高中数学学业水平测试模拟试卷六
江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(六)
江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(六)数 学 试 题注意事项：1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。
满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UAB =（）A ．{356}，， B ．{1,356}，， C ．{15,6}， D ．{1,36}，2．已知复数z 满足z （1+2i ）＝3﹣4i （i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．5B ．C ．3D ．3．函数y ＝的定义域为( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，4)∪(4，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<5．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（） A ． 20 B ． 30C ． 44D ． 886．矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．457．下列说法中错误的是（ ）A ．“p q ∧”是真命题是“p q ∨”为真命题的必要不充分条件B ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”C ．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D ．在ABC ∆中，cos cos B A >是A B >的充要条件8．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．34C ．725D ．459．已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，给出下列命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若//l m ，则αβ⊥；③若αβ⊥，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ．其中正确命题的个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 410．为响应国家“光盘行动”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（） A ．48种 B ．36种C ．24种 D ．12种11．函数f (x )＝的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．计算sin15°sin75°的结果是( )A ．B ．C ．D ．13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，11C D ，BC ，11A B 的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的余弦值是 ( ) A．-B．13-D ．1314．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．015．若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( )A ．3B ．0C ．－3D ．0或－316．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．817．已知正项等比数列{a n }满足a 4＝4，a 2＋a 6＝10，则公比q ＝( )A ．或B ．C ．D ．2或18．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．619．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+20．曲线xy e x =+在0x =处的切线方程为y kx b =+，则实数b = （ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-221．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A ．12B ．1C ．32 D ．222．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D ．32 cm23．sin 225︒= （ ）A ．12- B ．2-C ．D ．1-24．在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．425．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．426．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ） A ．12- B ．10-C ．10D ．1227．已知0a b >>1=，则1a b -<；②若331a b -=，则1a b -<；③若1a b e e -=，则1a b -<；④若ln ln 1a b -=，则1a b -<．其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．428．已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 C ．()f x 的最小值为2- D ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 29．（本小题满分8分）已知向量＝（3，1），＝（2，4）． （1）求向量与夹角； （2）若（）⊥（），求实数λ的值．30．（本小题满分8分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且1b a =+，2c a =+． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积;（2）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(六)数 学 试 题注意事项：1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(六)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知集合，，若中恰有两个元素，则实数a 的取值范围为（ ）A．B．C．D．2.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，则绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．3. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试，测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（）A．B ．75C．D ．805.若的展开式中的系数为，则（ ）A ．2B．C．D．6.设,是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A．B．C．D．7. 已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，且顶角为，则（ ）A．B ．2C ．3D．8. 下列函数中，定义域与值域均为R 的是（ ）A．B．C．D．9.已知等比数列的前n 项和，则（ ）A．首项不确定B．公比C．D．2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（六）数学试题(1)2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（六）数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 已知函数，的图象与直线y=m 分别交于A 、B 两点，则（ ）.A．B ．，曲线在A 处的切线总与曲线在B 处的切线相交C ．的最小值为1D ．∃，使得曲线在点A 处的切线也是曲线的切线11.已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）A ．若圆与轴相切，则B ．若，则圆C 1与圆C 2相离C ．若圆C 1与圆C 2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D ．直线与圆C 1始终有两个交点12. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ）A ．数列的最大项为B ．数列的最小项为C．数列为递增数列D ．数列为递增数列13. 写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.14. 已知边长为2的等边三角形，则___________．15. 二项展开式，则___________，___________.16. 已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，．(1)若，求；(2)已知，且对任意恒成立，求数列的前n 项和．17. 对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.（1）已知数列1，，是“数列”，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前n项和使得恒成立？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.18.已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.（1）求和的值；（2）若函数，求的单调递增区间及图象的对称轴方程.19.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，点D 是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．20. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：从降至所需时间 3.4分钟从降至所需时间 5.0分钟(1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数解析式；(2)在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟）（参考数据：，，，）21.已知函数，且．(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若，，求的值．。
湖南省高三高中学业水平考试模拟数学试题(解析版)
2023年普通高中学业水平合格性考试模拟试题卷数 学温馨提示：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为90分钟，满分为100分； 2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上； 3．请你在答题卡上答题，答在本试卷上无效.一、选择题（每小题3分，共54分，每小题只有一个选项正确）1. 已知，则（ ）{}{}0,2,1,0,1,2A B ==-A B = A. B.C.D.{}0,2{}0{}0,1,2{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】由集合交集运算即可.【详解】因为， {}{}0,2,1,0,1,2A B ==-所以， {}0,2A B =I 故选：A.2. 若复数（是虚数单位），则z =（ ） ()i 32i z =-i A. B. C. D.23i -23i +23i --23i -+【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法法则计算出结果. 【详解】.()2i 32i 3i 2i 23i z =-=-=+故选：B3. 下列函数中，定义域为的是（ ） RA.B.C.D. y =2log y x =2x y =1y x=【答案】C 【解析】【分析】根据具体函数的定义域逐项分析即可.【详解】选项A ：的定义域为，故不正确；y =[)0,∞+选项B ：的定义域为，故不正确； 2log y x =()0,∞+选项C ：的定义域为，故正确；2xy =R选项D ：的定义域为，故不正确； 1y x=()(),00,∞-+∞U 故选：C.4. 已知向量，，则（ ）(1,1)a =-(2,1)b =-a b ⋅=A. B. 1C.D. 31-3-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用向量数积的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，，所以. (1,1)a =-(2,1)b =-(1)(2)113a b ⋅=-⨯-+⨯=故选：D.5. 一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到12黄球的概率为，则取到白球的概率为（ ） 16A.B.C.D.121611213【答案】D 【解析】【分析】先设出红、黄、白三种颜色的球的个数分别为，再利用条件得到，再利用,,a b c 3,2a b c b ==古典概率公式即可求出结果.【详解】设盒子中装有红、黄、白三种颜色的球的个数分别为，因为取到红球的概率为，取到黄,,a b c 12球的概率为， 16则，得到，所以取到白球的概率为. 1216aa b c b a b c ⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩3,2a b c b ==2163c b p a b c b ===++故选：D.6. 已知 是角终边上的一点，则（ ） ()3,4P αsin α=A.B.C.D.35453447【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知， 4sin 5α==故选：B7. 已知是第二象限角，，则（ ） α1sin 2α=cos α=A.B. C.D. 1212-【答案】D 【解析】【分析】根据的象角，确定的符号，再根据条件利用平方关系即可求出结果. αcos α【详解】因为是第二象限角，，所以， α1sin 2α=cos α===故选：D.8. 已知，，则的最大值为（ ） 0,0a b >>6a b +=ab A. 6 B. 9C. 12D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 0a >0b >6a b +=由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 2()92a b ab +≤=3a b ==所以的最大值为. ab 9故选：B.9. ，使得的否定是（ ）x ∃∈R 210x x -+≥A. ，使得 B. ，使得 x ∃∈R 210x x -+<x ∃∈R 210x x -+≤C. ，D. ，x ∀∈R 210x x -+≥x ∀∈R 210x x -+<【答案】D 【解析】【分析】直接写出存在量词命题的否定即可. 【详解】“，使得”的否定是“，”，x ∃∈R 210x x -+≥x ∀∈R 210x x -+<故选：D.10. 在中，""是为钝角三角形的（ ） ABC 0AB AC ⋅<ABC A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得，cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅=< cos ,0AB AC <所以为钝角，是钝角三角形，A ABC 所以由可以得出为钝角三角形，0AB AC ⋅<ABC 若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，ABC A 0AB AC ⋅<所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件，ABC 0AB AC ⋅<ABC 故选：A.11. 把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ）πsin(2)3y x =+π6A. B. sin 2y x =πsin(2)6y x =+C. D.2πsin(2)3y x =+πsin(2)2y x =+【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换的规则，即可求解.【详解】由函数的图象向右平移个单位长度，可得的图πsin(23y x =+π6ππsin[2()]sin 263y x x =-+=象，即函数的解析式为. sin 2y x =故选：A.12. 1，2，3，4，5，6的第60百分位数为（ ） A. 3 B. 3.5C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据分位数的定义，判断第百分位数的位置，即可确定对应的数. 60【详解】由题意，共有个数字，6则第百分位数的位置为， 6000660 3.6⨯=即在第位上的数字. 4故选：C13. 已知，且，则（ ） ()log a f x x =(2)1f =(4)f =A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】先利用条件求出，再代入即可求出结果.()f x 【详解】因为，且，所以，得到，所以，故()log a f x x =(2)1f =log 21a =2a =2()log f x x =.2(4)lo 4g 2f ==故选：B.14. 不等式的解集为（ ） 2560x x -+>A.B.{|23}x x <<{|2}x x <C. D. 或{|3}x x >{2|x x <3}x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由不等式，可得，解得或， 2560x x -+>(2)(3)0x x -->2x <3x >所以不等式的解集为或. {2|x x <3}x >故选：D.15. 函数的最小正周期为（ ） ()2sin(π23f x x =+A.B.C.D.π2π2π4π【答案】B 【解析】【分析】根据正弦型函数的周期的计算公式，即可求解. 【详解】由函数，根据最小正周期的计算公式， ()2sin(π23f x x =+可得函数的最小正周期为. ()f x 2ππ2T ==故选：B.16. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x=-()f x A. B.C.D.()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C 【解析】【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.17. 已知是定义域为R 的奇函数，时，，则（ ） ()f x 0x >()1f x x =+()1f -=A. 0B.C.D. 2-12-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】 ，由于是定义域为R 的奇函数，所以， ()1112f =+=()f x ()()112f f -=-=-故选：C18. 已知的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） ()πsin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><()f xA. B.()πsin(2)6f x x =+()πsin(2)3f x x =+C. D. ()πsin()6f x x =+()πsin(3f x x =+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得参数，结合，求得()f x 1,2A ω==(1π6f =，即可求解.π6ϕ=【详解】由函数的图象，可得且， ()sin()f x A x ωϕ=+1A =12πππ2362T =-=可得，所以，即， πT =2π2Tω==()sin(2)f x x ϕ=+又由，解得， πππ()sin(2)sin()1663f ϕϕ=⨯+=+=ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈即，因为，所以，所以. πZ π2,6k k ϕ=+∈π2ϕ<π6ϕ=()πsin(26f x x =+故选：A.二、填空题（每小题4分，共16分）19. 计算： _______________________. 66log 2log 3+=【答案】 1【解析】【分析】根据对数的运算法则，即可求解.【详解】根据对数的运算法则，可得. 6666log 2log 3log (23)log 61+=⨯==故答案为：.120. 数据2，3，5，8，8，10的平均数为______________________. 【答案】6 【解析】【分析】利用求平均数的公式计算即可. 【详解】的平均数为：，2,3,5,8,8,10235881066+++++=故答案为：6.21. 半径为3的球的体积等于________. 【答案】 36π【解析】【分析】由球的体积公式代入运算即可. 343V r π=【详解】解：因为球的半径为3，则球的体积为，343363ππ⨯=故答案为.36π【点睛】本题考查了球的体积公式，属基础题.22. 中，角的对边分别为，已知，，，则_______. ABC ,,A B C ,,a b c 60A =︒45B =︒a =b =【答案】【解析】【分析】根据条件，利用正弦定理即可求出结果.【详解】在中，，，，由正弦定理，得到ABC 60A =︒45B =︒a =sin sin a bA B=b ===故答案为：三、解答题 （每小题10分，共30分，解答题要写出文字说明、证明过程或演算步骤）23. 甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙投中与否互不2335影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率 （1）两人都投中；（2）甲、乙两人有且只有1人投中.【答案】（1）25（2）715【解析】【分析】（1）根据独立事件同时发生概率公式计算可得； （2）应用互斥事件概率公式结合独立事件概率公式计算求解即可.【小问1详解】设A =“甲投中”，B =“乙投中”，=“甲没投中”，=“乙没投中”，依题意知A 与B ，A 与，与B ，A B B A A与都互相独立.B()()()()2132,,,,3355P A P A P B P B ====AB =“甲、乙都投中”()()()322535P AB P A P B ==⨯=【小问2详解】∪=“甲、乙两个有且只有1个投中”AB AB 且与互斥AB AB ∴()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =+=+ 22137353515=⋅+⋅=24. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，P ABCD -ABCD AC BD O PA ⊥面，且.ABCD 2PA =（1）求证平面.；BD ⊥PAC （2）求与平面所成角的大小． PD PAC 【答案】（1）证明见解析（2） 30 【解析】【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定AC BD ⊥PA ⊥ABCD PA BD ⊥理，即可证得平面；BD ⊥PAC（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面PO DPO ∠PD PAC DPO PD 所成的角.PAC 【小问1详解】解：因为是正方形，所以，ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，所以， PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为，平面，平面， PA AC A = PA ⊂PAC AC ⊂PAC 所以平面. BD ⊥PAC 【小问2详解】解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角， PO BD ⊥PAO DPO ∠PD PAC因为，所以，2AB PA ==PO DO ==在直角中，， DPO tan DO DPO PO ∠===所以，即与平面所成的角为.30DPO ∠= PD PAC 3025. 已知 .()223f x x x =--（1）判断的奇偶性；()f x （2）判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；()f x （3）若方程有四个不同的实数根，求实数m 的取值范围. ()f x m =【答案】（1）偶函数 （2）增函数，理由见解析（3） 43m -<<-【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断， （2）根据单调性的定义即可判断， （3）利用函数图象，即可由图象求解. 【小问1详解】的定义域为，关于原点对称，()f x R ∵ ()()()222323f x x x x x f x -=----=--=∴为偶函数.()f x【小问2详解】上是增函数，理由如下：()f x [)1,+∞设 ，且 ，则[)12,1,x x ∞∈+21x x >()()()222122112323f x f x x x x x -=----- ，()()()222121211222x x x x x x x x =---=-+-∵；，， 211x x >≥210x x ∴->1220x x +->∴＞2()f x 1()f x ∴在上是增函数 ()f x [)1,+∞【小问3详解】∵有四个不同的实数根，()f x m =当时，，故对称轴为，且当时， 取最小值0x ≥()()222314f x x x x =--=--1x =1x =()f x 4- ， ，又 为偶函数，()03f =-()f x ∴图象与直线有四个不同的交点，作出的草图如下.()y f x =y m =()y f x =如图可得：直线与图象有四个不同交点时m 的取值范围为：y m =()y f x =43m -<<-。
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(六)数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间,上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）A ．10B ．18C ．2D ．82. 三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）A．B．C．D．3.已知数列满足，若，的所有可能取值构成集合，则中的元素的个数是（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个4. 某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种5. 已知直线：和圆：，则是直线和圆有公共点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．B．C．D．7. 将函数的图像向右平移（）个单位后得到函数的图像．若对满足的，有的最小值为．则.A．B．C．或D．或8. 已知命题：，，则它的否定是A ．：，B ．：，C ．：，D ．：，9. 已知O 为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为A ，B ．若，共线，则z 可能为（ ）A ．B．C．D．10. 已知，分别为随机事件A ，B 的对立事件，，，则（ ）A．B．C ．若A ，B独立，则D ．若A ，B互斥，则11. 已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）A．B．C．D．12. 如图，在多面体中，，，两两垂直，四面体是正四面体，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（六）数学试题 (2)2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（六）数学试题 (2)三、填空题四、解答题A．B．C ．平面D．13. 若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为________．14.展开式中的系数为_______________．15.已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．16.在中，内角A 、B 、C 所对的边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.17. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图1为某方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，图2中所示多边形，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记整个方舱医院的外围隔离线（图2实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为，与、的交点为、，与、的交点为、，（）.（1）若，且两根横轴之间的距离米，求外围隔离线总长度；（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度不超过240米，当整个方舱医院（多边形的面积）最大时，给出此设计方案中的大小与的长度.18. 设三棱锥中，．求证：是锐角三角形．19.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点(1)求双曲线的离心率及方程；(2)已知点，点，过点的直线与双曲线交于两点，是否为常数？若为常数，求出此常数及的值；若不为常数，请说明理由.20. 已知数列为等差数列，其中.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，当不等式恒成立时，求实数的取值范围.21. 已知数列的前项和为，且．（1）若为等差数列，且①求该等差数列的公差；②设数列满足，则当为何值时，最大？请说明理由；（2）若还同时满足：①为等比数列;②；③对任意的正整数存在自然数，使得、、依次成等差数列，试求数列的通项公式．。
2023年3月河北省高中数学学业水平合格考试卷六(含答案详解)
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（六）一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}x x -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣2．若a b >，c d >则（）A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd>D ．ad bc>3．设集合{|04}A x x =<<,{2,3,4,5,6}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}4．已知某圆柱体的底面半径为2，高为3，则该圆柱体的侧面的面积为（）A ．3πB ．6C ．6πD ．12π5．下列统计量可用于度量样本1x ，2x ，3x ......，n x 离散程度的是（）A ．1x ，2x ，3x ......，n x 的众数B ．1x ，2x ，3x ......，n x 的中位数C ．1x ，2x ，3x ......，n x 的极差D ．1x ，2x ，3x ......，n x 的平均数6．若()31i 2i z +=，则z =（）A ．iB ．1i+C ．1i-+D ．22i-+7．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为（）A ．18000B ．15000C ．12000D ．100008．向量0a b ⋅= 是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要9．设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -=，则2a b -等于（）A ．B C D ．11．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．212．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．2π13．已知三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（）A ．π2B C ．3D 14．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是A ．B ．C ．D ．15．若函数()f x 的定义域是[0,4]，则函数()2()1f xg x x =-的定义域是（）A ．{|02x x ≤≤且}1x ≠B ．{|02x x <<且}1x ≠C ．{|08x x ≤≤且}1x ≠D ．{|08x x <<且}1x ≠16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+O 的体积等于（）A ．3B ．3C D ．317．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠18．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .)cos cos sin c B b C a A +=，ABC 的面积)222S a b c =+-，当a =时，ABC 的内切圆的面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π19．已知三棱锥S ABC -为正三棱锥，且6AB =，SA =，点M 、N 是线段AC 、SB 的中点，平面α与平面SBC 没有公共点，且A ∈平面α，若l 是平面α与平面ABC 的交线，则直线l 与直线MN 所成角的正切值为（）A B C D 20．将函数2()2sin cos cos 2cos 1sin 222x x xf x ϕϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．12-21．已知函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+的零点分别1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（）A ．231x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．321x x x <<22．已知定义在R 上的函数()[]f x x m =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，m R ∈，给出下列四种说法：①m ∃∈R ，使得()f x 是一个增函数；②m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数；③m ∃∈R ，使得()f x 在区间[0,1]上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．323．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=，A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为624．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．2325．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11C D 、11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点，若//AP 平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．⎣B ．⎣⎦C ．⎣D ．⎣26．已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（）A ．3B ．52-C ．2-D ．4327．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗ D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221a b x y x y ⊗=-29．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．12B 1-C 1+D ．1230．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）31．已知平面向量1232a e e =-+ ，125b e e =+，其中()11,0e =u r ，()20,1e =u r ．(1)求a 与b的夹角θ；(2)若1242c e e =- 与ka b +共线，求实数k 的值．1．D 【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D 2．A 【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A 正确；B.若11>-，22>-，()1212-<---，可知B 不正确；C.若11>-，22>-，()()1212⨯=-⨯-，故C 不正确；D.若11>-，22>-，()()1212⨯-=-⨯，故D 不正确.故选：A 3．B 【分析】根据交集的概念可得答案.【详解】A B = {2,3}.故选：B 4．D 【分析】根据侧面积公式求解即可【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为22312ππ⨯⨯=故选：D 5．C 【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解.【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.故选：C 6．C 【分析】利用复数运算性质计算即可【详解】32i 2i 2i(1i)=1i 1i 1i 2z +===-++-故选：C 7．C 【分析】根据给出的数据算出事件发生的概率，再乘以总数即可.【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数为4人，所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 的概率为42=105，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为230000=120005⨯人.故A ，B ，D 错误.故选：C.8．B 【分析】利用数量积的定义||||cos ,a b a b a b ⋅=<>判断即可【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；若a b ⊥ ，则,2a b π<>= ，cos ,0a b <>= ，故||||cos ,0a b a b a b ⋅=<>= 因此必要性成立故向量0a b ⋅= 是a b ⊥的充要条件故选：B 9．D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.10．A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】由a b -=得a b -==两边平方得222525,0a a b b a b a b -⋅+=-⋅=⋅=，所以2a b -.故选：A 11．B 【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．12．A 【分析】先求得平移后的函数为cos 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎝⎭，再根据余弦函数的对称性列式求解即可【详解】将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为图象关于y 轴对称，所以23k πϕπ+=，k ∈Z ，则26k ππϕ=-，k ∈Z 故选：A.13．D 【分析】由条件可得球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，然后利用等体积法算出点A 到平面PBC 的距离，然后可得球A 与表面PBC的交线为以PBC .【详解】因为三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===所以球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，其长度为π2，设点A 到平面PBC 的距离为d ，因为AB AC AP ==，所以PBC 是边长为2的等边三角形，由P ABC A PBC V V --=可得11112232322d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以球A 与表面PBC 的交线为以PBC =的圆，其长度为3，因为π32>，所以以顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为故选：D 14．D 【解析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案.【详解】当01a <<时，函数2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值22155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值221524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.15．A 【解析】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]，又10x -≠，得1x ≠，取交集可得函数()21f x x -的定义域，即可得到答案.【详解】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]又10x -≠，得1x ≠，函数()2()1f xg x x =-的定义域是{|02x x ≤≤且}1x ≠故选：A.【点睛】方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求[]()f g x 的定义域：求不等式()a g x b ≤≤的解x 的范围，即为[]()f g x 的定义域；（2）已知[]()f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：由a x b ≤≤确定()g x 的取值范围，即为()f x 的定义域.（3）已知[]()f g x 的定义域，求[]()f h x 的定义域：先由[]()f g x 的定义域，求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域，求得[]()f h x 的定义域.16．C 【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC △为等边三角形，根据条件可得R =.【详解】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ，则AB ==,SB =SBC △为等边三角形，则221sin 602SBC S SB ==所以此四棱锥的表面积为22424SBC ABCD S S R +=+=+所以R =O 的体积3433V R π==.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.17．C 【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．18．D 【分析】利用三角形的面积公式与余弦定理可求得tan C 的值，进而可求得角C ，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得sin A 的值，可求得角A 的值，可判断ABC 的形状，利用等面积法可求得ABC 的内切圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.【详解】)cos cos sin 2c B b C a A +=，由正弦定理可得)()2sin sin cos cos sin A B C B C B C A =+=+=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故sin A =，因为)222S a b c =+-，则1sin 2cos cos 242ab C ab C C ==，则tan C =()0,C π∈ ，故3C π=，则203A π<<，因此，3A π=，所以，ABC 为等边三角形，设等边ABC 的内切圆半径为r ，则()12ABCS a b c r =++△，则2224136ABC S r a a b c a ====++△，因此，ABC 的内切圆的面积为2r ππ=.故选：D.19．D 【分析】由题意可知平面//α平面SBC ，利用面面平行的性质定理可得出//l BC ，然后取线段AB 的中点D ，连接DM 、DN ，可得出//DM BC ，由此可得出直线l 与直线MN 所成的角为DMN ∠或其补角，在 Rt DMN 中计算出tan DMN ∠，即可得解.【详解】因为平面//α平面SBC ，平面α 平面=ABC l ，平面SBC I 平面ABC BC =，所以//l BC ，取AB 中点D ，连接DM ，DN ，D 、M 分别为AB 、AC 的中点，则//DM BC ，所以//l DM ，同理//DN SA ，所以异面直线l 和MN 所成角即为DMN ∠或其补角.取BC 中点O ，则SO BC ⊥，AO BC ⊥，又SO AO O = ，所以BC ⊥平面SOA ，又SA ⊂平面SOA ，所以BC SA ⊥，所以DM DN ⊥.在 Rt DMN 中，132DM BC ==，12DN SA =，所以tan 3DN DMN DM ∠==.所以直线l 和MN 所成角的正切值为3，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查了面面平行性质定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．A 【分析】根据三角函数的二倍角公式和和差角公式先对函数()f x 化简为()()sin f x x ϕ=+，再由图象的平移得出函数()g x 的解析式，由函数的对称性可求得ϕ，可得选项.【详解】函数()()22sin cos cos 2cos 1sin sin cos cos sin sin 222x xxf x x x xϕϕϕϕϕ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()g x 为偶函数，故32k ππϕπ+=+，Z k ∈，即6k πϕπ=+，Z k ∈.又2πϕ<，故6πϕ=，可得函数()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象平移，三角函数的奇偶性和对称性，属于中档题.21．A 【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．【详解】解：因为函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+，所以函数()f x ，()g x ，()h x 均为增函数，当0x >时，()330x g x x =+>恒成立，故()g x 的零点小于0，即20x <，当1x >时，3()log 30f x x x =+>恒成立，当13x =时，()0f x =，所以113x =，当0x =时，()0h x =，故30x =，故231x x x <<．故选：A ．22．B 【分析】举反例(0)(0.5)f f =和()0.50f =，()0.51f -=-，得到①②错误，计算1m =-满足有唯一零点，得到答案.【详解】①(0)[0]f m m =+=，(0.5)[0.5]f m m =+=，故①错误；②若m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数，则(0)[0]0f m m =+==，()[]f x x =，()0.50f =，()0.51f -=-，故假设不成立，②错误；③当[)0,1x ∈时，()[]f x x m m =+=，当1x =时，()[]1f x x m m =+=+，当1m =-时，满足()f x 在区间[0,1]上有唯一零点，③正确.故选：B.23．C 【解析】当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()12212122122x y x y t t t x y x t y txy ⎛⎫+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭，分别令129t ++和1225t ++即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=，()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确；对于选项B ：当8t =时，181x y+=，()188********25xx y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++129t ++即0==，即2t =，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++1225t ++即0+==，即8t =，当且仅当12128x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．B 【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.【详解】设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则()13k P A =，()12k P B =，（1k =，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D ．则()()()()()()()()1111111212P D P A B P A B A P A P B P A P B P A =+=+212114.323239=⨯+=故选：B 25．C 【解析】分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，推导出平面//AMN 平面BDEF ，可得出点P 的轨迹为线段MN ，进而可求得线段AP 长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111//B A C D 且1111A D B C =，因为M 、F 分别为11A D 、11B C 的中点，则11//A M B F 且11A M B F =，所以，四边形11A B FM 为平行四边形，则11//A B MF 且11A B MF =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，//AB MF ∴且AB MF =，所以四边形ABFM 为平行四边形，可得//AM BF ，AM ⊄ 平面BDEF ，BF ⊂平面BDEF ，//AM ∴平面BDEF ，同理可证//AN 平面BDEF ，AM AN A = ，所以，平面//AMN 平面BDEF ，在线段MN 上任取一点P ，则AP ⊂平面AMN ，//AP ∴平面BDEF ，即点P 的轨迹为线段MN ，在AMN 中，AM AN ==MN =，当AP MN ⊥时，即当P 为MN 的中点，AP 的长度取最小值，即min2AP =，当点P 与点M 或点N 的重合时，AP 的长度取最大值，即max AP AM ==.因此，线段AP 长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度取值范围的求解，解题的关键就是利用//AP 平面BDEF 推测出点P 的轨迹，一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来找出动点P 的轨迹，在确定点P 的轨迹后，再利用几何知识求解.26．B 【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x xx x x x xx ---+⋅+⋅++-+====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41xf x x =+-，所以()()2log 414122222x x xf x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()222223mh m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22 22324mm m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．27．D 【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出ω的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个ω的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令2,222x k k ππωππ⎡⎤∈-+⎢⎣⎦，解得22,22k k x ππππωωωω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，而函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以223230ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得304ω<≤，当[]0,x π∈时，[]0,x ωω∈π，因为|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，所以232πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1322ω≤<.综上所述，ω的取值范围是1324ω≤≤.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得ω的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得ω的另一个范围.这里要注意，|()|1f x =说明()1f x =±，而根据题意，|()|1f x =只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1-，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.28．D【分析】A ．按λ的正负分类讨论可得，B ．由新定义的意义判断，C ．可举反例说明进行判断，D ．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A ．()sin ,a b a b a b λλλ⊗=<> ，0λ>时，,,a b a b λ<>=<> ，()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=<>=⊗ ，0λ=时，()()0,0a b a b λλ⊗=⊗=，成立，0λ<时，,,a b a b λπ<>=-<>，sin ,sin(,)sin ,a b a b a b λπ<>=-<>=<>()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=-<>=-⊗ ，综上，A 不恒成立；B ．a b ⊗ 是一个实数，()a b c ⊗⊗ 无意义，B 不成立；C ．若(0,1),(1,0)a b == ，(1,1)c = ，则(1,1)a b += ，,0a b c <+>= ，()sin 000a b c a b c +⊗=+== ，,,,44a c b c ππ<>=<>= ，()()1sin 1sin 244a cbc ππ⊗+⊗=+= ，()()()a b c a c b c +⊗≠⊗+⊗ ，C 错误；D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则a =b =cos ,a b <>=，sin ,a b <>== ，所以1221sin ,a b a b a b x y x y ⊗=<>=- ，成立．故选：D ．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin ,a b <> 用cos ,a b <> ，而余弦可由数量积进行计算．29．D【分析】分离变量将问题转化为a 0,0x y >>的最(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a 0,0x y >>恒成立，1x =+(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a故选：D.30．A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C A A C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C A B b c C⎛⎫+= ⎝⎭即cos cos 3sin B C A b c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴b = 3B π=∴1sin sin sin a b c A B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b c r A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2a A r =，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=31．(1)3π4;(2)7-.【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；（2）由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】（1）因为()11,0e =u r ，()20,1e =u r ，所以1232(3,2)a e e =-+=- ，125(5,1)b e e =+= ，35213a b →→⋅=-⨯+=-，||||a b →→==，cos2||||a ba b θ→→→→⋅∴==-，0θπ≤≤Q ，3π4θ∴=.（2）1242(4,0)(0,2)(4,2)c e e =-=-=- ，(3,2)(5,1)(53,21)ka b k k k +=-+=-+ ，1242c e e =- 与ka b + 共线，4(21)2(53)0k k ∴++-=，解得7k =-.即实数k 的值为7-.。
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(六)数学试题
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（六）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若3π4sin 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ）A ．2425- B ．725C ．725-D ．24253．已知集{}23A x x =+≥合，{}3,1,1,3B =--，则A B =I （ ） A ．{}3B ．{}1,3C ．{}3,1--D ．{}1,1,3-4．若函数()()2ln 2x xf x e e a =--对x R ∈恒有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．()1,1-D ．(),1-∞-5．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（ ）A ．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量B ．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增C ．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿D ．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数6．向量0a b ⋅=r r 是a b ⊥r r的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要7．已知集合{}|02A x x =<≤，{}|1B x x a =-<<，若{}|01A B x x ⋂=<<，则R A B =I ð（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x ≤≤C ．{|10}x x -<<D ．{|10}x x -<≤8．已知函数(){}22min ,6842x ax a f x x x a -+=+-（1a >），其中(),min ,,p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩，若方程()52f x =恰好有3个不同解1x ，2x ，3x （123x x x <<），则12x x +与3x 的大小关系为（ ） A ．不能确定B ．123x x x +=C ．123x x x +<D ．123x x x +>9．在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，且0A C B D ⋅=u u u r u u u r，则四边形ABCD 一定是（ ） A ．正方形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形10．某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40名同学成绩恰在[]60,90内，绘成频率分布直方图（如图所示），从[)60,70中任抽2人的测试成绩，恰有一人的成绩在[)60,65内的概率是（ ）A ．715B ．815 C ．23D ．1311．函数1()sin 22f x x x =的单调递增区间为（ ） A ．52,2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．511,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z12．已知ln 2a =，ln 22b -=，()lg ln 2c =，则（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>13．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{43}xx -<≤∣ B ．{41}xx -<<∣ C ．{13}xx <≤∣ D ．{}4xx ≤-∣ 14．已知111333332,,555a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．c<a<b D ．a c b <<15．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为(),0a b a b <<.为便于调控生产，分别将1x ab x -=-、x a a b x x -=-、x a a b x b-=-中()0x x >的值记为,,A G H 并进行分析.则,,A G H 的大小关系为（ ） A ．H G A << B ．G H A << C ．A G H <<D ．A H G <<16．已知集合{}1,1,2A =-，{}10B x x =-≥，则A B ⋃=（ ） A ．{}1,2B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．{}[)11,-⋃+∞17．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若{}1A B =I ，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．以下给出了4个函数式：①14|cos ||cos |y x x =+；②224log log y x x =+；③225y x x =-+；④222x x y -=+.其中最小值为4 的函数共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．已知,a b r r是单位向量，若()3a a b ⊥+r r r ，则a b -=r r （ ）A．BC ．8D ．8320．函数5()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π21．已知三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）A ．π2B C D 22．已知a ∈R ，若复数22i z a a a =++是纯虚数，则=a （ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-23．下表为随机数表的一部分：08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237已知甲班有60位同学，编号为00~59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ） A ．11B ．15C ．25D ．3724．下列幂函数中，其图像关于y 轴对称且过点()0,0、()1,1的是（ ） A ．12y x =；B ．4y x =；C ．2y x -=；D ．13y x =．25．设集合{}|3213A x x =-≤-<，{}|21,B x x k k Z ==+∈，则A B =I （ ） A ．{}|12x x -≤<B ．{}|12x x -<≤C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-26．某学校有男生400人，女生600人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5小时，方差为1，女生每天睡眠时间为7小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）． A ．0.45B ．0.62C ．0.7D ．0.7627．已知某圆柱体的底面半径为2，高为3，则该圆柱体的侧面的面积为（ ） A ．3πB ．6C ．6πD ．12π28．设复数12ω=-+，其中i 为虚数单位，则231ωωω+++=（ ）A ．0B ．1C ．iD ．1-29．复数z 满足||1z =，则|1i |z --的最大值为（ ）A 1B ．1C D 130．若复数z 满足()2i z ⋅+=i 是虚数单位，则z z ⋅的值为（ ）AB ．2C D ．3二、解答题31．如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．。
安徽省学业水平测试数学模拟试题6
高中数学学业水平测试模拟卷（六）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 函数x y sin =的最小正周期是（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．π2 2. 直线013=+-y x 的斜率是（ ） A ．3 B ．3-C ．33 D ． 33- 3. 袋子中装有红、白、黄颜色且大小相同的小球各一个. 从袋子中任意取出一球, 则取出的是红球的概率是（ ） A.61B.41C.31 D. 21 4. 已知集合{}{}20,22A x x x B x x =-<=-<<，则=B A （ ）A ．{}12<<-x x B ．{}10<<x x C ．{}21<<x x D ．{}2012x x x -<<<<或 5. 已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是（ ） A ．161 B ．41C ．4D ．16 6. 如图1所示的算法流程图中（注：“x = x + 2”也可写成“x ：= x + 2”，均表示赋值语句）, 若输入的x 值为3-, 则输出的y 值是（ ） A.81 B. 21C. 2 D . 87. 在ABC ∆中，1,4AD AB E = 为BC 边的中点，设=a ,=b , 则DE =（ ）A ．b 21+a 41B ．b 21+a 43C ．b 21-a 41D ．b 21-a 438. 已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab a <2B ．ba 11> C ．b a <D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21219. 一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图2所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．332 B ．32 C ．334 D ．34 图210. 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 .12. 在ABC ∆中, 角C B A ,,的对边分别是,,a b c , 已知2,3a b ==, ABC ∆的面积为1，则=C s i n.13. 已知函数()()()2,,3,0.xx f x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩ 若()3=a f ，则a = .14. 某体育场一角的看台的座位是这样排列的：从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数. 现在数得该看台的第6排有25个座位, 则该看台前11排的座位总数是 .三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 求θsin 及⎪⎭⎫ ⎝⎛+4sin πθ的值.16.（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）最小二乘法求线性回归方程系数公式12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，．17.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 252,0a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）当n 为何值时, n S 取得最大值.18.（本小题满分14分）如图，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中,60,BAD PA PD ︒∠==, E 为PC 的中点. （1）求证://PA 平面EBD ;（2）求证:PBC ∆是直角三角形.19.（本小题满分14分）已知函数215()2262xx f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈， （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A . （1）求圆C 的方程;（2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求⋅的取值范围. .高中数学学业水平测试模拟卷（六）答案一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DACBCCABDB二、填空题：11. 220x y +-= 12.3113. 3 14. 275三、解答题：15.解: πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3cos ,0,52, 54531cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴θθ.4s i n c o s 4c o s s i n4s i n πθπθπθ+=⎪⎭⎫⎝⎛+∴22532254⨯+⨯=1027=.16. 解: （1）散点图略 （2）4166.5i ii X Y ==∑ 4222221345686ii X==+++=∑ 4.5X = 3.5Y = 266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ； ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y b X =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+ （3） 100x =， 1000.70.3570y =⨯+= 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨)17．解: （1） 252,0a S ==，112,5450.2a d da +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩解得14,2a d ==-.()()n n a n 26214-=-⨯-+=∴． （2）()()14211--=-+=n n n d n n na S n n n 52+-=252524n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∈n Ｎ*, ∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最大值6.18．证明:（1）连接AC AC ,与BD 相交于点O , 连接OE , 则O 为AC 的中点.E 为PC 的中点, PA EO //∴. ⊂EO 平面EBD ,⊄PA 平面EBD , ∴//PA 平面EBD .（2）设F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = , AD PF ⊥∴.ABCD 是菱形，︒=∠60BAD , ∴ABD ∆是等边三角形. .AD BF ⊥∴ ,F BF PF = ⊥∴AD 平面PBF .,//AD BC ⊥∴BC 平面PBF . ⊂PB 平面PBF , BC PB ⊥∴. ∴PBC ∆是直角三角形. 19. 解：（1） 2()(2)526(03)x xf x x =-⋅-≤≤ ，令2xt =，03x ≤≤ ，18t ∴≤≤ 所以有：22549()56()24h t t t t =--=--（18t ≤≤） 所以：当5[1,]2t ∈时，()h t 是减函数；当5(,8]2t ∈时，()h t 是增函数；549（2）()0f x a -≥ 恒成立，即()a f x ≤恒成立，所以：min 49()4a f x ≤=-. 20．（1）解法一:设圆C 的圆心为C , 依题意得直线AC 的斜率=AC k 1-, ∴直线AC 的方程为()24--=-x y , 即06=-+y x .直线OA 的斜率24=OA k 2=, ∴直线OA 的垂直平分线为()1212--=-x y , 即052=-+y x . 解方程组⎩⎨⎧=-+=-+.052,06y x y x 得圆心C 的坐标为(7,1)-.∴圆C 的半径为r AC ==∴圆C 的方程为()50172=++-y x .解法二: 设圆C 的方程为()()222r b y a x =-+-,依题意得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=-+-.,22,42222222r b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.25,1,7r b a∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .解法三: 设圆心C 的坐标为()b a ,. 依题意得()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=⨯--.42,11242222b a b a a b 解得⎩⎨⎧-==.1,7b a∴圆心C 的坐标为()7,1-. ∴圆C 的半径为r OC ===. ∴圆C 的方程为()()501722=++-y x .（2）解:设直线l 的方程为,m x y +-=()()1122,,,M x y N x y . 由()()⎩⎨⎧=++-+-=.5017,22y x m x y 消去y 得()22221620x m x m m -+++=. 2121228,2m mx x m x x +∴+=+=.∴⋅)4)(4()2)(2(2121--+--=y y x x )4)(4()2)(2(2121-+--+-+--=m x m x x x()()()442222121+-++--=m x x m x x ()()()4482222+-++--+=m m m m m21236m m =-+()26m =-.直线l 与圆C 相交于不同两点,25217<--∴m..164<<-∴m∴AN AM ⋅的取值范围是[)0,100.。
【湘教版】高中数学必修一、必修二学业水平测试试题(6)(教师)
【湘教版】高中数学（必修一、必修二）学业水平测试试题（6）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中．．．．．．．．．．．．．．．） 1．设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥b C ．a 与b 一定不相等 D ．a 与b 互为相反向量 答案：C2．记符号{}B x A x x B A ∉∈=-且,，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=2221xxA ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=1log 31x x B ，则=-B A （ ） A ⎥⎦⎤⎝⎛-31,1 B ⎪⎭⎫⎝⎛-31,1 C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D ⎥⎦⎤⎝⎛31,0答案：A3．若f (x ) cos 2xπ 是周期为2的奇函数,则f (x )可以是（ ）A ．sin 2x π B ．cos 2xπ C ．sinπx D ．cosπx答案：A4．函数()431-+=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A ()3,2B ()2,1C ()1,0D ()4,3 答案：A5．方程sinx = lgx 的实根有（ ）A ．1个B ．3个C ．2个D ． 无穷多个 答案：B6．已知函数y =f (x ),将f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y =3sin x 的图象相同,那y =f (x )的解析式为（ ）A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)答案：D7．已知函数112++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（ ）A (][)+∞∞-,40,B []4,0C (]4,0D [)4,0 答案：D8．y= log 21sin(2x +4π)的单调递减区间是（ ）A ．[kπ－4π,kπ](k ∈Z) B ．(kπ－8π ,kπ+8π)(k ∈Z)C ．[kπ－83π ,kπ+8π] (k ∈Z) D ． (kπ－8π, kπ+83π)(k ∈Z)答案：B9．已知函数)(x f y =为R 上的偶函数，若对于0≥x 时，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时，),1(log )(2+=x x f 则)12()11(f f +-等于（ ）A 6log 2B 23log 2C 1D 1-答案：D10．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则函数)(log)(x f x g a=（0＜a ＜1）的单调减区间是( )A.［0，21］ B.（-∞，0）∪［21，+∞）C.［a ，1］D.［，］ 答案：C二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填入答题卡中．．．．．．．．．．．．） 11．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+=答案：因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a10=+，12．计算45tan 2sin216log )001.0(3log 12312++--+-π= .答案：213．函数|)3cos()23cos(|x x y --=ππ最小正周期是 ． 答案：π14．设,11)(xxx f -+=又记：,,2,1)),(()(),()(11 ===+k x f f x f x f x f k k 则=)2012(2012f答案：201215．以下结论正确的有 （写出所有正确结论的序号）①函数xy 1=在()()+∞∞-,00, 上是减函数；②对于函数()12+-=x x f ，当21x x ≠时，都有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f ；③已知幂函数的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,2，则当1>x 时，该函数的图象始终在直线x y =的下方； ④奇函数的图像必过坐标原点；⑤函数)(x f 对任意实数y x ,，都有,1)()()(-+=+y f x f y x f 且当,1)(0<<x f x 时，则)(x f 在R 上为增函数。
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2006年新疆高中毕业会考数学模拟试卷(二)
学校________________ 班级________________姓名__________________
一、选择题〖HTK 〗(共20小题，每小题3分，共60分)〖DZ)〗
1.已知集合S=｛0，1，2，……，9｝，A=｛2，4，6,8｝,B=｛1，3，5,9｝],则Cs(A ∪B)为 A.｛0｝
B.｛7｝
C. 空
D.｛0，7｝
2.“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的什么条件
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件 3.已知2sin θcos θ＜0，且cos θ＞0，则θ在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知两点P 1(3,2),P 2(-2,3)，点P(2
1，y)分 21p p 所成的比为λ，由λ可求得y 为
A.
2
5 B.
5
17 C. 5
9 D.
9
5
5.已知a=6,e=3
1，焦点在x 轴上，则椭圆2
2
22b
y a
x +
=1时，正数b 的值为
A.16
B.32
C.4
D. 42
6.双曲线25
2
1442y
x -
=1的渐近线方程为
A.y=±125x
B.y=±125
C.y=±
5
12x D.y=±
5
12
7.已知a ∥α,b ∥α，α为平面，则直线a 、b 的位置关系是 A.平行 B.异面
C.相交
D.三种情况都有可能 8.展开(2x
-
x
1)6，则它的展开式中，x 一次项的系数为
A.240
B.-160
C.60
D.1 9.化简(3+2)3-(3-2)3，结果是
A.183
B.183+42
C.222
D.123 10.已知log a (2a 2
+1)＜log a 3a ＜0，则实数a 的取值范围是 A.(0，
3
1) B.(
3
1，
2
1) C.(
2
1，1) D.(0，
2
1)
11.已知等差数列｛a n ｝中，a 4=10,a 7=19，则a 1+d 的值为
A.4
B.3
C.2
D.1 12.函数y=tan2x+cotx 的最小正周期为 A.2π B.π C.
2
π
D.
4
π
13.不等式｜x 2
-5x+5｜＜1的解集是
A.(1，4)
B.(1，2)∪(3,4)
C.(-4,1)
D.(-4,-1) 14.方程a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆，则
A.a=-1
B.a=-1或2
C.a ＜0或a ＞1
D.-1≤a ≤2 15.已知抛物线y 2=2Px 的顶点在原点，焦点在(5，0)，则P 的值为 A.-5 B.-10 C.5 D.10
16.用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是49πcm 2，则球心到截面的距离为
A.24
B.12
C.26
D.23 17.(x+1)10 的展开式中含x 5项的系数为
A.C 3
10 B.C 4
10 C.C 5
10 D.C 2
10
18.已知f(x)=-x-x 3,x 1,x 2,x 3∈R,且x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0,x 3+x 1＞0,则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3) 的值
A.恒大于零
B.恒等于零
C.恒小于零
D.正负都有可能
19. b 是a 、c 的等比中项，x 是a 、b 的等差中项，y 是b 、c 的等差中项，xy ≠0，则
x
a +
y
c 等于
A.1
B.2
C.3
D.4 20.已知sin α=
5
5,sin β=
10
10，且α、β为锐角，则α+β的值是
A.45°
B.135°
C.-45°
D.225° 二、填空题(共4小题，每小题3分，共12分) 21.已知
BE =(0, -4
1,1)，DF =(0, 4
1,1)，
，则cos ＜BE ，DF ＞=_________________________。
22.如果f(x)=
1
343--+∙x a
x A 为奇函数，则a=__________________________________。
23.求值1+2
11++
3
211+++……+10...211++=________________________________。
24.已知等腰三角形的顶角的余弦为-5
3，则一个底角的正弦值是__________________。
三、解答题 (共5个小题，共28分) 25.(5分)解不等式5-x ≥)1(2-x
26.(5分)已知α、β为锐角，cos α=5
4，cot(α-β)=-3，求sin β的值。
27.(6分)当a ＞0,0≤x ≤1时，求y=-x 2+2ax 的最大，最小值。
28.(6分)设P 是圆M ：(x-2)2+(y-2)2=1上的动点，它关于A(4，0)的对称点为Q ，把
OP 绕原点逆时针旋转90°，得到向量OS ，求｜SQ ｜的最值。
29.(6分)一个正方体的顶点都在球面上，且球的大圆面积为16π，求这个正方体的体积。