相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
相似三角形的数学公式与算术
相似三角形的数学公式与算术相似三角形是几何学中的一项重要概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
相似三角形的性质可以通过数学公式和算术来描述和计算。
本文将探讨相似三角形的数学公式与算术方法，并说明其实际运用。
一、相似三角形的定义及性质相似三角形是指具有相同形状但可能有不同大小的三角形。
两个相似三角形之间的对应角相等，而对应边的比例相等。
根据相似三角形的性质，我们可以推导出以下数学公式和算术方法。
二、相似三角形的比例关系对于相似三角形ABC和DEF，它们的对应边长的比例可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB表示三角形ABC的边长，DE表示三角形DEF的边长，BC表示三角形ABC的另一边长，EF表示三角形DEF的另一边长，AC表示三角形ABC的斜边长，DF表示三角形DEF的斜边长。
这个比例关系可以用来计算相似三角形中残缺的边长。
例如，如果我们已知一个三角形的两个边长和一个对应的角度，可以利用相似三角形的比例关系求出第三个边长。
三、相似三角形的面积比相似三角形的面积比等于边长比的平方。
设相似三角形ABC和DEF的边长比为k，则它们的面积比为k²。
这个性质可以用来计算相似三角形之间的面积比。
四、实际运用相似三角形的数学公式和算术方法在日常生活和工程实践中有广泛的应用。
以下是几个实际应用的例子。
1.测量高楼的高度在无法直接测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。
通过测量阴影长度和角度的变化，可以得到相似三角形的边长比例，从而计算出高楼的高度。
2.计算不可达距离在地理学中，有些地点由于地形或其他原因无法直接测量距离。
可以通过相似三角形的性质，利用已知距离和角度来计算不可达距离。
3.影像测量在遥感和摄影测量中，相似三角形的性质被广泛应用。
通过测量影像上的像元和相机的高度、焦距等参数，可以建立相似三角形关系，从而计算出地物的高度、面积等信息。
相似三角形的比例关系与推导
相似三角形的比例关系与推导相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，这种关系对于解决各种与三角形相关的问题非常重要。
本文将探讨相似三角形的比例关系以及其推导过程。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
设有两个三角形ABC和XYZ，若∠A=∠X，∠B=∠Y，∠C=∠Z，且AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则称三角形ABC和XYZ相似。
2. 相似三角形的比例关系有了相似三角形的定义，我们可以得出以下重要的比例关系：(1) 三角形对应边的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则AB/XY = BC/YZ =AC/XZ。
这意味着相似三角形的对应边的比例相等。
例如，如果AB的长度是XY的2倍，那么BC的长度也是YZ的2倍，AC的长度也是XZ的2倍。
(2) 三角形内角的比例关系：若三角形ABC与三角形XYZ相似，则∠A/∠X = ∠B/∠Y = ∠C/∠Z。
这意味着相似三角形的对应角度的比例也相等。
例如，如果∠A的度数是∠X的2倍，那么∠B的度数也是∠Y的2倍，∠C的度数也是∠Z的2倍。
这些比例关系对于解决相似三角形的各种问题非常有用，比如计算未知边长或角度的比例关系，求解两个图形是否相似等。
3. 相似三角形的推导相似三角形的比例关系可以用各种方法推导出来，其中最常用的方法是副角定理和对应角定理。
(1) 副角定理：副角定理是指如果两条直线AB和CD平行，与这两条直线相交的另外两条线AC和BD之间的角度相等，那么它们所对应的另两条边AB和CD之间的比例相等。
根据副角定理，我们可以推导出相似三角形的对应边的比例关系。
(2) 对应角定理：对应角定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则它们一定相似。
根据对应角定理，我们可以推导出相似三角形的对应角度的比例关系。
这些推导过程可以通过证明和推理来完成，具体步骤可以根据不同题目的要求而定。
相似三角形的比例关系和相似比
相似三角形的比例关系和相似比相似三角形是几何学中的重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
相似三角形的比例关系和相似比是理解和解决与相似三角形相关问题的关键概念。
本文将详细介绍相似三角形的比例关系和相似比，以便读者能够深入理解和应用这一概念。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等且对应边成比例。
具体来说，如果两个三角形ABC和DEF满足以下条件，则它们是相似的：1. 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
相似三角形有以下重要性质：1. 对角定理：如果两个三角形的两角分别相等，则它们是相似的。
2. 边角对应定理：如果两个三角形的一个角和一个对边相等，则它们是相似的。
3. 直角三角形的相似性质：直角三角形的两个锐角相等，则它们是相似的。
4. 相似三角形的比例：相似三角形的对应边成比例。
二、相似比的计算和应用相似比是描述相似三角形的边长比例的一个重要概念。
在相似三角形ABC和DEF中，我们可以通过计算相似比来求解未知边长或比较边长的大小。
例如，已知相似三角形的两个边长比为3:5，我们可以通过以下步骤来计算未知边长：1. 选取一个已知边长与未知边长对应的边，假设已知边长为3，未知边长为x。
2. 建立比例方程：3/x = 3/5。
3. 解方程得到x = 5/3，即未知边长的值。
相似比也可以用来比较相似三角形的边长大小。
例如，已知两个相似三角形的相似比分别为3:4和1:2，我们可以通过以下步骤来比较它们的边长：1. 选择一个相似比的分子和分母，例如选择3和4。
2. 计算第一个三角形的边长与第二个三角形相应边长的比值，得到3/1。
3. 如果该比值等于相似比的分子与分母的比值（4/2），则第一个三角形的对应边长大于第二个三角形；如果该比值小于相似比的分子与分母的比值，则第一个三角形的对应边长小于第二个三角形。
相似三角形及其性质
相似三角形及其性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在这篇文章中，我们将讨论相似三角形的性质以及与它们相关的一些重要定理和公式。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
用数学语言描述就是：如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF是相似的。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的边比例关系：假设三角形ABC和DEF相似，边长比例的关系可以表示为AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这意味着相似三角形的任意两条边之比都相等。
2. 相似三角形的角度关系：相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的重要性质之一。
3. 相似三角形的周长比例关系：相似三角形的周长比例等于它们任意两条边比值的比例。
假设三角形ABC和DEF相似，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
4. 相似三角形的面积比例关系：相似三角形的面积比例等于它们任意两条边长度平方的比例。
假设三角形ABC和DEF相似，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的比值等于AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²。
三、相似三角形的重要定理1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC与DEF相似。
2. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的对应边成比例，且对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，如果AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC与DEF相似。
3. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的一个内角相等，且两边分别成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形比例关系及相似三角形证明变式
相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA·AC=BA ·AE图2题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
总结：（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；AB C A'B'C'图（4）图1 B AC双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究， ABC得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
相似三角形的比例关系和对应边长
相似三角形的比例关系和对应边长相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，对应边长成比例的三角形。
相似三角形的比例关系和对应边长是几何学中重要的概念和性质之一。
在本文中，我们将详细介绍相似三角形的比例关系和对应边长。
一、相似三角形的比例关系当两个三角形有相等的对应角度时，它们称为相似三角形。
而相似三角形的比例关系可以通过以下定理来说明：定理1：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们的对应边长成比例。
具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF相似，且对应边长分别为a、b、c和d、e、f，则有如下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = a/d = b/e = c/f定理2：如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们的对应角度相等。
这个定理可以理解为定理1的逆命题。
当两个三角形的对应边长成比例时，可以得出它们的对应角度相等。
二、相似三角形的对应边长关系通过相似三角形的比例关系，我们可以推导出对应边长之间的关系。
具体来说，有以下几种情况：1. 侧边比例情况：如果两个三角形的两边分别成比例，那么它们的对应边长也成比例。
例如，若三角形ABC∼三角形DEF，且有AB/DE = BC/EF，那么我们可以得出AC/DF = AB/DE * BC/EF。
2. 高线比例情况：如果两个三角形的高线成比例，那么它们的底边也成比例。
例如，若三角形ABC∼三角形DEF，且有AH/DF = BH/EF，那么我们可以得出AB/DE = BH/EF。
3. 周长比例情况：如果两个三角形的周长成比例，那么它们的对应边长也成比例。
例如，若三角形ABC∼三角形DEF，且有AB+BC+AC/DE+EF+DF =AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以得出AB/DE = BC/EF =AC/DF。
三、例题解析为了更好地理解相似三角形的比例关系和对应边长，我们来看一个例题：已知在三角形ABC和三角形DEF中，∠B = ∠E，∠C = ∠F，且AB/DE = 2/3，AC/DF = 4/5。
相似三角形的比例关系与相似性质
相似三角形的比例关系与相似性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们之间存在一种特殊的关系，即比例关系。
本文将探讨相似三角形的比例关系以及相似性质。
一、相似三角形的比例关系在两个相似三角形中，对应的边长比例相等。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么我们可以得到以下结论：1. 边长比例：相似三角形的对应边长之比相等。
比如AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。
2. 高度比例：相似三角形的对应高度之比也相等。
比如AF/DE=BD/EF=CE/DF=k。
3. 中线比例：相似三角形的对应中线之比也相等。
比如AM/DN=BN/EN=CM/FN=k。
4. 角度相等：相似三角形的对应角度相等。
比如∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，以及∠ACB=∠DFE。
通过比例关系，我们可以通过已知的边长或角度来求解其他未知边长或角度。
二、相似三角形的性质在相似三角形中，不仅边长之比相等，角度之间也具有一些特殊的性质。
1. 比例定理：设有两个相似三角形ABC和DEF，他们的边长比例为AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么他们的任意一边之间的比例也相等。
即AB/BC=DE/EF=AC/DF=k。
2. 应用性质：利用相似三角形的比例关系，可以在实际问题中应用。
比如在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的性质，通过测量影子的长度和角度来计算高楼的高度。
3. 相似三角形的面积关系：在相似三角形中，面积之比等于边长之比的平方。
比如面积S1/S2=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
4. 重心和垂心：在相似三角形中，两个三角形的重心和垂心也具有相似的关系。
比如重心G1和G2之间的距离比为G1G2/DE=k，垂心H1和H2之间的距离比为H1H2/DE=k。
相似三角形的比例关系和性质在几何学和实际生活中具有广泛的应用。
通过理解和应用这些关系，我们可以更好地分析和解决各种与相似三角形有关的问题。
相似三角形的比例关系与比例定理
相似三角形的比例关系与比例定理相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在研究相似三角形时，比例关系和比例定理起着重要的作用。
它们无论在几何学还是实际应用中都具有广泛的应用。
本文将详细介绍相似三角形的比例关系和比例定理，并通过实例加以说明。
1. 比例关系：在相似三角形中，相应边的长度之间存在着比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF这表示两个相似三角形中相应边的长度之间的比值是相等的。
比例关系可用来计算未知边长或角度的值，同时也可以用来进行图形的放缩。
2. 比例定理：比例定理是指在一个三角形内部，若一条直线平行于另两条边，则该直线将三角形切割成了三个相似的三角形。
具体而言，设在三角形ABC中，有一条直线DE与边AB和边AC分别平行。
则有以下比例关系成立：AD/DB = AE/EC这表示切割后的三个三角形中，对应边的长度之间的比值是相等的。
比例定理可以用来求解线段的分割比例问题，也可以应用于解决实际问题，如地图的缩放等。
下面通过一个实例来说明相似三角形的比例关系和比例定理的应用。
例题：已知∠A为直角，BC是直角三角形ABC的斜边，D是BC的中点，且AD平分∠BAC。
证明：∆ABC和∆ACD相似。
解：首先，根据已知信息，我们可以知道∆ABC是一个直角三角形，且有AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠DAC。
又因为D是BC的中点，所以BD=DC。
根据这些已知信息，我们可以通过比例关系证明∆ABC和∆ACD相似。
对于∆ABC和∆ACD的比例关系，我们可以考察三条边之间的比值。
∆ABC中，∠B是直角，BC是斜边，则根据勾股定理可得AB²+BC²=AC²。
∆ACD中，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC，再结合BD=DC，我们可以得出∆ACD中的两边比值：AB/AD = AC/CD。
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相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式
【知识疏理】
一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！
若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。
二， 相似三角形证明的变式
1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：
例1、 已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。
求证：DA
·AC=BA ·AE
图2
题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。
2，对特殊图形的认识
例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90º，BD ⊥AC 于点D 。
图3
（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ （2） 用语言叙述第（1）题的结论。
（3） 写出相似三角形对应边成比例的表达式。
总结：
（1） 有一对锐角相等的两个直角三角形相似；
（2） 本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等；
A
B C A'B'C'图（4）图1 B A
C
双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。
在此基础上，将双垂直图形转化
为“公边共角”，讨论、探究， A
B
C
得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。
【课堂检测】 一选择题
1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（ ）
A 、3100
B 、20
C 、54
D 、25
108
2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（ ）
A 、 51
B 、61
C 、71
D 、9
1
D C Ａ Ｄ
O Ｐ
A B Ｂ Ｃ （第2题图） （第4题图）
3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（ ）
A 、1：2
B 、1：4
C 、1：8
D 、1：16
4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是 （ ）
Ａ、3：２ Ｂ、２：３ Ｃ、3：３ Ｄ、３：４
5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ）
A 、AE BC AD A
B = B 、AD B
C AE AC = C 、AE BC DE AB =
D 、AD AB
AE AC =
A C E B
O
D C
E A D B （第5题图） （第6题图）
6、如图，直角三角形ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则下列说法中正确的有（ ）
① 图中有4个三角形与△ACB 相似； ② ;2EC AE DE •=
③∠A=∠BCD=∠CDE ； ④
BD
CE
AC AD =
； ⑤ 若AC=4，BC=3，则CD=316 ； ⑥DB
AD EC AE =。
A 、6个 B 、5个 C 、4个 D 、3个
7．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ）
A 、9∶5
B 、81∶25
C 、3∶ 5
D 、不能确定
8．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
9．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） A 、AD • BD=CD 2 B 、AC •BD=CB •AD C 、AC 2=AD •AB D 、AB 2=AC 2+BC 2
10．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG
GA
的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
11．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、8
12．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则BD ∶AD 等于（ ） A 、a ∶b B 、a 2∶b 2 C 、 a ∶ b D 、不能确定
二，填空题
1、如图,在△ABC 中,DE ∥BC , AD ：AC=2：1，则△ADE ∽△ ，∠C=∠ △ABC 的面积：△ADE 的面积= .
C
A A E
D 1
E D G E
A D
B B
C B F C
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2、已知:如图,直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E,且∠1=∠B 则
)
(
)()(
)()(
)(==. 3、如图,DE ∥BC,则△ ∽△ ,若AD=3,BD=2,AF ⊥BC,交DE 于 G ,则AG:AF= ： , △AGE ∽△AFC,且它们的相似比为 .
4、如图,平行四边形ABCD 中,P 是CD 上的一点,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边形ABCD 的面积= ,S △BCP ：S △APD ：S △APB = ： ：
5、已知：如图,梯形ABCD 的上底CD=10cm,下底AB=28cm,高为12cm,点M 为腰AD 、BC 的交点,则点M 到上底CD 的距离为 cm,点M 到下底AB 的距离为 cm.
D P C M
D C
A B A B （第4题图） （第5题图） 6、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥AB ，BD ⊥，则下底AB 的长是 . 7、如图，在△ABC 中，DE ∥BC,且△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为是3:7，若DE=15cm,则BC= cm, AD:BD= .
A A
D E
B C B (第7题图) (第8题图)
8、如图，在△ABC 中，AB=12，AC=15，D 为AB 上一点，且AD=
AB 3
2
，在AC 上取一点E ，使以A 、D 、E 为顶点的三角形和△ABC 相似，则AE 等于 .
9、若△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB=3，A 1B 1=4.5，且S △ABC +S △111C B A =78，则S △111C B A = .
10、如图，CD 是直角三角形ABC 斜边上的高，（1）若AD=9cm,则BD= ； （2）已知AB=25cm ，BC=15cm ，则BD= . C
A D B
【强化练习】
1、已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC ，AC 且BD=CE,AD 、BE 相交于点M
(1)△AME ∽△BAE; (2)BD 2=AD ⨯DM.
2、已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线EF 交CB 的延长线于点F, 求证：FC FB FD •=2 A
E
F B D C
3、已知：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=900,过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F 。
求证：DA DF EF •=2
D
F A
E
B C
4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ADB=90°,CD ⊥AB 于C ，AC=20CM,BC=9CM,求AB 及BD 的长
5、如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，并且CE=CD, ∠EAC=∠B,求证：ΔAEC ∽ΔBDA,DC 2=AD •AE
A B C
D A B C D E。