二阶常微分方程边值问题
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矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
微分方程中的边值问题与初值问题
微分方程中的边值问题与初值问题微分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
边值问题和初值问题是微分方程的两类基本问题。
本文将重点讨论微分方程中的边值问题与初值问题，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、边值问题边值问题是指在给定的区间内，求解微分方程的解在区间两个端点处满足一些给定的条件。
通常情况下，边值问题的求解需要利用方程的边界条件来确定解的形式。
对于一阶微分方程，边值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(a) = \alpha \\y(b) = \beta \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$a$和$b$是区间的端点，$\alpha$和$\beta$是给定的常数。
边值问题的求解可以利用一些经典的数值方法，如有限差分法、有限元法等。
这些方法将边值问题转化为一个离散的数值问题，并通过迭代求解来逼近真实的解。
边值问题在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用。
例如，在弹簧振动系统中，可以通过求解边值问题来确定系统的稳定状态。
在电路分析中，可以利用边值问题求解电路中的电压、电流分布等问题。
二、初值问题初值问题是指在给定的初始条件下，求解微分方程的解在某一点处的值。
与边值问题不同，初值问题只需要确定方程在某一点的解，而不需要确定整个区间上的解。
对于一阶微分方程，初值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(x_0) = y_0 \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$x_0$是初始点的横坐标，$y_0$是初始点的纵坐标。
初值问题的求解可以采用一些经典的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算微分方程的斜率和步长，逐步逼近解的真实值。
初值问题在物理学、控制系统和经济学等领域有广泛应用。
带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值问题正解的存在性
Ｖ０． １２５ Ｎｏ． ４
０ｅ ．２ １ ｔ ０２
文章 编号 ：０ ４ ８２ （０ ２ ０ － ２ １０ １０ － ８ ０ ２ １ ）４ ０ ５ － ５ －
带 非 齐 次 边 界 条 件 的 二 阶 常 微 分 方 程 边值 问题 正解 的存 在 性
谢 春 杰
（ 西北师范大学数 学与统计 学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０７ ） ３ ００
（ ¨ ｄ ＝１ ｙ ｓ ｃ ） ｃ Ａ Ｉ ㈩州 ＋
由 （ ）知 ｐ ＋６ Ｈ１ ：＝ ｃ＋伽 ＞０ 则 ，
ｄｙ ） Ｍ ＋・ Ｊ（ Ｄｓ ＋ ］
解 的 Ａ。 Ｂ值 如下 ：
算 子． 引理 １１ 设 Ｐ为 Ｂ ｎｃ 间 Ｘ中 的体 锥 ， ［ ａａｈ空 ０
摘要 ： 运用 一凸算子理论研究了带非齐次边界条件的二阶常微分方程边值 问题 ｆＰ ｔ （） ＋ｈ ｔＩ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ （） ｔ ） （）（ 厂 ， ０１， Ｌｕ Ｏ ａ （ ）一６ （ ） （ ） ＝ ［ ｐ Ｏ ０ ］十Ａ， Ｃ（ ）－ （ ） （ ） ＝卢 Ｍ Ｕ １ Ｉ １ １ － ［ ］＋
（ （）， ｔ ） Ｐ ｔ １（ ） ＋Ｙ ｔ ２ （ ）＝０ ｔ∈ （ ， ） （ ） ， ０ １ ， ５
１ 预 备 知 识
本文 总假定 ：
（ ） ∈ Ｃ ［ ，］ （ Ｈ１ Ｐ （ ０ １ ，０，＋∞ ） ， ∈ Ｃ（０， ） ｈ ［
１ ，０ ＋∞） ， ］［ ， ） 并且 （） ０ １ ￡ 在［ ，］的任意子区间
的文献 研 究 了非 齐 次 边 值 问 题
，特 别 地 ，文
［ ， ］分别 考 虑 了方 程 （ ）在 非齐 次边 界条件 ８ ９ １
Ｍ０ （）＝０Ｍ１ ∑ｂｔ 和 ｕ（）＝０ ，（）＝ ｉｔ ｌ ）＋ （ ０ ，
奇异二阶常微分方程组边值问题的正解
收 稿 日期 ：２０ —２ １ ０ ８０ ３
基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 （０７ １７ ；ｔ东 科 技 大学 科 学 研 究 “ 蕾 计 划 ”２０ Ａ Ｚ ５ ） 国 １６ １６ ） ｈ 春 （０８ Ｚ ００
２ ２
应
用
泛 函
分
析
学
报
第 １ ２卷
（ 中 ｉ： ｌ２ 其 ，）只有零解 ． 后（ Ｙ （ 令 ， ） ｉ： １２ ，）为相应 于 （ ．） Ｇ ｅｎ函数 ． １２ 的 ｒ ｅ 引理 １１ ． 设 （Ｉ 满 足 ， ｝】 ｆ ） 则 （ Ｙ 在 ［ ， ］×［ ， ］ 是连 续 对 称 的 ， ， ） ０１ ０ １上 且 （ ｙ ， ）≥ ０ ，
奇 异 二 阶 常 微 分 方 程 组 边 值 问题 的 正解
李红 玉。 孙 经先 ，
（ ．“ 东科 技 大 学 信 息 科 学 与Ｔ 程 学 院 ，青 岛 １ Ｉ （ ． 州 师 范 大 数 学 系 ，徐 州 ２ １ １ ） ２ 徐 ２ １ ６ ２６ １） ６ ５ ０
摘 要 ： 在 线 算 子 的 谱 半 径 相 关 的似 设条 件 下 ， 用 拓 扑 方 法 研 究 Ｉ 一 类 若 ＿ 阶 常 微 分 方 程 组 利 ｒ ＝ ｔ 边 值 问题 ， 到 了正 舒 的 得 乍 性．
：０ １ 一 ［ ， ）连续 （ ） （ ，） ０ ＋ ｈ（ 在 ＝０或 ＝ １ 允许 是奇 异 的 ） 处 ，ｉ＝ １２ 相 应于 （ ． ） ，． １１
的 齐 次 方 程
。 （ Ｈ『 ０）＋ ｃ『 Ｍ ｉＬ＝ ，（ ）＝ ０， 上（１）＋ ｄ ，（１） ＝ ０ ｆ ｚ０ ０ —． ６“ ‘ ２ ・
ｌ ｌ ｌ ＜｜ ． ｌ ｌ ０ ｝ 引理 １ ２ ． 设 Ａ： ｎ Ｐ— Ｐ全连 续算 子 ． 若存 在 ｕ 。∈ Ｐ＼｛ ｝ ０ 使得
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题（也称为常微分方程的定边值问题）是求解一个微分方程在一个给定的时间段上的特定解的问题，其中方程的解需要满足一些给定的边界条件。
这些边界条件通常指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值，或者其他一些特定的时刻或位置上的值。
例如，一个常见的常微分方程的边值问题是求解一个二阶常微分方程：
y''(t) = f(t, y(t))
其中，y(t) 是未知函数，f(t, y) 是一个已知的函数。
这个问题需要在给定的时间段 [a, b] 上求解，并且需要满足以下的边界条件：
y(a) = y_a
y(b) = y_b
这里，y_a 和 y_b 是给定的数值。
这些边界条件指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值。
常微分方程的边值问题在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
解决常微分方程的边值问题需要使用数值解法或者解析解法，其中数值解法通常更为实用，因为它可以通过计算机程序来求解。
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
二阶微分方程周期边值问题解的存在性
Ｉ Ｉ （ ， ＞ ［ ， ７ ４ ｛ Ｉ “ （ ） ］ — Ｉ Ｉ “ ≥＜ ） ７ 一Ｉ “ （ ） － ＋ —ｆｕ ｕ ｄ ｕ ｕ “ “ ７ ｔ ＩＴ１＋ｌ Ｉ７ ｄ—ｌ （， ７ｔ ｌ ｌ一Ｉ （ ） ｄ ｔ， １ ｔ ｕ） ｄ≥ ｉ ｉ ｕ ｕ ｔ ｕ ｕｌ ｆ Ｔｕ “ ｆ ７７，
则 连续可 且有‘ “， 一Ｉ ＋“ ＋ “ １ 一ｆｕｖｄ，， ∈Ｈ ． 题（） ＂ 微， （） ＞ ［ Ｉ Ｉ Ｔ （）］ｔ ｕ 则问 １ 的７ 周期 ｒ， ｔ ） “ －
收 稿 日期 ： ｏ ０ １ －８ ２ １ ２０
作 者 简介 ： 志 宏 （ ９ ６） 女 ， 西 吕梁 人 ， 袁 １８ ， 山 山西 大 学 数 学科 学 学 院 在 读 硕 士 研 究 生 ， 主要 从 事 非 线 性 泛 函 分 析
ｃ ＞ ｏ处 的 渐 近 性 和 山 路 定 理 ， 到 非 平 凡 解 的 多 重 性 结 果 ． 得 ［ 键 词 ］ 周 期 解 ；］ １ ７ ０ ７（ ０ｌ ） １ ００ ９ ０ ［中 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ９１ ［ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ ２ １ ０ ５ ３ ７． 文
（） ２ （） ３
２
≤ ｌ ｉｆ ） ｓ ｌ ｓ ｐ ’ ） ≤ ３ ｉ ｎ ｆ（ ／ ≤ ｉ ｕ Ｊ（ ／ ｍ ｍ ；
这 一 为Ｉ 里 ｌ
ｌ
－
ｕ
＇ ￣
一
ｕ ＝
Ｏ， ｆ ｔ
』
，
，
ｕ
Ｏ ［ Ｔ ］ ，Ｔ） （ 的最 小特 征值 ， 三 １ ０１ 三 是 对 应 的特征 函数 ． 三
４个非 平凡解 的结 果 ； ［ ］ Ｌｕ等 利 用 ＿ 文 １，ｉ 厂在 ０ Ｃ 处 的 渐 近 性 和 山 路 定 理 ， 论 了 ｐ Ｌ ｐａｉｎ问 题 在 ，＜ Ｄ 讨 － ａ ｌｃ ａ Ｄ ｒ ｈｅ 边值 条件下 解 的存 在性 ． ｉ ｃ ｌｔ ｉ 受此启 发 ， 本文 我们将 综合 运用 ［ ］ ［ ］ １ ，２ 中的方法 ， 研究 问题 （ ） １．
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
对所 有 ∈ｃ［ ，］边 ｏ１ ，
作者简 介 ： 李刚钊 （９ ５一）男 ， １８ ， 湖南衡 阳人 ， 南华大学数理学院硕士研究生． 主要研 究方向 ： 分数 阶微分方程
８ ２
南华 大学学报（自然科学版 ）
２１ 年 ｌ ０１ ２月
值 问
ｌ
ｆ ＋ｖ ￡ 一。 。 ￡ １ ｆ、
）Ｉ≤ ｌ（ ，）Ｉ， 义集合 Ｉ Ｉ ｕ Ｉ定
＝
｛ Ｍ ） （ ）ＥＰ，Ｉ “ ）Ｉ≤ ｝ （ ， Ｉ ， Ｉ（ ， Ｉ ｌ ，
则 当（ ，）∈ａ ｎＰ， 。 有 『 （ ，）ｌ≤ ｌ ｕｔ Ｉｄｇ１ Ａ， ，）＝１ Ｊ ｕ ｌ ｌ ，）『 ｅ（ 一 力Ｉ ａ （ ） ， ０ ．
等 价的积 分 方程 ， 用锥 不动 点定理 ， 利 获得 了方程 解 的存 在 性 的充分 条件． 关键 词 ： 正解 ； 三点 边值 问题 ； 不动点 定理 锥
中图分类 号 ： ２ １８ ０ ４． １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｔｈ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎｓｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｉ ｕｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｅ Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｒ ｅ ｐｏｎｔＢｏ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
何子 区间上不 一致趋 于零 ．
（ ）ｏ＝ ｌ ｍ ｆ ｉ ｍ
＋
Ａｘ 了 ）＞
＝ｌｒ ｉ ａ
枷
＋
＞ ０，
变量 ， 而是 整体 去考 虑的 ．
讨论 如 下三 点边 值 问题 的 正解 问题 ：
＝
掣 ＞ ＝ ）Ｑ 一 （＞ ｌ — ｉｘ — ｍ ∞ ｇ
，
ｆ ｔ ＋Ａ （）（ ￡ ） ０， ｕ（） ０ ￡厂 （） ＝ ０＜￡ ， ＜１ 【 ｔ （）＋Ａ （）（ （） ００＜ ＜１ ｂ ｔ－ Ｍ ｔ ）＝ ， ｔ ， 厂
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成绩：
批阅教师签名：
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法。
类似地，我们还可以给出二阶微商 和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得
进而有
(2.28)
其中 .
因此，二阶导数 的差分近似表达式[8]为
(2.29)
实验内容（方法和步骤）：
差分法代码如下
clc;
clear all
h=0.05;
%x属于【a,b】
a=-1;b=1;
x=a:h:b;
定理：设方程(2.1)中的函数 及 ， 在区域
内连续，并且
(ⅰ) ；
(ⅱ) 在 内有界，即存在常数 ，使得
， ，
则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。
我们假设函数 可以简单地表示成
，
即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题
(2.5)
三、有限差分法：
有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
有限差分逼近的相关概念
设函数 光滑，且 ，利用Taylor展开，可得
(2.19)
(2.20)
由(2.19)可以得到一阶导数的表达式
(2.21a)
或者
(2.21b)
同理由(2.20)式可得
(2.22a)
或者
(2.22b)
其中 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 的差分近似表达式为
(2.23)
(2.24)
我们在整个实验中，感觉最困难的就是对于差分法的理解以及程序的编写上面。我们查询了各种有关于常微分方程边值问题、有限差分法、二阶常微分方程的资料以及论文，差分法实际上就是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件。有一点要注意，我们这个算法只适合用于等间隔差分。
做了这道题之后，感觉我们对于常微分边值问题有了更进一步的理解，尤其是各种思维之间的转换尤其重要，在今后的数学学习中，希望我们能够灵活的运用。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
课程名称：数值代数课程设计
指导教师：刘兰冬
班级：
姓名：
学号：
实验项目名称：
二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求：
二阶常微分方程边值问题
，
（该问题真解为： ）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。
实验原理：
一、微分方程：
微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
， (2.1)
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
， (2.2)
第二类边值条件
， (2.3)
第三类边值条件[19]
， (2.4)
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商 的精度为一阶，即为 ，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得
(2.25)
从而可以的到
(2.26a)
或者
(2.26b)
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
(2.27)
由此可知，(2.16)差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
n=length(x);
%定义y
syms y;
y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));
hold o=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
批阅教师签名：
常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解。虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法。
类似地，我们还可以给出二阶微商 和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得
进而有
(2.28)
其中 .
因此，二阶导数 的差分近似表达式[8]为
(2.29)
实验内容（方法和步骤）：
差分法代码如下
clc;
clear all
h=0.05;
%x属于【a,b】
a=-1;b=1;
x=a:h:b;
定理：设方程(2.1)中的函数 及 ， 在区域
内连续，并且
(ⅰ) ；
(ⅱ) 在 内有界，即存在常数 ，使得
， ，
则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。
我们假设函数 可以简单地表示成
，
即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题
(2.5)
三、有限差分法：
有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。
ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
实验结果与分析：
差分法结果如下：
从图上我们可以看到，可以得到函数图像确实十分接近理论上的解答，差分二阶导数比起差分一阶导数来说，更加接近原函数。差分二阶导数在后面几乎能跟原函数重合，是非常好的求边值问题的方法。
有限差分逼近的相关概念
设函数 光滑，且 ，利用Taylor展开，可得
(2.19)
(2.20)
由(2.19)可以得到一阶导数的表达式
(2.21a)
或者
(2.21b)
同理由(2.20)式可得
(2.22a)
或者
(2.22b)
其中 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的 的差分近似表达式为
(2.23)
(2.24)
我们在整个实验中，感觉最困难的就是对于差分法的理解以及程序的编写上面。我们查询了各种有关于常微分方程边值问题、有限差分法、二阶常微分方程的资料以及论文，差分法实际上就是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件。有一点要注意，我们这个算法只适合用于等间隔差分。
做了这道题之后，感觉我们对于常微分边值问题有了更进一步的理解，尤其是各种思维之间的转换尤其重要，在今后的数学学习中，希望我们能够灵活的运用。
微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。
课程名称：数值代数课程设计
指导教师：刘兰冬
班级：
姓名：
学号：
实验项目名称：
二阶常微分方程边值问题
实验目的及要求：
二阶常微分方程边值问题
，
（该问题真解为： ）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。
实验原理：
一、微分方程：
微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
end
plot(x,y,'r','linewidth',2)
plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);
plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);
legend('原函数','差分一阶导数','差分二阶导数')
xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
二、二阶常微分方程
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：
， (2.1)
边值条件有如下三类[9]：
第一类边值条件
， (2.2)
第二类边值条件
， (2.3)
第三类边值条件[19]
， (2.4)
其中 ， ， ， 。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商 的精度为一阶，即为 ，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得
(2.25)
从而可以的到
(2.26a)
或者
(2.26b)
其中， .
可得一阶导数 的差分近似表达式为
(2.27)
由此可知，(2.16)差商逼近微商 的精度为二阶，即为 。
n=length(x);
%定义y
syms y;
y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));
hold o=zeros(1,n);
for i=2:n-1
yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);
yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。