江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校2018学年高二上

2018~2018学年度第一学期高二理科数学第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)1．直角坐标()3,1-P 转化为极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．抛物线214y x =-的准线方程为（ ） A ．116x =B ．1y =C ．1x =D ．116y =3．命题“若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A ．若0a b ≠≠，则220a b +≠ B ．若0a b =≠，则220a b +≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠4．直线533x ty =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．若()xf x e =，则()()121limx f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．eB ．2eC ．e -D ．12e 7．用数学归纳法证明“()1111232n f n +++⋅⋅⋅+<”时，由n k =不等式成立，证明1n k =+时，左边应增加的项数是（ ） A ．12k - B ．21k - C ．2kD ．21k+8.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨ 9．设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．﹣210．不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．0x ≥或2x ≤- B ．0x <或2x >C ．1x <-或4x >D ．12x ≤-或3x ≥11．曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的倾斜角的取值范围是（ ） A ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ D ．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知O 为坐标原点，F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13．曲线1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 10ρθρθ-+=的最大距离为14．若函数()()'221f x f x x =+，则()1f -=15．已知0a >，不等式2142,3,,x x x x +≥+≥⋅⋅⋅可推广为1n ax n x+≥+，则a = 16．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是________．(填上所有正确的序号) ①f (x )＝x 2， ②f(x)＝sinx ， ③f (x)＝lnx ， ④f (x)＝tanx ， ⑤f (x )＝x ＋1x.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题满分10分）已知函数()2sin cos x f x x x e x =++⋅ （1）求该函数的导数()'f x（2）求函数()f x 在0x =处的切线方程18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程220x x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：对任意[08]x ∈,,不等式log 13(1)x +≥23m m -恒成立．若“p 或q”是真命题，“p 且q”是假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若22+=a a （a 为常数），且n S 是n na 与na 的等差中项．（1）求431,,a a a ；（2）猜想出n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.21．（本小题满分12分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以MN 为直径的圆恰好经过原点.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P的E-且与曲线C交于A，B两点．轨迹为曲线C，直线l过点(1,0)（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.高二理科数学联考试卷参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）131 14． 515． nn 16． ①②③⑤ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.解：（1）()()()()'''2cos cos cos 2cos cos sin x xxfx x x e x e x x x e x x =+++=++-…5分（2）()'0k f ==2，切点为()0,1.所以切线方程为21y x =+…………5分18.解：命题p ：方程x 2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m ＞0，解得m ＜1；命题q ：f(x)=log 13(x+1),则f(x)在(1)-,+∞上为减函数，[08]x ∈,,∴当x=8时min ()(8)2f x f ,==-. 不等式log 132(1)3x m m +≥-恒成立,等价于223m m -≥-,解得12m ≤≤. …………6分p 且q 为假,p 或q 为真,则p 与q 有且只有一个为真. 若p 为真,q 为假,那么121m m m <>,⎧⎨<⎩则1m <.若p 为假,q 为真,那么 121m m ≤≤,⎧⎨≥,⎩则12m ≤≤. ……………10分综上所述2m ≤. ……………12分19.解：（1）由已知得n a a na na S n n n ⋅+=+=22， 当1=n 时，2111aa S a +==，则a a =1；当3=n 时，3233213⋅+=++=aa a a a S ，而22+=a a ， 于是可解得43+=a a ；同理可解得64+=a a .………………5分（2）由（1）中的 ,6,4,2,4321+=+=+==a a a a a a a a ，猜测出2(1)n a a n =+-. 数学归纳法证明如下：①当1=n 时，12(11)a a a ==+-，猜想成立； 当2=n 时，222(21)a a a =+=+-，猜想也成立.②假设当*(,2)n k k N k =∈≥时猜想成立，即2(1)k a a k =+-， 则当1+=k n 时，111(1)2k k k k a aa S S k ++++=-=⋅+-k a a k ⋅+2， 即1(1)k k k a ka a +-=-， 由2≥k 可得12(1)11k k ka a ka k k aa k k +-+--==--， 即122[(1)1]k a a k a k +=+=++-， 也就是说，当1+=k n 时猜想也成立.由①、②可知对任意的*n N ∈，2(1)n a a n =+-都成立. ………………12分20. 解：21. 解：（1）将()2,2E 代入22y px =，得1p =所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1(,0)2…………4分（2）设211(,)2y A y ，222(,)2y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，法一：因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =-与抛物线方程联立得到 2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240ky y k --=则由韦达定理得：121224,y y y y k=-+= 直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 所以121224244422M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+⋅++ 121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++44(44)444(44)k k--+=+-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2…………12分 法二：设直线l 方程为2x my =+与抛物线方程联立得到 222x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得：2240y my --=则由韦达定理得：12124,2y y y y m =-+=直线AE 的方程为：()12122222y y x y --=--，即()12222y x y =-++，令2x =-，得11242M y y y -=+ 同理可得：22242N y y y -=+又 4(2,),(2,)m mOM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++121212124[2()4]4[2()4]y y y y y y y y -++=++++4(424)44(424)m m --+=+-++0= 所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π2…………12分22. 解.（1）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．故曲线C 的方程为2214x y +=．…………4分 （2）存在△AOB 面积的最大值.因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=． 由22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．解得124m y m +=+，224m y m -=+．则21||y y -=．…………8分 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-21==．设1()g t t t=+，t =t ≥则()g t在区间)+∞上为增函数．所以()3g t ≥．所以2AOB S ∆≤，当且仅当0m =时取等号，即max ()AOB S ∆=．所以AOB S ∆的最大值为2．…………12分。