空间中的角终稿

空间中的角
1.空间的角
(1)异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎥⎤0，π2
(2)直线与平面所成的角的范围⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ①平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．范围是（)2
,0π
； ②直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；
③直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角
如图在二面角α­l ­β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别 作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则∠AOB 叫做二面角的平面角． 范围是[0，π]．
2．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为1m ，2m ，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈1m ，2m 〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足 sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小
(ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α­l ­β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →
〉．
(ⅱ)如图②③，1n ，2n 分别是二面角α-l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
cos θ＝cos 〈1n ，2n 〉或－cos 〈1n ，2n 〉．
典型例题
（一）异面直线所成的角
1、.已知正方体1111ABCD A BC D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为 .
2、三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 。

（二）直线与平面所成的角
1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所
成的角为α，则sin α的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
2、四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，
BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，
于点H G F ，，
. （I ）证明：四边形EFGH 是矩形；
（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.
3、如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，
过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

（三）二面角
1、直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

12AA AC CB ===2
2AB （Ⅰ）证明：1//BC 平面11ACD ； （Ⅱ）求二面角E C A D --1的正弦值。

2、如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0
120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、
DC 的中点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）求二面角E BF C --的正弦值.
3、如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面
ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=
，22AB CD ==， M 是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证：111//C M A ADD ；
（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD 且1CD =，
求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.
1
A
4、 如图，四棱锥ABCD P -，底面是以O 为中心的菱形，⊥PO 底面ABCD ， 2,3
AB BAD π=∠=，M 为BC
上一点，且1
,2
BM MP AP =
⊥. （1）求PO 的长；
（2）求二面角C PM A --的正弦值。

5、如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，
2
ABC BAD π
∠=∠=
,2,1PA AD AB BC ====
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长
6、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，
E-ACD 的体积.
D
7、如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,.,2
A B C
P C A C B D E π
=∠=分别为线段,AB BC 上的点，且
2 2.CD DE CE EB ====
（I ）证明：DE ⊥平面PCD
（II ）求二面角A PD C --的余弦值。

8、一个正方体的平面展开图和直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M,GH 的中点为N （I ）请将字母F 、G 、H 标记在正方体的直观意图相应的顶点处（不要求说明理由）
（II ）证明：直线MN 平面BDH （III ）求二面角A-EG-M 的余弦值
9、如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是
C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
()I 证明：CD ⊥平面1C A O ； ()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，
求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值
10、如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB 丄平面BEG ，BE 丄EC ，AB=BE=EC=2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.
(1)求证：GF//平面ADE
(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
11、如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，
60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．
(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；
(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
O
F
E
C
B
A。