第6节 锐角三角函数及其应用
锐角三角函数有哪些实际应用场景
锐角三角函数有哪些实际应用场景锐角三角函数在咱们的日常生活中那可是有着超级多的实际应用场景呢，简直无处不在！先来说说建筑领域吧。
你知道吗，建筑工人在盖房子的时候，可离不开锐角三角函数的知识。
比如说，要建造一个有特定倾斜角度的屋顶，这就需要计算出屋顶的角度以及所需材料的长度和数量。
想象一下，工人们站在高高的脚手架上，拿着测量工具，认真地计算着角度和长度。
他们的眼神专注，手中的工具就像是神奇的魔法棒，通过锐角三角函数，把一堆堆的建筑材料变成了坚固又美观的房子。
再讲讲导航和地图。
当我们使用手机导航去一个陌生的地方时，导航软件会根据我们的位置和目的地，计算出最佳的路线。
这背后可就有锐角三角函数的功劳啦！它帮助确定我们与目的地之间的直线距离和实际行走的路程。
就像有一次我自己出门旅行，在一个完全陌生的城市里，靠着导航找到了一家特别棒的小吃店。
那个时候我就在想，要是没有这些数学知识的支撑，我可能还在街头瞎转悠，找不到美食的方向呢。
还有测量山峰的高度。
测量人员没办法直接爬到山顶去测量，那怎么办呢？这时候就轮到锐角三角函数登场啦！他们在山脚下选好测量点，测量出观测点与山顶的角度，再结合测量点与山底的距离，就能算出山峰的高度。
这就像是解开了一个神秘的谜题，让人充满了成就感。
在航海中，锐角三角函数也发挥着重要作用。
船员们需要根据星星的位置和角度来确定船只的方向和位置。
想象一下，在浩瀚的大海上，满天繁星闪烁，船员们依靠着锐角三角函数的知识，勇敢地驶向目的地，是不是特别酷？在日常生活中，我们装修房子的时候，如果想要在墙上挂一幅画，而且要保证画是水平的，那就得用到锐角三角函数来测量和计算。
又比如，我们要搭建一个秋千，要确定秋千的绳子长度和角度，让秋千荡起来既安全又有趣，这也需要锐角三角函数的帮忙。
甚至在体育比赛中也有它的身影。
比如滑雪运动员在从山坡上滑下来的时候，他们需要根据山坡的角度和自己的速度来调整姿势和控制方向，以确保安全和取得好成绩。
锐角三角函数课件
45度角的余弦值
$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$
30度角的余弦值
$cos 30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
60度角的正弦值
$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$
45度角的正弦值
在工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械设计中，锐角三角 函数用于计算结构件的角度和长
度。
控制系统
在控制系统的设计中，锐角三角函 数用于描述系统的传递函数和稳定 性。
信号处理
在信号处理中，锐角三角函数用于 频谱分析和滤波器的设计。
05
特殊角度的三角函数值
30度、45度、60度的三角函数值
30度角的正弦值
正切函数的图像在每 一个开区间(π/2+kπ, π/2+kπ)， k∈Z内都是递增的。
04
锐角三角函数的应用
在几何学中的应用
01
02
03
计算角度
锐角三角函数可以帮助我 们计算出特定角度的三角 形的角度，例如直角三角 形中的锐角。
计算边长
通过已知的角度和边长， 我们可以使用锐角三角函 数来计算其他边的长度。
04
90度角的余弦值
$cos 90^circ = 0$
06
习题与解答
习题
题目1
已知直角三角形中，一个锐角为 30°，邻边长为3，求对边长。
题目2
在直角三角形中，已知一个锐角 为45°，斜边长为5，求邻边长。
题目3
已知直角三角形中，一个锐角为 60°，对边长为6，求斜边长。
答案与解析
01
锐角三角函数及应用
锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。
例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。
在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。
在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
锐角三角形函数及应用
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。
同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
返回目录
第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
返回目录
改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
返回目录
3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
返回思维导图
返回目录
1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
锐角三角函数解直角三角形
2023-11-06CATALOGUE 目录•锐角三角函数的定义•锐角三角函数在解直角三角形中的应用•特殊角的锐角三角函数值及其应用•锐角三角函数的实际应用•练习与解答01锐角三角函数的定义定义正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)。
性质正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其最大值为1，最小值为0。
单位正弦函数的单位是弧度(rad)。
定义余弦函数是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作cos(α)。
性质余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而减小，其最大值为1，最小值为-1。
单位余弦函数的单位是弧度(rad)。
010203正切函数定义正切函数是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)。
性质正切函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其值无限增大。
单位正切函数的单位是弧度(rad)。
02锐角三角函数在解直角三角形中的应用利用正弦函数解直角三角形已知锐角A的对边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。
正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。
求解公式：b=a×sin(A)/sin(B)。
010203利用余弦函数解直角三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)。
已知锐角A的邻边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。
求解公式：b=(a²+c²-b²)/2ac。
利用正切函数解直角三角形已知锐角A的对边与邻边的比值，可以用来求解未知边b。
正切定理：tan(A)=a/b，tan(B)=b/a。
求解公式：b=a×tan(A)。
01030203特殊角的锐角三角函数值及其应用$\frac{\sqrt{3}}{2}$30度的正弦值$\frac{1}{2}$30度的余弦值$\sqrt{3}$30度的正切值30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值45度的正弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的余弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的正切值：130度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0360度的正切值$\sqrt{3}$30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0160度的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$0260度的余弦值$\frac{1}{2}$在解直角三角形时，特殊角的三角函数值可以作为已知条件，用于求解其他角度或边的长度。
锐角三角函数
锐角三角函数锐角三角函数指的是在单位圆上，与单位圆心的射线所夹角度小于90°的三角函数。
常见的锐角三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。
锐角三角函数在数学、物理、工程等领域具有重要的应用。
正弦函数 (sin)正弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标。
可以用以下公式表示：sin(θ) = 对边 / 斜边正弦函数图示正弦函数图示在三角函数中，正弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 奇函数，即sin(-θ) = -sin(θ)； - 周期为2π，即sin(θ + 2π) = sin(θ)。
余弦函数 (cos)余弦函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的横坐标。
可以用以下公式表示：cos(θ) = 邻边 / 斜边余弦函数图示余弦函数图示在三角函数中，余弦函数具有以下特点： - 值域在[-1,1]之间； - 偶函数，即cos(-θ) = cos(θ)； - 周期为2π，即cos(θ + 2π) = cos(θ)。
正切函数 (tan)正切函数是指在单位圆上，与x轴正方向的夹角所对应的纵坐标与横坐标的比值。
可以用以下公式表示：tan(θ) = 对边 / 邻边正切函数图示正切函数图示在三角函数中，正切函数具有以下特点： - 值域为全体实数； - 周期为π，即tan(θ + π) = tan(θ)。
倒数函数 (csc、sec、cot)在锐角三角函数中，除了正弦函数、余弦函数和正切函数，倒数函数也是常见的。
倒数函数分别为余弦函数的倒数 (csc)、正弦函数的倒数 (sec) 以及正切函数的倒数 (cot)。
倒数函数的定义如下：csc(θ) = 1 / sin(θ)sec(θ) = 1 / cos(θ)cot(θ) = 1 / tan(θ)这些倒数函数在数学中常用于简化关系式、求解方程等。
应用领域锐角三角函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第六节 锐角三角函数与解直角三角形的实际应用
解：过点 E，F 分别作 EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为 M，N， 由题意得，EC＝20 米， ∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN， AB＝60 米， ∴AM＝AB－MB＝60－20＝40(米)，
AM 在 Rt△AEM 中，∵tan∠AEM＝EM，
AM
40Biblioteka ∴EM＝tan∠AEM＝tan 67°≈16.9(米)．
2．(2021·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CE 是斜边 AB 上的
中线，过点 E 作 EF⊥AB 交 AC 于点 F.若 BC＝4，△AEF 的面积为 5，则 sin
∠CEF 的值为
( A)
A.35
B.
5 5
C.45
D.2 5 5
重难点 2：解直角三角形的实际应用 (2021·聊城)时代中学组织学生进行红色研学活动，学生到达爱国
在 Rt△EFC 中，EF＝ CF2－CE2＝ 13－4＝3， ∴tan∠FBD＝FBEE＝BC＋3 CE＝130.
1．(2020·安徽)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上，∠DBC
＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94 B.152 C.145 D．4
解：(1)过点 D 作 DH⊥CE 于点 H，由题意知
CD＝2 10 米，∵斜坡 CF 的坡比为 i＝1∶3， ∴DCHH＝13，设 DH＝x 米，CH＝3x 米，
∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2 10)2， ∴x＝2，∴DH＝2(米)，CH＝6(米)， 答：小刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米．
在 Rt△ACF 中，CF＝AC·sin