第四章 电磁波的传播
电动力学-几何光学的电磁学基础-第四章 电磁波的传播
4、平面波及其参数
光波场的空间频率
E
E0eitkr0
i t kx xk y ykz z0
E e0
i 2 t 2 f x x f y y f z z 0 E e0
仿照时间频率,定义空间频率 f 1
空间频率是观察方向的函数,定义为沿某观察 方向单位长度的光波场周期数
fx
cos
r
r
r
f f f
r k
r E0
exp
k
rr
4. 平面电磁波的性质
（1） E E0 eikxt ik E0eikxt ik E
由于E=0，所以 k E 0 , 表示电场波动是横波
E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电 磁波的偏振方向, E有两个独立的偏振方向,对于每 一个k,存在两个独立的偏振波。
为Fx T sin1 x,θ1是x的函数，在x+dx处张力的垂直分量为
Fxdx T sin2 xdx
该元段上的垂直方向上的合力
dFx
T
sin2
xdx
T
sin1
x
θ1和θ2很小
sin 1
tan 1
x
x
sin 2
tan 2
x
x dx
dFx
T
x
x dx
x
x
dFx
电场分量和磁场分量均以波动形式传播---电磁波。
其波速为 c 1/ 00 3.0108 m/s
c与频率无关,真空中一切电磁波(无线电波、光波
X射线和射线等)都以速度c传播,最基本的物理常
量之一;波动方程的解包括各种形式的电磁波;电磁
波的传输不需要介质,相互激发．
2. 介质中的电磁波:
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。
答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。
答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。
答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。
它们的相位( )。
答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为( )。
答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
电动力学-第4章-第2节-电磁波在介质界面上的反射和折射
电磁波入射到介质界面发生反射和折射，其反射和折射的一、反射和折射定律在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的。
2，反射和折射定律的导出入射波、反射波和折射波的电场强度分别为：E E E ′′′,,(1) 角频率(2) 波矢分量间的关系：yy k ′′=′平面上，都在同一平面上，即分别代表入射角，反射角为电磁波在两介质中的相速度，则把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得这就是我们熟知的反射定律和折射定律！(3) 入射角、反射角和折射角的关系电磁波在介质界面上的反射和折射(9)211的相对折射率。
µ0，因此通常可认为就是两介质的相对折射率。
频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中(4) 折射率电磁波在介质界面上的反射和折射(10)现应用边值关系式求入射、反射和折射波的振幅关系。
二、振幅和相位关系kr Hr k ′r k ′′r H ′′r H ′r E r E ′′r E ′r θθ′θ′′电磁波在介质界面上的反射和折射(11)1，E 入射面，如右图所示②①kr H r k ′r k ′′rH ′′r H ′r E r E ′′rE ′rθθ′θ′′xz nr利用已经推得的折射定律：2，E利用已经推得的折射定律得：(2a)(2b)三、全反射假设在情形下两介质中的电场形式上仍然不变，折射波电场：折射波磁场：电磁波在介质界面上的反射和折射(22)折射波平均能流密度：21θ分量，沿z 轴方向sin θ＞n 21 情形下12122−n i θsin 则由菲涅耳公式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。
例如在。
电磁波的传播
E E
1 i 20 1 i 20
1/ 2 1/ 2
▪ 反射系数-沿法线方向的反射能流与入射能流之比：
R
@ E E
2
1 20 1 20
1/2 2
1/2 2
1 1 2
1
20 1
良导体是良反射体
小结
➢导体内的自由电荷分布：良导体内部没有自由电荷分布， 电荷只能分布于导体表面上
➢导体内的电磁波：(复电容率) 描述导体与绝缘介质的 两组方程形式相同 E 导体
E v H
0 0
导体中电磁场方程形式与绝缘介质完全一样
导体可以视为具有复介电常数的介质 10
导体复电容率物理意义
v
vv v
H i E E i E
传导电流 位移电流
位移电流与电场有90相位差，不消耗功率．传导电 流与电场同相，耗散功率密度12Re(J*E)．
i
体表面上电磁波的反射和折射问题．
▪ 只讨论垂直入射情形，电磁场边界条件：
E E E H H H
Bv
evk
v E
v H
i
e4
nv
v E
H H
0 0
0 1/2 E 0 1/2 E
H
0 1/2 ei /4E
真空或绝缘介质中
良导体中
良导体也是良反射体
E E E
E
E
20 1/2 1 i E
电磁场强度之间的关系
▪ 考虑外界电磁波垂直入射导体
v H
1
vv kE
1
v
iv
v E
良导体：Hv
i
e4
evn
v E
▪ 磁能密度与电场密度之比：
第四章-电磁波的传播
过的电磁场能量。
解：（1）E
沿
x
轴方向振荡， k
x
kz
波沿z 方向传播。
k 2 102
（2） 2 106 2 102 (m)
k
f 106(Hz) 2
v 108 (m / s)
k
（3） E v ，
B
B H，
H E
v
H0
4
100
107 108
2.5
H
2.5e y
exp[i(2
v x 1 t k
2．平面电磁波的传 播特性
(1) 平面波的一般解
Ex,
t
E0ei kxt
Bx,t B0eikxt
前面选择电磁波沿x轴方向传播，推
广到一般情况，平面电磁波的表达式
为左式： k 是沿电磁波传播方向的一个矢量，
k
设 S 为与 k 垂
直的平面。在S
面上相位
Rk s为x xkR在s k常上数的
eikxt 代表波动的
相位因子。
亥姆霍兹方程 2E k2E 0
对平面电磁波，亥姆霍兹方程化为一
维的常微分方程
d
2
E
(
x)
dx2
k
2
E(
x)
0
它的一个解是
Ex
E0eikx
因而时谐平面波场强的全表示式为
E x, t
E0
ei
kxt
由条件 E 0 得
ikex
E x, t
0
即要求 Ex 0，因此，只要与x轴垂
2
2
E02ek
例一：有一平面电磁波，其电场强度为
E x,t 100ex exp[i(2 102 z 2 106t)]
电磁波传播原理
电磁波传播原理电磁波是一种能够在真空中传播的波动现象，它在无线通信、无线电广播、雷达系统等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍电磁波的传播原理，包括电磁波的定义与特性、电磁波的传播方式及其影响因素。
1. 电磁波的定义与特性电磁波是由电场和磁场相互耦合而成的波动现象。
电场和磁场通过Maxwell方程组相互关联，形成电磁波的传播。
电磁波具有以下特性：1.1 频率与波长电磁波的频率表示波动的周期性，单位为赫兹（Hz），波长表示波动的空间周期，单位为米（m）。
两者之间的关系为 c = λf，其中，c表示光速。
1.2 能量与强度电磁波携带能量，其能量与强度与电磁场的振幅相关。
强度衡量了电磁波的能量传递速率，单位通常为瓦特/平方米（W/m²）。
1.3 极化与方向电磁波的振动方向决定了其极化状态。
如果电磁波的电场振动方向固定不变，则为线偏振；如果电场振动方向在垂直平面上变化，则为圆偏振或椭圆偏振。
2. 电磁波的传播方式电磁波在空间中以波动的方式传播，主要包括直线传播、绕射传播和反射传播三种方式。
2.1 直线传播当电磁波沿着一条直线传播时，会保持波动的形态不变。
这种传播方式主要适用于开放的空间环境，例如无线通信中的室外传播。
2.2 绕射传播当电磁波遇到一个障碍物时，会发生绕射现象，即波动从一个区域穿过障碍物后继续传播。
绕射传播常见于射频通信中的建筑物、山脉等障碍物环境中。
2.3 反射传播电磁波在遇到介质边界时会发生反射现象，即波动从边界反射回来。
反射传播常见于无线电广播中的地面反射和室内环境中的多次反射。
3. 影响电磁波传播的因素电磁波的传播受到多种因素的影响，包括频率、波长、功率、环境和障碍物等。
3.1 频率与波长频率和波长决定了电磁波在空间中的传播特性。
高频率的电磁波会更容易受到阻碍，传播距离相对较短；低频率的电磁波可以穿透障碍物，传播距离相对较远。
3.2 功率与衰减电磁波的功率越大，传输距离越远。
然而，电磁波在传播过程中会受到衰减，衰减程度取决于介质的特性。
电动力学第四章电磁波的传播
第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。
分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。
2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。
3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。
4最简单的电磁波是平面波。
等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。
如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。
5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。
故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。
§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。
学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。
一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。
电磁波传播原理
电磁波传播原理电磁波是一种无线电波，它是由电场和磁场相互作用而产生的。
当电场和磁场交替变化时，就会产生电磁波的传播。
电磁波的传播通过空间中的介质进行，可以是真空、空气、水、金属等。
电磁波的传播遵循麦克斯韦方程组，其中包括麦克斯韦定律和安培定律。
麦克斯韦定律描述了电场和磁场如何相互作用，并规定了它们的传播方式。
安培定律则描述了电流对磁场的影响。
当电场和磁场交替变化时，它们会相互激发并共同传播。
这种相互激发的过程形成了电磁波的传播。
具体来说，电场的变化会引起磁场的变化，而磁场的变化又会进一步引起电场的变化。
这样电场和磁场就会在空间中相互激发，并通过介质传播出去。
电磁波的传播速度是光速，即299,792,458米/秒。
这是因为光速是电磁波在真空中的最大传播速度，而任何介质对电磁波的传播都会有阻碍作用，使其速度变慢。
电磁波的传播具有波长和频率的特性。
波长是指两个相邻波峰之间的距离，通常用单位米来表示。
频率是指单位时间内波峰通过某个点的次数，通常用赫兹来表示。
波长和频率之间有一个确定的关系，即波速等于频率乘以波长。
电磁波的传播具有直线传播和衍射折射等特性。
当电磁波传播过程中遇到障碍物时，会发生衍射和折射现象。
衍射是指电磁波围绕障碍物传播并弯曲的现象，折射是指电磁波从一种介质进入另一种介质时改变方向的现象。
这些现象使得电磁波能够在很远的地方传播，并被接收器接收到。
总之，电磁波的传播原理是基于电场和磁场的相互作用，并通过空间中的介质传播出去。
电磁波的传播速度是光速，具有波长和频率的特性，同时还会发生衍射和折射等现象。
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1.考虑两列振幅相同的 偏振方向相同 、 频率分别为ω + d 和 ω dω的线偏振平 面波，它们都沿 z 轴方向传播 （1） 求合成波，证明波的振幅不是常数 而是一个波。 （2） 求合成波的相位传播速度和振幅传 播速度。
解：
2.一平面电磁波以θ=45。从真空
入射到邑εr= 2的介质，电场强 度垂直于入射面，求反射系数和 折射系数。
• 证明 :已求得波导管中的电场 E 满足
本题讨论 TM 波 故 Hz=0 即
∴波导中不可能存在 TMm0和 TM0n两种模式的波
13 频率为30 × 109Hz 的微波 ,在 0.7cm × 0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播？在 0. 7cm × 0.6cm的矩形波导管中能以什么波 模传播？ 解 1 )ν=30 ×109Hz波导为0 .7cm ×0.4cm
将会发生全反射。
• 投入空气的深度
• 4 频率为ω 的电磁波在各向同性介质中传播时 ，
• 证明： 1 ）由麦氏方程组
得：
5.有两个频率和振幅都相等的单色平面
波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另 一个沿y方向偏振，但相位比前者超前 ，求合成波的偏振。
2
反之 一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？
于是 由 z= 0 的表面 单位面积进入导体的能 量为：
所以金属导体单位面积那消 耗 的焦耳热的平均值为：
作积分： 即得单位面积对应的导体中消耗的 平均焦耳热。
原题得证.
7 已知海水μr =1，σ=1S·m-1试计算频率ν 为50,106 和109Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。 解 ：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射
m=1，n=1时 v=4.3×1010Hz m=1，n=0时 v=2.1×1010Hz m=0，n=1时 v=3.7×1010Hz ∴此波可以以 TM10波在其中传播
2 ）ν=30 ×109Hz波导为 0 .7cm ×0.6cm
• m= 1，n= 1 时 ，ν= 2.1×1010Hz • m= 1，n= 0 时 ，ν= 2.5×1010Hz • m= 0，n= 1 时 ，ν= 3.3×1010Hz ∴此波可以以 TE10和 TE01两种波模传播
由边界条件:
A1独立 与 A2,A3无关
• 15 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场 能量对时间的平均值总相等 证明: 在谐振腔中 ,电场 E的分布为
a ,b ,c 是谐振腔的线度 ,不妨令 x:0 ~a,y:0 ~b,z:0~ c 于是谐振腔中电场能量对时间的平均值为
谐振腔中磁场能量的时间平均值为:
综上 ，即得此种波导管种所有可能电磁波的解。
10. 电 磁 波 在 波 导 管 中 沿 z 方 向 传 播， 试 使 用 证明电磁场所有分量 都可用 Ex( x,y)和 Hz(x,y)这两个分量表示 证明： 沿 z 轴传播的电磁波其电场和磁场 可写作：
由麦氏方程组得
写成分量式:
由 (2) (3) 消去 Hy得
14 一对无限大的平行理想导体板 ，相距为 b ， 电磁波沿平行与板面的 z 方向传播，设波在 x 方 向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截 止频率。 解 ：在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹 方程：
令 U (x ,y, z) 是 E的任意一个直角分量 由于 E 在 x 方向上是均匀的 ∴U ( x,y,z)=U(y,z)=Y(y)Z(z) 又在 y 方向由于有金属板作为边界 ,是取驻波解 ,在 z 方向是无界空间 取行波解 ∴解得通解
透射深度
8 、平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质 表面上 入射角为θ1 ，求导电介质中电磁波的 相速度和衰减长度 。若导电介质为金属 ， 结果如何？ 提示： 导电介质中的波矢量 只有 z 分量 （为什么？） 解 ：根据题意 ，如图所示， 入射平面是 xz 平面
导体中的电磁波表示为：
与介质中的有关公 式比较可得：
解: n为界面法向单位矢量， <S>,<S'>,<S">分别为入射波， 反射波和折射波的玻印亭矢量
的周期平均值，则反射系数R和 折射系数T定义为:
3.有一可见平面光波由水入射到空 气，入射角为600 。证明这时将会发 生全反射，并求折射波沿表面传播 的相速度和透入空气的深度。 设该波在空气中的波长为 λ= 6.28 x 10-5 cm，水的折射率为n=1.33 。 解: 由折射足律得，临界角θ = arcsin(1／1.33 ) = 48.75 0，所以当 平面光彼以600人射时，
解：偏振方向在 x 轴上的波可记为
在 y 轴上的波可记为
合成得轨迹方程为
所以合成的振动是一个圆频率为ω 的沿z 轴方 向传播的右旋圆偏振。 反之， 一个圆偏振可以 分解为两个偏振方向垂直， 同振幅， 同频率 ， 相位差为π/2的线偏振的合成.
• 6 平面电磁波垂直直射到金属表面上 试 证明透入金属内部的电磁波能量全部变 为焦耳热。 • 证明 ：设在 z>0 的空间中是金属导体 电磁波由 z<0 的空间中垂直于导体表面 入射。 • 已知导体中电磁波的电场部分表达式是：
由 (1) (4) 消去 Hx得
由 (1) (4) 消去 Ey得
由 (2) (3) 消去 Ex得
11 写出矩形波导管内磁场 H 满足的方程及 边界条件.
解:对于定态波, 磁场为 由麦氏方程组
即为矩形波导管内磁场 H 满为
12 论证矩形波导管内不存在 TMm0或 TM0n波
根据边界条件得：
而入射面是 xz 平面，
解得：
如果是良导体， 则：
9 .无限长的矩形波导管， 在 z= 0 处被一块垂直地 插入地理想导体平板完全封闭, 求在z =- ∞到 z= 0 这段管内可能存在的波模。
解 ：在此中结构得波导管中 ，电磁波的传播依旧 满足亥姆霍兹方程
方程的通解为：
根据边界条件有：