24.4.1解直角三角形(1)
24.4 解直角三角形
由题意可知
DE＝CF＝4.2，
CD＝EF＝12.51．
在Rt△ADE中，
∵
DE 4.2 tan 32 AE AE 4.2 ∴ AE 6.72. tan 32
在Rt△BCF中，同理可得
4.2 BF 7.90. tan 28
∴AB＝AE＋EF＋BF ≈6.72＋12.51＋7.90
练习 海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短.求灯塔Q到B 处的距离.（画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
B Q
北30° 西 东
A 南
解：AB=32.6×0.5=16.3(海里) 在RtΔABQ中， QB ∵ tan A = AB ∴ QB = AB· tanA
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算， 除特别说明外，本教科书中的角度都精确到1′. 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角.
根据三角形全等的判定，由于已知 一个角是直角，所以在这两种情况 下，对应的直角三角形唯一确定.因 此，可以求出其他元素.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角.
铅垂线 视线
仰角 俯角
水平线
视线
例3 如图，为了测量旗杆的高度BC,在离旗杆10米 的A处 ,用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰 角a=52°，求旗杆BC的高．（精确到0.1米）
解:在Rt△CDE中， ∵CE=DE×tan a =AB×tan a =10×tan 52° ≈12.80， ∴BC=BE＋CE =DA＋CE =12.80＋1.50 ≈14.3（米）．
24.4.1解直角三角形(1)
A
邻边b
C
强调：在解决实际问题时,应“先画图,再求解”;
本节课你的收获是什么？
B
斜边c
对边a
A
邻边b
C
在Rt△ABC中，∠C=90°，
直角三角形的边角关系
B
斜边c
对边a
A
邻边b
C
接下来我们来学习应用这些知识解决与直角三角形有关的问题……
本题的实质是已知两 直角边求斜边。
例1:如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地 面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处.大树在折 断之前高多少？
A
C
(1)已知两条边解直角 三角形
解直角三角形
B
20
A
C
(2)已知一条边和一个锐角 解直角三角形
思考：这个问题又是在什么条件下解直角三角形？
解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°,由下列条件解直角三角形：
(1)已知 a=2,b=2;
B
A
C
解:在如图，在RtΔABC中，
解直角三角形
答：敌舰与A、B两炮台的Biblioteka 离分别约为3111米和2384米.
解直角三角形
（1） 完成教材113页练习题1题。 （2） 作业：完成教材113页练习题2题，习题24.4中4题。
解直角三角形
在直角三角形中，共有两个锐角，三条边
五个元素。
B
在直角三角形中，由已知元素求出未知元 素的过程，叫做解直角三角形。
斜边c
对边a
解直角三角形，有下面两种情况 (1)已知两条边解直角三角形; (2)已知一条边和一个锐角解直角三角形.
第24章 解直角三角形
24.4.1 ----解直角三角形（一）
24.4.1解直角三角形
分层作业：
A层：P113，1
B、C层：练习册
复习形式导入
学生结合引例讨论
学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.
学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确
几个学生展示
问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角.
1.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）
课题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
24.4.1解直角三角形
授课时间
授课班级
教学目标
知识与技能：
1.使学生理解解直角三角形的意义；
2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
过程与方法：让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.
情感态度与价 值观：通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.
学生交流讨论归纳
教师引发学习回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳.
教学反思
重点难点
重点：用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
难点：用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.
自主学习内容
预习教材111——113页，找出疑问的地方.
24.4.1解直角三角形(1)华师
已知元素 求 未知元素 的过程叫做解直角三形. ；
②在解决实际问题时,应“ 先画图,再求解 ”；
③解直角三角形，只有下面两种情况可解： （1）已知 两条边 ； （2）已知 一条边和一个锐角 。
小结
问题一：在本节课的学习中，你学会了些什么知识？
讨论 1、解直角三角形时，已知条件可不可以没 有边？为什么？ 2、已知直角三角形的两条边是否能够求出 角的度数？如何求？ 3、已知一个锐角和它的对边，要求其它的边 你会选择哪种三角函数？如果已知的是邻 边或斜边呢？
（口答）
1.在Rt△ABC中,∠C＝900，BC=4 ， AC=3，求AB的值及∠A、 ∠B的度数。 2.在Rt△ABC中,∠C＝900，∠B＝400 ， AC=2，求AB、BC的值及∠A度数。
A
B
C
直角三角形中除直角外的还有5个元素：
两个锐角、三条边
在引例1、2中，分别给出了直角三角形的其 中两个元素，要求其余三个要素。像这样，在 直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程叫做解直角三形
1、已知两条边的情况。 ２、已知一个锐角和一条边 的情况。
2、这两种情况中我们又是利用什么方法去解 出直角三角形呢？
１、已知两边 — 勾股定理求边 — 三 角函数求角。 ２、已知一角一边 — 三角函数求边
例1 如图所示，一棵大树在一次强烈的 地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落 在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
例2.如图，东西两炮 台A、B相距2000米，同时发现入 侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向， 炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的 A 距离.（精确到1米） 2000 B
解：在RtΔABC中，
0 40 D
华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形1 解直角三角形 第1课时解直角三角形
解直角三角形
| 24.4.1 解直角三角形 第1课时 |
在解直角三角形的过程中，重要关系式： (1)三边之间的关系 a2 + b2 = c（2 勾股定理） (2)两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° (3)边角之间的关系
A bc Ca B
活动一 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树 顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
∵tan A a ,∴ 3 a ，∴a 4 3,∴c 2a 8 3. b 3 12
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6.
解：在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°， ∴∠ B=90°－∠ A=30°.
∵sin A a ,∴ 3 a ,∴a 3 3. c 26
A
C
B
解：设RtΔABC中，∠C=900， AC =10m，BC=24m.
则 AB= BC2 AC2 242 102 = 26（米）
26+10 =36（米）
在图中的 Rt△ABC 中，根据∠A＝65°，斜边AB＝10，你能求出这个直角 三角形的其他元素吗？
解：sin A BC BC AB sin A 10 sin 65o
由勾股定理得b= c2－a2 36－27=3.
例2 如图24.4-1，在△ ABC 中，AB=1，AC=
2 ，sin B=
2 ，求BC 的长.
4
解：如图24.4-1 所示，过点A 作AE ⊥ BC，垂足为点E.
在Rt △ ABE 中，∵ sin B= AE 2 ，AB=1，
AB 4
∵AE 2 ,∴EB AB2－AE 2 14 .
2.解直角三角形的两种情况 1.已知两边； 2.已知一边和一锐角.
24.4.1 解直角三角形 华师大版数学九年级上册课件
解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构 成直角三角形，即△ABC是直角三角形。
应用拓展
3.已知一条边和一个锐角，求其余未知元素
例2 如图，炮台B在炮台A的正东方向1678m处．两炮台 同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东 40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰 与炮台B的距离．（参考数据：sin40°≈0.643， os40°≈0.766的特性： 它们极易从事实中归纳出来，但证明却 隐藏的极深。
——高斯
谢谢大家！
第24章 解直角三角形
24.4.1 解直角三角形
复习导入
1.在三角形中共有几个元素？ 2.直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
探索新知
1.解直角三角形
我们已掌握直角三角形的边角关系、三边关系、角角关 系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一 个是边）后，就可求出其余的元素。
（1）概念：由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。 （2）思考：为什么要至少有一条边？
探索新知
2.已知两条边，求其余未知元素
例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米 处折断倒下，树顶落在离树根24米处，则大树在折断之 前高多少？
分析：先根据大树离地面 部分、折断部分及地面正 好构成直角三角形利用勾 股定理求出折断部分的长， 进而可得出结论。
分析：根据炮台B在炮台A的正东方 向，敌舰C在炮台B的正南方向，得 出∠ABC=90°，再利用tan∠ACB =AB/BC，求出BC的值即可.
巩固练习
答案:1.10.0 6.0. 2.9.4海里.
归纳小结
本章的重要内容是解直角三角形 的有关知识，解直角三角形的依据是 勾股定理、两锐角互余和边角之间的 关系，一般有两种类型：已知两边， 已知一边和一锐角，解题时要选择适 当的关系式，尽可能使用原题数据和 避免做除尘运算。
24.4解直角三角形
以空
示意图
AD C B CAD
C30 , AD 6B0
A
CAD30
CDAD
CD20米
30°
60°
C
D
B
AD20米 在RtAB中 D
sin60 AB
AD
AB AD si6 n010（ 3 )米
答：塔高1为 0 3米
练习1.某飞机于空中A处探测到目标C， 此时飞行高度AC=1200米，从飞机上 看地平面控制点B的俯角α=16°31′， 求飞机A到控制点B的距离。
长 街 上 飘 零 但 我 只 是 飘着。 两排奔 跑的梧 桐树 惊 醒 着 一切 无关的 坠落
（ 三 ） 岁 月 的 秋 天已 至，一 些沉下 去 一 些 终 将 浮上 来。我 和青春 走着走
着 就 走 散 了。 如果岁 月愿意 凝结至 冰 我 一 定 要 重温 一场盛 夏 那 些 错
失 的 情 节 ， 飞驰的 青春 无 数 不 眠的 烟火以 子夜发 音 询 问 着 我 时光 的流向
解：AB=32.6×0.5=16.3(海里)
B
Q
在RtΔABQ中，
∵
tan
A
=
QB AB
∴ QB = AB·tanA=16.3 ×tan30°
北 30°
≈9.4（海里）
A
答:AB的距离为16.3海里, QB的距离为9.4海里.
练习4
在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。
倔 强 的 背 影 也已熟 悉和落 单的脚 印 串 联 成 线 ，朝 向金橘 树 成 为 圣 徒
（ 二 ） 这 个 季 节 的并 发症总 是 与 秋 风 有 关。 枯槁憔 悴的柳 树 远 走 的
中考数学复习 24.4.1 解直角三角形(第1课时)课时提升作业(含答案)
课时提升作业(三十四)解直角三角形(第1课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·重庆一中质检)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为()A.2B.C.D.12.(2013·广州中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB=()A.2B.2C.D.3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连结CD,若BD=1,则AC的长是()A.2B.2C.4D.4二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为cm2.5.(2013·泰安中考)如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50n mile/h,则A,B之间的距离为n mile(取≈1.7,结果精确到0.1n mile).【变式训练】如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2h后相遇在点P处,问乙货船每小时航行n mile.6.如图,A市北偏东30°方向有一旅游景点M,在A市北偏东60°的公路上向前行800m到C处,测得M位于C的北偏西15°,则景点M到公路AC的距离MN为m(结果保留根号).三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值.(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.【培优训练】8.(14分)(2013·南充中考)如图,公路AB为东西走向,在点A的北偏东36.5°方向上,距离5km处是村庄M;在点A的北偏东53.5°方向上,距离10km处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.74).(1)求M,N两村之间的距离.(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.课时提升作业(三十四)解直角三角形(第1课时)答案(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·重庆一中质检)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为()A.2B.C.D.1【解析】选A.设AD=x,作DE⊥AB于E,则DE=AD·sinA=x,在Rt△DEB中,∵tan∠DBE==,∴BE=5DE=x,∴BD2=DE2+BE2=13x2,在Rt△DCB中,BD2=CD2+BC2,又CD=6－x,BC=6,∴(6－x)2+62=13x2,解得x1=2,x2=－3(舍),∴AD=2.2.(2013·广州中考)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tanB=()A.2B.2C.D.【解析】选B.如图所示,∵CA是∠BCD的平分线,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠3,从而∠3=∠2.∵AD=6,∴CD=AD=6.作DE⊥AC于E,可知AE=CE.∵∠1=∠2,∠BAC=∠DEC,∴△ABC∽△EDC.∴=,∵AE=CE,CD=6,∴BC=12.在Rt△ABC中,由勾股定理求得AC=8,所以,tanB=2.3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连结CD,若BD=1,则AC的长是()A.2B.2C.4D.4【解析】选A.∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AD=CD.∴∠ACD=∠A=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠BCD=30°.在Rt△BCD中,∵tan∠BCD=,∴BC===,在Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AC=2BC=2.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,菱形ABCD的周长为20cm,且tan∠ABD=,则菱形ABCD的面积为cm2.【解题指南】解答本题的两个关键1.菱形的对角线互相垂直,能构成直角三角形.(连结AC,对角线交点为O)2.在Rt△AOB中,由tan∠ABD=得出OA,OB的关系.【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD,AO=OC,BO=DO.∵tan∠ABD=,∴可设BO=3xcm,AO=4xcm,则AB=5xcm,又∵菱形ABCD的周长为20cm,∴4×5x=20(cm),解得:x=1,故可得AO=4cm,BO=3cm,AC=2AO=8cm,BD=2BO=6cm,S菱形ABCD=AC×BD=24(cm2).答案:245.(2013·泰安中考)如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50n mile/h,则A,B之间的距离为n mile(取≈1.7,结果精确到0.1n mile).【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°,∴△DAB是等腰直角三角形,过点D作DE⊥AB于点E,则DE=AB.设DE=x,则AB=2x,在Rt△CDE中,∠DCE=30°,则CE=DE=x,在Rt△BDE中,∠DBE=45°,则DE=BE=x,由题意得,CB=CE－BE=x－x=25,解得:x=≈≈35.7,∴AB=2x=2×35.7=71.4(n mile)答案:71.4【变式训练】如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2h后相遇在点P处,问乙货船每小时航行n mile.【解析】过点P作PE⊥AB,由题知AP=8n mile,在Rt△PAE中,∵∠PAE=30°,∴PE=AP=4n mile,在Rt△PBE中,∵∠PBE=45°,∴PB=PE=4n mile,∴乙货船的速度为=2(n mile/h).答案:26.如图,A市北偏东30°方向有一旅游景点M,在A市北偏东60°的公路上向前行800m到C处,测得M位于C的北偏西15°,则景点M到公路AC的距离MN为m(结果保留根号).【解析】过点C作CP⊥AM于P.∵AC=800m,∠MAC=30°,∠ACM=180°－(90°－30°+15°)=105°, ∴∠AMC=45°,∴CP=PM=400m,AP=400m,∴AM=(400+400)m,∵AM·PC=AC·MN,∴MN=(200+200)m.答案:(200+200)三、解答题(共26分)7.(12分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值.(2)若BC长度为4cm,求梯形ABCD的面积.【解析】(1)∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD.∵AD∥CB,∴∠DBC=∠ADB=∠ABD.∵在梯形ABCD中,AB=CD,∴∠ABD+∠DBC=∠C=∠ABD+∠ADB=2∠DBC.∵BD⊥CD,∴3∠DBC=90°,∴∠DBC=30°.∴sin∠DBC=.(2)过D作DF⊥BC于F,在Rt△CDB中,CD=BC×sin∠DBC=2(cm),BD=BC×cos∠DBC=2(cm),在Rt△BDF中,DF=BD×sin∠DBC=(cm),∴S梯=(2+4)×=3(cm2).【培优训练】8.(14分)(2013·南充中考)如图,公路AB为东西走向,在点A的北偏东36.5°方向上,距离5km处是村庄M;在点A的北偏东53.5°方向上,距离10km处是村庄N(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.74).(1)求M,N两村之间的距离.(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.【解析】(1)如图,过点M作CD∥AB,NE⊥AB.在Rt△ACM中,∠CAM=36.5°,AM=5,∴sin36.5°==0.6,∴CM=3,AC=4.在Rt△ANE中,∠NAE=90°－53.5°=36.5°,AN=10,∴sin36.5°==0.6,∴NE=6,AE=8.在Rt△MND中,MD=5,ND=2.∴MN==(km).(2)作点N关于AB的对称点G,连结MG交AB于点P.点P即为站点.连结PN.∴PM+PN=PM+PG=MG.在Rt△MDG中,MG===5(km), ∴最短距离为5km.。