第9讲 相似三角形1
最新初三上数学培优专题讲义九AB------相似三角形
初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。
求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。
(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。
(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。
考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。
变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。
相似三角形的性质(第1课时 相似三角形对应线段的性质)
探究相似三角形对应中线的比
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，A
1 、D 1 分别为三角形的中线，它们的对应中线的比
是多少？
D
A
B
1
C
E
1
F
如图，∵△ABC∽△DEF，
A
∴∠B =∠E,
又∵ A 1 ,D 1 分别是△ABC和△DEF的中线，
2 BM1 AB
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S
(3)求正方形PQRS的边长.
A
E
R
B P D Q
C
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解： AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高，
A
∴ ∠ADC=90°，
∵四边形PQRS是正方形，
S
E
R
∴SR∥BC，
∴∠AER=∠ADC=90°，
∴ AE是ΔASR的高.
_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶3
2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则对应高的
比为______,对应角的角平分线的比为______.
1:4
1:4
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
1
1
则相似比为______,对应高的比为______
.
4
4
1
4
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF
BM1 AB
. 且∠B =∠E，
.
EN1 DE
2 EN1 DE
B
1
D
C
∴△ A 1 B∽△ D 1 E(两边对应成比例
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
人教版九年级数学下册《相似三角形》
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。
« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。
α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。
d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形讲义及精品练习
相似三角形一、比例线段1、定义：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 ，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2、比例线段的基本性质：d c b a = db c a = bc ad =cb b a = ac b =2 其中b 为比例中项 合比性质：d d c b b a d c b a ±=±∴= 等比性质：ba dbc a n fd b me c a n mf e d c b a =++=++++++∴=== 3、黄金分割：一条线段AB,点P 是线段AB 上的一个点，如果满足：AB AP AP PB =，那么称线段AB 被P 点黄金分割，点P 为线段AB 的黄金分割点，AP 与AB 的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。
例1、判断下列线段是否是成比例线段：（1）a = 2 cm, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm;（1）a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.例2、若a : 3 = b : 7,则（a + 3b ）: 2b = .例3、已知三条线段a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若线段d 与a 、b 、c 成比例，请求出线段d 的长度。
例4、已知53===e f d c b a ，且032≠+-e d b ，求ed b f c a 3232+-+-的值。
例5、等腰三角形ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠72ABC ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D ，且D 是线段AC 的黄金分割点，若AB=8cm ，求AD 的长。
二、相似图形的性质1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。
2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。
3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。
三、相似三角形1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。
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A
B C
D D
A B
C D
A B
C
E A B C
D E 第9讲 相似三角形1
★★ 知识体系梳理
◆ 相似三角形的判定方法
1、有两个角对应相等的两个三角形相似；
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边对应相等的两个三角形相似；
4、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
◆ 相似三角形的性质：
1、相似三角形的对应角相等；对应边成比例；
2、相似三角形周长之比、对应角平分线的比、对应中线、对应高之比都等于相似比；
3、相似三角形面积之比等于相似比的平方；
◆ 基本题型方法归纳
1、通过相似常解决两类问题：（1）证明角相等；（2）证明线段成比例；
2、动点问题与相似结合题目注意运用方程手段解决；
3、探究性问题常常分类讨论；
4、注意体会在复杂图形中抽象出基本模型（图形分离法）
◆ 相似中常见的重要模型
（1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型 （3）旋转型 （4）母子三角形
写出上面基本图形中的相似三角形与比例线段：
★★ 考点及典例解析
◆ 目标考点一：相似三角形的判定
【例1】如图：P 是ABC Rt 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线
A B C D
E
截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，满足这样条件的直线共有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条
【例2】如图，CD 是Rt ABC ∆的斜边AB 上的高，BAC ∠的平分线交BC ，CD 于E 、F 。
求证：（1）ACF ∆∽ABE ∆； （2）AC AE AF AB ⋅=⋅
【例3】如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠90BAD ，对角线DC BD ⊥； （1）ABD ∆与DCB ∆相似吗？请说明理由； （2）如果4=AD ，9=BC ，求BD 的长；
【例4】已知：如图所示，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠。
则BF 是FG 、EF 的比例中项吗？请说明理由。
◎ 变式议练一
1、下列说法中正确的是（ ）
A 、两个正多边形一定相似（ ）
B 、两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（ ）
A B
C D E
F
G
O
E D C
B
A C 、两个等腰三角形一定相似（ ）
D 、若一个三角形的两个角分别是40︒、100︒，而另一个三角形是顶角为100︒的等腰三角形，则这两个
三角形相似（ ）
2、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）
3、如图：F 是ABC ∆的AB 边上一点，下列结论正确的个数是（ ） ①、若ACB AFC ∠=∠，则ACF ∆∽ABC ∆； ②、若B AFC ∠=∠,则ACF ∆∽ABC ∆； ③、若AB AF AC ⋅=2
，则ACF ∆∽ABC ∆；
④、若BC AB CF AC ::=，则ACF ∆∽ABC ∆；
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
4、如图所示：在□ABCD 中，AB DE ⊥于E ，AD BF ⊥于点F 。
（1）说明
BF
AB
DE AD =； （2）□ABCD 的周长为12，2:5:=DE AD ，求BF DE +的值；
5、如图：ABC ∆中，AB AC =，E 为BC 上一点，B ADC ∠=∠。
求证：AD AE AB ⋅=2
◆ 目标考点二：相似三角形的性质
【例5】如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知
COE ∆与BOC ∆的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为（ ） A 、16 B 、32 C 、38 D 、40
【例6】如图：把PQR ∆沿着PQ 的方向平移到/
/
/
R Q P ∆的位置，它们重叠部分的面积是PQR ∆面积的
A
B
C
D E
F
C A
B
A
B C
D
B
E
C
A
A
B
C
D E
一半，若2PQ =，则此三角形移动的距离/
PP 是（ ）
A 、
21 B 、2
2 C 、1 D 、12-
◆ 方法点金：注意观察相似图形中的基本模型 ◎ 变式议练二：
1、若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为3:2，则D EF ABC S S ∆∆:为（ ）
A 、3:2
B 、9:4
C 、3:2
D 、2:3
2、如图，DE 是ABC ∆的中位线，ADE ∆的面积为2
3cm ，则梯形DBCE 的面积为（ ）
A 、26cm
B 、29cm
C 、212cm
D 、224cm
3、如图，ABC ∆中，//DE BC ，D CE AD E
S S ∆∆=2，则ADE ABC
S
S ∆∆=（ ）
A 、
41 B 、21 C 、32 D 、9
4
4、已知BC AC ⊥，︒=∠90ADC ，B ∠=∠1，5=AC ，6=AB ，求AD 的长； ◆ 目标考点三：相似三角形的性质、判定综合运用
【例7】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过
D 作45AD
E ∠=︒，DE 交AC 于E ．
（1）求证：ABD ∆∽DCE ∆；
（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当ADE ∆是等腰三角形时，求AE 的长．
A
B
C
D E
A B
C D
P
A E
B
C D
【例8】（2007乐山）如图：在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“AEP Rt ∆∽DPC Rt ∆”成立；
（1）当︒=∠30CPD 时，求AE 的长；
（2）是否存在这样的点P ，使DPC ∆的周长等于AEP ∆周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．
◆◆◆ 快乐体验
1、下列说法中正确的是（ ）
A 、所有的等腰三角形；
B 、所有的直角三角形；
C 、所有的锐角三角形；
D 、所有的等边三角形 2、如图：在矩形ABCD 中，6BC =，8AB =，EF 是BD 的中垂线， 则EF 的长为（ ）
A 、415
B 、5
C 、8
D 、2
15
3（黄冈）、如图：在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点， AE EF ⊥，则下列结论正确的是（ ）
A 、30=∠BAE °
B 、CF AB CE ⋅=2
C 、C
D CF 3
1
= D 、ABE ∆∽AEF ∆
4、如图：ABCD 中，4AD =,10AB =，在AD 上取一点E ，使3ED =，在DC 上取一点F ，使6DF =。
在AB 上是否存在点P ，使PBC ∆与EDF ∆相似，若存在，这样的点P 有几个？并求出P 与B 的距离；
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
若不存在，请说明理由。
5、如图，AC AB ⊥，BE AB ⊥，10AB =，2AC =。
用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若8BD =，求线段AP 的长。
6、如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且
BFE C ∠=∠．
（1）求证：ABF ∆∽EAD ∆；
（2）若4AB =，30BAC ∠=︒，求AE 的长； （3）在（1），（2）条件下，若3AD =，求BF 的长．
B
F
E
D
C
A
A B
C
E
A B C
D E F。