数值计算基础
应用计算方法教程
应用计算方法教程第一章：引言计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算和问题求解的学科。
它在科学计算、工程分析和实际应用中起着重要的作用。
本教程将介绍一些常用的应用计算方法，帮助读者理解和掌握这门学科的基本概念和方法。
第二章：数值计算基础2.1 浮点数表示法2.2 误差与有效数字2.3 数值舍入与截断2.4 计算机算术运算2.5 机器精度与舍入误差第三章：线性方程组的数值解法3.1 直接法：高斯消元法3.2 直接法：LU分解法3.3 迭代法：雅可比迭代法3.4 迭代法：高斯-赛德尔迭代法3.5 迭代法：超松弛迭代法第四章：非线性方程的数值解法4.1 二分法4.2 牛顿迭代法4.3 弦截法4.4 试位法4.5 不动点迭代法第五章：插值与拟合5.1 插值多项式与牛顿插值法5.2 分段线性插值与样条插值5.3 最小二乘拟合与多项式拟合5.4 曲线拟合与非线性最小二乘第六章：数值积分与数值微分6.1 数值积分基本概念6.2 复化求积公式6.3 数值积分的收敛性与误差估计6.4 高斯积分公式6.5 数值微分与差分近似第七章：常微分方程的数值解法7.1 常微分方程初值问题7.2 欧拉法与改进的欧拉法7.3 龙格-库塔法7.4 多步法与预估-校正法7.5 刚性问题与刚性算法第八章：常微分方程的边值问题8.1 二点边值问题与有限差分法8.2 三点边值问题与有限差分法8.3 多点边值问题与有限差分法8.4 边值问题的特殊情况与特殊方法第九章：数值优化方法9.1 优化问题的基本概念9.2 无约束优化问题的最优性条件9.3 一维搜索法9.4 梯度下降法与共轭梯度法9.5 二次规划问题与牛顿法第十章：随机模拟方法10.1 随机数生成10.2 蒙特卡洛方法10.3 马尔可夫链蒙特卡洛法10.4 收敛性与误差估计10.5 随机优化与模拟退火结语这本教程介绍了应用计算方法的基本概念和常用方法。
通过学习本教程，读者可以掌握数值计算的基本原理和技巧，能够应用计算机进行数值计算和问题求解。
数值计算方法和应用
数值计算方法和应用数值计算方法是指将数学问题转化为计算机程序来求解的一种方法。
随着计算机技术的不断发展，数值计算方法已经成为解决各种实际问题的重要手段。
在这篇文章中，我们将介绍数值计算方法的基础知识和应用。
一、基础知识1.1 数值解数值解是指通过数值计算方法得到的近似解。
对于某些复杂的数学问题，很难得到精确解，这时就需要采用数值计算方法来求解。
数值解的精度取决于算法本身的精度以及所使用的计算机的精度。
1.2 常用数值计算方法常用的数值计算方法包括求解方程、插值和拟合、微积分等。
其中，求解方程是数值计算方法中应用最广泛的一种方法。
通过数值计算方法求解方程的思路是将方程转化为一个数值逼近问题，然后采用数值计算方法求解出近似解。
插值和拟合是另外一种常用的数值计算方法，它们主要用于分析和处理实验数据，用来预测未知变量的值。
1.3 数值稳定性在进行数值计算时，数值稳定性是非常重要的一方面。
数值稳定性指的是计算结果受到输入数据误差的影响程度。
如果计算结果对输入数据的微小变化非常敏感，那么该算法就是不稳定的。
否则，该算法就是稳定的。
在选择数值计算方法时，需要考虑计算结果的稳定性。
二、应用2.1 工程计算数值计算方法在工程计算中也得到了广泛的应用。
工程计算包括结构分析、流体力学等领域。
在这些领域中，需要对各种物理现象进行数值模拟和分析。
利用数值计算方法可以得到复杂系统的数值解，帮助工程师掌握系统的性能和行为规律，做出正确的决策。
2.2 金融计算金融计算是另外一种需要应用数值计算方法的领域。
金融计算通常涉及大量的金融数据，例如股票价格、汇率等。
利用数值计算方法可以对这些数据进行分析，预测未来的价格趋势，提高投资的成功率。
2.3 数据科学数据科学是近年来兴起的一种新兴领域。
数据科学利用大数据分析技术，对各种数据进行分析，预测未来的趋势，挖掘出隐藏在数据背后的信息。
数值计算方法是数据科学中最基础的方法之一，无论是数据采集、数据处理还是数据分析，都需要通过数值计算方法得到精确的数据结果。
计算方法基础知识点总结
计算方法基础知识点总结一、基本运算1. 加法加法是最基本的运算之一，它是指将两个或多个数值相加得到和的过程。
例如，2+3=5，这里的2和3就是加数，而5是它们的和。
2. 减法减法是指一个数值减去另一个数值所得到的差。
例如，5-3=2，这里的5是被减数，3是减数，2是它们的差。
3. 乘法乘法是指将两个或多个数值相乘得到积的过程。
例如，2*3=6，这里的2和3就是乘数，而6是它们的积。
4. 除法除法是指一个数值除以另一个数值所得到的商。
例如，6÷3=2，这里的6是被除数，3是除数，2是它们的商。
二、数的比较和运算1. 比较运算比较运算是指将两个数值进行比较，得到它们的大小关系。
例如，5>3表示5大于3，而2<4表示2小于4。
2. 绝对值绝对值是指一个数值的大小，它表示这个数值到0的距离。
例如，|-5|=5，而|3|=3。
3. 平方和平方根平方是指一个数值乘以自己，得到的新的数值。
例如，3²=9，这里的3是底数，9则是它的平方。
平方根是指一个数值的平方所得的数值。
例如，√9=3，这里的9是被开方数，3是它的平方根。
4. 百分比百分比是指一个数值相对于100的比例。
例如，50%表示50分之一百。
百分比在日常生活和商业中经常使用，它可以用于表示增加、减少、比较等各种情况。
三、方程和不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指一个未知数的一次方程。
例如，2x+3=7就是一个一元一次方程，这里的x是未知数，2和3是已知数，7是等式的结果。
2. 一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的二次方程。
例如，x²+3x-4=0就是一个一元二次方程，这里的x是未知数，3和4是已知数，0是等式的结果。
3. 不等式不等式是指两个数值之间的大小关系。
例如，x>3表示x大于3，而x<5表示x小于5。
不等式与方程类似，但它表示的是范围而非精确的数值。
四、函数和集合1. 函数函数是数学中的重要概念，它表示一个变量与另一个变量之间的关系。
计算模块知识点总结
计算模块知识点总结计算模块是一种软件模块，用于执行数学运算和计算任务。
它可以用于解决各种计算问题，包括数值计算、符号计算、统计分析、机器学习、数据挖掘等。
计算模块通常由算法、数据结构、数值方法、优化技术等组成。
本文将对计算模块的知识点进行总结，包括数值计算、符号计算、统计分析、机器学习、数据挖掘等方面的内容。
一、数值计算1.1. 数值计算基础知识数值计算是通过计算机对数学问题进行数值近似的一种方法。
在数值计算中，通常需要对浮点数进行操作，包括加、减、乘、除等基本运算。
1.2. 数值计算的误差分析在数值计算中，由于浮点数的有限精度，可能会引入舍入误差、截断误差等误差。
误差分析是研究数值计算误差的一种方法，可以帮助我们评估计算结果的可靠性。
1.3. 数值计算的求解方法常见的数值计算求解方法包括迭代法、插值法、数值积分、微分方程求解等。
这些方法可以用于解决各种数学问题，包括线性方程组求解、非线性方程求解、常微分方程求解等。
1.4. 数值计算的性能优化为了提高数值计算的效率和精度，需要进行性能优化。
性能优化包括算法优化、数据结构优化、并行计算优化等，可以帮助我们提高数值计算的速度和精度。
二、符号计算2.1. 符号计算基础知识符号计算是一种通过计算机对数学表达式进行符号运算的方法。
在符号计算中，通常需要对符号表达式进行化简、展开、因式分解、求导、求积等操作。
2.2. 符号计算的求解方法常见的符号计算求解方法包括多项式求解、方程组求解、微分方程求解等。
这些方法可以用于解决各种数学问题，包括代数方程求解、微分方程求解、积分方程求解等。
2.3. 符号计算的性能优化为了提高符号计算的效率和精度，需要进行性能优化。
性能优化包括算法优化、数据结构优化、并行计算优化等，可以帮助我们提高符号计算的速度和精度。
三、统计分析3.1. 统计分析基础知识统计分析是一种通过统计方法对数据进行分析和研究的方法。
在统计分析中，通常需要进行数据预处理、描述统计、推断统计、回归分析、方差分析等操作。
mathematica数值计算
mathematica数值计算Mathematica是一款强大的数学计算软件，可以进行各种数值计算和符号计算。
本文将介绍Mathematica在数值计算方面的应用。
一、数值计算的基础在Mathematica中，我们可以使用各种内置函数进行数值计算。
比如，我们可以使用N函数将一个表达式或方程转化为数值，并指定精度。
例如，我们可以计算sin(π/4)的数值：N[Sin[π/4]]结果为0.707107。
二、数值积分Mathematica提供了强大的数值积分功能。
我们可以使用NIntegrate函数对函数进行数值积分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的积分：NIntegrate[x^2, {x, 0, 1}]结果为0.333333。
三、数值方程求解Mathematica还可以解决各种数值方程。
我们可以使用NSolve函数对方程进行数值求解。
例如，我们可以求解方程x^2 - 2x + 1 =0的解：NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]结果为{{x -> 1}}，即方程的解为x=1。
四、数值优化Mathematica也可以进行数值优化。
我们可以使用NMinimize函数对一个函数进行最小化。
例如，我们可以求解函数f(x) = x^2的最小值：NMinimize[x^2, x]结果为{x -> 0.}，即函数的最小值为0。
五、数值微分Mathematica还提供了数值微分的功能。
我们可以使用ND函数对函数进行数值微分。
例如，我们可以计算函数f(x) = x^2的导数在x=1的值：ND[x^2, x, 1]结果为2，即函数在x=1处的导数为2。
六、数值级数求和Mathematica可以对级数进行数值求和。
我们可以使用NSum函数对级数进行数值求和。
例如，我们可以计算级数1/2^k的和：NSum[1/2^k, {k, 1, ∞}]结果为1，即级数的和为1。
《数值计算基础》课件
几何方法
01
02
03
数值几何
利用几何知识，通过代数 方法解决几何问题，如求 点到直线的距离、求两线 交点等。
图形图像处理
利用几何变换和图像处理 技术，对图形和图像进行 变换、滤波等操作，实现 图像识别和计算机视觉。
数值逼近
通过几何方法逼近函数， 如多项式逼近、样条逼近 等，以实现函数近似计算 。
概率统计方法
混合精度计算
研究混合精度计算方法，利用低精度数值进行高效计算，降低计算成 本和功耗。
可解释性与可信度
提升数值计算的解释性和可信度，确保计算结果的可靠性和实际应用 的有效性。
THANKS
感谢观看
误差传播是指由于一个或多个输入数据存在误差，导致输出数据也存在误 差，并且这个误差会随着计算的进行而逐渐积累和扩大。
在数值计算中，误差的传播通常表现为计算结果的精度降低，甚至导致结 果完全失真。
为了减小误差的传播，可以采用多种方法，如提高输入数据的精度、选择 合适的算法和数值稳定的方法等。
误差的控制
01
随机模拟
利用概率统计方法模拟随机事件 ，如蒙特卡洛模拟、随机抽样等 ，以解决实际应
通过概率统计方法估计未知参数 ，并进行假设检验，以判断假设 是否成立。
03
回归分析
利用概率统计方法分析变量之间 的关系，如线性回归、逻辑回归 等，以预测未来趋势和结果。
04
数值计算的误差分析
持。
数值计算面临的挑战与机遇
数据规模与复杂度增加
随着数据规模的扩大和复杂度的提升， 数值计算面临更高的计算要求和技术挑
战。
跨学科融合
与其他领域的交叉融合为数值计算带 来了新的机遇，促进跨学科研究和应
数值算法在计算科学中的应用
数值算法在计算科学中的应用计算科学（Computer Science）是一门研究计算机科学原理及其在计算机应用中的创新性应用的学科。
数值算法（Numerical Algorithms）是一种数学处理技术，用数值方法来解决数值分析的数学问题。
数值算法在计算科学中具有重要的应用价值，下面将从数值计算的基础知识、数值算法的原理及其应用、数值算法的优缺点等方面探讨数值算法在计算科学中的应用。
一、数值计算的基础知识数值计算的基础知识包括：数值误差、截断误差、舍入误差、传播误差等。
其中数值误差是指估算值与真实值的差别，截断误差是指数值计算过程中将无穷级数或函数截断而产生的误差，舍入误差是指由计算机高精度实数数据类型的限制而导致的误差，传播误差是指多次计算中误差的传递而引起的误差。
二、数值算法的原理及其应用数值算法的原理是基于数值计算的基础知识发展而来的，主要包括插值法、微积分法、矩阵计算法、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等。
数值算法的应用十分广泛，可以用于数据处理、信号处理、图像处理、声音处理、计算机辅助设计等领域。
以常微分方程数值解法为例，可以将其应用于工程计算、物理计算及生物学计算等领域。
在工程计算中，数值算法可以用于求解机械、结构、流体等问题的数值解，例如：飞机的翼面压力分布、汽车的空气动力学问题、电子设备的热传导问题等等；在物理计算中，数值算法可以用于求解天体物理、基本粒子物理、固体物理、等等问题的数值解；在生物学计算中，数值算法可以用于分子动力学、蛋白质结构预测、细胞生长重组等方面的问题求解。
三、数值算法的优缺点数值算法的优点包括解决一些无法用闭式解法解决的较复杂问题、提高计算精度、增加计算速度等；数值算法的缺点包括误差过大、精度受限、为了增加速度而牺牲了精度等。
总的来说，数值算法在计算科学中发挥了重要的作用，能够提高计算机的运算精度和效率，并解决多种传统算法无法解决的问题。
数值分析课程教学大纲
数值分析课程教学大纲一、课程简介数值分析课程是计算机科学与工程领域的一门重要基础课程，旨在培养学生使用数值方法解决实际问题的能力。
本课程主要介绍数值计算的基本原理、常用数值方法以及其在实际应用中的使用。
二、教学目标1. 了解数值计算的基本概念与原理；2. 掌握常用数值方法的基本思想和实现过程；3. 能够独立选择和应用合适的数值方法解决实际问题；4. 具备编写简单数值计算程序的基本能力。
三、教学内容1. 数值计算基础1.1 数值误差与有效数字1.2 浮点运算与舍入误差1.3 计算机数制与机器精度2. 插值与逼近2.1 插值多项式的存在唯一性与插值误差2.2 多项式插值的Newton和Lagrange形式2.3 最小二乘逼近与曲线拟合2.4 样条插值与曲线光滑拟合3. 数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念及Newton-Cotes公式 3.2 数值积分的复化方法3.3 高斯积分公式3.4 数值微分的中心差分与向前向后差分公式4. 解非线性方程4.1 迭代法与收敛性分析4.2 函数单调性与零点存在性4.3 牛顿迭代法及其变形法4.4 非线性方程求根方法的比较与选择5. 数值代数方程组的直接解法5.1 矩阵消元与高斯消元法5.2 LU分解方法5.3 矩阵的特征值与特征向量5.4 线性方程组迭代解法6. 数值优化方法6.1 优化问题的基本概念与分类6.2 单变量优化方法6.3 多变量优化方法6.4 无约束优化算法和约束优化算法四、教学方法1. 授课方式：理论讲解与实例演示相结合。
2. 实践环节：布置数值计算作业，让学生进行编程实现，并分析实验结果。
3. 课堂互动：鼓励学生积极提问，与教师及同学进行讨论与交流。
五、评分与考核1. 平时成绩占40%，包括平时作业和课堂表现。
2. 期中考试占30%。
3. 期末考试占30%。
六、参考教材1. 《数值分析(第3版)》，李庆扬，高等教育出版社。
2. 《数值分析(第6版)》，理查德 L.伯登，麦格劳-希尔教育出版公司。
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数值计算基础实验指导书2010年目录实验一直接法解线性方程组的 (1)实验二插值方法 (10)实验三数值积分 (4)实验四常微分方程的数值解 (6)实验五迭代法解线性方程组与非线性方程 (8)实验一 直接法解线性方程组一、实验目的掌握列选主元消去法与追赶法解线性方程组。
二、实验内容分别写出Gauss 列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。
实验中以下列数据验证程序的正确性。
1、用Gauss 列选主元消去法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--5.58.37.33.47.11.85.16.93.51.53.25.2321x x x2、用追赶法求解方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----000010210000210000210000210000254321x x x x x 三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理1、Gauss 列选主元消去法 对于AX =B1）、消元过程：将（A|B ）进行变换为)~|~(B A ，其中A ~是上三角矩阵。
即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnnn n nnn n nn b a b a b a a b a a a b a a a b a a a010122111221222221111211 k 从1到n-1a 、 列选主元选取第k 列中绝对值最大元素ik ni k a ≤≤max 作为主元。
b 、 换行ik ij kj b b n k j a a ⇔+=⇔,,1,kkk k kj kk kj b a b n k j a a a ⇒+=⇒/,,1,/d 、 消元nk i b b a b n k j n k i a a a a i k ik i ij kj ik ij ,,1,,,1;,,1, +=⇒-+=+=⇒-2）、回代过程：由)~|~(B A 解出11,,,x x x n n -。
1,2,,1,/1-=⇒-⇒∑+=n k x x a b x a b k nk j j kj k nnn n2、追赶法 线性方程组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n n n n n nn n n f f f f f x x x x x a b c a b c a b c a b c a 132********33322211做LU 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1111,12133221n n n R L βββαγαγαγα分解公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-====-)1,,2,1(),,3,2(,),,3,2(111n i c n i b b n i a i i i i i i i i i αββγααγ 则⎩⎨⎧==⇒=⇒=y Ux fLy f LUx f Ax⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-),,3,2(1111n i y f y f y i i i i i αγα⎩⎨⎧--=-==+)1,,2,1(1n n i x y x y x i i i i n n β五、实验步骤1、理解并掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法公式；2、画出全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序写在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。
八、思考题若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。
实验二 插值方法一、实验目的掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。
二、实验内容分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。
实验中以下列数据验证程序的正确性。
已知下列函数表求x=0.5635时的函数值。
三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理已知n 个插值节点的函数值，则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值。
拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：1、Lagrange 插值公式)()(...)()()(01100x l y y x l y x l y x l x L nk k k n n n ∑==+++=∏≠=+-+---=----------=n kj j jk j n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 011101110)())(())(()())(())(()( 2、Newton 插值公式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N五、实验步骤1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过。
六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项Newton插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商。
八、思考题比较Lagrange插值法与Newton插值法的异同。
实验三 数值积分一、实验目的掌握梯形复合求积法与Romberg 法计算定积分。
二、实验内容分别写出变步长梯形复合求积法法与Romberg 法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。
实验中以下列数据验证程序的正确性。
求00001.0,sin 10≤⎰εdx x x。
三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理通过变步长梯形法与龙贝格法，我们只要知道已知n 个求积节点的函数值，则可由相应的公式求出该函数的积分值，从而不需要求该函数的原函数。
变步长梯形法与龙贝格法公式如下：1、变步长梯形法∑∑-=-=+++=+=11101)]()(2)([2)]()([2n i i n i i i n b f x f a f hx f x f hT∑-=++=12/12)(221n i i n nx f h T T用ε≤-n n T T 2来控制精度 2、龙贝格法∑-=++=12/12)(221n i i n nx f h T Tnn n T T S 31342-= nn n S S C 15115162-= nn n C C R 63163642-=用ε≤-n n R R 2来控制精度五、实验步骤1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项在10sin dx x x积分中，被积函数在x=0点函数值为1，对该点在程序设计中应注意对其的定义。
八、思考题使用复化梯形法与复化Simpson 法来计算该问题有何缺点？实验四 常微分方程的数值解一、实验目的掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。
二、实验内容分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。
实验中以下列数据验证程序的正确性。
求⎩⎨⎧≤≤=-=')50(2)0(2x y xy y 步长h=0.25。
三、实验仪器设备与材料主流微型计算机四、实验原理常微分方程的数值解主要采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前推进，在单步法中改进欧拉法和四阶龙格-库塔法公式如下：1、改进欧拉法),(1n n n n y x hf y y +=+)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y2、四阶龙格-库塔法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n nn n n n n 五、实验步骤1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的公式；2、画出改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的流程图3、使用C 语言编写出相应的程序并调试验证通过六、实验报告要求1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。
2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。
七、实验注意事项⎩⎨⎧≤≤=-=')50(2)0(2x y xy y 的精确解为)1/(22x y +=，通过调整步长，观察结果的精度的变化 八、思考题如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。
实验五 迭代法解线性方程组与非线性方程一、实验目的掌握高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组与牛顿迭代法求方程根。
二、实验内容分别写出高斯-塞德尔迭代法与牛顿迭代法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一个方程的求根，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。
实验中以下列数据验证程序的正确性。
1、高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----017413231511222315921274321x x x x 2、用牛顿迭代法求方程013=--x x 的近似根，00001.0≤ε，牛顿法的初始值为1。