2 奇函数与偶函数的傅里叶级数解析
奇函数与偶函数的傅立叶级数解读
第二章 第二節 奇函數與偶函數的傅立葉級數定義1. (1)若()()f t f t -=，則f 為偶函數(2)若()()f t f t -=-，則f 為奇函數例題1. 請判斷下列各函數為奇函數或偶函數(1)()f t t = (2)2()3f t t =+ (3)2()f t t t =+Sol ：(1)()()f t t f t -=-=-∴()f t 為奇函數 (2)22()()33()f t t t f t -=-+=+=∴()f t 為偶函數 (3)22()()f t t t t t -=-+-=-+∴()f t 不是偶函數也不是奇函數◎(1)奇函數的圖形對稱於原點(2)偶函數的圖形對稱於y 軸定理1. (1)若f 為偶函數，則()2()lllf t dt f t dt -=⎰⎰(2)若f 為奇函數，則()0llf t d t -=⎰定義2. (奇函數的傅立葉級數)若週期函數f 為奇函數，則f 的傅立葉級數(又稱為傅立葉正弦級數)為1()s i n nn n t f t b l π∞==∑ 其中 02()s i n l n n tb f t dt l lπ=⎰定義3. (偶函數的傅立葉級數)若週期函數f 為偶函數，則f 的傅立葉級數(又稱為傅立葉餘弦級數)為011()c o s 2n n n tf t a a l π∞==+∑其中 002()la f t dt l =⎰02()c o s l n n ta f t dt l lπ=⎰例題2. 將函數3,50()3,05t f t t --<<⎧=⎨<<⎩展開成傅立葉級數Sol ：()f t 為奇函數00,0n a a ⇒==02()s i n l n n t b f t dt l l π=⎰55002653s i n (c o s )5555n t n tdt n πππ-==⎰ 6(c o s 1)n n ππ-=-12,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴()f t 的傅立葉(正弦)級數為 121315(s i n s i n s i n )53555t t t ππππ+++例題3. 將函數()f t t = (t ππ-≤≤) 展開成傅立葉級數Sol ：()f t 為偶函數0n b ⇒=200222()2t a f t dt tdt ππππππ===⨯⎰⎰21(0)πππ=-=n a =2π()c o s f t n t dt π⎰2c o s t n td t ππ=⎰(利用分部積分法)00211s i n s i n t n t n t d t n n πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 02211(s i n 0)c o s n t nnππππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2210(cos 1)n n ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦20,2,4,6,4,1,3,5,n n n π=⎧⎪=⎨-=⎪⎩∴()f t 的傅立葉(餘弦)級數為 224cos3cos5(cos )235t tt t ππ=-+++◎底下的兩個例題是將原來並非奇、偶函數的函數經過平移後，變成奇、偶函數，再求解的例子例題4. 試求週期為2π之週期函數()f t 的傅立葉級數,0(),0t f t t πππ-<<⎧=⎨<<⎩Sol ：上面第一個圖形為函數()f t 的圖形，其既不是偶函數也不是奇函數，但如果將f 平移，即令1()()2f t f t π=-得1f 的圖形如上面第二個圖形⇒1f 為一奇函數1()f t ∴的傅立葉級數為11()sin n n f t b nt ∞==∑1022()sin ()sin 2n b f t n dt n dt ππππππππ==-⎰⎰02s i n 2n d t ππππ=⎰011cos (cos 1)nt n n nππ--==- 0,2,4,6,2,1,3,5,n n n=⎧⎪=⎨=⎪⎩∴11()s i n n n f t b nt ∞==∑=sin3sin52(sin )35t tt +++故1()()2f t f t π=+=2π+sin3sin52(sin )35t tt +++。
余弦级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
奇延拓与偶延拓： 设函数f(x)定义在区间[0，π]上并且满足收敛定理的条件，我 们在开区间(−π，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(−π，π]上 的函数F(x)，使它在(−π，π)上成为奇函数(偶函数)．按这种方式 拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)．限制在(0，π]上， 有F(x) = f(x)．
π
0
π
0
2 π + 2 π ⋅ n , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , = − 2 , n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ . n 函数的正弦级数展开式为 2 π 1 π x+1 = [(π+2)sin x− sin 2π+ (π+2)sin 3− sin 4π+ · · · ] π 3 2 4 (0<x<π)． 在端点x=0及x=π处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f(x) 的值．
2
π
π
0
π
0
=
2
π
[−
x sin nx cos nx sin nx π + − ]0 2 n n n
0, n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ , 2 = 2 (cos nπ − 1) = 4 nπ − n 2π , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ .
函数的余弦级数展开式为 π 4 1 1 x+1= +1 − (cos x+ 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + · · · ) (0≤ x ≤π)． π 2 3 5
例2 将周期函数
1 u(t) =E | sin t | 2
展开成傅里叶级数，其中E是正的常数． 解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续， 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)． 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bn =0(n=1, 2, · · ·)，而 4E 4E 2 π (n=0, 1, 2, · · ·)． =− an = ∫ f(t)cos ntdt 2 (4n − 1)π π 0 u(t)的傅里叶级数展开式为 4E 1 1 1 1 u(t) = t− cos 2t− cos 3t− ( − cos π 2 3 15 35 1 cos nt− · · ·) (−∞<t<+∞)． − 2 4n − 1
奇函数与偶函数的傅里叶级数解读
3
.
由于 f ( x)在 (0, 上连续,且延拓的函数在 x = 0，
处连续， 因此
x2
2
1
1
x cos x cos 2x cos 3x
4
6
4
9
(0≤ x ≤ ) .
例6
试将函数
f (x)
x x
,
,
0≤ x ≤
x
2
≤
22
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后 的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期 的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
bn sinnx .
n1
此时傅氏系数
an 0 (n 0 , 1 , 2, ) .
bn
2
f ( x)sinnxdx
0
(n 1 , 2 , 3 , ) .
这 是 因 为an
1
f ( x)cos nxdx 中 cos nx是 偶
函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
2
(n 1 , 2, )
( x)cos nxdx
2
0
(12.6.8)
f ( x)cos nxdx
0
(n 1,2, )
例 5 试将函数 f ( x) x2 x 在区间[0, 42
上展开成余弦级数
傅里叶级数展开
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。
傅里叶级数展开在信号处理、图像处理、物理学等领域中有广泛应用，并且被认为是研究周期现象的基础工具之一。
1. 傅里叶级数展开的基本原理傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解为正弦函数和余弦函数的叠加。
根据傅里叶级数的表达式，一个周期函数可以表示为无限多个正弦和余弦函数的和，即：f(x) = a0 + Σ(An * cos(nωx) + Bn * sin(nωx))其中，a0表示直流分量，An和Bn表示函数f(x)中的谐波系数，ω为频率，n为谐波阶数。
由此可知，通过傅里叶级数展开，一个周期函数可以分解为不同频率的谐波信号的叠加。
2. 傅里叶级数的计算公式根据给定周期函数的表达式，我们可以通过一系列复杂的积分计算，求得傅里叶级数展开的各个系数。
对于奇函数和偶函数，傅里叶级数的计算公式有所不同。
- 对于奇函数f(x)，即满足 f(-x) = -f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (1/π) * ∫[0, π] f(x) * sin(nωx) d x- 对于偶函数f(x)，即满足 f(-x) = f(x) 的函数，傅里叶级数展开的计算公式为：fn = (2/π) * ∫[0, π] f(x) * cos(nωx) dx在实际计算中，为了减小计算量，通常只考虑有限个谐波分量，而不是无限个。
通过计算傅里叶级数展开的前几个系数，就可以对周期函数进行较好的逼近。
3. 傅里叶级数的应用傅里叶级数展开在信号处理中有重要的应用。
通过傅里叶级数展开，可以将任意信号分解为基本频率的叠加，从而分析信号的频谱特性。
这对于音频信号的处理、图像处理、振动分析等方面非常重要。
此外，傅里叶级数展开还广泛应用于物理学领域，特别是波动现象的研究中。
通过将波动的形态分解为不同频率的谐波信号的叠加，可以更好地理解和描述波动现象。
奇函数与偶函数的傅里叶级数-精品文档
2 2 a f ( x ) d x ( x ) d x , 0 0 0
b 0( n 1 , 2 , 3 , ) . n
又因为 f(x) 处处连续 ， 故所求的傅里叶级数收敛
于 f(x)， 即
4 1 1 f ( x ) (cos x 2cos 3 x 2cos 5 x ) 2 3 5 ( x ) .
0
0
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ). 周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系 数公式为
(12 .6.8) b 0 ( n 1 , 2 , ) n 2 2 a ( x ) cos nx d x f ( x ) cos nx d x n 0 0
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以 1 a f ( x )cos nx d x 0 ( n 0 , 1 , 2 , ) . n 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2 b f ( x ) sin nx d x( n 1 , 2 , 3 , ) . n 0
2 a ( x )cos nx d x n f 0
2 ( x )cos nx d x 0 2 x 2 [ si nx ] n si nx n d x ( n 0 ) 0 0 n n
4 1 ,3 ,5 , , 2 2 , n n 2 [ 1 ( 1 )] n n 2 , 4 , 6 , . 0 , n
( n 1,2, )
上 展开 成 余弦 级 数
x x 数 ( x ) 在区 [ 0 , 间 例 5 试将函 f 4 2
奇偶函数的傅里叶级数
奇偶函数的傅里叶级数傅里叶级数是描述周期函数的基础性理论。
周期函数可以写成一个无穷级数的形式，这个级数是由正弦和余弦函数组成的，并且可以使用欧拉公式进行简化。
这个级数也可以被称为傅里叶级数，因为这个理论是由法国数学家傅里叶首先提出的。
奇偶函数是一个非常重要的概念，它可以简化傅里叶级数的表达式，并且常见于物理学中的研究。
一、奇偶函数的定义奇偶函数分别指函数在-x和x处取值的相反数相等的函数。
如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)是奇函数。
如果f(-x)=f(x)，那么f(x)是偶函数。
奇偶函数的图像常常具有对称性，这也是我们在二维平面坐标系中很容易将其识别出来的原因之一。
二、奇偶函数的傅里叶级数对于奇函数，傅里叶级数可以被简化成正弦级数，如下所示：$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}b_nsin(\frac{n\pi x}{L})$$其中，b_n可以通过以下公式计算得到：$$b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)sin(\frac{n\pi x}{L})dx$$对于偶函数，傅里叶级数可以被简化成余弦级数，如下所示：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_ncos(\frac{n\pi x}{L})$$其中，a_n可以通过以下公式计算得到：$$a_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)cos(\frac{n\pi x}{L})dx$$三、奇偶函数的性质奇偶函数有一些非常有用的性质，这些性质可以被用来简化许多的复杂计算。
1. 偶函数与偶函数的积是偶函数，奇函数与奇函数的积是偶函数。
证明：设f(x)和g(x)分别是偶函数和偶函数，那么：$$f(-x) = f(x) \\g(-x) = g(x)$$因为偶函数在-x和x处的取值都相等，所以(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x)，所以fg(x)是偶函数。
以2l为周期的函数的傅里叶级数
x
F ( x)的图象.
S( x)的图象.
8
需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅里叶级数;
b.在[0, ]上,展成周期为2的傅里叶级数唯一; c.在[ , ]上连续且只有有限极值点时，
级数收敛于f ( x).
9
6.4.4 以2l为周期的函数的傅里叶级数
分析：令t x ,
an
2
f ( x)cosnxdx(n 0,1,2,3,) ，
0
②
bn 0(n1,2,) .
1
定理说明：
若 f (x) 为奇函数，则
f ( x) ～ bnsinnx ， 是正弦级数。
n1
若 f (x) 为偶函数，则
f
(
x
)
～
a 2
an
n1
cosnx
，是余弦级数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
0
f
(
x
)s innx dx
2
0 (
x 1)s innxdx
2[ xcosnx sinnx cosnx ] 2 [1(1)n (1)n ]
n
n2
n 0 n
2
2 , 2k 1 1,
n2k 1, (k
n2k.
1,
2,
)
k
5
∴
x
1
2 [(
2)sinx
s
in2
x
1
(
2)sin3
x
sin4
2 2 n1(2n1)2
18
练习1. 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
傅里叶级数和函数
傅里叶级数和函数傅里叶级数和函数是数学中重要的概念，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍傅里叶级数和函数的概念、性质、应用，并给出相关实例，以帮助读者更加深入理解。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数指的是将一个周期函数表示为一系列正弦余弦函数的线性组合。
具体而言，设f(x)为定义在区间[-L,L]上的周期函数，则其傅里叶级数为：f(x) = a0/2 + ∑[an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L)]其中，a0,a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为一系列常数，又称为傅里叶系数，多项式∑成为称为傅里叶级数。
二、傅里叶函数的概念傅里叶函数指的是由傅里叶级数展开得到的一系列正弦余弦函数。
具体而言，傅里叶函数包括正弦函数、余弦函数、复指数函数等。
三、傅里叶级数和函数的性质傅里叶级数和函数具有以下性质：1. 傅里叶级数是周期为2L的函数。
2. 傅里叶级数及其导数在周期内可积。
3. 傅里叶级数对应的傅里叶函数构成一组完备正交基。
4. 对于周期函数f(x)，其傅里叶级数和函数的系数可以使用奇偶性、对称性、平移性等方式求得。
四、傅里叶级数和函数的应用傅里叶级数和函数在物理、工程、计算机科学等领域有广泛应用，例如：1. 信号分析和处理：傅里叶级数可以将不同频率的信号进行分解，而傅里叶函数可用于频域滤波和信号重构。
2. 图像处理和压缩：傅里叶变换可将图片分解为不同频率的正弦余弦函数，从而实现图片压缩和去噪等操作。
3. 物理学中的波动和振动：声波、电磁波、机械波等可以被表示为傅里叶级数和函数的组合。
五、实例以信号处理为例，假设有一个周期为T的方波信号，其傅里叶级数为：f(x) = 4/π * ∑[1/(2n-1)*sin(2π(2n-1)x/T)]则该信号的傅里叶级数系数为an = 4/(π(2n-1))，bn = 0。
其对应的傅里叶函数为：f(x) = 4/π * [sin(2πx/T) + 1/3*sin(6πx/T) +1/5*sin(10πx/T) + ...]通过傅里叶级数可以得到该方波信号的频域表示，即不同频率正弦函数在信号中的占比，从而可以用于滤波、降噪等信号处理操作。
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1 an f ( x )cos nxdx 0 (n 0 , 1 , 2,) . 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2 bn f ( x ) sinnxdx (n 1 , 2 , 3 ,) . 0 同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其 展开式为余弦级数， 即
我们设想有一 设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为
周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果
(x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
O
2
3 x
周期奇延拓
将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数， 然后再延拓为以 2 为周期的函数， 这种延拓称为 周期偶延拓.
y
2
O
2
3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 (12.6.7) ( n 0 , 1 , 2, ) . a n 0 2 2 bn ( x ) sin nxdx f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) 0 0
x2 2 1 1 x cos x cos 2 x cos 3 x 4 6 4 9
(0≤ x ≤ ) .
例6
, 0≤ x ≤ x 试将函数 f ( x ) x , x ≤ 2 2
按公式(12.6.7)
2
试将其展开成傅里叶级数 . 解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
x
因此我们应 由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，
根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
2 an f ( x )cos nxdx 0 2 ( x )cos nxdx 0 2 x 2 [ sinnx ]0 sinnx dx (n 0) n n 0
8.4 正弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为
正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内
那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即 是奇函数，
b
n 1
n
sinnx .
此时傅氏系数
an 0
2 bn
(n 0 , 1 , 2,) .
(n 1 , 2 , 3 ,) .
0
f ( x ) sinnxdx
1 这是因为 an f ( x )cos nxdx 中 cos nx是 偶 函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
(x) 称为f(x) 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后
的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期
的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
x x 在 区 间[0, 例 5 试将函 数 f ( x ) 4 2 上展开成余弦级数
2
解
按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，
2 x2 an ( x )cos nxdx 0 4
2 x2 [( x ) sinnx]0 n 4
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ). 周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系 数公式为
bn 0 2 an
( n 1 , 2,)
(12.6.8)
2 ( x ) cos nxdx 0 ( n 1,2,)
0
f ( x ) cos nxdx
又因为 f(x) 处处连续 ， 故所求的傅里叶级数收敛
于 f(x)， 即
4 1 1 f ( x ) (cos x 2 cos 3 x 2 cos5 x ) 2 3 5 ( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
2 x 2 [( )cos nx ]0 n 2
1 1 3 [sin nx ]0 2 n n
2
( n 1 , 2, 3 , ) .
2
2 x a0 ( x )dx . 0 4 3
x = 0， 由于 f ( x )在 (0, 上连续 , 且延拓的函数在 处连续， 因此
a0 an cosnx. 2 n 1 此时傅里叶系数为
2 an f ( x )cos nxdx( n 0 , 1 , 2,) . 0 bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) . (12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表 达式
x , ≤ x 0 , f ( x) 0≤ x . x ,
4 2 2 , n 1 , 3 , 5 ,, n 2 [1 ( 1) ] n n 0 , n 2 , 4 , 6 ,.
2 2 a0 f ( x ) dx ( x ) dx , 0 0
bn 0
(n 1 , 2, 3 ,) .