1＝6 6，∴二面角A1-PC-B1的余弦值为66.解法二：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CP.又∵CP⊥AB，∴CP⊥面A1ABB1，∴CP⊥A1P，CP⊥B1P.∴∠A1PB1即二面角A1-PC-B1的一个平面角．∵CP⊥AB，∴AP＝55，BP＝455.∴A1P＝1＋15＝65，B1P＝22＋165＝365＝65.又∴直角梯形A1ABB1可得A1B1＝5＋1＝6，∴cos∠A1PB1＝A1P2＋B1P2－A1B12 2A1P·B1P＝65＋365－62×665＝66.∴二面角A1-PC-B1的余弦值为6 6 .(第23题解)解法三：如图所示，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作z 轴，建立空间直角坐标系，则可知A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，B (0，2，0)，B 1(0，2，2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25，0，则CA 1→＝(1，0，1)，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25，0.设平面A 1PC 的一个法向量是n 1＝(x ，y ，1)，可得⎩⎨⎧x ＋1＝0，4x 5＋2y 5＝0⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，即n 1＝(－1，2，1), 同理可得B 1PC 的一个法向量是n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，1，∴二面角A 1-PC -B 1的余弦值为||n 1·n 2||n 1·||n 2＝16＝66.24.(1)设圆心P (x ，y )，则由题意得（x －1）2＋y 2＝|x －(－1)|，化简得y 2＝4x ，即动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2) 解法一：由题意可知直线AB 的斜率存在且不为零， 可设AB 的方程为x ＝my ＋a ，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋a ，代入整理得y2－4my－4a＝0，从而有y1＋y2＝4m①，y1y2＝－4a②.又k1＋k2＝－1?y1－2x1－1＋y2－2x2－1＝－1，又y12＝4x1，y22＝4x2, ∴k1＋k2＝－1?y1－2y124－1＋y2－2y224－1＝－1?4y1＋2＋4y2＋2＝－1?－(y1＋2)(y2＋2)＝4(y1＋y2＋4)，展开即得y1y2＋6(y1＋y2)＋20＝0，将①②代入得a＝6m＋5，得AB：x＝my＋6m＋5，故直线AB经过(5，－6)这个定点.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．设MA：y＝k1(x－1)＋2，与y2＝4x联立，得k1y2－4y－4k1＋8＝0，则y1＝4k1－2①，同理y2＝4k2－2②.AB：y＝y1－y2x1－x2(x－x1)＋y1，即y＝4y1＋y2x＋y1y2y1＋y2③.由①②：y1＋y2＝4k1＋k2k1k2－4＝－4k1k2－4，y1y2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k1k2－2（k1＋k2）k1k2＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫6k1k2＋1.代入③，整理得k1k2(x＋y＋1)＋6＋y＝0恒成立，。