第四讲：相似三角形证明的方法与技巧

斜边上作高线，比例中项一大片
F
BD
A
E
C
2.如图，在 ABCD 中，求证： BF EF （换比法） FG BF
3.梯形 ABCD 中，AD//BC，作 BE//CD,求证：OC2=OA.OE（换比法）
方法三：四共线，看条件，其中一条可转换； 1.Rt△ABC 中，四边形 DEFG 为正方形。求证：EF 2 =BE•FC（换项法）
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。
B DC E
A
E 12
3
B
DC
2
成实外教育数学培优九年级李老师 10 月 17 日上午
2.在△ABC 中，AB=AC，求证：DF:FE=BD:CE.
学生姓名：
A
E
C
B F
D
3.在△ABC 中，AB>AC，D 为 AB 上一点，E 为 AC 上一点，AD=AE，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P， 求证：BP:CP=BD:CE.
A D
E
B
CP
4.在△ABC 中，BF 交 AD 于 E.(1)若 AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求 AF:FC；(2)若 AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求 AE:ED.
A
F
E
B
DC
5.在△ABC 中，D、E 分别为 BC 的三等分点，AC 边上的中线 BM 交 AD 于 P，交 AE 于 Q，若 BM=10cm，试求 BP、 PQ、QM 的长.
成实外教育数学培优九年级李老师 10 月 17 日上午
第五讲：相似三角形证明的方法与技巧
学生姓名：
A 字形，斜 A 形，8 字形（X 型），蝴蝶形，双垂直型, 旋转形
A
B
A E
E
D
B
CA
A
C
B
E
D BC
D
C
D
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB 结论：⑵÷⑶得 AC2:BC2=AD:BD；结论：面积法得 AB•CD=AC•BC→比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边，变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3 种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；
（1）若 n=2，则 =
；
（2）当 n=3 时，连 EF、DF，求 的值；
（3）当 n=
时， = （直接写出结果，不需证明）．
4
2.△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，CF∥BA，求证：BP 2 =PE·PF（换项法）
3.AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分 AD，交 BC 的延长线于 E，交 AB 于 F. 求证： DE 2 =BE·CE.
A F 12
方法四：两共线，上下比，过端平行条件边。 1.AD 是△ABC 的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.
a
（3）等比代换：若 a,b, c, d 是四条线段，欲证 b
c d
a
，可先证得 b
e f
（ e,
f
是两条线段）然后证
e f
c d ，这里把
e f 叫做中间比。
方法一：遇等积，化比例，同侧三点找相似 1．∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD
2.△ABC 中，AB=AC，△DEF 是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE．
3.等边三角形 ABC 中，P 为 BC 上任一点，AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。 求证：BP•PC=BM•CN
1
成实外教育数学培优九年级李老师 10ຫໍສະໝຸດ 月 17 日上午学生姓名：
方法二：有射影，或平行，等比传递我看行
1.在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 的中点，求证：AB•AF=AC•DF（换比法）
3
成实外教育数学培优九年级李老师 10 月 17 日上午
方法五：彼相似，我条件，创造边角再相似
1.AE 2 ＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，求证： BE2 BC DE
学生姓名：
2.已知 ABD∽ ACE，求证： ABC∽ ADE．
3．（2012•金牛区三模）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=nAC，CD⊥AB 于 D，点 P 为 AB 边上一动点，PE⊥ AC，PF⊥BC，垂足分别为 E、F．
6.△ABC 中，AC=BC，F 为底边 AB 上的一点，
（m、n＞0），取 CF 的中点 D， 连结 AD 并延长交 BC 于 E.
（1） 的值.（2）如果 BE=2EC，那么 CF 所在直线与边 AB 有怎样的位置关系？证明你的结论；（3）E 点能否为 BC
中点？如果能，求出相应的 的值；如果不能，证明你的结论。