相似三角形六大证明技巧
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相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.
示意图
结论
E D C
B A
反A 型：
如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·
AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)
O D
C
B
A
反X 型：
如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .
“类射影”与射影模型
示意图
结论
A B
C
D
类射影：
如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·
AC. C
A
B
H
射影定理
如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图
结论
相似三角形6大证明技巧
相似三角形证明方法
A
B
C
D
E
旋转相似：
如图，已知△ABC ∽△ADE ，则
AB AD
AC AE
=，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ）
C
B
A
E
D
一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ）
巩固练习 反A 型与反X 型
已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB
O
F E
C
B
A
类射影
如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：
BD AB
BC AC
= A B
C
D
射影定理
已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法
比例式的证明方法
技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算
【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：
DC CF AE AD
=．
A
B
C
F
D
E
【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于
D ，交AB 于
E ．求证：2AM MD ME =⋅
C
B
A
E
D
M
【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，
交AD 于F ．求证：
BF AB
BE BC
=． D
B
A
C
F
E
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于
F ，求证：2FD FB FC =⋅
技巧一：三点定型
技巧二：等线段代换
A
B
C
D E
F
【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，
ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．
C
B
A D E
F
【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
2AB BE CD =⋅
A
B
C
D
E
【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，
延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．
C
B
A
D
P
E
F
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线
于F ，求证：2OB OE OF =⋅．
技巧三：等比代换