专题课件：数形结合思想

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倒数,而k∈(-∞,-3]∪[3,+∞),
1 1 1 所以 ,0 0, . k 3 3 1 1 综上所述，u , 3 3 答案 B
题型一
代数问题“几何化”——以形助数
【例1】 求函数A
m 10 6 m的值域.
y=|logax|的图象，则图象有两个交点.
3 1 2.设数集M={x|m≤x≤m+ }，数集N={x|n- ≤x≤ 4 3 n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把
b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N 的长度的最小值为
1 A. 3
2 B. 3
（
1 C.12
）
3 解析 由题意知.集合M的“长度”为 4 ，集合N 1 的“长度”为 3 ，而集合{x|0≤x≤1}的“长度” 3 1 a , b 为1；设线段AB=1， ，a，b可在线段 4 3 AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N.
解 由题意令x m 10 , y 6 m, 所以x2+y2=
16(0≤x≤4,0≤y≤4),其图象
如右图所示，原式A=x+y其几何 意义是直线在坐标轴上的截距，
则
y=-x+A
结合图象可知 ，A 4， 4 2.
【探究拓展】在解答此类问题时，主要是通过对
“数”的形式进行观察、分析，把“数”转成 图形，再借助其几何意义，通过“换元”使问 题得以顺利解答.
4.向量运算的有关问题. 5.圆锥曲线及其相关元素的图形特征与定义间的
内在联系.
6.数学概念及数学表达式间的几何意义的应用. 7.解析几何与立体几何问题中的数形结合.
1.已知0＜a＜1,则方程a|x|=|logax|的实数根的 个数为 （B ）
A.1个
解析
B.2个
C.3个
D.1个或2个或3个
在同一坐标系下，画出函数y=a|x|，
1 B. 1 ， 3 3
1 1 D. 3 ， 2
取值范围是
3 A. 3，
1 1 C. 2 ，3
)
解析 由题意在坐标系下画出|x|+|y|≤1
的图象如右图阴影部分，
①若x=0时，|y|≤1,此时u=0; x u ②若x≠0时，变量 可看成点A y 3 (0，3)与可行域内的点B连线斜率k的
点到直线l的距离最小，只需抛物线在 点M处的切线与直线l平行即可,因为直 4 线l的斜率为 ,抛物线的导数为y′=2x, 3
4 2 4 令2 x , 则x , 此时y , 3 3 9 2 4 | 4 3 8 | 2 4 4 3 9 所以M ( , ), d min . 2 2 3 9 3 4 3


变式训练1
A的取值范围为 _______ .
[3， 3]
已知实数A 2m 1 10 2m, 则实数
解析令 2m 1 x 0, 10 2m y 0
则x2+y2=9,(x≥0,y≥0)，又A=x-y, 所以A的几何意义是直线在 x轴上的截距，其图形如图， 则A∈［ 3, 3 ］.
点且过点（1，1），反比例函数y=f2(x)的图象 与直线y=x的两个交点间距离为8，f（x）=f1（x） +f 2 （x）. （1）求函数f(x)的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三
个实数解. （1）解 由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, k ∴f1（x）=x2.设 f ( x) (k＞0)，它的图象与直线 x y=x的交点分别为 A( k , k ), B( k , k )
二、高考要求
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数形结合思想在高考中占有非常重要的地位， 其 “数” 与 “形” 结合， 相互渗透， 把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结 合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机 结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论 之间的内在联系， 既分析其代数意义又揭示其几何意义， 将数量关 系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运 用这一数学思想， 要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲 线的代数特征 三、教学目的 ① 培养学生对形的认识能力、观察能力；让学生理解数形结 合在解题中体现出的重要作用； ② 培养学生由数到形、由形到数的分析、联想、转化能力；让 学生理解形、数之间的紧密联系，培养数形结合的意识； ③ 培养学生在知识网络内广泛联系、灵活运用的能力。
由|AB|=8，得k=8,∴f ( x)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
的图象在第三象限有一个交点， 即f(பைடு நூலகம்)=f(a)有一个负数解.
8 又∵f2（2）=4，f3（2）= a 4， a
2
当a＞3时，f3(2)-f2
a ∴当a＞3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点
8 2 (2)=a +
-8>0,
题型二
几何问题“代数化”——以数助形
【例2】设M是抛物线y=x2上的一点，若点M到直
线l:4x-3y-8=0的距离d最小，求点M的坐标及 距离d的最小值. 解 方法一 设点M（m,m2）,
2 2 2 2
| 4m 3m 8 | 1 由题意可知d | 3m 4m 8 | 4 3 5 1 2 20 | 3(m ) | . 5 3 3 2 2 4 4 即当m 时， 满足条件， 所以M ( , ), d . 3 3 9 3 方法二 设过点M平行于直线l与抛物线相切的
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3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解 决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合 的重点是研究“以形助数” 。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和 解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数 和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解 题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过 程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种 思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维 视野。
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数形结合思想
1.集合及其运算. 2.函数图象解决问题.
3.三角函数图象及其应用.
5 D.12
如图，显然当a，b各自靠近
AB两端时，重叠部分最短,其值为 1
3 4 1 3
1 12
.
答案 C 3.若奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数，又f(-3) =0， 则{x|x·f(x)＜0}等于 A.{x|x＞3或-3＜x＜0} B.{x|0＜x＜3或x＜-3} C.{x|x＞3或x＞-3} D.{x|0＜x＜3或-3＜x＜0} （ ）
解析
由f(x)为奇函数且f(-3)=0，得f(3)=0.
又f(x)在（0,+∞)上是增函数，据上条件做出满足 题意的y=f(x)草图，
如图，如右图中找出f(x)与x异号 的部分，可以看出x·f(x)＜0的解 集为{x|0＜x＜3或-3＜x＜0}. 答案 D
x 4. 当x, y满足条件| x | | y | 1时， 变量u 的 y 3 (
2 4 a a 32a 由a＞3,Δ =a4+32a>0,得 x , 2a
ax
a 2 a 4 32a a 2 a 4 32a x2 , x3 , 2a 2a ∵a＞3,∴x1≠x2,若x1=x3,
则3a2= a 32a ,a4=4a,
一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结 合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结 合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转 化来解决数学问题的一种重要思想方法。 数形结合思想通过 “以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具 体化能够变抽象思维为形象思维， 有助于把握数学问题的本 质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴 上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方 程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来 的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结 构含有明显的几何意义。如等式( x 2)2 ( y 1)2 4
(2,f3(2))在f2(x)图象的上方. ∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点， 即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此，在a＞3时，方程f(x)=f(a)有三个实数解. 8 2 8 2 方法二 由f(x)=f(a),得 x a , x a 8 , 即( x a)( x a ) 0 得方程的一个解 x1 =a. ax 8 方程 x a 0 化为ax2+a2x-8=0,