相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程应用练习：1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A 型与反X 型OF EC BA EDCBAODCBA2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90∘,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。

模型三：射影定理如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，，2HC HA HB =⋅，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC=，试一试写出具体证明过程相似三角形证明方法之射影定理与类射影CABHA BCD应用练习：1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠CFEDCBA模型五：一线三等角如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程图3图2图1EFFCBBC C BAD ED AED A应用练习：1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）相似三角形证明方法之一线三等角2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF的长．3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。

（1）求证：。

（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。

①当点与、两点不重合时，求的值。

②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。

（直接写出结果，不必写出解答过程）通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。

1.如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF ABBE BC=．2.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD=．3.如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅比例式的证明方法之三点定型 技巧一：三点定型ABCFDECBAE DMDBACFE若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换 【例1】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅证明:连接AF,是的平分线,,是AD 的垂直平分线,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),(等边对等角),,,,又, ,比例式的证明方法之等线段代换 ABCD EF【例2】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．【例3】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2AB BE CD =⋅【例4】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．CBA D EFABCD EC BADP EF【例5】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线于F ，求证：2OB OE OF =⋅．【解题方法提示】要证OB 2=OF·OE ，即证=，接下来你有思路了吗？因为AB ∥CE ，由平行线分线段成比例定理，可得=；同理因为AF ∥BC ，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.证明：∵AB ∥CE ， ∴=.∵AF ∥BC ， ∵=， ∴=，∴OB 2=OE·OF ．【例6】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=︒时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．比例式的证明方法之等比代换 EFCABD【例7】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD ⋅=⋅例8.（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：BQ DP =PCPE； （2）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证：MN 2=DM•EN ．E CDBAPP MNDABC【例8】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．A BCDE HGM【例9】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠．CBADE【例10】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅11.如图，已知△ABC 中，AD ，BF 分别为BC ，AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于E ，交BF 于G ，交AC 延长线于H 。

求证： DE 2=EG•EH比例式的证明方法之等积代换【例11】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.【例12】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .【例13】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .比例式的证明方法之证等量先证等比CBAP EFN MFMNEDCB A DCBAEM N【例14】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .【例15】 （※）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：13RS PQ【例16】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .P NM EFD AB C CBADP QSE FGRQNSPRKMO DC BA【例17】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求FGDG的值.H MFGED CBA【例18】（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF 比例式的证明方法之几何计算比例式的证明方法之动点问题运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。