相似三角形的证明方法(图形归纳)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
初三相似的图形知识点归纳总结
初三相似的图形知识点归纳总结相似的图形在初中数学中占据非常重要的位置。
相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。
在初三学习过程中，我们接触到了许多涉及相似图形的知识点。
本文将对初三相似的图形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角对应对应地相等，并且两个对应边成比例，则它们相似。
3. 相似三角形的对应边的比例关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度之比等于相似比。
即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)二、相似三角形的性质和应用1. 相似三角形的边长比例性质：两个相似三角形的相应边的比等于它们的相似比。
即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)2. 相似三角形的高线比例性质：两个相似三角形的高线与底边之比等于相似比。
即\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}\)3. 相似三角形的面积比例性质：两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
即\(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2 =\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2 = \left(\frac{CA}{C'A'}\right)^2\)4. 利用相似三角形性质解决实际问题。
如影子定理、塔楼高度的测量等。
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形证明方法
相似三角形证明方法方法一：直接寻求相似三角形只要根据题目给定的条件寻找出线段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出来.例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则 ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线， 求证：△ABC ∽△BCD方法二：利用中间线段代换当要证明的结论中的一条线段与其他线段之间的关系难以确定时我们可以利用等线段代换，从而容易找到相应的关系。
例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF •AC=BC •FE例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD •ME ；（2）MDMEAD AE =22命题 1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD ∽△ACB ，A B C DEF G 1234ABCD ABCDEM12AB CDEFKAB2=AD•AC。
命题2 如图，如果AB2=AD•AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
A BCD1例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
方法三：证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母找到一幕中BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳一、比例的性质:二、成比例线段的概念：1.比例的项：在比例式cr.b = c：d（即纟=上）中，a, d称为比例外项，b, c称为比例内项.特别地，h d在比例式a\b = b.c（即上=?）中，b称为a, c的比例中项，满足b2=ac・b c2.成比例线段：四条线段6 b, G d中，如果Q和b的比等于C和d的比，即- = 那么这四条线b d段a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段.3.黄金分割：如图，若线段M上一点C,把线段朋分成两条线段AC和BC （AC >BC）,且使AC是和BC的比例中项（即AC2 =AB BC）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段&8 的黄金分割点，其中AC = ^1AB^Q.61SAB , = Q0.382AB, AC AB2 2的比叫做黄金比.（注意：对于线段A3而言，黄金分割点有两个.）•••A C B4三.平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截.所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例立【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为二=二，空=刍 r r 全全2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如AE AF AE EF --- = ---- ----△ABCsMBC ZB = ZB', ZC = ZC rZA = ZA\AB _ BC _ AC A^ = WC = A^CAB DEBC EF如AF BEAC ABAE _AF AE _AF EB^FC AB^AC—=SL EFT/BC & FAA'EB FC ABAABC △A'B'C' AM、AH AD AABC BC A!M f A!H rA!D9AA0C B f C AB _ BC _ AC AM _ AH _ AD 7^ = ^C = A^C= =A^r = A7T=WD;AABC /\A!B f C AB BC AC AB + BC + AC ;而一而一而一A® + B'C' + AC 一△ △>△ = Z4‘ ZZ? = ZZT AABC s MBC砂B'C' A'C'SC S MBCAB ACA® AC ZA_ZA△ABCs/WBC4DE // BC oHADE sAABC o A° - AE - DE AB AC BCA BA AB 〃CD o'AOB s HCOD O 竺=竺=竺CD OC ODDG _ AN△ABC AADG S^ABC BC ZBAC = 90° /\ADGsHEBDs&GCsMBCE MF CAE4A A A A3/AABD ^ACADZB = ZCADZC = ZBADAB 2 =AD 2+BD 2 AC 2 = AD 2 + CD 2 BC 2 ==AB 2 + AC 2C CE//AD BAE CE//AD Z1 = Z£ Z2 = Z3 AD ZBAC Z1 =Z2AE = ACCE 〃AD^ =竺竺=竺AE CD AC CDAB1.BDAABC S MDEAB DE = BC CDED 丄 BD AC 丄 ECBDAABC s*DE s AACEZABC = ZCDE = ZACE Z^ABC sMDE AB DE = BC CDAB BC AC CD^^DE^CE CBDAABC s*DE s AACEAD ACMBCMCDE & =忑 C BD BJCDAB ACZABC = ZACEAABC ZA4CAB BD AC = CDEAB BCAD C3/A F；VEAw/nBMCBMCEN BM .EN BM EF // BCEF // BC 一NF MC NF MCAABC ABACAB BD AC = CD条件变为比例形式: 走気，由于妙心180。
如何证明两个三角形相似
如何证明两个三角形相似在数学的世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而证明两个三角形相似，是我们解决许多几何问题的关键步骤。
那到底怎样才能证明两个三角形相似呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们得了解什么是相似三角形。
相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么它们就是相似三角形。
接下来，我们看看证明两个三角形相似的方法。
方法一：两角分别相等的两个三角形相似。
这是一个非常重要且常用的方法。
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，那么这两个三角形相似。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。
为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角必然也相等。
三个角都相等，三角形的形状就确定了，所以它们相似。
方法二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB 与 DE 的比值等于 AC 与DF 的比值，并且角 A 等于角 D，那么这两个三角形相似。
这个方法的关键在于“夹角相等”。
因为如果两边成比例，但是夹角不相等，那么三角形的形状就会不同，也就不相似了。
方法三：三边成比例的两个三角形相似。
如果三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 与三角形 DEF 的三条边DE、EF、DF 的比值都相等，那么这两个三角形相似。
这个方法比较直观地反映了三角形边的比例关系对相似性的决定作用。
为了更好地理解这些方法，我们通过几个例子来具体分析一下。
例 1：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，角 A 等于 50 度，角 B 等于 60 度，角 D 等于 50 度，角 E 等于 60 度。
证明这两个三角形相似。
因为角 A 等于角 D 等于 50 度，角 B 等于角 E 等于 60 度，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，所以三角形ABC 相似于三角形DEF。
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C
∴△ABE∽△ACD
∴∠AEB＝∠ADC
而∠AEB＝∠EAD＋∠ADE
∠ADC＝∠BDC＋∠ADE
∴∠EAD＝∠BDC
典例精解
模型四：“子母型” 如图,△ABC 中,∠A=∠DBC,BC= 2 ,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则 CD=______.
C
D
A
B
典例精解
模型五：一线三等角型
如图，△ACB为等腰直角三角形，点O是斜边AB的中点，∠EOF＝45° ⑴求证：△AOE∽△BFO ⑵若AB＝4，求AE·BF的值.
旋转型
“子母型”
一线三等角型
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
A
E
D ∴△EDF∽△CBF
F
∴DF:BF＝DE:BC
另推得DE:BC＝2:5
B
C
∴DF:BF＝2:5
而BF＝15 cm ∴DF＝6 cm
典例精解
模型三：旋转型
如图，已知 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 AB AC ，∠EAB AE AD
模型二：“X”字型
如 图 ， 已 知 E 是 □ABCD 中 AD 边 上 一 点 ， 且 AE:DE ＝ 3:2,CE 交 BD 于 点 F,BF ＝ 15cm ，求DF的长.
A
E
D
F
B
C
如 图 ， 已 知 E 是 □ABCD 中 AD 边 上 一 点 ， 且 AE:DE ＝ 3:2,CE 交 BD 于 点 F,BF ＝ 15cm ，求DF的长.
＝∠DAC，求证：∠EAD＝∠BDC. A D
E
B
C
如图，已知 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 AB AC ，∠EAB AE AD
＝∠DAC，求证：∠EAD＝∠BDC.
A
D
证明：∵
AB AE
AC AD
，∠∴EAABB＝ ∠AEDAC AC AD
E B
又∵∠EAB＝∠DAC
如图，△ACB为等腰直角三角形，点O是斜边AB的中点，∠EOF＝45° ⑴求证：△AOE∽△BFO ⑵若AB＝4，求AE·BF的值.
C
⑵解：∵△AOE∽△BFO
E
F
3
∴AE∶BO＝AO∶BF ∴AE•BF＝AO•BO
2
1
另由已知条件得AO＝BO＝2
A
O
B ∴AE•BF＝4
课堂小结
“A”字型
“X”字型
优翼微课
初中数学知识点精讲课程
相似三角形中的基本模型
你会从复杂的几何图形中快速找到相似 的三角形吗？
A
D
E
A
E
D
F
B
CB
C
典例精解
模型一：“A”字型 如图，DE∥BC，BADD＝12，则AEEC＝__________,DBCE＝__________.
A
D
E
B
C
典例精解
C
E
F
A
O
Bபைடு நூலகம்
如图，△ACB为等腰直角三角形，点O是斜边AB的中点，∠EOF＝45° ⑴求证：△AOE∽△BFO ⑵若AB＝4，求AE·BF的值.
C
⑴证明：∵△ACB为等腰直角三角形
E
F
3
∴∠A＝∠B＝45° ∠3＋∠2＝135°
2
1
∵∠EOF＝45°
A
O
B ∴∠1＋∠2＝135°
∴∠3＝∠1
∴△AOE∽△BFO