空间中的角PPT教学课件
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高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间中的角PPT课件
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
B
2020年10月2日
12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
4
Ｆ
A
C
B
2020年10月2日
13
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
2020年10月2日
2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
2020年10月2日
3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
2020年10月2日
练习：
4
二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
P
2020年10月2日
C
O
B
A
9
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
B
2020年10月2日
12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
4
Ｆ
A
C
B
2020年10月2日
13
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
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空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
2020年10月2日
2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
2020年10月2日
3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
2020年10月2日
练习：
4
二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
P
2020年10月2日
C
O
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A
9
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
第7章 第7节 空间角(共16张PPT)
利用向量计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐 (钝)二面角． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以 垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
师生 共研
(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的 中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF.
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] 如图，长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E， F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的底面相交， 交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．
解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图： (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz， 则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)， F→E＝(10,0,0)，H→E＝(0，－6,8)．
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
空间角学习教材PPT课件
1、定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角
若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l在平面α内，则l与α所成角为0°
2、范围 ［0°，90°］ 3、求法 4、（最小角定理） 斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.
A D B
M
C
A1M = 22 12 = 5 ,
1 1 3 O1M = BD1 = 22 12 22 = , 2 2 2
由余弦定理得cos A1O1M =
1 2 2 5 A1O1 = 2 1 = , 2 2
5 5 , A1C1与BD1所成的角为 arccos . 5 5
二、直线与平面所成角
(A)(0°,40°)
(C)(40°,90°)
(B) (40°,50°)
(D) (50°,90°)
3.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.
A
O
C
B
A’ 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰 直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º B’ C’ 角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。 x 解： ACAB，ACBC’， AC平面 O ABC’，于是平面ABC’平面ABC，作C’O A x 3 平面ABC，则点O在BA延长线上, B C C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC， ， 在 OBC’中 BC’=2 6(已知） C’CO是侧棱与底面所成的角为60º
若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l在平面α内，则l与α所成角为0°
2、范围 ［0°，90°］ 3、求法 4、（最小角定理） 斜线和平面所成的角，是这条斜 线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.
A D B
M
C
A1M = 22 12 = 5 ,
1 1 3 O1M = BD1 = 22 12 22 = , 2 2 2
由余弦定理得cos A1O1M =
1 2 2 5 A1O1 = 2 1 = , 2 2
5 5 , A1C1与BD1所成的角为 arccos . 5 5
二、直线与平面所成角
(A)(0°,40°)
(C)(40°,90°)
(B) (40°,50°)
(D) (50°,90°)
3.下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面 内作射线所成角的最小角； ④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.
A
O
C
B
A’ 例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰 直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底面成60º B’ C’ 角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面所成的角。 x 解： ACAB，ACBC’， AC平面 O ABC’，于是平面ABC’平面ABC，作C’O A x 3 平面ABC，则点O在BA延长线上, B C C’BO就是BC’ 与底面所成的角，连 OC， ， 在 OBC’中 BC’=2 6(已知） C’CO是侧棱与底面所成的角为60º
人教A版数学必修一展示课课件空间角.pptx
C
又PB 平面ABCD,且PB=1,
E B
（2）求二面角D - PC - B的正弦值。D
A
分析
连BD,过B作BE PD于E,则BD CD 2
又BC 2，所以CD BD,因为PB 面ABCD
且CDBE在BE面面,思则A角B考BCDED：-内P选面C的P-择射BC影如的D.与何大B求小D重二呢合？，所以
角为，则sin = h ;
a
10
3.二面角 二面角的范围是0， 求解方法:
（1）（定义法）由棱上特殊点（端点、中点等）在两个
半平面内解做决垂直空于棱间的角射线问，构题成常二面规角的方平法面角. （2）（三的垂重线法要）已思知二想面：角中将一个空面间内一角点到转另一 个面的垂化线为，用平三垂面线定角理，或其解逆定三理角做出形平面。角； （3）（射关 三影键 计法）步 算通过骤。射：影面一积来作求、cos二= S证S射原影、；
8
梳理整合
1.异面直线所成的角
异面直线所成的角的范围是
求解方法：
0,
2
ห้องสมุดไป่ตู้
通过平移（或补形）作出平面角，再解三 角形求解；
9
2.直线与平面所成的角
直线与平面所成的角的范围 0，2
求解方法:
（1）根据定义做出斜线与平面所成的角，关键
是寻找斜线的射影；
（2）利用等体积法求出斜线上一点到平面的距离h 设该点到斜足的距离为a，直线与平面所成的
C1
E
（）异面直线A1D与B1C1的距离；
B1
F
（）四棱锥C-ABDE的体积。 A
D C
B 题（19）图
6
高考扫描
（文）08年重庆20题
如 角A,图B从套十在，0题五棱l 8l和中套年上的的除中全为大射四有平国小影面为套九高分考，2新套别3直考查，是课考线文求空A标查科所,=：B间l，高了试成（, 异AA考二A题角）面点题面分,3BB,外 角析B到B，，平， ,面A其三十2B.=若余套5九的,二距面离；
又PB 平面ABCD,且PB=1,
E B
（2）求二面角D - PC - B的正弦值。D
A
分析
连BD,过B作BE PD于E,则BD CD 2
又BC 2，所以CD BD,因为PB 面ABCD
且CDBE在BE面面,思则A角B考BCDED：-内P选面C的P-择射BC影如的D.与何大B求小D重二呢合？，所以
角为，则sin = h ;
a
10
3.二面角 二面角的范围是0， 求解方法:
（1）（定义法）由棱上特殊点（端点、中点等）在两个
半平面内解做决垂直空于棱间的角射线问，构题成常二面规角的方平法面角. （2）（三的垂重线法要）已思知二想面：角中将一个空面间内一角点到转另一 个面的垂化线为，用平三垂面线定角理，或其解逆定三理角做出形平面。角； （3）（射关 三影键 计法）步 算通过骤。射：影面一积来作求、cos二= S证S射原影、；
8
梳理整合
1.异面直线所成的角
异面直线所成的角的范围是
求解方法：
0,
2
ห้องสมุดไป่ตู้
通过平移（或补形）作出平面角，再解三 角形求解；
9
2.直线与平面所成的角
直线与平面所成的角的范围 0，2
求解方法:
（1）根据定义做出斜线与平面所成的角，关键
是寻找斜线的射影；
（2）利用等体积法求出斜线上一点到平面的距离h 设该点到斜足的距离为a，直线与平面所成的
C1
E
（）异面直线A1D与B1C1的距离；
B1
F
（）四棱锥C-ABDE的体积。 A
D C
B 题（19）图
6
高考扫描
（文）08年重庆20题
如 角A,图B从套十在，0题五棱l 8l和中套年上的的除中全为大射四有平国小影面为套九高分考，2新套别3直考查，是课考线文求空A标查科所,=：B间l，高了试成（, 异AA考二A题角）面点题面分,3BB,外 角析B到B，，平， ,面A其三十2B.=若余套5九的,二距面离；
《角的初步认识 》说课课件(共26张PPT)
通过练习，让学生在观察、判断等数学活动中， 加深对角的认识，发展学生初步的空间观念。
课堂总结，学习收获 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
2 1
3 4
收获
总结 概括 理清知识 完整认识
回归生活，欣赏角
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程 ¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教学教学环过节程 ¦教板书学设反计思
步骤一、联系实际，指角
向学生出示教材 38页情境图，让学 生在美丽的校园情 境图中指出角，学 生边汇报，课件边 同时闪动角。采用 演示法使学生直观、 清晰的看到生活中 许多物体上有角， 让学生感受到数学 就在我们身边。
观察发现法
实践操作法
合作探究法
教材 ¦ 教学教方学法分析¦ 教教学学具设准计备 ¦教学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
多媒体课件，每小组一套折角工具（一张圆形纸、 一张长方形纸）、每小组两根小棒、一副三角板
多媒体课件
折角工具
小棒
第一环节 创设情景，激趣导入
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
学情分析
教材教学¦ 教分学析方法 ¦教学教设学计具准备 教¦学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
二年级的学生，心理趋向稳定，显示出一 定的个性特征，独立性增强，同时自信心不 断加强出现竞争意识，对于别人比自己表现 好或差，有一定的心理变化。对于刚上二年 级的孩子来说，空间观念非常薄弱，对抽象 的图难以理解，但他们也有很强的好奇心和 强烈的表现欲，课堂上充分利用和捕捉闪光 点，运用各种教学手段，通过视觉、触觉等 多种感官的刺激来弥补他们的缺陷，以此达 到取长补短的目的。
课堂总结，学习收获 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
2 1
3 4
收获
总结 概括 理清知识 完整认识
回归生活，欣赏角
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程 ¦ 板教书学设反计思
动手实践，探究新知 教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教学教学环过节程 ¦教板书学设反计思
步骤一、联系实际，指角
向学生出示教材 38页情境图，让学 生在美丽的校园情 境图中指出角，学 生边汇报，课件边 同时闪动角。采用 演示法使学生直观、 清晰的看到生活中 许多物体上有角， 让学生感受到数学 就在我们身边。
观察发现法
实践操作法
合作探究法
教材 ¦ 教学教方学法分析¦ 教教学学具设准计备 ¦教学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
多媒体课件，每小组一套折角工具（一张圆形纸、 一张长方形纸）、每小组两根小棒、一副三角板
多媒体课件
折角工具
小棒
第一环节 创设情景，激趣导入
教材 ¦ 教学教方学法分析¦教学教具学准设备计¦ 教教学学环过节程¦ 板教书学设反计思
学情分析
教材教学¦ 教分学析方法 ¦教学教设学计具准备 教¦学教过学程环节 ¦教板学书反设思计
二年级的学生，心理趋向稳定，显示出一 定的个性特征，独立性增强，同时自信心不 断加强出现竞争意识，对于别人比自己表现 好或差，有一定的心理变化。对于刚上二年 级的孩子来说，空间观念非常薄弱，对抽象 的图难以理解，但他们也有很强的好奇心和 强烈的表现欲，课堂上充分利用和捕捉闪光 点，运用各种教学手段，通过视觉、触觉等 多种感官的刺激来弥补他们的缺陷，以此达 到取长补短的目的。
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且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
z P
5
E
F
A
C
y
x
B
2021/01/21
14
小结
1.空间角的作法充分运用了空间中平行与垂直的关 系，对平行与垂直的敏感性直接关系到作空间角的 成功与否，尤其是三垂线定理的运用非常重要。
2.对空间的角的计算一般在三角形中完成，尤其是 直角三角形，但是有时可以用更便捷的方法。
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
2021/01/21
B 12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
4
Ｆ
A
C
2021/01/21
B 13
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
P
O C
B
A
D
2021/01/21
Q
7
探究1：
正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成的 角的余弦值是________.
D
C
2021/01/21
A F
Ｑ
B
Ｐ
E
8
探究2
三棱锥P-ABC，∠B=60°，AC=3， PA=PB=PC=4，求侧棱与底面所成的角。
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
2021/01/21
2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
2021/01/21
3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
2021/01/21
练习：
4
二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
Ab
Ab
l O
Ba
lO
B a
lO
Ab Ba
范围：[0°，180°]
2021/01/21
5
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 1 2
3
4
5
A
C
2021/01/21
B 6
变式
如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， ∠ABC=90°，PA⊥面ABCD, PA=AB=BC=1, AD=0.5, 求面PCD与面PAB所成的二面角的正切值。
P
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C
O
B
A
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 1
E
D
A
C
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 2
D
Ｆ
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C
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谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/21
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z P
5
E
F
A
C
y
x
B
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小结
1.空间角的作法充分运用了空间中平行与垂直的关 系，对平行与垂直的敏感性直接关系到作空间角的 成功与否，尤其是三垂线定理的运用非常重要。
2.对空间的角的计算一般在三角形中完成，尤其是 直角三角形，但是有时可以用更便捷的方法。
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 3
E
D
A
C
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B 12
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P
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Ｆ
A
C
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
P
O C
B
A
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Q
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探究1：
正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面成60°二面角，则异面直线AD与BF所成的 角的余弦值是________.
D
C
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A F
Ｑ
B
Ｐ
E
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探究2
三棱锥P-ABC，∠B=60°，AC=3， PA=PB=PC=4，求侧棱与底面所成的角。
空间的角有哪几种基本形式？
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
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2
方法：平行平移
a
b
练习：
.O
b1
a1 范围：(0°,90°]
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3
方法：关键是作垂线，找射影
P
O
Q
范围：[0°，90°]
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练习：
4
二面角作法：
方法1：定义 方法2：三垂线定理 方法3：作垂面
Ab
Ab
l O
Ba
lO
B a
lO
Ab Ba
范围：[0°，180°]
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 1 2
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A
C
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如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中， ∠ABC=90°，PA⊥面ABCD, PA=AB=BC=1, AD=0.5, 求面PCD与面PAB所成的二面角的正切值。
P
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C
O
B
A
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探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 1
E
D
A
C
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B 10
探究3：已知PA⊥平面ABC，∠B=90°，
且PA=AB=BC，求二面角A-PC-B的大小
P 2
D
Ｆ
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