相似三角形六大证明技巧

相似三角形六大证明技巧
相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.
示意图
结论
E D C
B
A
反A 型：
如图，已知△ABC ，∠
ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB.
若连CD 、BE ，进而能证
相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法
“类射影”与射影模型
“旋转相似”与“一线三等角”
巩固练习 反A 型与反X 型
已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）
AE AB AF AC
⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，
∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB
O
F E
C
B
A
类射影 如图，已知
2AB AC AD
=⋅，求证：
BD AB
BC AC
=
A B
C
D
射影定理
已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：
2AC AH AB
=⋅，2
BC
BH BA
=⋅，2
HC
HA HB
=⋅
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的
比例式的证明方法
利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算
【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长
线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE
AD
=．
A
B
C
F
D
E
【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，
DM BC
⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME
=⋅
技巧一：
C
B
A
E
D
M
【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，
ABC
∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求
证：BF AB
BE BC
=．
D
B
A
C
F E
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC，AD 平分∠BAC ，AD 的
垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2
FD
FB FC
=⋅
A
B
C
D
E
F
【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在
技巧二：等
边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求
证：AC BE CE AD ⋅=⋅．
C
B
A
D E
F
【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，
∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
2AB BE CD
=⋅
A
B
C
D
E
【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD
上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2
BP
PE PF
=⋅．
C
B
A
D
P
E
F
技巧三：
【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线于F，求证：
2
OB OE OF
=⋅．
O
F E
D
C
B
A
【例9】如图，在ABC
△中，已知90
A
∠=︒时，AD BC
⊥于D，E为直角边AC的中点，过D、E作直
线交AB的延长线于F．求证：AB AF AC DF
⋅=⋅．
E
F
C
A
B
D
【例10】如图，在ABC
△中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD AE
=，
直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：
BP CE CP BD
⋅=⋅
E C
D B
A
P
【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、
交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：
2HE HG MH
=⋅．
A B
C
D
E H
G
M
【例12】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，
DF AC
⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠C
F
E
D
C
B
A
【例13】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为AC 中点，
AE BD
⊥，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠．
C
B
A
D
E
技巧四：
P
M
N D A
B
C
【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中
点，MN ⊥BC ，求证2
MN
AN NC
=⋅
【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分
别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF 分别交AC 于M 、N .，求证：
AM =CN. F
M
N
E
D
C B
A
【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，
过A 点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .
D
C
B
A
E
M N
【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P
为AB 上任意一点，
PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：
技巧五：证等
PM =PN ，MN //AB .
C
B
A
P E
F
N M
【例18】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，
CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE 与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .
P
N
M E
F
D A
B
C
【例19】 （※）设E 、
F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：
1
3
RS PQ
C
B
A
D
P Q
S
E F
G
R
【例20】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上
任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .
Q
N
S
P
R
K
M
O D
C B
A
【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC
中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，BF ⊥AD 于G ，交AC 于点M ，EG 的延长线交AB 于点H .（1）求证：AH =BH ，（2）若∠BAC =60°，求FG
DG
的
值.
技巧六：
H M
F G
E
D C
B
A
【例22】（2016七一华源）如图：正方形ABCD 中，点E、点F、点G分别在边BC、
AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：
（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE
＋CG＝AF。