高三数学测试题目
高三数学测试卷一
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 在 $x = 1$ 处取得最小值，则 $a$、$b$、$c$ 应满足的条件是（）。
A. $a > 0, b = 0, c$ 可取任意实数B. $a < 0, b = 0, c$ 可取任意实数C. $a \neq 0, b \neq 0, c$ 可取任意实数D. $a = 0, b \neq 0, c$ 可取任意实数2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3 = 9$，$S_5 = 21$，则该数列的公差为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 53. 设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B =\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$，则 $AB$ 的值为（）。
A. $\begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 11 & 15 \end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix} 7 & 5 \\ 15 & 11 \end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix} 5 & 11 \\ 7 & 15 \end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix} 11 & 7 \\ 15 & 5 \end{bmatrix}$4. 若直线 $l: 2x - 3y + 6 = 0$ 与圆 $x^2 + y^2 = 9$ 相切，则圆心到直线$l$ 的距离为（）。
A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{9}{2}$D. 65. 已知函数 $f(x) = \log_2(x - 1) + 3$ 的定义域为 $D$，则 $D$ 等于（）。
高三数学测试卷含答案解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数范围内是单调递增的是（）A. y = -x^2 + 2xB. y = x^3 - 3xC. y = 2^xD. y = log2(x)答案：C解析：选项A和B都是二次函数，开口向下，存在最大值，不是单调递增。
选项D 是底数为2的对数函数，在定义域内是单调递增的，但题目要求在实数范围内，所以排除。
选项C是指数函数，底数大于1，在整个实数范围内都是单调递增的。
2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项an=（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得an = 1 + (10-1)×2 = 21。
3. 若复数z满足|z-2i|=|z+1|，则复数z在复平面内的对应点在（）A. x轴上B. y轴上C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：根据复数的模的定义，|z-2i|表示点z到点(0,2)的距离，|z+1|表示点z到点(-1,0)的距离。
若这两个距离相等，则点z位于这两点的垂直平分线上，即y轴上。
但由于|z-2i|是z到y轴的距离，|z+1|是z到x轴的距离，所以点z在x轴上。
4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则函数的图像与x轴的交点坐标为（）A. (1,0)，(-1,0)B. (0,1)，(0,-1)C. (0,0)，(1,0)D. (-1,0)，(0,0)答案：A解析：由f(1) = 0和f(-1) = 0可知，1和-1是函数的根，因此函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)和(-1,0)。
5. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1,2)B. (-1,1)C. (1,2)D. (1,1)答案：A解析：线段AB的中点坐标为两个端点坐标的算术平均值，即中点坐标为((2-3)/2, (3+1)/2) = (-1,2)。
高三数学考试题目及答案大全
高三数学考试题目及答案大全第一节选择题1.若a＋b＝0，则下列说法错误的是（） A. a＝－b B. b＝－a C. a·b＝0 D. a＝b2.若函数y＝ax＋b在点（1，－3）处的斜率为－2，则a，b的值分别为（） A. 2，－1 B. －2，1 C. －1，2 D. 1，－23.若直线2x＋y＋1＝0与x轴交于点（－1, 0），求直线的斜率k为（） A. k＝0 B. k＝1 C. k＝－1 D. k＝1/2第二节填空题1.已知平方根2的近似值为1.414，则2的近似值为_________。
2.已知函数y＝x^2＋4x＋6，当x＝－2时，y的值为_________。
第三节计算题1.求函数y＝3x^2－4x＋5的极小值。
2.解方程组： \[ \begin{cases} 2x+y=3 \\ x-3y=-2 \end{cases} \]3.计算极限： \[ \lim_{{x\to 1}}\frac{x^2-1}{x-1} \]第四节证明题证明：直线y＝3x+1与直线y＝3x+2平行。
答案参考第一节选择题1. D. a=b2. D. 1，－23. B. k=1第二节填空题1.2的近似值为1.414 x 2 =2.8282.当x＝－2时，y＝（－2）^2 + 4 × （－2）+ 6 = 2第三节计算题1.函数y＝3x^2－4x＋5的极小值为（4, 9）2.解得x=5，y=-73.解得极限值为2第四节证明题设直线y＝3x+1过点（0, 1），直线y＝3x+2过点（0,2），斜率均为3，两直线平行。
证毕。
以上为高三数学考试题目及答案大全内容，希望对你的学习有所帮助。
高三数学试卷题目大全
高三数学试卷题目大全1.简述函数$f(x)=\\sqrt{2x+1}$的定义域和值域，并画出其函数图像。
2.已知数列$\\{a_n\\}$满足a1=3,a2=7且$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n(n\\ge1)$，求a10的值。
3.若直线2x+3y=6与圆x2+y2=9相交于两个点A和B，求$\\angle AOB$的度数，其中O为圆心。
4.已知函数f(x)=ax2+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，求a,b,c的值。
5.已知等差数列$\\{a_n\\}$的前三项依次为3，7，11，若a8=29，求a1和公差d的值。
答题思路1.函数定义域和值域：函数$f(x)=\\sqrt{2x+1}$，根号内的表达式应为非负实数，所以$2x+1\\ge0\\Rightarrow x\\ge-\\frac{1}{2}$。
即定义域为$[-\\frac{1}{2},+\\infty)$。
值域需要考虑根号内表达式取值范围，其最小值为0，可得值域为$[0,+\\infty)$。
函数图像：（在此处插入函数图像绘制过程）2.求解数列：根据题意可列出递推式a n+2=2a n+1−a n。
由已知a1=3,a2=7，代入递推式可求得数列$\\{a_n\\}$的各项数值。
3.求交点角度：圆心到两交点的线段与x轴正半轴的夹角即为所求角度。
点A、B的坐标可由直线和圆的方程解得，再求得所需角度。
4.最大值求解：根据函数最值的性质，导数为0时函数取得极值。
所以需求出f′(x)，并令其为0解出极值点的横坐标，再带入函数得到最大值。
5.已知条件代入求解：根据等差数列的性质列出数列通项公式，利用已知条件得出待求项的数值。
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高三数学考试题目大全电子版
高三数学考试题目大全电子版第一部分：选择题1.一元二次方程3x2−4x−5=0的根为（）。
A. 1和−5/3B. −1和5/3C. −1和−5/3D. 1和5/32.计算 $\\frac{1}{\\sin^2{\\alpha}} + \\frac{1}{\\cos^2{\\alpha}}$ 的值，其中 $\\alpha$ 是锐角三角形的一个内角。
…（此部分题目略去，具体题目详见附件）第二部分：填空题1.若 $\\frac{3}{a} = \\frac{4}{b} = \\frac{5}{c}$，则$\\frac{ab+bc+ca}{b^2}$ 的值为（）。
2.设 $f(x) = \\log_{\\frac{1}{2}}(2x+1)$，则f(f(5))的值为（）。
…第三部分：解答题1. 设 $\\triangle ABC$ 中，$\\angle BAC = 80^\\circ$，$\\angle ABC= 50^\\circ$，D是$\\overline{BC}$ 的中点，求$\\angle CAD$ 的度数。
2. 已知函数 $y = \\frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$，求其最小值，并说明在什么条件下取得最小值。
…（此部分题目略去，具体题目详见附件）第四部分：综合题某班内有50名学生，其中男生人数是女生人数的2倍。
如果这些学生均匀分布在A、B、C三个班级，每个班级学生总数相同，男生人数相同，女生人数相同，求每个班级男生和女生的人数各是多少人。
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祝各位同学取得优异成绩！。
2023-2024学年高三上学期开学考试 数学试题(解析版)
2023-2024学年度第一学期2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.已知a R ∈，i 为虚数单位，若3a ii-+为实数，则a ＝（）A.-3B.13C.3D.13-【答案】A【解析】【分析】先进行分母实数化，化简3a ii-+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则(3)010a +-=，即30a +=，所以3a =-.故选：A.3.已知正项等比数列{}n a ，若355664,28a a a a =+=，则2a =（）A.16B.32C.48D.64【答案】B 【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a ，然后根据5628a a +=求出公比，最后求2a 【详解】根据等比中项，235464a a a ==，又{}n a 是正项数列，故48a =（负值舍去）设等比数列{}n a 的公比为q ，由5628a a +=，即24428a q a q +=，解得12q =（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232a a q==故选：B4.已知向量a ，b满足7a b += ，且3a = ，4b = ，则a b -=r r （）A.5B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624a b a b a b a b +=++⋅=⇒⋅=--=r r r r r r r r，所以2222916241,1a b a b a b a b -=+-⋅=+-=∴-=r r r r r r r r，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18 C.316D.14【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C 1222123⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭⎝⎭.故选：C6.函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.7.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e 4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4 B.4 C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差11053s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然1053>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.已知,,a b c 是两两异面的三条直线，a b ⊥r r，c a ⊥，直线d 满足d a ⊥，d b ⊥，a d P ⋂=，b d Q ⋂=，则c 与d 的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC 【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ，符合题意，然后考虑直线c 的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 上一点（异于1A ），AB ，11B C ，1BB 所在直线分别为,,a b d ．当1DD 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 平行，C 正确；当1D E f 所在直线为c 时，符合题中条件，此时c 与d 异面，B 正确；若c 与d 相交，则a 垂直于,c d 确定的平面，又a 垂直于,b d 确定的平面，则,,b c d 在同一个平面内，即b 与c 共面，与已知矛盾，A 错误；若c 与d 垂直，则c 垂直于a,d 确定的平面，而b 垂直于a,d 确定的平面，推出b 与c 平行或重合，与已知矛盾，D 错误，故选：BC ．11.如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2<ϕ）的部分图像，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.5π6x =是的函数()y f x =的一条对称轴C.将函数()y f x =的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则54,63t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】AD 【解析】【分析】先根据图像可得2,πA T ==，即可判断A ；令ππ2π(Z)32x k k +=+∈解出x 即可判断B ，接下来求得,ωϕ，即可得到()f x 的解析式，根据图象平移判断C ；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解出函数零点，然后根据在[]0,π上有且仅有两个零点列出不等式解t 即可判断D .【详解】由图像可知，2A =，πππ=43124T -=，即πT =，故A 正确；2π2T ω∴==，此时()2sin(2)f x x ϕ=+，又π(,2)12 在图像上，π22sin(2)12ϕ∴=⨯+，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，ππ()2sin(22π)2sin(2)33f x x k x ∴=++=+，π()2sin(23f x x =+ ，ππ2π(Z)32x k k ∴+=+∈，ππ(Z)122k x k ∴=+∈，当5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴时，此时32k =不符合题意，故B 错误；将()f x 的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2()]2sin(2)333g x x x =-+=-不为奇函数，故C 错误；令π()2sin(2)03f tx tx =+=，解得ππ(Z)62k x k t t =-+∈，当0k =时，π06x t =-<，不合题意1k =时，π3x t =；2k =时，5π6x t =；3k =时，4π3x t =；又因为函数()(0)y f tx t =>在[]0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3t t⎧≤⎪⎪∴⎨⎪>⎪⎩，解得5463t ≤<，故D 正确.故选：AD .12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======，则（）A.该几何体的表面积为16++B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【答案】ABD 【解析】【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵23AEDE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ()222223111FB BG -=-，∴14222EAD FBC S S ==⨯⨯△△，FG ()22222322FB BQ -=-()12411112DCFE ABFE S S ==⨯+⨯，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为821116EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ()22222217FQ QT -=-=，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴14422sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足3()=(2)f x x x f -'⋅，则函数()f x 在点（2，(2)f ）处的切线方程为________________．【答案】6160x y --=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)f x x x f -'⋅，求导可得()()232f x x f '-'=，得()()22322f f ''=⨯-，因而切线的斜率(2)6k f '==而()()322228124f f '=-⨯=-=-，由点斜式可得切线方程为46(2)y x +=-即6160x y --=14.已知数列{}n a 各项均为正数，若11a =，且()1ln ln 1N n n a a n *+=+∈，则{}na 的通项公式为______．【答案】1e n n a -=##e enn a =【解析】【分析】推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式.【详解】由已知可得11ln ln ln1n n n n a a a a ++-==，所以，1e n naa +=，所以，数列{}n a 是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e ，因此，111e e n n n a --=⋅=.故答案为：1en n a -=.15.已知二项式51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x y 的项的系数为40-，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，根据3x y 的来源分析即可求出答案.【详解】51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示有5个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因式相乘，3x y 来源如下：有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供a y ，有3个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供x ，有1个51a x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭提供常数，此时3x y系数是()31354C C 140a -=-，即2040a -=-，解得：2a =故答案为：2.16.设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【答案】1-【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f -，令1y =和y x =-可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =-，则()()()()22212111f ff f =+-=-=，又()10f -<，()11f ∴-=-；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+-=-，()f x \关于直线1x =对称；令y x =-，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++--=+-+=⎡⎤⎣⎦，()10f x += 不恒成立，()()0f x f x ∴+-=恒成立，()f x \为奇函数，()()()2f x f x f x +=-=- ，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，()f x \是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯-=-=-.故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 的平分线交线段BC 于点D．（1）证明AB BDAC DC=；（2）若6AB =，8AC =，7BC =，求AD ．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD =．【解析】【分析】（1）由题得ACD ABD S ACS AB= ，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD =，4CD =，求出1cos 4B =，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD 为A ∠的平分线，设1,2,CAD BAD ∠=∠∠=∠∴12∠=∠∵1sin 12ACD S AC AD =⋅⋅∠ 1sin 22ABD S AB AD =⋅⋅∠ 故ACD ABD S ACS AB= ，设A 点到BC 的距离为h ，则可知1212ACDABDCD hS CDS BD BD h ⋅==⋅∴可知AC CDAB BD=（2）由8463AC CD AB BD ===，又7BD DC BC +==∴可知3BD =，4CD =在ABC 中，2226781cos 2674B +-==⨯⨯∴在ABD △中，2222cos 36AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=即6AD =.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A 和B 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A 类试题得10分；每答对1道B 类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A 类试题中有7道题会作答，而他答对各道B 类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A 类试题，设X 表示小明答这3道试题的总得分，求X 的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A 类试题答对和B 类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X 所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C 1051055250P ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭⨯ .【小问2详解】X 可能的取值为0，10，20，30，33310C 1(0)C 120P X ===，1273310C C 7(10)C 40P X ===，2173310C C 21(20)C 40P X ===，37310C 7(30)C 24P X ===，所以X 的分布列为X102030P11207402140724所以17217()010203021120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++< 对一切正整数k 均成立．【答案】（1）证明见解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133n n a a +=+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．因为112103a -=≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-，当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++，故()()1221321242k k kb b b b b b b b b -+++=+++++++ 24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- +⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-++-292142143k k =--+⋅，由29219421434k k --<+⋅所以m 的最小值为94．20.如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．（1）证明：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()3,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则3330230n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令a =6c =-，0b =，所以)6m =-；所以43cos ,13n m n m n m⋅==-.设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=，所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21.设1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 的短轴的一个端点，已知12PF F △的面积为，121cos 3F PF ∠=-．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF 平行的直线l ，满足直线l 与椭圆C 交于两点M ，N ，且以线段MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l ，方程为23224y x =+或23224y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PF F △的面积得cb =121cos 3F PF ∠=-得33b a =，结合,,a b c 关系即可求得椭圆C 的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，代入坐标化简求取m 值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122F F c =，则12PF F △的面积等于1212F F OP cb =，所以cb =．①由2121cos 2cos 3OPF F PF ∠=∠=-，即2212cos 13OPF ∠-=-，得23cos 3OPF ∠=．因为在直角2OPF 中，OP b =，2OF c =，2PF a ===，所以2cos b OPF a ∠=，所以33b a =．②由①②及222a b c =+，得a =1b =，c =，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）因为直线2PF 的斜率为22-，所以可设直线l 的方程为22y x m =+，代入2213x y +=，整理得225106x m +-=．由)()2254106m ∆=-⨯->，得252m <．设112,2M x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2N x x m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则12625x x +=，()212615m x x -=．若以线段MN 为直径的圆经过坐标原点O ，则0OM ON ⋅=，即121222022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得()212123022x x m x x m -++=，所以()2261326202525m m m -⨯-⨯+=，得298m =．因为9582<，所以324m =±．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为24y x=+或24y x=-．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1f x a x ax=-+，Ra∈.（1）若经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112g x f x x=+-，若()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，且不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）11ln2a=-（2）[2ln23,)-+∞【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()g x有两个极值点为1x，()212x x x≠，转化为方程20x ax a-+=在(0,)+∞上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212g x g x x xλ+<+恒成立，转化为()()1212g x g xx xλ+>+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()f x的定义域为(0,)+∞，由()ln1f x a x ax=-+，得()af x ax'=-，则()222a af a'=-=-，因为经过点()0,0的直线与函数()f x的图像相切于点()()22f,，所以(2)22f ak==-，所以ln 221a a a -+=-，解得11ln 2a =-，【小问2详解】()()22111ln 22g x f x x a x ax x =+-=-+，则()2(0)a x ax a g x a x x x x-+'=-+=>，因为()g x 有两个极值点为1x ，()212x x x ≠，所以()20x ax a g x x-+'==在(0,)+∞上有两个不同的根，此时方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，则240a a ∆=->，且12120,0x x a x x a +=>=>，解得4a >，若不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，因为221211122211()()(ln )(ln )22g x g x a x x x a x x x +=-++-+221212121ln()()()2a x x a x x x x =-+++2121212121ln()()()22a x x a x x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦21ln 2a a a a =--不妨设()()212121ln 12()ln 1(4)2a a a a g x g x h a a a a x x a --+===-->+，则112()22a h a a a-'=-=，因为4a >，所以()0h a '<，所以()h a 在(4,)+∞上递减，所以()(4)2ln 23h a h <=-，所以2ln 23λ≥-，即实数λ的取值范围为[2ln 23,)-+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20x ax a -+=在(0,)+∞上有两个不同的根，求出a 的范围，再将不等式()()()1212g x g x x x λ+<+恒成立，则()()12121ln 1(4)2g x g x a a a x x λ+>=-->+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
高三数学考试题库及答案
高三数学考试题库及答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^2+2x+3，g(x)=x^2-2x+5，那么f(x)-g(x)=（）A. 4x-2B. 4x+2C. 4x-4D. 4x+4答案：A解析：f(x)-g(x) = (x^2+2x+3) - (x^2-2x+5) = 4x-2。
2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a3=8，那么a5=（）A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：设等差数列的公差为d，则a3 = a1 + 2d，即8 = 2 + 2d，解得d = 3。
因此，a5 = a1 + 4d = 2 + 4*3 = 14。
3. 若直线l的方程为x+2y-3=0，那么直线l的斜率k=（）A. 1/2B. -1/2C. 2D. -2答案：B解析：直线l的方程为x+2y-3=0，可以改写为y = -1/2x + 3/2，斜率k = -1/2。
4. 已知函数f(x)=x^3-3x，那么f'(x)=（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. -3x^2+3D. -3x^2-3答案：A解析：f'(x) = d/dx(x^3-3x) = 3x^2 - 3。
5. 已知a，b∈R，若a+b=2，那么a^2+b^2的最小值为（）A. 1B. 0C. 2D. 4答案：C解析：根据柯西-施瓦茨不等式，(a^2+b^2)(1^2+1^2) ≥ (a+b)^2，即a^2+b^2 ≥ (a+b)^2/2 = 2^2/2 = 2。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
二、填空题6. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，那么向量a+b=（）。
答案：(3, 2)解析：向量a+b = (2+1, -1+3) = (3, 2)。
7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)=（）。
答案：-1解析：f(2) = (2)^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
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阶段性数学测试试卷
考试说明：
本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分100分，
考试时间60分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷 （选择题, 共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．)
1．设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x —|g(x)|是奇函数 C ．()
()f x g x 是偶函数 D ．()()f x g x 是奇函数
2．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0
2
22x y
x
y
给定，若(,)M x y 为D 上的动
点，点A
的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为
A ．
B ．
C ．4
D ．3
3．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、
乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为 （ ） A ．720 B ．520 C ．600 D ．360
4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()
2x
x
f x
g x
a a
（0,1a a ）
，若(2)
g a ，则(2)
f
A. 2
B.
154 C. 17
4
D. 2a
5．已知实数0.30.1
20.31.7,0.9,log 5,log 1.8a b c d ====，那么它们的大小关系是（ ）
A ．c a b d >>>
B ．a b c d >>>
C ．c b a d >>>
D ．c a d b >>>
6．设函数122,1
()
1log ,1
x x x
f x x
，则满足()2f x 的x 的取值范围是
A ．
1,2
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
7．已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则()y f x =的图象可由函数()sin g x x =的图象（纵坐标不变） （ ） A
．先把各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向右平移12
π
个单位 B ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12
π
个单位
C ．先把各点的横坐标缩短到原来的
12倍，再向左平移6
π
个单位
D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移
6
π
个单位
8．等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3
30
4S xdx =⎰
，则公比q 的值为
（ ）
A ．1
B ．12-
C ．1或12-
D ．1-或12
-
9．函数2sin 2
x y
x 的图象大致是（ ）
10．已知函数()()43cos ,(1,1),(0)0f x f x x x f '=+∈-=的导函数为且，如果
2(1)
(1)0f a f a ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．(1,2)
C ．(2,2)--
D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞
第Ⅱ卷 （非选择题, 共50分）
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，将答案填在题后的横线上．）
11. 关于函数)0(|
|1
lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称； ②当
0>x 时，
)(x f 是增函数；当
0<x 时，)(x f 是减函数；
③)(x f 的最小值是2lg ；
④当01<<-x 或2>x 时，)(x f 是增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是 ．
12. 设20
lg ,0
()
3,0
a
x x
f x x
t dt
x
，若((1))1f f =，则a =
三、解答题（本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分） 设
ABC 的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知1
1,2,cos 4
a
b C
（Ⅰ）求
ABC 的周长
（Ⅱ）求cos()A C 的值
14. 已知等比数列n a 的公比3q ，前3项和3
133
S 。
（I ）求数列n a 的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6
x 处取得最大值，且最大值为3a ，
求函数()f x 的解析式。
15. 已知函数2
()
()x k
f x x k e .
(1)求()f x 的单调区间； (2)若对(0,)x ，都有1
()
f x e
，求k 的取值范围。
标准答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，共计60分）
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答
案
A C C
B A D A
C C B
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
11.①③④12. 1
三、解答题：
13．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）
222
1
2cos1444
4
c a b ab C
=+-=+-⨯= 2.
c
∴=
ABC
∴∆的周长为122 5.
a b c
++=++=
（Ⅱ）
1
cos,sin
4
C C
=∴===
sin4
sin
28
a C
A
c
∴===
,
a c A C
<∴<，故A为锐角，
7
cos.
8
A
∴===
7111 cos()cos cos sin sin.
8416
A C A C A C
∴-=+=⨯+= 14．（本小题满分10分）
解：（I）由
3
1
3
(13)
1313
3,,
3133
a
q S
-
===
-
得
解得
1
1
.
3
a=
所以121
33.
3n n n a --=⨯=
（II ）由（I ）可知
233, 3.
n n a a -==所以
因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3。
因为当
6x π
=
时()f x 取得最大值，
所以
sin(2) 1.
6
π
ϕ⨯
+=
又
0,.
6π
ϕπϕ<<=
故
所以函数()f x 的解析式为
()3sin(2)
6f x x π
=+ 15.（15分）
解：(1)/
22
1()()x
k f x x k e k =-，令/
()0f x =得x k =±
当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增
(2) 当0k >时，
1
1(1)k k
f k e
e ++=>
；所以不可能对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1
)(≤
；
当0k <时有（1）知()f x 在(0,)+∞上的最大值为2
4()k f k e -=
，所以对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1
)(≤
即241102k k e e ≤⇒-≤<，故对0(∈∀x ，)∞+都有e x f 1
)(≤时，k 的取值范围为1[,0)2-。
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