1.3(1)解直角三角形2012.10
1.3 解直角三角形(1)
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
解直角三角形是指根据三角形已知的某些条件，推导出其他未知的角度或边长。
在解直角三角形时，常用到三角比例、勾股定理等概念和公式。
下面将详细介绍解直角三角形的方法和步骤。
一、已知两边长度求角度当已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以通过求解正弦、余弦、正切等三角比例来确定其他两个角度的大小。
假设已知直角三角形的两条直角边长度分别为a和b。
1. 解正弦比例根据正弦定理，sinA=a/c，sinB=b/c，其中c为斜边的长度。
可根据已知的a和b，解出c，然后利用反正弦函数求解出A和B的大小。
2. 解余弦比例根据余弦定理，cosA=a/c，cosB=b/c，同样可以根据已知的a和b解出c，然后求解出A和B的大小。
3. 解正切比例根据正切定理，tanA=a/b，tanB=b/a，可以通过已知的a和b求解出A和B的大小。
二、已知一边长度求其他边长和角度当已知一个直角三角形的一个直角边和一个锐角边的长度时，可以通过勾股定理求解出另一个直角边的长度，并进一步求解出其他角度和边长。
假设已知直角三角形的一个直角边长度为a，一个锐角边长度为b。
1. 求解斜边的长度根据勾股定理，a²+b²=c²，可以解出斜边c的长度。
2. 求解未知角的大小根据已知的三边长度，利用正弦、余弦、正切等三角函数，可以求解出其他两个角的大小。
3. 求解另一个直角边的长度根据已知的斜边长度和一个直角角度，可以利用正弦、余弦等三角函数，求解出另一个直角边的长度。
三、应用解直角三角形的例子解直角三角形的方法在实际生活中有广泛的应用。
比如在测量、建筑、地理等领域都需要用到解直角三角形的知识。
1. 测量在测量中，我们常常需要通过已知的边长测量出其他未知的边长或角度。
例如在测量高楼建筑的高度时，可以利用解直角三角形的方法。
通过观察建筑物的倾斜角度，可以利用三角函数求解出建筑物的高度。
1.3 解直角三角形
1.3解直角三角形一、选择题1.cos30°的值是（ ） A. √22 B. √33 C. 12 D. √322.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是（ ）A. sinA =57B. cosA =57C. tanA =57D. cotA =573.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC 的长为（ ）A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D. 7cos35°4.如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边BC 的长是（ ）A. msin35°B. mcos35°C.m sin35° D. m cos35° 5.如图,在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA= 35，AE ＝6，则tan ∠BDE 的值是( )A. 43B. 34C. 12 D. 2:16.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，b= √3，则∠A=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A. 5mB. 6mC. 7mD. 8m8.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是（ ）A. 34B. 43C. 35D. 45 9.如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知sin ∠CDB= 35，BD=5，则AH 的长为（ ）A.253B.163C.256D.16610.如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点,则sin ∠ABC 的值为( )A. 3√510B. 2√55C. 2D. √55二、填空题11.计算：2sin 245o −tan45o = ________．12.已知α为一锐角，化简：√(sinα−1)2+sinα=________ ．13.计算：√12﹣2tan60°+（√2017﹣1）0﹣（13）﹣1=________． 14.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列式子：①a=c•sinB ，②a=c•cosB ，③a=c•tanB ，④a= ctanB ，必定成立的是________．15.如图，若点A 的坐标为(1，√3)，则sin ∠1=________．16.如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以每小时10海里的速度航行，甲沿南偏西75°方向以每小时10 √2海里的速度航行，当航行1小时后，甲在A处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时？17.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是________ 海里．18.如图，从一运输船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则点A到灯塔BC的距离约为________（精确到1cm）．19.如图所示，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12米，塔影长DE=18米，小明和小华的身高都是1.6米，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2米和1米，那么塔高AB为________米。
解直角三角形的方法和技巧
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。
解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。
下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。
一、基本类型1. 已知两边求斜边在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。
勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。
其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。
2. 已知斜边求直角边如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。
这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。
其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。
3. 已知三角形内角求其它角的大小在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。
因为在直角三角形中，除直角外的另外两个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。
二、解法1. 勾股定理解法勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。
此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。
2. 直角三角形定理解法在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。
在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。
如果仅知道斜边和其中一个直角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。
3. 正弦定理及余弦定理解法在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。
正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
在解析直角三角形时，我们可以利用三角函数的概念和公式来求解其余的角度和边长。
本文将介绍如何解直角三角形的相关知识和方法。
角度在直角三角形中，有一个角度度数为90度，称为直角。
其余两个角度称为锐角或钝角，其度数之和为90度。
我们可以用数学函数来表示直角三角形中的角度。
•正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数可以表示为sinA = 对边A / 斜边。
•余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数可以表示为cosA = 临边A / 斜边。
•正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数可以表示为tanA = 对边A / 临边A。
边长关系在直角三角形中，三条边的长度之间存在一定的关系。
我们可以利用这些关系来求解未知边长。
•斜边（斜线）：直角三角形中最长的一条边称为斜边，通常用c表示。
•对边：对直角的两边称为对边，记作a和b。
•临边：与直角相邻的一边称为临边。
根据勾股定理我们可以得到以下公式： - c^2 = a^2 + b^2（斜边的平方等于两个直角边的平方和） - a = √(c^2 - b^2)（已知斜边和另一条直角边求另一条直角边） - b = √(c^2 - a^2)（已知斜边和另一条直角边求另一条直角边）解直角三角形的步骤下面将介绍一种常用的方法来解直角三角形。
1.已知两个边长求第三条边：–已知斜边和一条直角边，可以直接利用勾股定理计算第二条直角边的长度。
–已知一个直角边和另一条直角边，可由勾股定理求出斜边的长度。
2.已知一个角度和一条边，求另外两条边：–已知一个锐角和一条直角边，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切来求出未知的边长。
–可以根据给定的角度来确定是使用哪个三角函数。
例如，已知锐角A和斜边c，要求求出对边a和临边b：–当需要求对边a时，可以使用正弦函数：sinA = a / c，解出a = sinA * c。
–当需要求临边b时，可以使用余弦函数：cosA = b / c，解出b = cosA * c。
解直角三角形
解直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
解直角三角形，就是通过已知的信息，求取直角三角形的各边长或者角度的过程。
下面将介绍两种解直角三角形的常用方法：勾股定理和三角函数。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的方法之一。
它表明，直角三角形的斜边长度的平方等于另外两边长度的平方之和。
设直角三角形的两个边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理的表达式为：c² = a² + b²利用勾股定理可以解决以下两种问题：1. 已知两条边的长度，求解第三条边的长度：若直角三角形的两条边分别为3cm和4cm，求解斜边的长度c。
根据勾股定理的表达式可得：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = √25c = 5所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知一条边的长度和斜边的长度，求解另一条边的长度：若直角三角形的斜边长度为5cm，一条边的长度为3cm，求解另一条边的长度b。
根据勾股定理的表达式可得：5² = 3² + b²25 = 9 + b²16 = b²b = √16b = 4所以，另一条边的长度为4cm。
二、三角函数除了勾股定理外，三角函数也是解直角三角形的重要方法。
在直角三角形中，正弦、余弦和正切是最常用的三角函数。
下面以解决两个常见的问题为例介绍三角函数的运用。
1. 已知一条边的长度和夹角，求解另一条边的长度：若直角三角形的一条边长为6cm，夹角为30°，求解另一条边的长度a。
根据正弦函数的定义可得：sin(30°) = a / 6a = 6 * sin(30°)a ≈ 3所以，另一条边的长度约为3cm。
2. 已知两条边的长度，求解夹角的大小：若直角三角形的两条边分别为4cm和7cm，求解夹角θ。
根据正弦函数的定义可得：sin(θ) = 4 / 7θ = arcsin(4 / 7)通过计算可得，θ约为42.48°。
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为直角（即90度）。
解直角三角形的基本类型及解法是初中数学中非常重要的一部分。
本文将详细介绍直角三角形的基本类型和解法，并给出一些例题。
一、基本类型直角三角形的基本类型包括三种情况：已知两条直角边，已知直角边和一条锐角边，已知一个直角边和一条直角边上的中线（中线一端是直角边，另一端平分对边）。
情况一：已知两条直角边此时可以直接用勾股定理进行计算。
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它指出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a² + b² = c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。
情况二：已知直角边和一条锐角边此时需要利用正弦定理、余弦定理或解直角三角形的“特殊三角形”。
正弦定理指出，对于任意三角形ABC，有sinA/a=sinB/b=sinC/c。
对于直角三角形ABC，可以得到sinA/a=sinB/b=1/c，即c=b/sinB。
余弦定理指出，对于任意三角形ABC，有a²=b²+c²-2bc*cosA，b²=a²+c²-2ac*cosB，c²=a²+b²-2ab*cosC。
对于直角三角形ABC，可以得到a²=b²+c²，即代码中常见“a²+b²=c²” 的形式。
“特殊三角形”指的是30度-60度-90度和45度-45度-90度两种特殊情况。
这两种直角三角形的比例关系可以用解方程的方法求得。
30度-60度-90度三角形中，大边对应60度，小边对应30度，斜边对应90度。
而45度-45度-90度三角形中，两条直角边相等，斜边是直角边的根号二倍。
情况三：已知一个直角边和一条直角边上的中线因为中线是直角边的一半，此时可以利用勾股定理计算求出另一条直角边，然后按照情况一或情况二的方法来求解。
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3 1.732
B
F
你能根据图上信息，提出一个用锐角三角 函数解决的实际问题吗？试一试
P
A
30° 45° 400米 B
C
30° 45°
1 2
60°
3 2
1 2
2 2
2 2
3 2 3 3
1
3
1、在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，c=8，求b，∠A ，∠B
（2）已知b=10，∠B=60°，求 ∠A ，a，c． （3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B,，a，b． 定义： 由直角三角形中的 （4）已知a=1，b= 3 ，求c，∠A， ∠B 已知元素，求出所有 末知元素的过程，叫 做解直角三角形.
（这两个元素中至少有一条边）
（一锐角、一直角边或一斜边） （4）已知a=1，b= 3 ，求c，∠A， ∠B
②、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）
练一练：（P17作业题1） 在Rt△ABC中，∠C=90° ， （1）已知 ∠A和c，则 sinA ； a= c· A cosA ； b= c· （2）已知 ∠B和b，则
1.3 解直角三角形(1)
1、直角三角形中元素间的三种关系：
(1)两锐角关系 ：∠ A＋ ∠ B＝ 90º (2)三边关系： a2＋b2＝c2 （勾股定理）； (3)边与角关系： sinA＝ cosA＝
a
c
B
a
A
b
C
c b
c a tanA＝ b
2、特殊角是三角函数值：
α
sinα cosα tanα
1、解直角三角形需要什么条件？
至少要知道两个元素 1、在Rt△ABC中，∠C=90°：
2、解直角三角形的条件可分为哪 （2）已知b=10，∠B=60°，求 ∠A ，a，c． 几类？
（3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B,，a，b． ①、已知一锐角、一边
（1）已知a=4，c=8，求b，∠A ，∠B
71
2
（
3 ≈1.732 ）
（P16课内练习1）
例2、已知平顶屋面的宽度L为10m，坡顶的 设计高度h为3.5m,你能求出斜面钢条的 长度和倾角α。 （长度精确到0.1m，角度精确到1 °） 10 (tan34.9920°≈0.7， tan55.0080°≈ ) 7
A
a
B
α
D
C
2、如图，在Rt△ABC中,∠A=30°, 3 tanB= ，AC=2 3， C 2 求AB.
A 解：∵ ∠C=90 ° ∠A=50 ° ∴ ∠B=40 ° a b ∵ sin A AB ∴ a=AB· sinA=3sin50°≈2.3 C b ∵ cos A AB ∴ b=AB· cosA=3cos50°≈1.9 3
3
a
B
1、在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B和 ∠C的对边，∠C=Rt∠，根据下列条件解直角三 角形（边长保留2个有效数字，角度精确到1°） （1）c=10， ∠A= 30°（ 3 ≈1.732） （2）b=4， ∠B= 72°（sin 72° ≈0.951， cos 72° ≈0.309，tan 72° ≈3.078） 5 （3）a=5，b=7 （ sin 45.58° ≈ 7 5 cos 44.42° ≈ ， 6 ≈2.449） （4）a=20， sin A=
a=
b tan B b sin B
；
b C
c
c=
；
b 2 tan B
2
a
B
△ABC的面积是
；
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A=50°，AB=3。求∠B和a，b （sin50°≈0.7660，cos 50 ° ≈ 0.6428, tan 50 ° ≈ 1.1918，边长保留2个有效数字）
A
D
B
3、一个住宅区的配电房如图，是一个轴对称图 形，求配电房房顶的高（精确到0.1m） sin35°≈ 0.5736， cos35°≈0.8192 ， tan35°≈0.7002， （P17作业题5）
35°
0.3
2.5 3
4、在一张长方形纸片ABCD中，AD=25cm， AB=20cm，点E，F分别是CD和AB的中点， 现将这张纸片按图示方式折叠，求∠DAH的大 小及EG的长（精确到0.1cm） E C （P17作业题6） D