福建省三明市2020届高三数学5月质量检查测试试题 文(含解析)
三明市高中毕业班5月质量检查文科数学试题含答案
三明市普通高中毕业班质量检查文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13M x y x ==-，集合{}210N x x =-<，则M N =（ ）A ．1{13x x ⎫-<≤⎬⎭B ．1{3x x ⎫≥⎬⎭C ．1{3x x ⎫≤⎬⎭D ．}1{13xx ≤< 2.复数134ii-+（其中i 是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,1),(,1)a b x ==-，若a b -与b 共线，则x 的值等于（ ） A ． -3 B ．1 C ．2 D ．1或24.现有,A B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则甲乙两人都选A 选修课的概率是（ ） A ．14 B ．13 C. 12 D ．235.若变量,x y 满足约束条件011x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2y x +的最大值为（ ）A ．14 B ．12C. 1 D ．2 6.已知命题1:p 若sin 0x ≠，则1sin 2sin x x+≥恒成立；2:0p x y +=的充要条件是1xy=-．则下列命题为真命题的是（ ） A ．12p p ∧ B ．12p p ∨ C. 12()p p ∧⌝ D ．12()p p ⌝∨7. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．64B ．84C ．340D ．1364 8.已知函数()sin()3)()2f x x x πϕϕϕ=++<的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=（ ）A ．3-B ．12- C. 12 D 39.已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆22410x x y -++=的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．23 B ．(1,2) C. 23)+∞ D ．(2)+∞ 10.函数1(0)1()1()(0)1nxx xf x n x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪<⎪-⎩的图象大致是（ ）A. B. C.D ．11.在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 边于D ，若2,1AB AC ==，则ABD ∆面积的最大值为（ ） A ．12 B ．23 C. 34D ．1 12.已知球O 的半径为1，,A B 是球面上的两点，且3AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．31[,]22-B ．13[,]22- C. 1[0,]2 D ．3[0,]2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知3sin 5α=，且(0,)2πα∈，则tan()4πα+= ． 14.若抛物线2(0)y ax a =>上任意一点到x 轴距离比到焦点的距离小1，则实数a 的值为 ．15.某几何体的三视图如图所示，设该几何体中最长棱所在的直线为m ，与直线m 不相交的其中一条棱所在直线为n ，则直线m 与n 所成的角为 ．16.已知函数22()log ,()f x x g x x ==，则函数(())y g f x x =-零点的个数为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n nn b a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ． 18.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯式水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2,(2,4],,(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中字母a 的值，并求该组的频率；（Ⅱ）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m 的值（保留两位小数）； （Ⅲ）如图2是该市居民张某1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x ∧=+．若张某1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=， 2AD AP ==，22AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）当三棱锥B EFC -的体积等于四棱锥P ABCD -体积的16时，求PFPB的值． 20.已知直线y x m =+与抛物线24x y =相切，且与x 轴的交点为M ，点(1,0)N -．若动点P 与两定点,M N 所构成三角形的周长为6． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为12的直线l 交曲线C 于,A B 两点，当PN MN ⊥时，证明APN BPN ∠=∠． 21.已知函数3215()36f x x ax bx =++-(0,)a b R >∈，()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，且125x x -=，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线20x y +-=垂直． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）证明关于x 的方程21(1)()0x k ekf x -'+-=至多只有两个实数根（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数）．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l 的极2cos()204πρθ--=，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C ． （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求||||PA PB +的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，2()13f x a a ≥--，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ACAAB 6-10:DBCDC 11、12：B 、B二、填空题13.7 14.14 15.3π16.3 三、解答题17. 解：（Ⅰ）22n n S a =-， 当1n =时，1122a a =-，则12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=． 所以{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =．（Ⅱ）因为11(1)()22nn n n b n +==+， 2311112()3()4()(1)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，2341111112()3()4()(1)()22222n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯， 两式相减，即得12311111112()()()()(1)()222222n n n T n +=⨯++++-+， 1121111()()()2222n T =+++31111()()(1)()222n n n +++-+， 111[1()]11122(1)()122212n n n T n +-=+-+-， 111111()(1)()2222n n n T n +=+--+，所以13(3)()2n n T n =-+． 18.解：（Ⅰ）∵(0.020.040.080.130.080.030.02)21a +++++++⨯=， ∴0.10a =．第四组的频率为：0.120.2⨯=．（Ⅱ）因为0.0220.0420.0820.102(8)0.130.5m ⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=，所以0.50.4888.150.13m -=+≈．（Ⅲ）∵17(123456)62x =+++++=，且233y x ∧=+，∴7233402y =⨯+=．所以张某7月份的用水费为31264072-⨯=． 设张某7月份的用水吨数x 吨， ∵1244872⨯=<∴124(12)872x ⨯+-⨯=，15x =． 则张某7月份的用水吨数15吨．19. 解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为22AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得2842222cos 454AC =+-=，得2AC =， 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又//AD BC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，22DP =PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥． （Ⅱ）因为E 为CD 的中点，∴14BEC ABCDS S ∆=四边形， ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD底面ABCD AD =，PA AD ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ．设F 到平面ABCD 的距离为h ，∵16B EFC F BEC F ABCD V V V ---==，∴111363BEC ABCD S h S PA ∆⋅⨯=⋅⋅⋅， ∴23h PA =，所以13PF PB =． 20.解：（Ⅰ）因为直线y x m =+与抛物线24x y =相切，所以方程24()x x m =+有等根，则16160m +=，即1m =-，所以(1,0)M ．又因为动点P 与定点(1,0),(1,0)M N -所构成的三角形周长为6，且2MN =，所以42PM PN MN +=>=，根据椭圆的定义，动点P 在以,M N 为焦点的椭圆上，且不在x 轴上， 所以24,22a c ==，得2,1a c ==，则3b =即曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠．（Ⅱ）设直线l 方程1(1)2y x t t =+≠±，联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2230x tx t ++-=， 23120t ∆=-+>，所以22t -<<，此时直线l 与曲线C 有两个交点,A B ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x t +=-，2123x x t =-，∵PN MN ⊥，不妨取3(1,)2P ，要证明APN BPN ∠=∠恒成立，即证明0AP BP K K +=，即证121233220y y x x --+=，也就是要证122133()(1)()(1)022y x y x --+--=， 即证121212()2()320x x t x x x x t ++-++-=，由韦达定理所得结论可得此式子显然成立， 所以APN BPN ∠=∠成立．21.解：（Ⅰ）2()2f x x ax b '=++，因为()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，所以1x x =和2x x =是方程220x ax b ++=的两个根，则122x x a +=-，12x x b =，又125x x -=，则21212()45x x x x +-=，所以2445a b -=．由已知曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线20x y +-=垂直，所以可得(1)1f '=，即211a b ++=，由此可得244520a b a b ⎧-=⎨+=⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 所以32115()326f x x x x =+--．（Ⅱ）对于21(1)()0x k e kf x -'+-=，（1）当0k =时，得10x e -=，方程无实数根；（2）当0k ≠时，得2111x x x k k e -+-+=，令211()x x x g x e -+-=， 22(1)(2)()x xx x x x g x e ee e --+-'=-=- 当(,1)(2,)x ∈-∞-+∞时，()0g x '<；当1x =-或2时，()0g x '=；当(1,2)x ∈-时，()0g x '>．∴()g x 的单调递减区间是(,1)-∞-和(2,)+∞，单调递增区间是(1,2)-． 函数()g x 在1x =-和2x =处分别取得极小值和极大值．2(())=(1)0g x g e -=-<极小，5(())=g(2)=0g x e>极大，对于211()x x x g x e-+-=，由于10x e ->恒成立． 且21y x x =+-是与x 轴有两个交点，开口向上的抛物线，所以曲线()y g x =与x 轴有且只有两个交点，从而()g x 无最大值，2min (())(())g x g x e ==-极小．若0k <时12k k ⇒+≤-，直线1y k k =+与曲线()y g x =至多有两个交点； 若1502(())k k g x k e >⇒+≥>=极大，直线1y k k=+与曲线()y g x =只有一个交点；综上所述，无论k 取何实数，方程21(1)()0x k ekf x -'+-=至多只有两实数根．22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =，所以曲线1C 的直角坐标方程为22(1)y x =-． （Ⅱ）由直线l 2cos()204πρθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，11 / 11 所以直线l 的参数方程为：22222x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入1C 的直角坐标方程得22240t t +-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则8160∆=+>，1222t t +=-124t t =-，所以1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-21212()4t t t t =+-81626=+=23．解：（Ⅰ）当3a =时，不等式()6f x ≤为|23||21|6x x -+-≤， 若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤， 综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为15|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （Ⅱ）当x R ∈时，()|2|21|f x x a x =-+-≥|212||1|x a x a -+-=-， 所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2|1|13a a a -≥--，当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得141a -≤≤；当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得1113a <≤所以a 的取值范围为[14,113]+．。
高考专题福建省三明市高三五月质量检查数学(文)试题(原卷版).docx
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++- (13)V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，那么复数(1i)i -等于（ ）A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则A B I 为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x >3．观察下列关于变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是（ ）A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关4．命题：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定是（ ）A ．0x ∀≤，都有20x x ->B ．0x ∀>，都有02≤-x xC ．0∃>x ，使得02<-x xD ．0x ∃≤，使得20x x ->7．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为（ ）A ．22B 2C ．2D ．228．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．12B ．2C ．222+ D ．329．若y x ,均为区间)1,0(的随机数，则20x y ->的概率为（ ） A ．81 B ．41 C ．21D ．4310. 对于函数()f x 在定义域内的任意实数x 及(0)x m m +>，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>成立，则称函数()f x 为“Z 函数”.现给出下列四个函数：11 1正视图俯视图侧视图(0),()(0);x xg xx x⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩()()ln0,()ln()0;x xu xx x⎧>⎪=⎨-<⎪⎩1()h x xx=+；()cosv x x=.其中是“Z函数”的是（）A．()g x B．()h x C．()u x D．()v x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．在等差数列{}na中，若34=a,则=7S．14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为,,21ee则12e e⋅=______.15．已知0,0,a b>>若直线01:21=++yaxl与直线03)1:22=+-+byxal（互相垂直，则ab的最小值是．16．定义(,)nF A B表示所有满足{}12,,,nA B a a a=⋅⋅⋅U的集合,A B组成的有序集合对(,)A B的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B⋅⋅⋅，并归纳推得(,)nF A B=_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分频率/组距0.0160.0180.0300.024布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6.（Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数； （Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率. 18．（本小题满分12分）将数列{}n a 按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一 个数125,,,a a a ⋯构成公差为d 的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成 公比为q 的等比数列.若11=a ，43=a ，53a =. （Ⅰ）求q d ,的值； （Ⅱ）求第n 行各数的和T . 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，且22==AD DC ，2:1:=EC PE PC E 上一点，为，（Ⅰ）求证：；平面PAB DE //（Ⅱ）；平面求证：平面ABC PDB ⊥（Ⅲ） 若32==AB PD ，，ο60=∠ABC ，求三棱锥ABC P -的体积．20．（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与x 轴交于点(1,0)M -． （Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积MAB S D =AB 的方程；若不存在，请说明理由．1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……PABECD22．（本小题满分14分）已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件：1212ln()ln ln 2x x x x ⋅=⋅+.（ⅰ）求m 的值；（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．。
【精准解析】福建省三明市2020届高三毕业班质量检查测试数学(文)试题
故选：B． 【点睛】本题主要考查函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，属于基础题．
4.已知直线 mx 2 y 3 0 与直线 3x (m 1) y m 0 平行，则实数 m （ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2 或 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有斜率的两条直线平行的条件列式可解得结果.
过点 P( 2,1) ，则 cos 2 （ ）
A. 2 2 3
1
B.
3
C. 1 3
D. 2 2 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先由角 的终边过点 P( 2，1) ，求出 cos ，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】解：因为角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P( 2，1) ，
基础题.
6.设 a log4 3,b log0.4 2, c 20.4 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A. b c a
B. c b a
C. a b c
D.
bac
【答案】D
【解析】
【分析】
可以得出 0 log4 3 1,log0.4 2 0, 20.4 1 ，从而得出 a ， b ， c 的大小关系．
【详解】当 m 1时，显然不符合题意，所以 m 1，
由 mx 2 y 3 0 得 y m x 3 ，由 3x (m 1) y m 0 得 y 3 x m ，
22
m 1 m 1
-2-
所以
m 2 3 2
3 m 1
m m 1
，解得
m
2
.
故选：A.
【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，属于基础题.
福建省三明市2020届高三(5月份)高考模拟(理科)数学试题 Word版含解析
高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 2020年高考数学（5月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设全集为{}2|1log 3A x x =≤≤，{}2|340B x x x =--<，则A B 等于（ ）A. ()1,2-B. (]1,8-C. []4,8D. [)2,4 【答案】D【解析】【分析】 解对数不等式得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义计算．【详解】∵{}28|A x x =≤≤，{}|14B x x =-<<，∴{}|24x x AB =≤<.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数性质，掌握对数函数性质是解题关键．2.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A. 若120z z -=，则12z z =B. 若12z z =，则12z z =C. 若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ，则2212z z = 【答案】D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．。
福建省三明市2020届高三数学5月质量检查测试试题文.docx
福建省三明市 2020 届高三数学 5 月质量检查测试试题文第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若命题 p :312p （）x R, x x ，则A． x R, x3 1 x2B．x R, x3 1 x2C.x R, x3 1 x2D． x R, x3 1 x22. 已知集合A x1x 3 , B x x22x80， A B （）A．B．1,2 C.2,3D． 2,43 .若复数 z 满足 34i z1i （ i 是虚数单位），则复数z 的共辄复数 z（）A．17B17C.17D17i 5i．i25i．25 5552525 r1,2r2,tr r r r（）4. 已知向量 a,b，且 a / /b ，则 a bA．2B．5 C.10D．55.《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛，现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取 2 人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A的概率为（）A． 0.3B． 0.4 C. 0.5D． 0.66.若 S n为数列a n的前 n 项和，且 S n2a n 2 ，则 S8等于（）A． 255B． 256 C. 510D． 5117.已知定义在 R 上的奇函数f x ，当x 0时，恒有 f x 2 f x ，且当 x0,1 时，f x e x 1 ，则 f2017f2018（）A． 0B． e C. e 1D． 1 e8.将函数 f x sin x 3 cosx 的图象向左平移0个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍，纵坐标不变，得到g x2cos 2x 的图象，则, a 的可能取值为（）A．,a 1．, a1, a 2D．, a 2B C.6222269. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是n 0, S0 ，输出的结果是7，则判断框中的“”应填入（）A． S 5B．S678 6C.S D． S78910. 已知某几何体的三视图如图所示，网格线上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A． 9B． 323 C. 18D． 6433311. 函数 f x log 2 x2x 的零点个数为（）A． 1B． 2 C. 3D．4x2y212. 已知双曲线2 1 a 0,b0 的左，右焦点分别是F1 , F2，过 F2的直线与E的右支E :2ba交于 A, B 两点， M , N 分别是 AF2 , BF1的中点，O为坐标原点，若MON 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 E 的离心率是（）A． 5B． 5 C.5D． 1022第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点1, 2 5，且 C 的一个焦点为2,0，则 C 的标准方程5为．14.在等差数列a n中，若 a7，则 sin 2a1cos a1sin 2 a13 cos a13．2x015.若直线 ax y0 将平面区域x, y x y1,划分为面积成 1:2的两部分，则实数 ax y1的值等于．16.如图，正方形ABCD 的边长为3，点 E, F 分别在边 AD , CD 上，且AE DF 2 .将此正方形沿 BE , BF , EF 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在ABC 中，AB 2 7, C，点D在AC边上，且ADB.63（ 1）若BD 4 ，求 tan ABC ；（ 2）若 AD3BC ，求ABC 的周长.18. 在四棱锥P ABCD 中，AB / / CD, CD2 AB ，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上， AN AP0 ，且MN / /平面PCD .（ 1）求实数的值；（ 2 ）若AB AD DP 1, PA PB2, BAD 60 , 求点N到平面PCD的距离 .19. 已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点 F 在 y 轴正半轴上，圆心在直线y1x 上的圆E与2 x 轴相切，且 E, F 关于点 M 1,0对称 .（ 1）求E和的标准方程；（ 2）过点M的直线l与E交于 A, B ，与交于C, D，求证：CD 2 AB .20. 近年来，随着汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展. 某汽车交易市场对2020年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图 1. 在图 1 对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率.（ 1）记“在2020 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在8,16 ”，为事件 A ，试估计 A 的概率；（ 2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图，其中x ( 单位：年 ) 表示二手车的使用时间， y （单位：万元) 表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图判断，可采用y e a bx作为二手车平均交易价格y 关于其使用年限x 的回归方程，相关数据如下表 ( 表中 Y1110ln y i ,Y Y i ) ：10 i 1①根据回归方程类型及表中数据，建立y 关于x的回归方程；②该汽车交易市场对使用8 年以内 ( 含 8 年 ) 的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间 8年以上（不含 8年) 的二手车收取成交价格10% 的佣金.在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值. 若以 2020年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金 .附注：①对于一组数据u1 ,v1, u 2 , v2 ,L ,u n , v n，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小nμu i v i nuvμμ二乘估计分别为i 1，vn u ；u i22nui1②参考数据： e2.9519.1,e1.75 5.75，e0.55 1.73, e 0.650.52, e 1.850.16.21. 已知函数f x x ln x2 a R.a x x2（ 1）若曲线 y f x 在 x e 处切线的斜率为 1 ，求此切线方程；（ 2）若 f x 有两个极值点 x1 , x2，求 a 的取值范围，并证明：x1 x2 x1x2 .请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x13t（ t 为参数） . 在以原点O为极点，y1tx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为2cos .（ 1）求直线l的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若直线l与曲线C交于 P,Q 两点，求POQ .23. 选修 4-5 ：不等式选讲已知函数f x x a2x 2a 3， g x x2ax4,a R .（ 1）当a1时，解关于x的不等式 f x 4 ；（ 2）若对任意 x1R ，都存在 x2R ，使得不等式f x1g x2成立，求实数 a 的取值范围 .试卷答案一、选择题1-5: BCDBA6-10: CDACC 11、12：CD 二、填空题13． x2y2114 ．015．1或116．4π52281三、解答题17. 解法一：如图，已知ππADB，C，36πCD .所以 DBC，则 BD6BC 2BD 2CD 2CD cos120o，在△ BCD 中，根据余弦定理，2BD所以 BC3CD .（ 1）在△ADB中，AB 2 7 ，BD4，ADB π3，由余弦定理 AB2AD 2BD 2 2 AD BD cos ADB ，所以 28AD 216 4 AD ，解得AD 6 ，所以 AC10，在△ ABC 中，由正弦定理AC AB，sin ABC sin ACB所以1027， sin ABC 5 7，sin ABC1142由 AC10 ， BC 4 3 ， AB 2 7 ，在△ADB中，由AD AB ，得ABD ADB60 ，故ABC ABD DBCπ π π36，2所以 cos ABC 1 sin 2ABC21，14所以 tanABCsin ABC5 3cos ABC3（ 2） CD x ， BC3x ，从而 AD3BC3x ，故 ACADDC4x ．在△ ABC 中，由余弦定理得 AB 2BC 2 AC 2 2BC AC cos30o ，因 AB2 7 ，所以 283x24x 22 3x 4x3，解得 x 22．所以 AD 6 ．故△ ABC 周 82 3 27 ．解法二：如 ，已知ADBπ πDBCπCD . ⋯⋯ 1 分3 ，C，所以， BD66在△ BCD 中，根据余弦定理， BC 2BD 2 CD 2 2BD CD cos120o ，所以 BC3CD .（ 1）在△ ADB 中， AB2 7 ， BD4 ，ADBπ，3由余弦定理 AB 2 AD 2 BD 22 AD BD cos ADB ，所以28 AD 2 16 4 AD ，解得 AD 6 ，由余弦定理 cos ABDAB 2 BD 2 AD 27 ，2AB AD 14又因ABD(0 , π) ，所以 sinABD1 cos2 ABD3 21 ．14所以 tanABD3 3 ，tan ABD 33 33 5 3 ．所以tan ABCtanABDπ33613tan ABD13 (3 3)333（ 2）同解法一．18 ． 解 法 一 ：（ 1 ） 因AB / / CD ,所 以AM AB 1 , 即 AM 1 ． MC CD2AC3因 MN // 平面 PCD ， MN 平面 PAC ，平面 PAC I 平面 PCD PC ，所以 MN //PC ．所以ANAM 1 ，即 ＝ 1． APAC3 3(2) 因为 ABAD ,BAD 600 ，所以 ABD 为等边三角形，所以 BD AD 1，又因为 PD 1， PAPB2 ，所以 PB 2PD 2 BD 2 且 PA 2 PD 2 AD 2 ，所以 PD BD 且 PD DA ，又因为 DA I DB D ，所以 PD平面 ABCD因为 PD 平面 PCD ，所以平面 PCD平面 ABCD ．作 MECD 于 E ，因为平面 PCD I 平面 ABCD =CD ，所以 ME平面 PCD ．又因为 MN / / 平面 PCD ，所以 ME 即为 N 到平面 PCD 的距离．在△ ABD 中，设 AB 边上的高为 h ，则 h 3 ，2因为MDMC 2 ，所以 ME 2 h 3 ，即 N 到平面 PCD 的距离为3 ．BDAC 3333解法二、（ 1）同解法一．（ 2）因为 AB AD ,BAD 600 ，所以ABD 为等边三角形，所以 BD AD 1，又因为 PD 1， PA PB 2 ，所以 PB 2 PD 2 BD 2 且 PA 2 PD 2 AD 2 ，所以 PDBD 且 PDDA ，又因为 DA I DB D ，所以 PD平面 ABCD ．设点 N 到平面 PCD 的距离为 d ，由 AN1AP 得 NP2AP ，2233所以 V N PCDV A PCDVP ACD，33即 2PD S △ ACD 1 d S △ PCD ．93因为S △ ACD1AD DC sin ADC3， S △ PCD1PD CD 1， PD1 ，222所以231d，解得 d3，即 N 到平面 PCD 的距离为 3 ．9233319．解：（ 1）设的标准方程为 x2 2 py ，则F 0,p．2已知 E 在直线y 1x 上，故可设E 2a,a．22a021,因为 E, F 关于M1,0 对称，所以pa2，20 a1,解得2.p所以的标准方程为x2 4 y ．因为 E 与x轴相切，故半径r a1，所以 E 的标准方程为x222y 11．（ 2）设l的斜率为k，那么其方程为y k x1，则 E2,1到 l 的距离d k 1，所以 AB21 d 222k．k 21k 21x2 4 y,消去 y 并整理得：x24kx4k0由k x1．y设 C x1, y1, D x2 , y2，则 x1x24k, x1 x24k，那么 CD k 2 1 x1x2k 21x1x224x1 x2 4 k 2 1 k 2k ．2216 k 2 +1 k 2k 2 k 2 1 k2k 所以CD 2k=2 ．28k kAB kk 2122 AB 22 AB ．所以 CD，即 CD20．解：（ 1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2020 年成交的二手车使用时间在8,12的频率为0.0740.28，在 12,16 的频率为0.03 4 0.12所以 P A0.280.120.40 ．（ 2）①由y e a bxaμbx ．得 ln y bx ，即Y关于 x 的线性回归方程为 Y a10xY10 x Y$i1i i79.7510 5.5 1.90.3 ，因为 b10210x238510 5.52x ii 1$$x 1.90.3 5.5 3.55 a Y b所以 Y 关于x的线性回归方程为μ3.550.3x ，Y即 y 关于x的回归方程为$3.550.3x y e②根据①中的回归方程$e3.550.3 xy和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在0，4的平均成交价格为e3.550.32e2.9519.1 ，对应的频率为0.2 ；使用时间在4，8的平均成交价格为e3.550.36e1.75 5.75 ，对应的频率为0.36 ；使用时间在8，12的平均成交价格为e3.550.3 10e0.55 1.73 ，对应的频率为0.28 ；使用时间在使用时间在12，1616，20的平均成交价格为e3.550.3 14e的平均成交价格为e3.550.3 18e0.651.850.52 ，对应的频率为0.12 ；0.16 ，对应的频率为0.04所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为0.219.10.36 5.754%0.28 1.730.120.520.040.1610%0.290920.29万元21．解：（ 1）∵f( x)ln x ax ，∴ f (e) 1 ae 1 ，解得a 2，e∴ f (e)e，故切点为 (e,e) ，所以曲线y f (x) 在 x e 处的切线方程为x y 0．（ 2） f( x) ln xax ，令 f ( x)ln x0 ，得 a．x令 g(x)ln x g (x)1 ln x，，x 2x且当 0 x 1 ， g( x)0 ；当 x1 ， g( x)0 ； x1 ， g( x) 0 ．令 g ( x) 0 ，得 x e ，且当 0x e ， g ( x) 0 ；当 x e ， g ( x)0 ．故 g(x) 在 (0,e) 增，在 (e,) 减，所以 g xg (e)1 max．e所以当 a0 ， fx 有一个极 点；10 a， fx 有两个极 点；e1当 a ≥ ， f x 没有极 点．上， a 的取 范 是0,1．e因 x 1, x 2 是 fx 的两个极 点，所以ln x ax0，ln xax ，1 1 即 1 1⋯① ln xax0，ln xax .2222 不妨 x 1 x 2 ， 1 x 1 e ， x 2e ，因 g ( x) 在 (e,) 减，且 x 1 x 2x 2 ，所以ln( x1x 2 )ln x 2 ，即 ln( x1x 2 ) a ⋯②．x 1x 2x 2x 1x 2由①可得ln x 1 ln x 2 a x 1x 2 ，即 ln x 1x 2a ，x 1x 2由①，②得ln( x 1 x 2 )ln x 1x 2 ，所以 x 1 x 2 x 1x 2 ．x 1 x 2x 1x 222． 解法一：（1）由x 1 3t , 得 l 的普通方程 x 3 y 13 ，1 分y 1 t ,xcos ,cos 3sin 13 ． 又因， 所以 l 的极坐 方程y sin ,由2cos 得 2 2 cos ，即 x 2 y 2 2x ，所以 C 的直角坐 方程 x 2y 2 2x 0 ．（ 2）设P,Q的极坐标分别为1, 1 , 2 , 2，则POQ12由cos 3 sin13,消去得 2cos cos 3 sin1 3 ，2cos,化为 cos 23sin 2 3 ，即sin2π 3 ，62因为π，即 2π π 7π，所以 2π ππ 2π0，+，6，或 26，2666331即2π,12或π,412π,π4所以POQπ12 =．,612解法 2：（ 1）同解法一（ 2）曲线C的方程可化为x12y21，表示圆心为C 1,0且半径为 1 的圆．x13 t ,将 l的参数方程化为标准形式2( 其中t为参数 ) ，代入C的直角坐标方程为1y1t23 t 21 t23 tx2y 2 2 x 0 得， 11 2 10 ，222整理得，t2t 0 ，解得 t0或 t 1 ．设 P, Q 对应的参数分别为t1 ,t2，则 PQ t1 t21．所以PCQ60 ，又因为 O 是圆 C 上的点，所以POQ PCQ30 2解法 3：（ 1）同解法一（ 2）曲线C的方程可化为x12y21，表示圆心为 C 1,0且半径为 1 的圆．又由①得 l的普通方程为 x3y130 ，3则点 C 到直线l的距离为 d，2所以 PQ 2 1 d 21，所以△ PCQ 是等边三角形，所以PCQ 60，又因 O 是 C 上的点，所以 POQ PCQ3022x , x1,23. 解：（ 1）当a 1 ，f x x 1 x 1 ，f x2, 1≤ x1,2x, x≥1.当 x1，由 f x ≤4 得，2x≤ 4 ，解得2≤ x1；当1≤ x 1 ， f x≤4恒成立；当x≥1 ，由 f x≤4得， 2x≤ 4 ，解得 1≤ x≤ 2 ．所以 f x ≤4 的解集x2≤ x≤ 2．（ 2）因任意x1R ，都存在 x2R ，使得不等式 f x1g x2成立，所以f xmin g x min．因 a22a3a1220 ，所以 a22a 3 ，且 x a2x2a 3 ≥ x a2x2a3a22a 3 a22a 3 ，⋯①当 2a3≤ x≤ a2，①式等号成立，即f xmin a22a3．a 2a2a2又因 x2ax4x4≥4，⋯②244当 x ag x4a2．，②式等号成立，即min24所以 a22a34a2，整理得，5a28a40 ，4解得a2或 a 2，即 a 的取范,2U2,．55。
2020年三明市高三毕业班质量检查测试文科数学试卷
2020 年三明市高三毕业班质量检查测试 文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要
认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否
一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
初高中数学学习资料的店
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8．已知△ ABC 的三边分别为 a,b,c ，且满足 a2 b2 c2 3ab ，则△ ABC 的最大内角
为
A． 60
B． 90
C． 120
D． 150
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥外
接球的体积是
A. b c a
B. c b a
C. a b c
D. b a c
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终
边经过点 P( 2 , 1) ，则 cos 2
A． 2 2 3
B． 1 3
C． 1 3
D． 2 2 3
文科数学试题 第 1 页 （共 5 页）
f (x) 2x2 12x 18 ，函数 g(x) f (x) loga ( x 1) ．现给出以下命题：
① f (x) 是周期函数；② y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称；③当 a 1 时， g(x) 在
(0， ) 内有一个零点；④当 0 a 3 时， g(x) 在 R 上至少有六个零点． 3
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题
卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
福建省三明市2020届高三普通高中毕业班质量检查(5月)数学(理)试题(A卷) Wrod版含答案
2020年三明市普通高中毕业班质量检查A 卷 数学(理科) (试卷总分:150分考试时间:120分钟) 注意事项: 1.答题时，务必将自己的学校、班级.姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答非选择题时,必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.第I 卷(选择题,共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的)1.设全集为{}{}221log 3,340x A x B x x x =≤≤=--<,则A B I 等于 ( ) A. (1,2)- B. (1,8]- C. [4,8] D. [2,4)2.下列关于复数1z ，2z 的四个命题中，错误的是( )A. 若120z z -=.则 12z z =B.若 12z z = ，则12z z =C. 若120z z -=，则12z z =D. 若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅3.某篮球队的甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图,则下而结论中错误的是( )A.甲命中个数的极差是29B.甲命中个数的中位数是24C.甲罚球命中率比乙高D.乙命中个数的众数是214.定义在R 上的函数1()()23x m f x -=-为偶函数，若113221(log ),(()),()2a f b f c f m ===，则A. c<a<bB. a<c<b C, a<b<c D. b<a<c5.设函数4()cos f x x x =--的导函数为g(x),则()g x 图象大致是( )6.等差数列{}n a 的前n 项和为Sn,若S 17=51,则2a 10-a 11=A.2B. 3C. 4D.67.执行如图的程序框图，若输出的n=6,则输入整数p 的最大值是A.15B.16C.31D.328.关于函数()cos cos f x x x =+ ,给出下列结论:①f(x)是偶函数；②在区间(,0)2π-上单调；③f(x)在[,]ππ-上有4个零点④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的序号是A.①②④B.②④ C,①④ D.①③9.《九章算术》中有一分鹿问题:“ 今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿欲以爵次分之,问各得几何.”在这个问题中,大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪袅、上造、公士这5人分成两组(一组2人, 一组3人) ,派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )A.25 B. 15 C. 35 D. 110 10.如图，在∆ABC 中，23AN NC =u u u r u u u r ，p 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数t 的值为( )A. 23B. 25C. 16D. 3411.直线330x -+==0经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F,交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于C 点，若3FA CA =u u u r u u u r ,则该椭圆的离心率是A. 31-B. 31C. 222D. 2112.如图,已知正三棱锥S-ABC ，底面是边长为3的正三角形ABC ，23SA =，点E 是线段AB 的中点,过点E 作三棱锥S-ABC 外接球O 的截面，则截面面积的最小值是A.3πB. 94πC.2πD. 74π 第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分,共20分)13.已知直线y=kx-2x 与曲线y=xln x 在x=e 处的切线平行,则实数k 的值为_______14.若251(3)(2)x a x x --的展开式中x 3的系数为-80,则a =_____ 15. 若x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩,则z=2x+3y 的最大值为______16.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x 0满足00()()f x f x -=-,则称函数f(x)为“倒戈函数”.设2(21)2log ,2(),(,0)3,2x mx x f x m R m x -+⎧≥⎪=∈≠⎨-<⎪⎩且为其定义域上的“倒戈函数”,则实 数m 的取值范围是___________________三、解答题(共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17 -21题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分.17. (12分)已知∆ABC 的周长为2+1,且sin A+ sin B=2sin C. .(1)求边AB 的长;(2)若∆ABC 的面积为16sin C,求内角C 的度数.18.(12分)某校为了解高三男生的体能达标情况,抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据 统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间(,)x s x s -+的左侧，则认为 该学生属“体能不达标”的学生.其中x ,s 分别为样本平均数和样本标准差,计算可得s≈27 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)若该校高三某男生的跳远距离为187cm,试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生;.(2)该校利用分层抽样的方法从样本区间[ 160 , 180) ,[ 180 ,200) ,[200 ,220)中共抽出5人， 再从中选出两人进行某体能训练,求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200,220)的概率19. (12分)如图,四梭锥P-ABCD 的底面是梯形. BC // AD.,AB= BC=CD=1,AD=2,PB 132=， PA=PC=3.(1)证明:AC ⊥BP;(2)求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值。
高考专题福建省三明市高三五月质量检查数学(文)试题(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++- (13)V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，那么复数(1i)i -等于（ ）A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -【答案】B 【解析】试题分析：由(1)1i i i -=+.所以选B. 考点：复数的运算.2．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则AB 为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x >【答案】B 【解析】试题分析：集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =<，则A B {|01}x x =<<.故选B.考点：1.集合的描述的表示.2.集合的交集.3．观察下列关于变量x 和y 的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次是（ ）A ．正相关、负相关、不相关B ．负相关、不相关、正相关C ．负相关、正相关、不相关D ．正相关、不相关、负相关4．命题：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定是（ ）A ．0x ∀≤，都有20x x -> B ．0x ∀>，都有02≤-x x C ．0∃>x ，使得02<-x x D ．0x ∃≤，使得20x x ->5．函数32()34f x x x =-+-的单调递增区间是 （ ）A ．(,0)-?B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(2,)+?6. 某程序框图如图所示，若输入2x π=，则该程序运行后输出的b a ,值分别是（ ）A ．0,1 B. 1,1 C. 1,0 D. 0,0开始输入xx a sin = x b cos = ?b a <a m =b a = mb =是否 输出b a ,结束7．直线0x y +=与圆22(2)4x y -+=相交所得线段的长度为 （ ）A ．22B ．2C ．2D ．22 【答案】D 【解析】试题分析：依题意可得所截的弦长是一个以直径为4的等腰三角形的直角边，所以弦长为22.故选D. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.解三角形的知识.8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．12+B ．2C ．222+ D ．32111正视图俯视图侧视图111B CDA9．若y x ,均为区间)1,0(的随机数，则20x y ->的概率为（ ） A ．81 B ．41 C ．21D ．431O12x-y =0xy10. 对于函数()f x 在定义域内的任意实数x 及(0)x m m +>，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>成立，则称函数()f x 为“Z 函数”.现给出下列四个函数：(0),()(0);x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩()()ln 0,()ln()0;x x u x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩1()h x x x =+；()cos v x x =.其中是“Z 函数”的是（ ）A ．()g xB ．()h xC ．()u xD ．()v x11．在边长为2的等边ABC ∆中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则ED EB ⋅的取值范围是（ ） A ．23[,3]16 B ．23[,2]16 C ．3[,3]2D ．[2,9] 【答案】A 【解析】试题分析：设,2(02)EC x EA x x =∴=-≤≤,1AD DB ==.由ED EB ⋅2222(2)5()()(2)23222x x EA AB EA AD x x x --=+⋅+=---+=-+.所以ED EB ⋅∈23[,3]16.故选A.考点：1.向量的运算.2.二次函数的最值.3.平面向量的基本定理.12．设函数()f x 的导函数为()f x '，那么下列说法正确的是（ ）A.若()'0f x= ，则x 是函数()f x 的极值点B. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'0f x=C. 若x 是函数()f x 的极值点，则()'f x 可能不存在D.若()'0f x=无实根 ，则函数()f x 必无极值点第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．在等差数列{}n a 中，若34=a ,则=7S ．14. 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为,,21e e 则12e e ⋅=______.【答案】1 【解析】试题分析：假设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c .则双曲线的半实轴'a c =，半焦距'c a =.所以两曲线的离心率分别为,,21e e 则12e e ⋅= 1.考点：1.圆锥曲线的基本性质.2.对比归纳的思想.15．已知0,0,a b >>若直线01:21=++y a x l 与直线03)1:22=+-+by x a l （互相垂直，则ab 的 最小值是 ．16．定义(,)n F A B 表示所有满足{}12,,,n AB a a a =⋅⋅⋅的集合,A B 组成的有序集合对(,)A B 的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B ⋅⋅⋅，并归纳推得(,)n F A B =_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ….17．（本小题满分12分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6. （Ⅰ）估计所抽取的数学成绩的众数；（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率.∴第四组[80,90)的频数：0.024105012⨯⨯=；第五组[90,100]的频数：0.01610508⨯⨯=； 用分层抽样的方法抽取5份得：频率/组距 0.0120.016 0.018 分80 60 50 70 90 100 0.030 0.024∴所求概率：63105P == ． ………………………………………………………12分 考点：1.统计图表的识别.2.统计图表中众数的估算.3.分层抽样.4.古典概型.18．（本小题满分12分）将数列{}n a 按如图所示的规律排成一个三角形数表，并同时满足以下两个条件：①各行的第一 个数125,,,a a a ⋯构成公差为d 的等差数列；②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序都构成 公比为q 的等比数列.若11=a ，43=a ，53a =. （Ⅰ）求q d ,的值； （Ⅱ）求第n 行各数的和T .试题解析：（Ⅰ）依题意得512a a d =+，312d ∴=+，所以1d =． ……………………………………………2分 又321()a a q a d q ==+，2q =，1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……考点：1.等差数列的性质.2.等比数列的性质.3.分类递推的数学思想.19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，且22==AD DC ，2:1:=EC PE PC E 上一点，为，（Ⅰ）求证：；平面PAB DE //（Ⅱ）；平面求证：平面ABC PDB ⊥（Ⅲ） 若32==AB PD ，， 60=∠ABC ，求三棱锥ABC P -的体积．【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）参考解析；（Ⅲ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）由22==AD DC ，:1:2PE EC =，即可得到线段成比例，即得到直线平行，再根据直线与平面平行的判断定理即可得到结论. PAB EC D（Ⅱ）由平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，并且AC 是平面PAC 与平面ABC 的交线，根据平面垂直的性质定理即可得PD 垂直平面ABC ，再根据平面与平面垂直的判断定理即可得到结论.（Ⅲ）由22==AD DC 即可得AC=3.又由32==AB PD ，， 60=∠ABC ， 在三角形ABC 中根据余法一：ABC ∆中，,3=AB ,60 =∠ABC 3=AC ， 由正弦定理ABC AC ACB AB ∠=∠sin sin ，得1sin 2ACB ∠=， 因为AC AB >，所以ACB ABC ∠<∠，则6ACB π∠=，因此2CAB π∠=， …………8分△ABC 的面积233332121=⋅⋅=⋅=∆AB AC S ABC ． …………………………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． …………………………12分 法二：ABC ∆中，3=AB ， 60=∠ABC 3=AC ，由余弦定理得：60cos 2222⋅⋅-+=BC AB BC AB AC ，所以2360AC AC --=， 所以233(AC AC ==-或舍去）． …………………………………8分△ABC 的面积233233232160sin 21=⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ BC AB S ABC ． ……………10分 所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯3=． ……………………12分 考点：1.线面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱锥的体积.20．（本小题满分12分）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与x 轴交于点(1,0)M -．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线AB （直线与抛物线交于点A ，B ），使得三角形MAB 的面积 42MAB S D =？若存在，请求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．得到方程：2440y ty --=， …………………………………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，124y y ⋅=-．…………………7分 121||(||||)2MAB MAF MBS S S S MF y y D D D =+=?∵120y y ⋅<，∴12||||y y +2121212||()4y y y y y y =-=+-241t =+ ， ……9分又||2MF =，∴21241422MAB S t D =创+= ……………………………………10分 解得1t =?， ………………………………………………………………11分 故直线AB 的方程为：1x y =±+．即10x y +-=或10x y --=．…………………12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）故直线AB 的方程为：(1)y x =±-．即10x y +-=或10x y --=． ………12分 考点：1.抛物线的性质.2.直线与抛物线的关系.3.弦长公式，点到直线的距离.4.运算能力.21．（本小题满分12分）设向量12(,),a a =a 12(,)b b =b ，定义一种向量积12121122(,)(,)(,)a a b b a b a b ⊗=⊗=a b ． 已知向量1(2,)2=m ，(,0)3π=n ，点),(00y x P 为x y sin =的图象上的动点，点),(y x Q 为)(x f y =的图象上的动点，且满足OQ OP =⊗+m n （其中O 为坐标原点）．（Ⅰ）请用0x 表示OP ⊗m ；（Ⅱ）求)(x f y =的表达式并求它的周期；（Ⅲ）把函数)(x f y =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数)(x g y =的图象.设函数=)(x h t x g -)(()t ∈R ，试讨论函数)(x h 在区间[0,]2π内的零点个数. 因此002,31sin ,2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即003,2sin 2,x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………6分 所以11()sin()226y f x x π==-，它的周期为4π． ………………………………8分 （Ⅲ）)62sin(21)(π-=x x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减， 又111(0),(),()43224g g g ππ=-==， ……………………………10分 时，或当4141-21<≤=t t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内只有一个零点；时，当2141<≤t 函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内有两个零点； 当14t <-或14t >时，函数)(x h 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π内没有零点． …………………………12分 考点：1.三角函数的性质.2.向量的数量积.3.新定义问题.22．（本小题满分14分）已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件：1212ln()ln ln 2x x x x ⋅=⋅+.（ⅰ）求m 的值；（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--，即e 2e 10x y +-+=． …………………………5分又1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-121212(e)(e)(e)(e)(ln 1)(ln 1)x x x x x x =--+----121212(e)(e)(ln ln ln 2)x x x x x x =---+0=从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形． ………………………14分 考点：1.导数的几何意义.2.函数的极值.3.分类讨论的数学思想.4.向量的数量积.5.运算能力.。
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福建省三明市2020届高三数学5月质量检查测试试题文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再与集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由三视图确定该几何体为圆柱，由圆柱的体积公式，即可得出结果.【详解】由几何体三视图可知：该几何体为圆柱，且圆柱的底面圆半径为1，高为2，所以圆柱的体积为.故选B【点睛】本题主要考查几何体的三视图、以及圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式即可，属于基础题型.4.在中，点在边上，且，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由化为，再整理，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为在中，点在边上，且，所以，即，故，又，，所以.点睛】本题主要考查平面向量基本定理，熟记基本定理即可，属于基础题型.5.箱子里有大小相同且编号为1，2，3，4，5的五个球，现随机取出两个球，则这两个球编号之差的绝对值为3的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意确定“从5个球中随机取出两个球”，所包含的基本事件个数；再列举出“两个球编号之差的绝对值为3”所包含的基本事件个数，基本事件个数之比即为所求概率.【详解】由题意：“从编号为1，2，3，4，5的五个球中，随机取出两个球”共包含个基本事件；满足“这两个球编号之差的绝对值为3”的基本事件有：，共2个基本事件；所以这两个球编号之差的绝对值为3的概率是.故选B【点睛】本题主要考查古典概型，列举法求基本事件的个数，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.6.已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 9【答案】A【解析】【分析】先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，因此直线在轴截距最小时，取最小值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：由目标函数可化为，因此直线在轴截距最小时，取最小值，由图像可知：当直线过点时，最小；由得，所以.故选A【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于基础题型。
7.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由函数奇偶性的概念，判断出函数为偶函数，排除AB 选项，再由特殊值代入，即可得出结果. 【详解】因为的定义域为，又，故函数为偶函数，关于轴对称，排除AB 选项；又当时，，排除D.故选C【点睛】本题主要考查函数图像，通常根据函数奇偶性以及特殊值法验证，属于常考题型. 8.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.若角满足，则（ ） A. -2 B.C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由角的终边过点，求出，再由两角和的正切公式，以及，即可求出结果.【详解】因为角的终边过点，所以，又，所以，即，解得.故选B【点睛】本题主要考查三角函数定义，以及两角和的正切公式，熟记定义与公式即可，属于基础题型.9.设斜率为的直线过抛物线的焦点，与交于两点，且，则（ ）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】先由题意，得直线方程为：，设，联立直线与抛物线方程，结合弦长，列出等式，即可求出结果.【详解】因为斜率为的直线过抛物线的焦点，所以直线方程为，设，由得，整理得：，所以，因此，又，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据弦长求参数的问题，熟记抛物线方程以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.10.已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由，根据题意求出，再由裂项相消法求出，进而可得出结果.【详解】因为，所以，因此，即，又为正项数列，所以，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，因此，所以，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查等差数列以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和即可，属于常考题型.11.我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先令圆的半径为1，求出其内接正边形的面积，以及内接正边形的面积，根据题意建立等量关系，即可求出结果.【详解】令圆的半径为1，则圆内接正边形的面积为，圆内接正边形的面积为，用圆的内接正边形逼近圆，可得；用圆的内接正边形逼近圆，可得；所以.故选A【点睛】本题主要考查圆周率的估计值，关键在于求出圆内接正多边形的面积，属于常考题型.12.已知是双曲线上的三个动点，且（为坐标原点）.设，，且，则的值为（）A. -4B.C.D. 4【答案】D【解析】【分析】先由，，根据求出坐标，再根据是双曲线上的三个动点，即可列式求出结果.【详解】因为，，，所以，故，又是双曲线上的三个动点，所以，，，所以，即，即；又，所以故选D【点睛】本题主要考查根据双曲线上点的坐标之间关系求参数问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则________．【答案】3【解析】【分析】根据函数解析式，先计算出，进而即可得出.【详解】因为，所以，因此.故答案为3【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，由内向外逐步代入即可求解，属于常考题型.14.在等比数列中，，，则__________．【答案】16【解析】【分析】先设等比数列的公比为，由，求出，再由即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此.故答案为16【点睛】本题主要考查等比数列的简单计算，熟记等比数列的通项公式以及等比数列的性质即可，属于基础题型.15.曲线在处的切线与直线平行，则实数_______．【答案】【解析】【分析】先对求导，得到其在处的切线斜率，再由题意，列出等量关系，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此其在处的切线斜率为，又曲线在处的切线与直线平行，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查导数的几何意义，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.16.已知三棱锥的外接球半径为2，平面，，，则该三棱锥体积的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】在长方体中作出三棱锥，先由题意可得两两垂直，因此，三棱锥的外接球，即是以为长宽高的长方体的外接球，设，，由题意得到的关系式，再根据三棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】由题意，在长方体中作出满足题意的三棱锥如图所示：则，该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故，又，所以，设，，由可得，所以该三棱锥的体积为.当且仅当时，取最大值.故答案为【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及基本不等式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角所对的边分别是，且，.（1）求；（2）若边上的中线，求的面积.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.【详解】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因为，，，，又因为，即，所以，所以，又因为，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.18.已知四棱锥，，，平面，，，直线与平面所成角的大小为，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明平面，得到；再证明，进而可得出结果；（2）根据等体积法，由，结合题中数据即可得出结果.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，是线段的中点，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以.取上点，使得，连接，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小，又平面，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，所以，所以，因为，，所以，所以，，，所以，，所以，所以，因为，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，所以和均为直角三角形，又，设点到平面的距离为，则，即，化简得，解得，所以点到平面的距离为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及点到平面距离，熟记判定定理以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.19.某市一农产品近六年的产量统计如下表：年份2020 2020 2020 2020 2020 2020年份代码 1 2 3 4 5 6年产量（千5.1 5.3 5.6 5.56.0 6.1吨）观察表中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系.（1）根据表中数据，将以下表格空白部分的数据填写完整，并建立关于的线性回归方程；总和均值1 2 3 4 5 65.1 5.3 5.6 5.56.0 6.11 4 9 16 25 365.1 10.6 16.8 22 30 36.6 121.1（2）若在2025年之前该农产品每千克的价格（单位：元）与年产量满足的关系式为，且每年该农产品都能全部销售.预测在2020～2025年之间，某市该农产品的销售额在哪一年达到最大.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）见解析；（2）2020年【解析】【分析】（1）根据题中数据，先完善表格；再由，，求出和，进而可求出结果；（2）先由题意得到，进而可得出结果. 【详解】解：（1）数据补充如下：总和均值1 2 3 4 5 6 3.55.1 5.3 5.6 5.56.0 6.1 5.61 4 9 16 25 36 915.1 10.6 16.8 22 30 36.6 121.1 则，，即关于的线性回归方程为. （2）因为销售额销售额价格，所以，所以当时，取得最大值. 由回归直线方程知，当时，，而年份代码8对应的年份为2020年，所以在2020～2025年之间，某市该农产品的销售额在2020年达到最大. 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求和即可，属于常考题型.20.已知动点是的顶点，，，直线，的斜率之积为.（1）求点的轨迹的方程；（2）设四边形的顶点都在曲线上，且，直线，分别过点，，求四边形的面积为时，直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设点，根据题意得到，化简整理即可得出结果；（2）先由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离表示出，再由图形的对称性得到，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）设点，由已知，，直线与的斜率之积为，即，化简得.所以动点的轨迹的方程为.（2）依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，由，得，则，，所以，又原点到直线的距离，所以，由图形的对称性可知，，所以，化简得，解得，即，所以直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程的求法以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.21.已知函数有两个极值点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）先对函数求导，讨论与两种情况，分别判断其单调性，结合题意，即可求出结果；（2）先由（1）不妨设，且，得到，证明转化为证明，再令，可将问题转化为证明在上恒成立，再令，用导数的方法求其最大值即可.【详解】解：（1）因为，所以，令，则，当时，不成立；当时，，令，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，当时，，当时，，因此，当时，有2个极值点， 即的取值范围为.（2）由（1）不妨设，且，所以，所以，要证明，只要证明，即证明，设，即要证明在上恒成立，记，，所以在区间上单调递减， 所以，即，即.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等即可，属于常考题型.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的方程为，圆的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程；（2）设与，异于原点的交点分别是，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）先求出圆的普通方程，然后再借助极坐标公式求出圆的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程，与两圆联立方程组得出，，进而求出，，然后利用割补法求出的面积. 【详解】（1）由得，化为.即.因为，，所以的极坐标方程为.（2）因为直线的斜率为，即倾斜角为，所以其极坐标方程为.设，.由，得，即，由，得，即.由的极坐标方程得，所以，.因为，所以的面积为.【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与圆相交的问题时，有时直接利用极坐标方程能优化运算过程，解题时应灵活应用.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若集合，求实数的取值范围.【答案】（1），此时（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）集合表示，，令，根据几何意义可得的图像恒在图像上方，数形结合解决问题.【详解】解（1）因为，当且仅当，即时，上式“”成立，故函数的最小值为3，且取最小值时的取值范围是.（2）因为，所以，.函数化为.令，其图像为过点，斜率为的一条直线.如图，，.则直线的斜率，直线的斜率.因为，所以，即，所以的范围为.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用.。