《解直角三角形》1PPT课件
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《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解直角三角形及其应用(1)PPT课件
• （3）边角关系：（满足锐角三角函数关系）
•
sin A a c
；cos A b
c
；tan
A
a b
.
• 2、在直角三角形中，除直角外的5个元素（3 条边和2个锐角），只要知道其中的2个元素 （至少有一个是边），利用边角之间的关系， 就可以求出其余的3个未知元素，这叫作解直 角三角形。
• 3、△ABC中，∠C＝90°，根据表中的数据求 其它元素的值：
动脑筋
如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三 角形的边吗？
不能. 因为此时的直角三角形 有无数多个.
• 1、在RtΔABC中，∠C=90º，∠A、∠B、 ∠C所对的边之长分别为a,b,c.
• （1）边边关系：（勾股定理）：
•
a2+b2=c2
• （2）角角关系：（两锐角互余）：
•
∠A+∠B=90º
做一做
根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形 (全等的直角三角形算一个)？
（1）一个锐角为 40°；
无数个
（2）一个锐角40°，它的邻边长为3cm；
1个
（3）一个锐角40°，它的对边长为3cm；
1个
（4）一个锐角40°，斜边长为3cm；
1个
（5）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm.
1个
做一做
• 3. 如图，在△ABC中，∠A=45° ， ∠B=30°，BC=8 ，求∠ACB及AC、AB的长。
C
A 45° D
30°
B
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
19
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《解直角三角形(第一课时)》教学PPT课件【初中数学】公开课
活动五
2..直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直 角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条 边,就可以求出其余的所有未知元素.
3.求未知元素时，有时可选择的关系式不止一 种,应考虑计算的方便,先求角后求边。
4.计算时要尽量利用原始数据,以防误差扩大。
教学活动6、课堂练习：
斜边,一锐角(如c,∠A) 一直角边,一锐角(如a,∠A)
1)∠B=90°-∠A; (2)由sin A=,得a=c·sin A; (3)由cos A=,得b=c·cos A
(1)∠B=90°-∠A;
(2) 由tan A= a ,得b a
b
tan A
(3) 由sinA= a ,得c a
c
sin A
或者AB=2AC=4
BC 42 22 2 3
活动四
2.在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和 BC的长.
解：∵ AC 2BC2 AB2
BC 42 22 2 3
sin B AC 1 AB 2
∴∠B=30° ∴∠A=90°-30°=60°
复习回顾
2. 特殊角的三角函数
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
1
cos30°＝ 2 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 2 ；
3 tan30°＝ 3 ，tan45°＝ 1 ，tan60°＝ 3 .
活动一
如图所示，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方 向上，轮船向东航行5 km，到达C处时，轮船位于灯塔的 正南方，此时轮船距灯塔多少千米? (tan55°≈1.4281，结果保留两位小数)
《解直角三角形》PPT课件
C
5B
例3 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°，
∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
不好，会增大结果的误差，应尽可能用原题中的数据.
注意事项：
1、数形结合有利于分析问题；
2、选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积
误差”和“一错再错”；
3、解直角三角形时，应求出所有未知元素。
A
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边 （2）有斜用弦, 无斜用切；
50
﹖
宁乘毋除, 取原避中。
（2）如何求∠A?
已知的BC和AC的比构成tanA,用 tanA=BC:AC来求.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角 三角形.（角度精确到1”）
（3）如何求∠B?
B
利用∠A+∠B=90°.
8
（4）如何求AB?
A
C
15
利用勾股定理.
B
解：在Rt△ABC中
8
tan A BC 8 0.53, AC 15
由边长可
A
15 C
∴∠A=28°
导出角度
sin28°≈0.47, cos28°≈0.88,
∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得
tan28°≈0.53
AB AC2 BC2 82 152 17
《解直角三角形》课件
《解直角三角形》PPT课 件
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、 性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、 直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、 应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、 总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计 算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域 中有广泛的应用。
二、 直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义 为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义 为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义 为对边与邻边的比值。
三、 特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊 的数值。
欢迎观看《解直角三角形》PPT课件！本课件将帮助您理解直角三角形的定义、 性质以及三角函数的计算方法，并探讨了特殊角的三角函数值和应用场景。
一、 直角三角形概述
定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。
基本性质
直角三角形满足勾股定理，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 45°角的三角函数值
在45°角中，正弦值、余弦值和正切值均相等。
四、 应用
1
1. 求边长
根据已知角度及所对边长求斜边长度，可以使用三角函数来计算。
2
2. 求角度
根据已知边长及所对角度求角度的值，可以使用三角函数来计算。
五、 总结
直角三角形及其三角函数的基本概念和计 算方法
重性及应用场景简述
直角三角形和三角函数在工程、物理和地理等领域 中有广泛的应用。
二、 直角三角形中的三角函数
1. 正弦函数
正弦函数是一个三角函数，定义 为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数
余弦函数是一个三角函数，定义 为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数
正切函数是一个三角函数，定义 为对边与邻边的比值。
三、 特殊角的三角函数值
1. 30°角和60°角的三角函数值
在30°和60°角中，正弦值、余弦值和正切值具有特殊 的数值。
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2．30°，45°，60°的三角函数值 如下表：
正弦
30 °
__12__
45
2
°
__ 2 __
60
3
°
__ 2 __
余弦 3
__ 2 __ 2
__ 2 __ 1
__2__
正切 3
__ 3 __ __1__
__ 3__
3.同角三角函数之间的关系： sin2α＋cos2α＝____1； tanα＝___cs_oi_ns_αα______． 互余两角三角函数之间的关系：若α＋β＝90°(0＜α＜90°，0°＜β＜90°) ，则sinα＝cosβ，cosα＝sinβ，tanα·tanβ＝1. 函数的增减性：(0°＜α＜90°) (1)sinα，tanα的值都随α_______增__大__而__增__大___； (2)cosα随α________增__大__而__减__小_____．
5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉 及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题 意明白其中的含义才能正确解题． (1)铅垂线：重力线方向的直线； (2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定 的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示坡的水平宽度，用 i 表示坡 度，即 i＝hl ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角 叫做方向角． 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北 方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的 方位为“上北下南，左西右东”．
7
7．(2014·抚顺)如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两 座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米，某人在 河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 ___1_0_0__米．
8．(2014·阜新)如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边 上的点F处，如果AB∶AD＝2∶3，那么tan∠EFC值是__2_5_．
4．解直角三角形的概念、方法： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知 元素的过程叫做解直角三角形． 直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，则： (1)边与边的关系：____a_2_＋__b_2＝__c_2_____； (2)角与角的关系：___∠__A__＋__∠__B_＝__9_0_°______； (3)边与角的关系： _____s_i_n_A_＝__c_o_s_B_＝__ac_，__c_o_sA__＝__s_in_B_＝ __b_c，__t_a_n_A_＝__ba_，__t_a_n_B_＝__ba_________．
1．当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分 割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．
2．解直角三角形的类型和解法
已知条件 一直角边和一锐
角(a，∠A)
已知斜边和一个 锐角(c，∠A)
已知两直角边 (a，b)
已知斜边和一条 直角边(c，a)
图形
解法
∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b＝tanaA
9．(2015·盘锦)如图，小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD，EF，一天， 他在 A 处测得树顶 D 的仰角∠DAC＝30°，在 B 处测得树顶 F 的仰角 ∠FBE＝45°，线段 BF 恰好经过树顶 D，已知 A，B 两处的距离为 2 米， 两棵树之间的距离 CE＝3 米，A，B，C，E 四点在一条直线上，求树 EF 的高度．( 3≈1.7， 2≈1.4，结果保留一位小数)
5．(2015·大连)如图，从一个建筑物的A处测得 对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角 为45°，观测点与楼的水平距离AD为31 m，则
50 楼BC的高度约为______m．(结果取整数，参考 数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6) 6．(2015·抚顺)如图，在A处看建筑物CD的顶 端D的仰角为α，且tanα＝0.7，向前行进3米到达 B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一 平面内，A，B，C三点在同一条直线上， CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为____米．
1．(2014·锦州)计算：tan45°－31( 3－1)0＝_23___． 2．(2014·本溪)在△ABC 中，∠B＝45°，cosA＝12，则∠C 的度数是_7_5__°_． 3．(2013·鞍山)△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝43，则 BC 的长_2__7__． 4．(2015·阜新)如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部 A 看地面上的一点 B，俯角为 30°，已知地面上的这点与楼的水平距离 BC 为 30 m，那么楼 的高度 AC 为__1_0__3______m．(结果保留根号)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA, b＝ c·cosA
c＝ a2＋b2，由 tanA＝ba求∠A，∠B ＝90°－∠A
b＝ c2－a2，由 sinA＝ac求∠A，∠B ＝90°－∠A
3.解直角三角形小口诀： 有斜用弦，无斜用切，宁乘毋除，取原避中． 有斜用弦：已知斜边时用正弦或余弦； 无斜用切：与直角边有关，没斜边时用正切； 宁乘毋除：能用乘法时尽量回避除法运算，减小计算量和误差； 取原避中：计算时尽量使用原始数据，少用计算过程中得到的近似数 以减小误差．
锐，设∠C＝90°，∠α为Rt△ABC的一个锐角，则： ∠α的对边
∠α的正弦sinα＝_______斜_边____； ∠α的余弦cosα＝___∠__α_斜的__边邻__边__； ∠α的正切tanα＝___∠∠__αα_的的__对邻__边边__．