支持向量机算法
《支持向量机算法》课件
支持向量机算法是一种强大的分类器，利用最优超平面和核函数解决线性可 分和线性不可分的问题。
简介
支持向量机分类器
利用超平面将不同类别的数据分开。
最优超平面
寻找可以最好地分类数据的超平面。
核函数
用于处理线性不可分的数据，概念介绍
使用超平面将数据分类成不同的类别。
多项式核函数
通过多项式映射将数据映射到高 维空间。
径向基核函数
将数据映射到无穷维空间，常用 于非线性问题。
支持向量机算法的应用
图像识别
利用支持向量机进行图像分 类和对象识别。
文本分类
支持向量机可以用于情感分 析和文本分类任务。
生物信息学
应用于生物序列分析和基因 表达的预测。
总结
1 支持向量机算法优缺
点
强大的分类性能，但处理 大规模数据较慢。
2 发展前景
在机器学习和数据挖掘领 域仍有很大的发展前景。
3 推荐阅读
《支持向量机导论》 by Cristianini and Shawe-Taylor
3 线性不可分
数据无法用一个直线或平面分开。
2 线性可分
数据可以用一个超平面完全分开。
4 分类器的构建
利用训练数据生成最优超平面。
最优超平面
1
定义
能够最好地分类数据的超平面。
意义
2
决定数据的分类边界。
3
最优超平面的求解
利用拉格朗日乘子法求解。
核函数
概念介绍
将数据映射到高维空间以处理线 性不可分的情况。
支持向量机原理与应用
支持向量机原理与应用支持向量机是一种广泛应用于分类和回归问题的机器学习算法，其基本思想是通过寻找最优超平面将数据分成两类。
在这篇文章中，我们将深入探讨支持向量机的原理和应用。
一、支持向量机的原理支持向量机通过最大化间隔超平面来分类数据。
间隔是定义为支持向量（也就是最靠近分类边界的数据点）之间的距离。
因此，我们的目标是找到一个最优的超平面使得此间隔最大。
在二维空间中，最大间隔超平面是一条直线。
在高维空间中，最大间隔超平面是一个超平面。
这个超平面定义为：w\cdot x-b=0其中，w是一个向量，x是样本空间中的向量，b是偏差。
支持向量机的目标是找到一个可以将训练样本分成两个类别的最大间隔超平面，并且使得间隔为M（M是最大间隔）。
二、支持向量机的应用支持向量机是一种广泛应用于分类和回归问题的机器学习算法。
这里我们将讨论支持向量机在分类问题中的应用。
1. 图像分类支持向量机在图像分类中的应用非常广泛。
通过将图像转换为特征向量，可以用支持向量机实现图像分类。
支持向量机特别适用于图像分类，因为它可以处理高维特征空间。
2. 自然语言处理支持向量机可以通过文本分类实现在自然语言处理中的应用。
支持向量机可以学习在给定文本语料库中的所有文档的特定类别的模式（如“金融”或“体育”）。
3. 生物信息学支持向量机在生物信息学中的应用非常广泛。
生物信息学家可以使用支持向量机分类DNA，RNA和蛋白质序列。
4. 金融支持向量机在金融中的应用也很广泛。
通过识别是否存在欺诈行为，可以使用支持向量机实现信用评估。
三、总结在这篇文章中，我们深入探讨了支持向量机的原理和应用。
通过理解支持向量机的原理，我们可以更好地了解如何使用它解决分类问题。
在应用方面，支持向量机广泛应用于各种领域，包括图像分类、自然语言处理、生物信息学和金融等。
因此，支持向量机是一种非常有用的机器学习算法，对于了解它的原理和应用非常重要。
支持向量机
支持向量机支持向量机，英文名为support vector machine，一般简称SVM，通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划（convex quadratic programming）问题的求解,支持向量机的学习算法是求解凸二次规划的最优化算法。
其方法包含构建由简到繁的模型：线性可分支持向量机、线性支持向量机和非线性支持向量机。
线性可分支持向量机假定一特征空间上的训练数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x N,y N)}，其中x i∈χ= R n,y i∈Y={+1,−1}，i=1,2,⋯,N，x i为第i个特征向量，也就是实例，y i为x i的类标记，当y i=+1时，称x i为正例；当y i=−1时，称x i为负例，(x i,y i)称为样本点。
再假设训练数据集是线性可分的，即存在某个超平面能够将正例和负例完全正确的分开，不妨设分离超平面方程为w∙x+b=0，法向量为w、截距为b。
一般地，当训练数据集线性可分时，存在无穷多个分离超平面可将两类数据正确分开，线性可分支持向量机利用间隔最大化求最优分离超平面，这是解是唯一的。
若最优分离超平面为w∗∙x+b∗=0,则分类决策函数为f(x)=sign(w∗∙x+b∗)。
在上图中，有A、B、C三个点，表示三个实例，设“。
”表示正类，“×”表示负类，则这三个点全在正类。
A距分类超平面较远，若预测该点为正类就比较确信预测是正确的；C距分类超平面较近，若预测该点为负类就不那么确信；B介于AC两者之间，预测为正类的确信度也在A与C之间。
故一般来说，点距离分离超平面的远近可以表示分类预测的确信程度。
在超平面w ∙x +b =0确定的情况下，|w ∙x +b |能够相对地表示点x 到超平面的远近，而w ∙x +b 的符号与类标记y 的符号是否一致可表示分类是否正确，所以y (w ∙x +b )可以来表示分类的真确性及确信度，我们称之为函数间隔。
支持向量机的公式
支持向量机的公式支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种广泛应用于机器学习领域的分类器，也是目前应用最为广泛和成功的算法之一。
SVM的基本思想是通过某种方式将一个非线性问题映射到一个高维空间中，使得原本不可分的问题变成一个线性可分的问题。
本文将介绍SVM 的公式及其背后的原理，旨在帮助读者深入理解SVM算法的本质。
SVM的目标是找到一个超平面，能够将不同类别的样本正确地分离开来。
假定有n个训练样本，每个样本有m个属性，用向量x表示。
其中x和标签y构成训练集D。
则SVM的公式如下：对于二分类问题，目标是找到一个超平面Wx + b = 0，使得正负样本分别位于它的两侧。
其中，W是超平面的法向量，b是超平面的截距。
对于多分类问题，可以采用一对一或一对多的方法。
其中，一对一是将所有类别两两组合，分别训练一个SVM分类器，并将测试样本与每一个分类器进行比较，最终选择得分最高的分类器作为预测结果；一对多则是将一个类别的数据判定为一类，其余类别的数据判定为另一类，最终一个样本可能被多个分类器选为预测结果。
SVM的优化问题可以通过拉格朗日乘子法来进行求解，即将原问题转为等效的约束优化问题。
则优化问题可以表示为：其中，αi为拉格朗日乘子，L是拉格朗日函数，C是惩罚参数，E(x)是函数间隔，η是步长。
通过求解这个二次规划问题，我们可以得到决策函数f(x)，用于分类预测。
SVM的核函数是SVM的核心部分，是实现非线性分类的重要手段。
核函数可以将数据从原始的低维空间中，转换到一个高维的特征空间中，使得数据集在这个高维特征空间中变得线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。
除了支持向量机，还有许多其他的分类器算法，如决策树、朴素贝叶斯、神经网络等。
不同算法的优缺点建立在不同理论基础上，也有不同的适用范围。
SVM算法在处理高维数据、大规模数据或者需要较高分类准确度的场景下表现出了极强的优势。
机器学习--支持向量机（SVM）算法的原理及优缺点
机器学习--⽀持向量机（SVM）算法的原理及优缺点⼀、⽀持向量机（SVM）算法的原理 ⽀持向量机（Support Vector Machine，常简称为SVM）是⼀种监督式学习的⽅法，可⼴泛地应⽤于统计分类以及回归分析。
它是将向量映射到⼀个更⾼维的空间⾥，在这个空间⾥建⽴有⼀个最⼤间隔超平⾯。
在分开数据的超平⾯的两边建有两个互相平⾏的超平⾯，分隔超平⾯使两个平⾏超平⾯的距离最⼤化。
假定平⾏超平⾯间的距离或差距越⼤，分类器的总误差越⼩。
1.⽀持向量机的基本思想 对于线性可分的任务，找到⼀个具有最⼤间隔超平⾯，如图所⽰， （1）⽀持向量机的基本型为： （2）软间隔的优化⽬标： 其中，0-1函数为错分样本的个数。
（3）核⽅法： 其中为特征映射函数。
2、实验⼀般步骤： （1）导⼊数据； （2）数据归⼀化； （3）执⾏svm寻找最优的超平⾯； （4）绘制分类超平⾯核⽀持向量； （5）利⽤多项式特征在⾼维空间中执⾏线性svm （6）选择合适的核函数，执⾏⾮线性svm； 3、算法优缺点： 算法优点： （1）使⽤核函数可以向⾼维空间进⾏映射 （2）使⽤核函数可以解决⾮线性的分类 （3）分类思想很简单，就是将样本与决策⾯的间隔最⼤化 （4）分类效果较好 算法缺点： （1）SVM算法对⼤规模训练样本难以实施 （2）⽤SVM解决多分类问题存在困难 （3）对缺失数据敏感，对参数和核函数的选择敏感 ⼆、数学推导过程 对于线性可分的⽀持向量机求解问题实际上可转化为⼀个带约束条件的最优化求解问题： 推理过程： 结果： 对于线性不可分的⽀持向量机求解问题实际上可转化为⼀个带约束条件的soft-margin最优化求解问题：三、代码实现1、线性svmimport numpy as npfrom sklearn.datasets import load_irisimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.svm import LinearSVCfrom matplotlib.colors import ListedColormapimport warningsdef plot_decision_boundary(model,axis):x0,x1=np.meshgrid(np.linspace(axis[0],axis[1],int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1,1),np.linspace(axis[2],axis[3],int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1,1))x_new=np.c_[x0.ravel(),x1.ravel()]y_predict=model.predict(x_new)zz=y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_cmap)w = model.coef_[0]b = model.intercept_[0]plot_x = np.linspace(axis[0],axis[1],200)up_y = -w[0]/w[1]*plot_x - b/w[1] + 1/w[1]down_y = -w[0]/w[1]*plot_x - b/w[1] - 1/w[1]up_index = (up_y>=axis[2]) & (up_y<=axis[3])down_index = (down_y>=axis[2]) & (down_y<=axis[3])plt.plot(plot_x[up_index],up_y[up_index],c='black')plt.plot(plot_x[down_index],down_y[down_index],c='black')warnings.filterwarnings("ignore")data = load_iris()x = data.datay = data.targetx = x[y<2,:2]y = y[y<2]scaler = StandardScaler()scaler.fit(x)x = scaler.transform(x)svc = LinearSVC(C=1e9)svc.fit(x,y)plot_decision_boundary(svc,axis=[-3,3,-3,3])plt.scatter(x[y==0,0],x[y==0,1],c='r')plt.scatter(x[y==1,0],x[y==1,1],c='b')plt.show()输出结果：2、⾮线性-多项式特征import numpy as npfrom sklearn import datasetsimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures,StandardScaler from sklearn.svm import LinearSVCfrom sklearn.pipeline import Pipelinefrom matplotlib.colors import ListedColormapimport warningsdef plot_decision_boundary(model,axis):x0,x1=np.meshgrid(np.linspace(axis[0],axis[1],int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1,1), np.linspace(axis[2],axis[3],int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1,1) )x_new=np.c_[x0.ravel(),x1.ravel()]y_predict=model.predict(x_new)zz=y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9']) plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_cmap)def PolynomialSVC(degree,C=1.0):return Pipeline([('poly',PolynomialFeatures(degree=degree)),('std_scaler',StandardScaler()),('linearSVC',LinearSVC(C=1e9))])warnings.filterwarnings("ignore")poly_svc = PolynomialSVC(degree=3)X,y = datasets.make_moons(noise=0.15,random_state=666)poly_svc.fit(X,y)plot_decision_boundary(poly_svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],c='red')plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],c='blue')plt.show()输出结果：3、⾮线性-核⽅法from sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.svm import SVCfrom sklearn.pipeline import Pipelinefrom sklearn import datasetsfrom matplotlib.colors import ListedColormapimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport warningsdef plot_decision_boundary(model,axis):x0,x1=np.meshgrid(np.linspace(axis[0],axis[1],int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1,1), np.linspace(axis[2],axis[3],int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1,1) )x_new=np.c_[x0.ravel(),x1.ravel()]y_predict=model.predict(x_new)zz=y_predict.reshape(x0.shape)custom_cmap=ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9']) plt.contourf(x0,x1,zz,linewidth=5,cmap=custom_cmap)def RBFKernelSVC(gamma=1.0):return Pipeline([('std_scaler',StandardScaler()),('svc',SVC(kernel='rbf',gamma=gamma))])warnings.filterwarnings("ignore")X,y = datasets.make_moons(noise=0.15,random_state=666)svc = RBFKernelSVC(gamma=100)svc.fit(X,y)plot_decision_boundary(svc,axis=[-1.5,2.5,-1.0,1.5])plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],c='red')plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],c='blue')plt.show()输出结果：。
支持向量机原理
支持向量机原理支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。
支持向量机的学习策略是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划问题。
SVM是一种分类算法，它的基本原理是找到一个超平面，将不同类别的数据分隔开来，使得两个类别的数据点到超平面的距离最大化。
支持向量机的原理主要包括间隔、支持向量、对偶问题和核函数等几个方面。
首先，我们来看支持向量机的间隔。
在支持向量机中，间隔是指两个异类样本最近的距离，而支持向量机的目标就是要找到一个超平面，使得所有样本点到这个超平面的距离最大化。
这个距离就是间隔，而支持向量机的学习策略就是要最大化这个间隔。
其次，支持向量机的支持向量。
支持向量是指离超平面最近的那些点，它们对超平面的位置有影响。
支持向量决定了最终的超平面的位置，而其他的点对超平面的位置没有影响。
因此，支持向量是支持向量机模型的关键。
然后，我们来看支持向量机的对偶问题。
支持向量机的原始问题是一个凸二次规划问题，可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面。
通过对偶问题，我们可以得到支持向量的系数，从而得到最终的分类超平面。
最后，我们来看支持向量机的核函数。
在实际应用中，很多时候样本不是线性可分的，这时就需要用到核函数。
核函数可以将原始特征空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个高维特征空间中线性可分。
常用的核函数有线性核、多项式核和高斯核等。
综上所述，支持向量机是一种非常强大的分类算法，它通过最大化间隔来得到最优的分类超平面，支持向量决定了最终的超平面的位置，对偶问题可以通过求解对偶问题来得到最终的分类超平面，而核函数可以处理非线性可分的情况。
支持向量机在实际应用中有着广泛的应用，是一种非常重要的机器学习算法。
希望本文对支持向量机的原理有所帮助，让读者对支持向量机有更深入的理解。
支持向量机作为一种经典的机器学习算法，有着重要的理论意义和实际应用价值。
支持向量机回归算法
支持向量机回归算法一、概述支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种基于拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier）的最优化算法，它的主要用途是便携式机器学习。
SVM是一种二类分类的形式，通过构建支持向量来实现分类，它最终的目的是找到一条最佳的分类边界，从而使分类准确率最高。
SVM具有优越的特点，它能够自动做出对高维数据的建模，将复杂的高维数据映射到低维特征空间中，并在该空间中形成最佳分类边界，从而较好地拟合数据。
SVM利用结构风险最小化（Structure Risk Minimization，SRM）算法，它对异常数据有较好的抗干扰能力，从而可以获得比传统算法更好的准确率和稳定性。
二、支持向量机回归算法支持向量机回归算法（Support Vector Machine Regression，SVR）是一种基于支持向量机（SVM）的回归算法，它利用SVM模型和核函数来拟合定量数据。
它和传统的线性回归不同，它基于SRM算法，而不是最小均方差的算法。
支持向量机回归算法的工作原理如下：1、首先，根据给定的定量数据，建立关于支持向量机的模型，使其最大化拟合该定量数据；2、然后，根据给定的核函数对支持向量机模型进行参数优化，以获得最佳拟合曲线；3、最后，对拟合曲线的残差进行分析，从而估计出模型中的参数值。
支持向量机回归算法与常规线性回归不同，它能够从高维度数据中抽取有用的信息，从而有效地拟合数据，使其趋于稳定，而且不会受到异常值影响较大。
三、优点1、支持向量机回归具有优越的特点：（1）利用结构风险最小化（SRM）算法，对异常数据有较强的抗干扰能力；（2）自动做出对高维数据的建模，将复杂的高维数据映射到低维特征空间中，并形成最佳分类边界，从而较好地拟合数据；（3）能够反映较多定量数据的相关性；（4）运算简便，速度快，具有较强的收敛性；（5）能够有效地提高预测的准确率。
什么是支持向量机算法？
什么是支持向量机算法？在处理机器学习问题时，选择不同的算法能够对结果产生很大的影响。
其中，支持向量机（Support Vector Machine，SVM）算法是一种非常常用的算法，特别适用于处理分类问题。
为什么SVM能够成为如此优秀的算法呢？本文将从以下几个方面进行深入解析。
一、SVM的思想SVM的基本思想是在样本数据中找到一个最优的超平面，将数据分割成不同的类别。
这个最优超平面能够使得不同类别样本之间的距离最大化，从而达到最好的分类效果。
如果数据不能够简单使用线性超平面分割，SVM还可以使用核函数把数据映射到新的特征空间中，从而实现非线性分割。
这个过程更加复杂，但同样有效。
二、SVM的优点相比于其他分类器，SVM具有以下几个优点：1. 在高维度空间中处理高维度数据时具有非常高的准确率。
2. 对于小数据集来说，SVM的分类效果是非常好的。
3. 可以通过使用核函数实现非线性分类，对于处理复杂数据时比较有效。
4. 鲁棒性非常好，对于处理异常数据和噪音数据具有较好的鲁棒性。
5. SVM是一个非常灵活的算法，可以根据具体问题的不同使用不同的核函数，比较适合处理各种类型的问题。
三、SVM在实际应用中的应用场景SVM算法在实际生产中被广泛应用于以下场景：1. 人脸识别2. 垃圾邮件过滤3. 电影评论情感分析4. 生物信息学5. 内网攻击检测总结综上所述，SVM算法在处理分类问题时的优势明显，尤其是在复杂数据处理时具有明显优势。
同时，SVM的可定制性也是其他算法很难比拟的。
随着技术的不断进步，SVM算法也将继续发挥更大的价值，在更多的领域中被广泛应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
支持向量机算法
[摘要] 本文介绍统计学习理论中最年轻的分支——支持向量机的算法，主要有：以SVM－light为代表的块算法、分解算法和在线训练法，比较了各自的优缺点，并介绍了其它几种算法及多类分类算法。
[关键词] 块算法分解算法在线训练法
Colin Campbell对SVM的训练算法作了一个综述，主要介绍了以SVM为代表的分解算法、Platt的SMO和Kerrthi的近邻算法，但没有详细介绍各算法的特点，并且没有包括算法的最新进展。
以下对各种算法的特点进行详细介绍，并介绍几种新的SVM算法，如张学工的CSVM，Scholkopf的v-SVM分类器，J. A. K. Suykens 提出的最小二乘法支持向量机LSSVM，Mint-H suan Yang提出的训练支持向量机的几何方法，SOR以及多类时的SVM算法。
块算法最早是由Boser等人提出来的，它的出发点是：删除矩阵中对应于Lagrange乘数为零的行和列不会对最终结果产生影响。
对于给定的训练样本集，如果其中的支持向量是已知的，寻优算法就可以排除非支持向量，只需对支持向量计算权值（即Lagrange乘数）即可。
但是，在训练过程结束以前支持向量是未知的，因此，块算法的目标就是通过某种迭代逐步排除非支持向时。
具体的做法是，在算法的每一步中块算法解决一个包含下列样本的二次规划子问题：即上一步中剩下的具有非零Lagrange乘数的样本，以及M个不满足Kohn-Tucker条件的最差的样本；如果在某一步中，不满足Kohn-Tucker条件的样本数不足M 个，则这些样本全部加入到新的二次规划问题中。
每个二次规划子问题都采用上一个二次规划子问题的结果作为初始值。
在最后一步时，所有非零Lagrange乘数都被找到，因此，最后一步解决了初始的大型二次规划问题。
块算法将矩阵的规模从训练样本数的平方减少到具有非零Lagrange乘数的样本数的平方，大减少了训练过程对存储的要求，对于一般的问题这种算法可以满足对训练速度的要求。
对于训练样本数很大或支持向量数很大的问题，块算法仍然无法将矩阵放入内存中。
Osuna针对SVM训练速度慢及时间空间复杂度大的问题，提出了分解算法，并将之应用于人脸检测中，主要思想是将训练样本分为工作集B的非工作集N，B中的样本数为q个，q远小于总样本个数，每次只针对工作集B中的q个样本训练，而固定N中的训练样本，算法的要点有三：1）应用有约束条件下二次规划极值点存大的最优条件KTT条件，推出本问题的约束条件，这也是终止条件。
2）工作集中训练样本的选择算法，应能保证分解算法能快速收敛，且计算费用最少。
3）分解算法收敛的理论证明，Osuna等证明了一个定理：如果存在不满足Kohn-Tucker条件的样本，那么在把它加入到上一个子问题的集合中后，重新优化这个子问题，则可行点（Feasible Point）依然满足约束条件，且性能严格地改进。
因此，如果每一步至少加入一个不满足Kohn-Tucker条件的样本，一系列铁二次子问题可保证最后单调收敛。
Chang，C.-C.证明Osuna的证明不严密，并详尽地分析了分解算法的收敛过程及速度，该算法的关键在于选择一种最优的工
作集选择算法，Osuna的工作集的选择算法也并不是最优的，但是Osuna的这一工作应该说是开创性的，并为后来的研究奠定了基础。
在分解算法基础上，微软研究院的John C. Platt 等人提出并且改进了SMO （SequentialMinimal Optimization）算法。
这种算法将工作样本集的规模减到了最小——两个样本。
之所以需要两个样本是因为等式线性约束的存大使得同时至少有两个变量，而且应用等式约束可以将其中一个变量用另一个变量线性表示出来，所以迭代过程中每一步的子问题的最优解可以直接用解析的方法求出来，无需使用数值分析中的二次规划软件包，提高了子问题的运算速度；此外Platt还设计了一个两层嵌循环分别选择进入工作样本集的两个样本，外层循环选择第一个样本，内层循环选择第二个样本。
外层循环首先在整个样本空间循环一遍，决定哪些样本违反了Kohn-Tucker条件。
如果找到了不满足Kohn-Tucker条件的样本，它即被选作进入工作集的第一个样本。
然后根据第二个启发式规则选择第二个样本。
最后用解析的方法快速对选定的样本进行优化。
为了加快算法的运行速度，外层循环不总是每次检查所有训练样本。
每次在所有样本上循环一遍以后，外层循环只在Lagrange乘数大于零和小于C的样本上进行循环，直到所有Lagrange乘数大于零和小于C的样本都满足了最优化所应该满足的Kohn-Tucker 条件，然后再在整个样本空间循环一遍。
这样，外层循环是交替地在整个样本空间和Lagrange乘数大于零且小于C的样本上循环。
内层循环选择第二个进入工作集的样本，选择的原则是使目标函数靠近最优点的速度达到最快。
这种启发式的样本选择策略大大加快了算法的收敛速度。
标准样本集的实验结果证明，SMO 表现出在速度方面的良好性能。
SMO方法可以看作是分解算法的一个特例，它将子问题了规模减少到了最小。
子问题的规模和迭代的次数是一对矛盾，SMO将工作样本集的规模减少到两个样本，一个直接的后果就是迭代次数的增加。
所以SMO实际上是将求解子问题的耗费转嫁到迭代上，然后在迭代上寻求快速算法。
Chih-Wei Hsu 和Chih-Jen Lin综合S. S .Keerthi中的修改过的SMO和SVM light中的工作集进行选择算法，用C++实现一个库LBSVM，可以说是使用最方便的SVM训练工具LBSVM供用户选择的参数少，用训练特大训练集时，还是使用灵活的SVM或SMO。
第二类是序贯分类法，基本思想是考虑训练样本序贯加入，同时考虑其对支持向量有何影响，基于感知机中的Adatrom算法，对Lagrange系数和支持向量机中特点是训练样本序贯进入，Lagrang系数的改变采用梯度法。
第三类是在线训练，即支持向量机的训练是在训练样本单个输入的情况下训练，和序贯分类法的区别是训练样本的总的个数是未知的，最典型的应用是系统的在线辨识，其中提出了SVM增量训练，但只是近似的增量，即每次只选一小批常规二次规划算法能处理的训练样本，然后只保留支持向量，抛弃非支持变量，和新进的样本混合进行训练，直到训练样本用完，经实验表明误差可以接受，提出了在线训练的精确解，即增加一个训练样本或减少一个样本对Lagrange系数和支持向量机的影响，实验表明算法是有效的，特别是减少一个样本时，对模型选择算法LOO(Leave one out)的形象解释，缺点是当样本无限增多时，还是必须
抛弃一些样本，使其能够实用。
此外还有许多其它算法，如：张学工提出了CSVM算法，将每类训练样本集进行聚类分成若干子集，用子集中心组成新的训练样本集训练SVM，将子集中心的系数赋给子集中每个样本，考察每个子集的每个样本的系数的改变对目标函数的影响，若一个子集所有样本对目标函数的影响都一样（改良与否）不同，则进一步划分，只到没有新的拆分为止，优点是提高了算法速度，同时减少训练数据中的数值对分类结果的影响，缺点是牺牲了解的稀疏性。
S. S .Keerthi等提出了修改了的算法——NPA最近点算法，其基本思想是将SVM原问题的惩罚由线性累加改为二次累加，从而使优化问题转化为两个凸集间的最大间隔，缺点是只能用于分类问题，不适用于函数估计问题。