空间中的角PPT课件

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高中数学精品课件:空间角

高中数学精品课件:空间角

图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.

《角的度量》PPT课件

《角的度量》PPT课件

03
CHAPTER
角的度量方法
量角器的使用
量角器的构造
量角器是一种测量角度的专用工具, 由半圆形或圆形的刻度盘和固定臂组 成,刻度盘上标有度数。
使用方法
将量角器的中心与角的顶点重合,固 定臂与角的一条边重合,另一条边所 对的量角器上的刻度就是这个角的度 数。
角度的测量与标注
角度的概念
两条射线或线段相交于一点所形 成的夹角,通常用度数来表示。
《角的度量》PPT课件
汇报人: 2023-12-23
目录
CONTENTS
• 角的定义与分类 • 角的度量单位与换算 • 角的度量方法 • 角的应用举例 • 角的度量误差分析 • 拓展知识:角的高级应用
01
CHAPTER
角的定义与分类
角的定义
01
角是由两条射线共享一个端点所 形成的几何图形。
02
04
CHAPTER
角的应用举例
几何图形中的角
角度与边长关系
多边形的内角和与外角和
在直角三角形中,角度与边长之间满 足正弦、余弦、正切等三角函数关系 。
多边形的内角和等于(n-2)×180°, 外角和等于360°。
角的平分线与垂直平分线
角的平分线将一个角分为两个相等的 小角,而垂直平分线则垂直平分一条 线段。
误差对测量结果的影响
误差导致测量结果不准确
由于误差的存在,测量结果可能会偏离真实值,影响对角度大小 的判断。
误差累积可能导致严重后果
在需要高精度测量的场合,误差的累积可能会导致严重的后果,如 建筑设计中的角度偏差可能导致结构不稳定等问题。
对科学研究的影响
在科学研究中,准确的测量结果是得出正确结论的基础。误差的存 在可能会影响研究结果的准确性和可靠性。

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则,即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积,满足分 配律,即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$,其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律,即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣,其中a、 b和c分别是三个平面的法向量,θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一:利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣, 其中a和b是两条直线的方向向量,

空间角的计算课件

空间角的计算课件

H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1,求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
综合法:作——证——求。
G
解析:延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中,由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH

17 17 4 15

2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解:以
{DA,DC,DD}
正交基底,建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz,则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =

【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件

【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件

1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.( ) (2) 已知A→B=(2,2,1),A→C=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是
n0=±13,-23,23.( )
(3)已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则 a∥c,a⊥b.( )
法二 如图 2,建立空间直角坐标系,
z
则 B(2,0,0),C(2,2 2,0),E(1, 2,1),
A→E=(1, 2,1),B→C=(0,2 2,0).
设A→E与B→C的夹角为 θ,则
y
→→
cosθ=|AA→EE|·|BB→CC|=2×42
= 2
22,
x
所以 θ=π4.
由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是0,π2,
二面角的范围是[0,π].( ) (5)已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=-12,则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关.键是结合题设条件设进行A空B间=联想t,,抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标,为 在第(A2)问(0中,0,,运0用),空间B向(t量,0,,将0线),面角B转1(化t,为0直,3线)的,方C向(向t,量1与,0平), 面的法向量的夹角,考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).

空间角及其计算

空间角及其计算

建筑学中的应用
建筑设计
空间角在建筑设计中具有重要应用,如确定建筑物的朝向、布局和采光等。通 过合理利用空间角,可以优化建筑物的空间布局和采光效果,提高居住和使用 质量。
室内设计
在室内设计中,空间角的应用同样重要。通过合理调整室内家具和装饰品的摆 放角度,可以营造出更加舒适和美观的室内环境。
物理学中的应用
物理学
在物理学的力学、电磁学和光学等 领域,空间角也具有重要应用,如 描述带电粒子的运动轨迹、光的折 射和反射等。
02
空间角的计算方法
几何法
定义
几何法是利用空间几何知识,通 过作垂线、平行线、中线等手段, 将空间角转化为平面角或线线角,
然后进行计算的方法。
步骤
1. 作出相关垂线、平行线或中线; 2. 将空间角转化为平面角或线线 角;3. 利用平面几何知识计算角
空间角在其他领域的应用拓展
航天工程
利用空间角计算,优化航天器的轨道设计和姿态控制,提高航天 任务的可靠性和成功率。
机器人技术
通过空间角的计算,实现机器人的精准定位和自主导航,拓展机器 人在工业、医疗等领域的应用。
虚拟现实与游戏设计
利用空间角技术,提升虚拟环境的真实感和沉浸感,为游戏玩家和 设计师提供更加丰富的体验。
空间角及其计算
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角与空间几何的关系 • 空间角的未来发展与展望
01
空间角的基本概念
定义与性质
定义
空间角是指两个非平行直线或平 面在三维空间中形成的角度。
性质
空间角具有方向性,其大小和方 向可以通过几何学和三角函数来 描述。
光学研究
在光学研究中,空间角是描述光线传播方向和角度的重要参数。通过测量和计算 空间角,可以研究光线的反射、折射和散射等现象,进一步探索光与物质之间的 相互作用。

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件4.3第1课时空间中的角

如图:
名师点睛
不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角
π
的范围是 0, ,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与
2
其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
思考辨析
怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?
提示 设两条异面直线a与b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,且其
知识点2 直线与平面所成的角 指直线和它在平面内的投影所成角
设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α
所成的角θ∈
π
0, 2
,且
π
θ= -<l,n>(如图
2
π
θ=<l,n>- (如图
2
2),
sin θ=sin < , >
π
-2
1)或
故sin θ=|cos<l,n>|.
π
π
3.若<l,n>是一个锐角,则θ= -<l,n>;若<l,n>是一个钝角,则θ=<l,n>- .
2
2
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余
角.( × )
(2)直线与平面所成的角可以是钝角.( × )
2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=则l与α所成的角为( A )
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解两异面直线所成的角与它们的方向向量之间的关系,会用

空间角和距离专题讲座33页PPT

空间角和距离专题讲座33页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、61、辍学如磨刀之石,不见其损,日 有所亏 。 62、奇文共欣赞,疑义相与析。
63、暧暧远人村,依依墟里烟,狗吠 深巷中 ,鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几,倏如流电惊。 65、少无适俗韵,性本爱丘山。
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且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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空间的角有哪几种基本形式?
异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
平面与平面 所成的角
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方法:平行平移
a
b
练习:
.O
b1
a1 范围:(0°,90°]
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方法:关键是作垂线,找射影
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Q
范围:[0°,90°]
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练习:
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二面角作法:
方法1:定义 方法2:三垂线定理 方法3:作垂面
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
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O C
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Q7探究1: Nhomakorabea正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平 面成60°二面角,则异面直线AD与BF所成的 角的余弦值是________.
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A F

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探究2
三棱锥P-ABC,∠B=60°,AC=3, PA=PB=PC=4,求侧棱与底面所成的角。
Ab
Ab
l O
Ba
lO
B a
lO
Ab Ba
范围:[0°,180°]
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探究3:已知PA⊥平面ABC,∠B=90°,
且PA=AB=BC,求二面角A-PC-B的大小
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变式
如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中, ∠ABC=90°,PA⊥面ABCD, PA=AB=BC=1, AD=0.5, 求面PCD与面PAB所成的二面角的正切值。
z P
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小结
1.空间角的作法充分运用了空间中平行与垂直的关 系,对平行与垂直的敏感性直接关系到作空间角的 成功与否,尤其是三垂线定理的运用非常重要。
2.对空间的角的计算一般在三角形中完成,尤其是 直角三角形,但是有时可以用更便捷的方法。
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汇报人:XXX 汇报日期:20XX年10月10日
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