第3章 点、直线、平面的投影
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土木工程制图第3章点直线平面的投影
3.2 直线的投影
图3-29 判断两侧平线是否平行
3.2 直线的投影
2.两条直线相交
(1)若两条直线的三组同面投影都相交，且交点的投影符合点
(2)如果两条直线均为一般位置直线，只要有任意两组同面投 影相交，且交点符合点的投影规律，则这两条直线在空间相交。
(3)两条直线中有一条直线平行于某一投影面，则需画出两条 直线在该投影面上的投影来判断其是否相交，或者通过定比性来 判断。
作图步骤如图3-36(b) (1)从图3-36(a)可知AB为水平线，所以过点c向ab作垂线，得垂 足d，过d向上作联系线，交a′b′于点d′，连接c′d′ (2)cd为距离的水平投影，c′d′为距离的正面投影，可利用直角三 角形法求距离的实长，过点d在ab上截取dD0等于C、D两点的Z轴 坐标差，连接cD0，则cD0即为点C到水平线AB的距离。
(1)侧面投影反映实 长，与Y轴夹角为α， 与Z轴夹角为β。
(2)正面投影平行于 Z轴。
(3)水平投影平行于 Y轴。
3.2 直线的投影
3.2.3 一般位置直线的实长与倾角
(1)在α所存在的直角三角形中，α所相邻的一条直角边为 H面投影长，所对应的直角边为Z坐标差ΔZ，如图3-23(a)所示。
(2)在β所存在的直角三角形中，β所相邻的一条直角边为 V面投影长，所对应的直角边为Y坐标差ΔY，如图3-23(b)所示。
作图步骤如图3-37(b) (1)在水平投影图上过d点(也可是cd上的其他点)作ab的垂直线(也 可过ab上的任意一点作cd的垂直线)，交ab于e点。连接d、e两点 得公垂线DE的水平投影de。由e点垂直向上作投影联系线，交a′b′ 于点e′，连接点d′、e′得公垂线DE的正面投影d′e′ (2)已知公垂线DE的两面投影，即可利用直角三角形法求出公垂线 DE的实长。
第三章点、直线及平面的投影详解
第三章 点、直线及平面投影
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
第三章 点、直线、平面的投影 ——电信版
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
正垂面 投影面垂直面 侧垂面 铅垂面
正平面 投影面平行面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
A、投影面垂直面
b
Z
b c c
O
类似性
X
类似性
a
YW
a
β
积聚性
a
γ
c
YH
b
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
●
Z
d
e
f Z e(f)
●
O
b
YW
X
X
O
O
d c
YH
YW
a(b)
e
YH
f
YH
投影特性: 1. 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b B a
β
Z
b
W
O
b a
X
Z
b a
X
γ
O
A a H
a
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⑴ 投影面平行线
水平线
V a′
A
X
β
Z
投影特性：
a″
b′
γ
o B
a
β
b″ W
γ
①在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影 面倾角的真实大小。
Y
H
b Z a ″ b″
a′
b′
正垂面 投影面垂直面 侧垂面 铅垂面
正平面 投影面平行面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
A、投影面垂直面
b
Z
b c c
O
类似性
X
类似性
a
YW
a
β
积聚性
a
γ
c
YH
b
投影特性：
铅垂面
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该 直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影 面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影为类似形。
●
Z
d
e
f Z e(f)
●
O
b
YW
X
X
O
O
d c
YH
YW
a(b)
e
YH
f
YH
投影特性: 1. 在其垂直的投影面上， 投影有积聚性。 2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
⑶ 一般位置直线
V
b B a
β
Z
b
W
O
b a
X
Z
b a
X
γ
O
A a H
a
与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线
⑴ 投影面平行线
水平线
V a′
A
X
β
Z
投影特性：
a″
b′
γ
o B
a
β
b″ W
γ
①在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影 面倾角的真实大小。
Y
H
b Z a ″ b″
a′
b′
工程制图d(唐福官)第三章 点直线平面的投影
① a
c
b
②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
电气学院学习部资料库
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
电气学院学习部资料库
[例题3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分 点C的投影c、c 。
b
电气学院学习部资料库
例二、已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，填。
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
（d ） c 一般位置
铅垂
电气学院学习部资料库
2、 直线上点的投影
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
（7）一般位置直线
b
b B a b X a b b Y Z a
A a
O
b
a a Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 电气学院学习部资料库 、 实角
直线对投影面的相对位置分类 （一）投影面平行线 水平线//水平面 正平线//正平面 侧平线//侧平面
电气学院学习部资料库
（4）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a A b b a a Z a
b
c
b
②
a
c
●
b b a c b
a
c
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
电气学院学习部资料库
例2：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
另一判断法?
应用定比定理
电气学院学习部资料库
[例题3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分 点C的投影c、c 。
b
电气学院学习部资料库
例二、已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，填。
a’
b’
a ’’
c’ d’
b ’’
(c ’’ )
(d ’’ )
a
b
（d ） c 一般位置
铅垂
电气学院学习部资料库
2、 直线上点的投影
直线上的点具有两个特性： 1．从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用 这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
（7）一般位置直线
b
b B a b X a b b Y Z a
A a
O
b
a a Y
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映 、 电气学院学习部资料库 、 实角
直线对投影面的相对位置分类 （一）投影面平行线 水平线//水平面 正平线//正平面 侧平线//侧平面
电气学院学习部资料库
（4）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a A b b a a Z a
b
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
土木工程制图第三章点直线和平面的投影
则其各同面投影必相互平行；各同名投影的长度之比相等； 各同名投影的指向相同。
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
a c
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法： 若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
； 3）按投影关系求得b″。
2.重影点
a ●
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点
c●
为该投影面的重影点。
土木工程制图
a ● ● c
被挡住的投影加( )
a●c( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？
A、C为H面的重影点
重影点
土木工程制图
H面重影点
V面重影点
W面重影点
土木工程制图
例5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。
土木工程制图
b′
k′ a′ X b k
a
b′
k′ a′ OX b k
a
b′
k′ a′ OX b k k1 a1 a
Z b″ k″
O
YH
a″ YW
三、两直线的相对位置关系
空间两直线的相对位置
分为
平行 相交 交叉 垂直
土木工程制图
厂房形体
1.平行两直线
土木工程制图
投影特性：
b a
A
V d
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
土建工程制图第章点直线平面的投影_图文
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
3.过E点作一直线与已知两交叉直线AB、C直线的相对位置
4.求作正平线MN与交叉三直线AB、CD、EF相交。
已知
作图
直线的投影——两直线的相对位置
5.作直线GH,使其与CD和EF相交且AB平行。
已知
作图
直线的投影——应用题
3.判断直线EF或点K是否在给定的平面上。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
4.求平面内点的另一投影。
已知
作图
平面的投影——各种位置平面的投影
5.求平面ABC内直线EF的H面投影
（a）已知
（b）作图
分析：线段EF在平面ABC上，它一定通过平面上两个点， 作图过程及结果见上图(b)。
平面的投影——各种位置平面的投影
4.已知A、B、C三点的各一投影a、b′、c“，且Bb′=10， Aa=20，C c"=5。完成各点的三面投影，并用直线连接各同
面投影。
已知
点的投影
作图
点的投影
5.作出A、B两点的W面投影，并判断它 们的相对位置
A在B
A在B左前上方
已知
作图
分析：已知点的两投影可以求出点的第三投影，作图过程及 结果见上图（b)
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
4) 过AB作一般面△ABC.
1)
2)
3)
4)
已知
平面的投影——各种位置平面的投影
3.过已知点、线作平面。
1)过点A作正垂面P,其α为30° 2）过AB作铅垂面△ABC.
3) 过点A作一般面△ABC.
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临沂大学 理学院 王涛 制作
工
程
图
学
Z a
●
4、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
X
a
●
b
● ●
●
b YW
a
判方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
b
●
YH
B点在A点之 前、之右、之 下。
临沂大学 理学院 王涛 制作
工 • 例题2 ： 已知A点 在B点之 前5毫米 ，之上9 毫米，之 右8毫米 ，求A点 的投影。 • B点为已 知点。
工
1.投影的同类性
程
图
学
点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线； 平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形.
2.投影的从属性 若点在直线上，则点的投影仍在该直线的投影上。
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工
程
图
学
三、
1. 实形性 实形。
2. 积聚性 线段。 3. 类似性 4.从属性 5.平行性 6.定比性
解决办法？
B3
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
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工
程
图
学
2、点在两投影面体系中的投影
（1）、两投影面体系的建立 （2）、点在两投影面体系中的投影 V
a
Z
A
X Y
X
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
O
H
a
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工
程
图
学
（3）、点在两投影面
工
程
图
学
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工
程
图
学
第3章
点、直线、平面的投影
3.1 投影的基本知识
3.2 点的投影
3.3 直线的投影
3.4 平面的投影
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工 一、投影的概念
程
图
学
3.1 投影的基本知识
1.投影法：一束光线从S 点出发，通过物体 △ABC，在平面P上得 到物体的影子△abc, 光源S称为投影中心， 光线称为投影线，平 面P称为投影面， △abc称为投影。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线 临沂大学 理学院 王涛 制作
工
程
图
学
（1）投影面平行线
正 平 线
水 平 线 侧 平 线
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工
程
图
学
水平线
a a b
a b 实长 a γ α b
b
正平线
a b a b a
侧平线
β
a 实长
α
b
β
γ
b
a
b
实长
投 影 特 性：
V b
c
a
C A
B
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb
a
c
H
定比定理
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工
程
图
学
直线上的点具有两个特性：
(1) 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同 面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否 在直线上。
b
(2) 定比性 属于线段上的 点分割线段之比等于其投 影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
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工
程
图
学
重影点问题：
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
空间两点在某一投影 面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投 影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
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工
程
图
学
重影点及可见性判别
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工
程
图
学
点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴
2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。 点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
的距离. 临沂大学 理学院 王涛 制作
工
程
图
学
Z V
3、点在三个投影面上的投影
a ●
解法一: a●
ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
a●
az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
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工
程
图
学
特殊 位置 点：
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工
程
图
学
例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d’ f’ d’’
f’’
e’’
YW
x
d
a’ e’ a
工 2.平行投影法
程
图
学
若将投影中心移至无穷远，则投影线可视为互相平行，这种投影线互 相平行的投影方法，称为平行投影法。
倾投 斜射 于线 投互 影相 面平 行 且
a
B A
B
C
A
C
b
P
c
a
b
c
P
垂投 直射 于线 投互 影相 面平 行 且
(a)．斜投影
（c） 正投影
•投影特性 • 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 • 度量性较好 临沂大学 理学院 王涛 制作
程
图
学
Z a b X O 9 b YW a
8
5 a
b
YH
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工
程
图
学
两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对 于投影面的距离远近（或坐标大小） 来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐 标值大的点在前；Z坐标值大的点在 上。 根据一个点相对于另一点上下、 左右、前后坐标差，可以确定该点的 空间位置并作出其三面投影。
● ● ● ●
M● B●
直线投影的基本特性 A A
●
B ●
B
α
●
●
b
积
聚
性
ab=AB
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工
程
图
学
2、 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面倾斜
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
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工
程
图
学
（2）投影面垂直线
正 垂 线
铅 垂 线 侧 垂 线
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工
程
图
●
ay
Y
H
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工
Z
程
图
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Z
a ●
X
az
O
●
a
V
a
●
az
●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
Y
点的 投影 规律:
aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
平行投影法
斜投影
用于画斜轴测图
正投影 用于画工程图样及正轴测图
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工 1.中心投影法 投影线 交汇于一点的 投影方法称为 中心投影法， 所得到的图形 称为中心投影。
a
程
S
图
学
物体位置改变， 投影大小也改变
S
B
B A C A
C
b
c
b
P
c a
P
•投影特性 • 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影 的大小有影响。 • 度量性较差 临沂大学 理学院 王涛 制作
正投影法的投影特点
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
若某一点从属于某一条直线，则点的投影必从属于直线的投影。若某
一直线（或点）从属于某一平面，则直线（或点）的投影必从属于该平面的投影。
相互平行的两条直线（或两个平面）他们的投影仍然保持平行。 若某一点定分某一线段，则点的投影必定定分线段的投影。 返回
工
程
图
学
Z a
●
4、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
X
a
●
b
● ●
●
b YW
a
判方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
b
●
YH
B点在A点之 前、之右、之 下。
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工 • 例题2 ： 已知A点 在B点之 前5毫米 ，之上9 毫米，之 右8毫米 ，求A点 的投影。 • B点为已 知点。
工
1.投影的同类性
程
图
学
点的投影仍是点；直线的投影在一般情况下仍是直线； 平面图形的投影在一般情况下是原图形的类似形.
2.投影的从属性 若点在直线上，则点的投影仍在该直线的投影上。
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图
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三、
1. 实形性 实形。
2. 积聚性 线段。 3. 类似性 4.从属性 5.平行性 6.定比性
解决办法？
B3
●
P
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
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图
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2、点在两投影面体系中的投影
（1）、两投影面体系的建立 （2）、点在两投影面体系中的投影 V
a
Z
A
X Y
X
A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a
O
H
a
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（3）、点在两投影面
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第3章
点、直线、平面的投影
3.1 投影的基本知识
3.2 点的投影
3.3 直线的投影
3.4 平面的投影
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工 一、投影的概念
程
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学
3.1 投影的基本知识
1.投影法：一束光线从S 点出发，通过物体 △ABC，在平面P上得 到物体的影子△abc, 光源S称为投影中心， 光线称为投影线，平 面P称为投影面， △abc称为投影。
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线 临沂大学 理学院 王涛 制作
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（1）投影面平行线
正 平 线
水 平 线 侧 平 线
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水平线
a a b
a b 实长 a γ α b
b
正平线
a b a b a
侧平线
β
a 实长
α
b
β
γ
b
a
b
实长
投 影 特 性：
V b
c
a
C A
B
b
AC/CB=ac/cb= ac / cb
a
c
H
定比定理
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直线上的点具有两个特性：
(1) 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同 面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否 在直线上。
b
(2) 定比性 属于线段上的 点分割线段之比等于其投 影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
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程
图
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重影点问题：
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
空间两点在某一投影 面上的投影重合为一点 时，则称此两点为该投 影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
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重影点及可见性判别
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点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影 轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、 Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点 的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定， 即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴
2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。 点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面
的距离. 临沂大学 理学院 王涛 制作
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程
图
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Z V
3、点在三个投影面上的投影
a ●
解法一: a●
ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
a●
az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
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特殊 位置 点：
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例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d’ f’ d’’
f’’
e’’
YW
x
d
a’ e’ a
工 2.平行投影法
程
图
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若将投影中心移至无穷远，则投影线可视为互相平行，这种投影线互 相平行的投影方法，称为平行投影法。
倾投 斜射 于线 投互 影相 面平 行 且
a
B A
B
C
A
C
b
P
c
a
b
c
P
垂投 直射 于线 投互 影相 面平 行 且
(a)．斜投影
（c） 正投影
•投影特性 • 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 • 度量性较好 临沂大学 理学院 王涛 制作
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Z a b X O 9 b YW a
8
5 a
b
YH
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两点的相对位置
两点的相对位置是根据两点相对 于投影面的距离远近（或坐标大小） 来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐 标值大的点在前；Z坐标值大的点在 上。 根据一个点相对于另一点上下、 左右、前后坐标差，可以确定该点的 空间位置并作出其三面投影。
● ● ● ●
M● B●
直线投影的基本特性 A A
●
B ●
B
α
●
●
b
积
聚
性
ab=AB
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2、 直线在三个投影面中的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面倾斜
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
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（2）投影面垂直线
正 垂 线
铅 垂 线 侧 垂 线
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●
ay
Y
H
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Z
a ●
X
az
O
●
a
V
a
●
az
●
ax
ay
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
Y
ay
a
●
ay
H
Y
点的 投影 规律:
aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离 aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离
平行投影法
斜投影
用于画斜轴测图
正投影 用于画工程图样及正轴测图
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工 1.中心投影法 投影线 交汇于一点的 投影方法称为 中心投影法， 所得到的图形 称为中心投影。
a
程
S
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物体位置改变， 投影大小也改变
S
B
B A C A
C
b
c
b
P
c a
P
•投影特性 • 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影 的大小有影响。 • 度量性较差 临沂大学 理学院 王涛 制作
正投影法的投影特点
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
若某一点从属于某一条直线，则点的投影必从属于直线的投影。若某
一直线（或点）从属于某一平面，则直线（或点）的投影必从属于该平面的投影。
相互平行的两条直线（或两个平面）他们的投影仍然保持平行。 若某一点定分某一线段，则点的投影必定定分线段的投影。 返回