高考数学(理)二轮配套训练【专题9】(2)数形结合思想(含答案)
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题九第2讲数形结合思想课件文
+
������ 2 2
=1
D.������52 + ������42|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得
第2讲 数形结合思想
1.(2019全国Ⅰ,文12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直
线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.������22+y2=1 C.������42 + ������32=1
B.������32
交点,
∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个
交点.
由图可知:当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点,
∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点,
由f(x)与g(x)的周期性可知:当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点.
如图,当y=k(x+2)与圆弧:(x-1)2+y2=1(0<x≤1)相切时,
d=
���|���32������+| 1=1⇒k2=18(k>0)⇒k=
2.
4
当 y=k(x+2)过点 A(-2,0)与 B(1,1)时,k=13.
∴13≤k< 42.
答案:
1 3
,
2 4
所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相 互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,通过“以形助数,以数 解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象 思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的 有机结合.它是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是 在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习 中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.
2019年高考苏教版(理科)数学练习题之数形结合思想(含答案及解析)
2019年高考苏教版（理科）数学练习题之数形结合思想典例1设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．分析根据点集M，N中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．解如图，集合M表示以O(0,0)为圆心，r1＝2a为半径的上半圆，集合N表示以O′(1，3)为圆心，r2＝a为半径的圆．∵M∩N≠∅，∴半圆O和圆O′有公共点．当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．∵OO′＝2，∴外切时，2a＋a＝2，a＝22＋1＝22－2.内切时，2a－a＝2，a＝22＋2.∴a的最大值为22＋2，a的最小值为22－2.点评本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．典例2 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则|c |的最大值为________．分析 建立坐标系，用轨迹法． 解析 设c ＝(x ，y )，则2a －c ＝(2－x,2－y )，3b －c ＝(－3－x,3－y )， 由(2a －c )·(3b －c )＝0，有 (2－x )(－3－x )＋(2－y )(3－y )＝0， 化简整理得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132， 即向量c 的坐标(x ，y )在以M ⎝⎛⎭⎫－12，52为圆心，r ＝132为半径的圆上． 从而求|c |的最大值，即圆⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y －522＝132上的点到坐标原点距离的最大值， 又坐标原点在此圆上，所以|c |的最大值为2r ＝26. 答案26点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．典例3 若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k 的取值范围．解 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －2＋2k －1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >12，k <23，k >14，即12<k <23，所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，23. 点评 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂． 从上面的例题可以看出数形结合思想解题思路如下：1．“形”中觅“数”．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合．2．“数”上构“形”．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法．3．用图形分析的方法解决问题，一方面要发挥图形的直观、形象地作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成． 跟踪演练1．(2017·江苏启东模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝________.答案1解析 由题意得T 4＝2π4ω＝5π12－π6⇒ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，|φ|<π2⇒φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为f ⎝⎛⎭⎫n π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n π3＋π6，周期为6，一个周期的和为零，所以∑n ＝12 017f ⎝⎛⎭⎫n π6＝f (1)＝sin π2＝1. 2．(2017·江苏宿迁中学月考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos πx |，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos πx |， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos πx ，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象如图所示，有5个交点．所以h (x )总共有6个零点．3．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有两个不同的实根α，β. (1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一 (1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)，所以原点到直线l 的距离小于半径1，即d ＝|0＋0＋a |r(32＋12)＝|a |2<1，所以－2<a <2. 又因为α，β∈(0,2π)，α≠β. 所以直线l 不过点(1,0)， 即3＋a ≠0，即a ≠－3， 即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠xOH ＝α＋β2，因为OH ⊥AB ， 所以k AB ·k OH ＝－1， 所以tan α＋β2＝33，因为α＋β2∈(0,2π)，所以α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－a2， 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象，由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知，当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于C ，D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3，当－2<a <－3，即－a 2∈⎝⎛⎭⎫32，1时，直线y ＝－a 2与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象交于A ，B 两点， 由对称性知α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3.综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x .(1)当a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数； (2)当a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为2.解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝g x ，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝x 3＋x 2－x －2x ≠1，令y ′＝3x 2＋2x －1＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，得到极值点分别在－1和13处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，故交点只有一个．即y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的公共点个数为1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f x ，y ＝gx ，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，即联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝hx ＝x 3＋x 2－xx ≠1，对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和13处，h (－1)＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－527， 画出草图如图．当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故当a ＝－527时恰有两个公共点．。
高三数学第二轮数形结合思想
1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于( D )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 2． f (x )＝ln x －1x的零点个数为(B )A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是(D )4．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图6所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( A )图65．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0x －y －8≤0x ＋2y －14≥0所表示的平面区域为M ，使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( C )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( B )A ． 2a －1B ．2－a －1 C ．1－2－a D ．1－2a7．如果关于x 的方程213ax x+=正实数解有且仅有一个，那么实数a 的取值范围为（B ）A ．{|0}a a ≤B ．{|02}a a a ≤=或C ．{|0}a a ≥D ．{|02}a a a ≥=-或8 已知函数)0()0()1(12)(>≤⎩⎨⎧--=-x x x f x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是AA.(－∞，1)B.(0,1)C.(－∞，1]D.[0，＋∞) 9.设定义域为R 的函数⎩⎨⎧-=12lg )(x x f )2()2(=≠x x ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++的值等于（ C ）A. 0B. 2lg 2C. 2lg 3D. 110.下列命题中的真命题是 ( B )A ．x ∃∈R ,使得 sin cos 1.5x x += B. (0,),1xx e x ∀∈+∞>+ C ．(,0),23x x x ∃∈-∞< D ．(0,),sin cos x x x π∀∈> 12、定义在R 上的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集是( D )A 、)0,21(B 、),2(+∞C 、),2()21,0(+∞ D 、),2()1,21(+∞13、已知2221x y +=，则2x y +的最大值是CA 、2B 、2C 、3D 、314.若点O 和点F 分别为椭圆x 2/4 +y 2/3 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则的最大值为C A.2 B.3 C.6 D.815.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是A A.[122-,122+] B.[12-,3] C.[-1,122+]D.[122-,3]16.已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为__)2,22⎡⎣_____，直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数_0____。
高考数学(理科,人教版)二轮专题整合突破复习课件专题九 第2讲 数形结合思想(共34张PPT)
可改写为 y+3=z(x+1),把 z 看作参数,则此方程表示过定点
P(-1,-3),斜率为 z 的直线系.
(1)所求问题的几何意义是:求过半圆域 x2+y2≤4(x≥0)内或边界 上任一点与点 P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值. 由图显见,过点 P 和点 A(0,2)的直线斜率最大,zmax= 过点 P 向半圆作切线,切线的斜率最小. 设切点为 B(a,b), 则过 B 点的切线方程为 ax+by=4. 又 B 在半圆周上,P 在切线上, ������ 2 + ������2 = 4, 则有 -������-3������ = 4. 又 a>0,解得 因此 zmin= ������ =
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方 程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围利用方程 解决几何问题,利用向量解决几何证明问题等.对这类内容的选择题、 填空题,数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是 研究“以形助数”,但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引 起重视,复习中应提高用数形结合思想解题的意识,画图不能太草,要 善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.
2 2 ������ + ������ ≤ 4,表示的 分析:此题可转化成过点(-1,-3)与不等式组 ������ ≥ 0 区域内的点的连线的斜率与距离,再利用数形结合求解.
解:由解析几何知识可知,所给的不等式组表示圆 x2+y2=4 的右 半圆域(含边界),
z=
������ +3 ������ +1
第 2 讲 数形结合思想
1.(2013·课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中 错误的是( C ) A.∃ x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f'(x0)=0
高考数学二轮专题升级训练 专题九 第2讲 数形结合思想
专题升级训练数形结合思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值为( )A. B. C. D.2.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为( )A.1B.3C.4D.123.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.2B.3C.D.4.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(4)的大小关系为( )A.f(-a2)≤f(4)B.f(-a2)<f(4)C.f(-a2)≥f(4)D.f(-a2)与f(4)的大小关系不确定5.设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )6.若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A. B.1 C. D.2二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.已知点A(-2,4),B(4,2),直线l过点P(0,-2)与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是.8.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆=1(a>b>0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为.9.函数f(θ)=的最大值为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,求实数m的取值范围.11.(本小题满分15分)已知A(1,1)为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点,求|PF1|+|PA|的最大值和最小值.12.(本小题满分16分)已知平面向量a=,b=,且存在实数x,y,使得m=a+(x2-3)b,n=-y a+x b且m⊥n.(1)求y=f(x)的关系式;(2)已知k∈R,讨论关于x的方程f(x)-k=0的实根个数.##一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.D解析:设k=,即y=kx,如图所示,k OB=tan∠O'OB=,k OA=-tan∠O'OA=-=-,且k OA≤k≤k OB,∴k max=.2.A解析:∵=1+,而表示点(x,y)与(-1,-1)连线的斜率,易知a>0,∴作出可行域如图所示,由题知的最小值是,即⇒a=1,选A.3.A解析:记抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),注意到直线l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,于是抛物线y2=4x上的动点P到直线l2的距离等于|PF|,问题即转化为求抛物线y2=4x上的动点P 到直线l1:4x-3y+6=0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值,结合图形,可知,该最小值等于焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即等于=2,故选A.4.A解析:∵f(x)=x3-x2-x,∴f'(x)=x2-2x-.由f'(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=.当x<-1时,f(x)为增函数;当-1<x<时,f(x)为减函数;当x>时,f(x)为增函数,计算可得f(-1)=f(4)=2,f(0)=0,又-a2≤0,由图象可知f(-a2)≤f(4).5.C解析:由a<b,y=(x-a)2(x-b)知x (-∞,a)a(a,b)b(b,+∞)y-0 -0 +故选C.6.B解析:由约束条件作出其可行域如图所示:由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图象与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:数形结合法.由k PA=-3,k PB=1,如图得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).8. 解析:设切点为A,B,如图所示,切线PA,PB互相垂直,又半径OA垂直于AP,所以△OPA为等腰直角三角形.可得a=,所以e=.9.1 解析:可以与两点连线的斜率联系起来,它实际上是点P(cosθ,sinθ)与点A(-,0)连线的斜率,而点P(cosθ,sinθ)在单位圆上移动,问题变为:求单位圆上的点与A(-,0)连线斜率的最大值.如图,显然,当P点移动到B点(此时,AB与圆相切)时,AP的斜率最大,最大值为tan∠BAO==1.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.解:法一:设方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根分别为x1,x2,由题意知由①②③解得-3<m<0.即实数m的取值范围是{m|-3<m<0}.解法二:设f(x)=(m+3)x2-4mx+2m-1.由题意知解得-3<m<0.即实数m的取值范围为{m|-3<m<0}.11.解:由=1可知a=3,b=,c=2,左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.如图,由||PA|-|PF2||≤|AF2|=,知-≤|PA|-|PF2|≤.当P在AF2的延长线上的P2处时,取右“=”;当P在AF2的反向延长线的P1处时,取左“=”,即|PA|-|PF2|的最大、最小值分别为,-.于是|PF1|+|PA|的最大值是6+,最小值是6-.12.解:(1)a·b=··=0,|a|=,|b|=1.因为m⊥n,所以m·n=0,即[a+(x2-3)b](-y a+x b)=0,化简整理得y=x3-x,即f(x)=x3-x.(2)方程f(x)-k=0实根个数由两函数y=f(x),y=k的图象交点个数确定.由f'(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知:f(x)在(-∞,-1)及(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,极大值f(-1)=,极小值f(1)=-.作y=f(x)和y=k的图象如图,知当k<-或k>时,两图象有一个交点,原方程有一个实根;当k=±时,原方程有两个实根; 当-<k<时,原方程有三个实根.。
2021年高考数学二轮复习 专题训练九 第2讲 数形结合思想 理
2021年高考数学二轮复习专题训练九第2讲数形结合思想理1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数． (8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (xx·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)2 2 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt△PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋－12)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(xx·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2(2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B. (2)可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以yx的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(xx·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(xx·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(xx·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(xx·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a 1－x有两组不同解x 1，x 2，消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a x －1有两组不同解x 3，x 4.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 x <－3，2x ＋2 －3≤x <1，4 x ≥1.画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(xx·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(xx·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB ＝12sin∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. 6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x<0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.31470 7AEE 竮 34149 8565 蕥23517 5BDD 寝.{ Iq31023 792F 礯'3423385B9 薹 23155 5A73 婳R。
《名师伴你行》2022高考数学(理)二轮复习检测：专项突破训练2数形结合思想 Word版含答案
专项突破训练(二)数形结合思想(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2021·东北三省四市联考)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝()A. [－1,0]B. [－1,2]C. [0,1]D. (－∞，1]∪[2，＋∞)答案：C解析：x2－2x≤0⇒0≤x≤2，∴B＝{x|0≤x≤2}．通过画数轴，可知A∩B＝[0,1]，故选C.2．(2021·福建福州质检)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A.－1 B．1 C．0 D．－2 014答案：C解析：由程序框图可知，第一次循环，S＝－1，n＝2；其次次循环，S＝0，n＝3；第三次循环，S＝－1，n＝4；第四次循环，S＝0，n＝5；……；当n＝2 015时是第2 014次循环，于是输出S＝0，故选C.3．(2021·贵州遵义联考)为了解某校今年新入学的高一某班同学的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知高一某班同学人数为48人，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则第2小组的人数为()A．16 B．14 C．12 D．11答案：C解析：设从左到右第1小组的频率为x，则由题意可得x＋2x＋3x＋(0.013＋0.037)×5＝1，∴x＝0.125，∴第2小组的人数为0.125×2×48＝12(人)．4.(2021·内蒙古呼和浩特模拟)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，x －y ≥0时，x －2y ＋m ≤0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，3]D ．(－∞，0]答案：D解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，不等式x －2y ＋m ≤0表示直线x －2y ＋m ＝0及其上方的部分．由⎩⎨⎧y ＝6－x ，x ＝3y －2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，所以4－2×2＋m ≤0，解得m ≤0.故选D.5．(2021·湖北七市联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图象，只需将f (x )的图象( )A.向左平移2π3个单位长度 B ．向左平移π3个单位长度 C ．向右平移2π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 答案：B解析：由图象，得A ＝3，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，则ω＝2ππ＝2；又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，则φ＝－2π3，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝3sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即把f (x )的图象向左平移π3个单位长度得g (x )的图象，故选B. 6．(2021·东北三校一模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，0≤y ≤4表示的点集记为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ≥x 2表示的点集记为B .在A 中任取一点P ，则P ∈B 的概率为( ) A.932 B.732 C.916 D.716 答案：A解析：如图，作出A ，B 所表示的平面区域，则S A ＝4×4＝16，S B ＝12×(1＋4)×3－⎠⎛-12x 2d x ＝⎪⎪⎪10－13x 32－1＝92，由几何概型知，P ∈B 的概率为9216＝932.故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．答案：(－13,13)解析：如图，圆x 2＋y 2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1.即|c |122＋52＜1，|c |＜13，∴－13＜c ＜13.8．(2021·重庆一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤1，f (x －1)＋2，x ＞1，则方程f (x )＝2x 在[0,2 015]内的根的个数是________．答案：2 016解析：画出y ＝f (x )与y ＝2x 的图象如图所示，由图象可得，方程f (x )＝2x 在[0,2 015]内的根分别是x ＝0,1,2,3，…，2 015，共2 016个．9．(2021·黑龙江哈尔滨三中一模)已知椭圆C ：x 216＋y 212＝1，点M 与C 的焦点不重合，若点M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则|PN |＋|QN |＝________.答案：16解析：如图所示，设椭圆的两焦点分别为F 1，F 2，线段MN 的中点为D ，连接DF 1，DF 2.由已知条件可知，DF 1，DF 2分别是△MPN ，△MQN 的中位线，所以|PN |＋|QN |＝2||DF 1＋2||DF 2.又依据椭圆的定义，||DF 1＋||DF 2＝2a ＝8， 所以|PN |＋|QN |＝2×8＝16.10.(2021·甘肃兰州诊断)已知函数f (x )＝x ()ln x －ax 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 ：由函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －ax ，则f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1,令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x ＝2ax －1，由于函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －ax 有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1. 切点在切线上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0⇒x 0＝1，即切点为(1,0)，则切线方程为y ＝x －1, 再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝0和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.三、解答题(每题15分，共30分)11．(2021·东北三校一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4.(1) 求动圆圆心的轨迹C 1的方程；(2) 过点P (1,2)分别作斜率为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，交C 1于A ，B 两点(点A ，B 异于点P )，若k 1＋k 2＝0，且直线AB 与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝12相切，求△P AB的面积．解： (1) 设动圆圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，由题可知⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋y 2＝r 2，22＋x 2＝r 2，消去r ，得y 2＝4x ，所以动圆圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2) 设直线l 1斜率为k ，则l 1：y －2＝k (x －1)； l 2：y －2＝－k (x －1). 点P (1,2)在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y －2＝k (x －1)⇒ky 2－4y ＋8－4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ>0恒成立，即()k －12>0，有k ≠1.所以y 1y P ＝8－4kk .由于y P ＝2，所以y 1＝4－2kk .代入直线方程可得x 1＝(k －2)2k 2. 同理可得x 2＝(2＋k )2k 2，y 2＝4＋2k－k .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4＋2k －k －4－2kk (k ＋2)2－(k －2)2k 2＝－1.不妨设l AB ：y ＝－x ＋b .由于直线AB 与圆C 相切，所以|b －2|2＝22，解得b ＝3或1，当b ＝3时， 直线AB 过点P ，舍去．当b ＝1时， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y 2＝4x⇒x 2－6x ＋1＝0，Δ＝32，|AB |＝1＋1×32＝8.P 到直线AB 的距离为d ＝2，△P AB 的面积为4 2. 12．(2021·东北四市联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2，常数a ∈R . (1)若a ＝1，过点(1,0)作曲线y ＝f (x )的切线l ，求l 的方程；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝x －1只有一个交点，求实数a 的取值范围. 解：函数求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax . (1)当a ＝1时，有f ′(x )＝3x 2－2x . 设切点P 为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2x 0，则P 处的切线方程为y ＝(3x 20－2x 0)(x －x 0)＋x 30－x 20.该直线经过点(1,0)，所以有0＝(3x 20－2x 0)(1－x 0)＋x 30－x 20， 化简得x 30－2x 20＋x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝1，所以切线方程为y ＝0和y ＝x －1.(2)解法一：由题意得方程x 3－ax 2－x ＋1＝0只有一个根， 设g (x )＝x 3－ax 2＋x ＋1，则g ′(x )＝3x 2－2ax －1， 由于Δ＝4a 2＋12＞0，所以g ′(x )有两个零点x 1，x 2，即3x 2i －2ax i －1＝0(i ＝1,2)， 且x 1x 2＜0，a ＝3x 2i －12x i，不妨设x 1＜0＜x 2，所以g (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)单调递增，在(x 1，x 2)单调递减，g (x 1)为极大值，g (x 2)为微小值，方程x 3－ax 2－x ＋1＝0只有一个根等价于g (x 1)＞0且g (x 2)＞0，或者g (x 1)＜0且g (x 2)＜0，又g (x i )＝x 3i －ax 2i －x i ＋1＝x 3i －3x 2i －12x ix 2i －x i ＋1＝－12x 3i －x i 2＋1(i ＝1,2)，设h (x )＝－12x 3－x 2＋1，所以h ′(x )＝－32x 2－12＜0，所以h (x )为减函数， 又h (1)＝0，所以x ＜1时h (x )＞0，x ＞1时h (x )＜0，所以x i (i ＝1,2)大于1或小于1，由x 1＜0＜x 2知，x i (i ＝1,2)只能小于1， 所以由二次函数g ′(x )＝3x 2－2ax －1性质可得g ′(1)＝3－2a －1＞0，所以a ＜1.解法二：曲线y ＝f (x )与直线y ＝x －1只有一个交点， 等价于关于x 的方程ax 2＝x 3－x ＋1只有一个实根． 明显x ≠0，所以方程a ＝x －1x ＋1x 2只有一个实根． 设函数g (x )＝x －1x ＋1x 2，则g ′(x )＝1＋1x 2－2x 3＝x 3＋x －2x 3.设h (x )＝x 3＋x －2，h ′(x )＝3x 2＋1＞0，h (x )为增函数，又h (1)＝0. 所以当x ＜0时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数； 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数； 当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数． 所以g (x )在x ＝1时取微小值1.又当x 趋向于0时，g (x )趋向于正无穷； 又当x 趋向于负无穷时，g (x )趋向于负无穷； 又当x 趋向于正无穷时，g (x )趋向于正无穷． 所以g (x )图象大致如图所示，所以方程a ＝x －1x ＋1x 2只有一个实根时，实数a 的取值范围为(－∞，1).。
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1 / 11⎢- , 高考数学（理科）专题练习数形结合思想1. 方程 题组 1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题x 2 - 2x = a 2 + 1(a > 0) 的解的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知函数f (x )= log 2 x⎛ 1 ⎫x- ⎪⎝ 2 ⎭ ，则下列结论正确的是()A.f (x )有三个零点，且所有零点之积大于-1B.f (x )有三个零点，且所有零点之积小于-1C. f (x )有四个零点，且所有零点之积大于 1D.f (x )有四个零点，且所有零点之积小于 13．(2016·广州二模)设函数f (x )的定义域为 R ， f (-x )= f (x )， f (x )= f (2 - x )，当 x ∈[0,1]时，f (x )= x 3g (x )= cos (πx ) - f (x ) ⎡ 1 5 ⎤ 2 2 ⎦，则函数 在 上的所有零点的和为()A ．7B ．6C ．3D ．24．(2016·合肥二模)若函数 f (x )= a + sin x 在[π, 2π]上有且只有一个零点，则实数a = ．2 / 11⎪,( ) { } ( ) ( ) ( ) ⎨ 1 ⎪x 3, x ≤ a f (x )= ⎩⎨x 2 , x > a b g (x )= f (x )= b a5. 已知函数 若存在实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是．题组 2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围log a x > sin 2x (a > 0, a ≠ 1) x ∈⎛ 0, π ⎫4 6. 若不等式 对任意 ⎝ ⎭ 都成立，则a 的取值范围为( )⎛ 0, π ⎪⎫ ⎛ π ,1⎫⎪A ．⎝ 4 ⎭ B ．⎝ 4 ⎭⎛ π π⎫C ． ⎝ 4 2 ⎪⎭D ．(0,1) f x x | x ≠ 0 f 1 = 1 f ' x f x 7．(2016·黄冈模拟)函数 是定义域为 的奇函数，且 ， 为的导函数，当f (x )+ xf ' (x )> 1x > 0 时， x ，则不等式 xf (x )> 1 + ln x 的解集是( )A ． (-∞, -1) (1, +∞) C ．(1, +∞) x - 2a ≥ 1x + a -1B ． (-∞, -1) D ．(-1,1) (－1，1)8. 若不等式2 对 x ∈ R 恒成立，则 a 的取值范围是 ．⎧ lg x , 0 < x ≤ 10f (x )= ⎪ - x + 6, x > 10 f (A )= f (B )= f (C ) abc9. 已知函数 ． ⎪2 若 a ，b ，c 互不相等，且f (x )= sin ⎛2x + π ⎫ π 3 ⎪，则 f (x )的取值范围是π 10. 已知函数⎝ ⎭ 的相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 的图象向右平移8 个 ⎡ π ⎤0,单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g (x )的图象，若 g (x )+ k = 0 在⎢ 2 ⎦ 上有且 x ∈3 / 11F l C 只有一个实数根，则 k 的取值范围是 ．题组 3 利用数形结合解决解析几何问题C : ( x - 3 )2+(y-4)2 = 1A (-m , 0)B (m , 0 )m ( > 0)C P11. 已知圆和两点 ，．若圆 上存在点 ，使得∠APB = 90o ，则 m 的最大值为()A ．7B ．6C ．5D ．4y 2 = 2 px (p > 0 ) 12．(2016·衡水模拟)过抛物线 焦点 的直线 与抛物线交于 ， 两点， 与抛物线的准线交于点 A ，且 AF = 6， AF = 2BF ，则BC = ( )9A ．213C ．2B ．6D ．813. 已知P 是直线l : 3x + 4 y + 8 = 0 上的动点， PA ， PB 是圆 x 2 + y 2 - 2x - 2 y + 1 = 0 的两条切线， A ， B 是切点，C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 ．已知过原点的动直线l 与圆 C 1:x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A ， B ．(1) 求圆C 1 的圆心坐标；(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k ，使得直线l : y = k (-4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．14.⎥2高考数学（理科）专题练习数形结合思想答案1．B2．A3．A4．15．(-∞, 0) (1, +∞) 6．A7．A⎛-∞,1 ⎤8．⎝⎦9．(10,12)⎧k | -1<k ≤1或k=- 1⎫⎨ 2 2 ⎬10．⎩⎭11．B12．A13．2C x2 +y2 - 6x + 5 = 0 (x-3)2+y2=4(3, 0)14.解：(1)圆 1 的方程可化为，所以圆心坐标为． 2 分(2)设A(x1, y1 )，B (x2 , y2 )(x1 ≠x2 )，24 / 115 / 11= ⎝ 3 l2 2 2M (x , y) x = x 1 + x 2 y = y 1 + y 20 0 ，则， 02 ． 由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为 y = tx ．C(1+ t 2 )x 2 - 6x + 5 = 0 将上述方程代入圆 1 的方程，化简得 ． 5 分6 3∆ = 36 - 20(1+ t 2 )> 0(*) x 1 + x 2 = 1 + t 2 x 0 = 1 + t 2 l由题意，可得 ， ，所以 ，代入直线 的方程，得3t y 0 1 + t 2． 6 分9 9t 2 9(1+ t 2 ) 9 3 9 x 0 + y 0 = (1 + t )2 + (1 + t )2 = (1 + t )2= 1 + t 2 = 3x 0 ⎛ ⎫ + y 2= x 0 - 2 ⎪ 04因为 ，所以⎝ ⎭ ．(*) t 2 < 45< x ≤ 3 由 解得 5 ，又t 2≥ 0 ，所以 3 0 ．⎛3 ⎫29 ⎛ 5 ⎫x - ⎪ 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程为⎝ 2 ⎭+ y 2= 4 3 < x ≤ 3⎪⎭ ． 8 分⎛ 5 ,3⎤⎥(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝⎦ 上的一段圆弧．D ⎛ 5 , 2 5 ⎫E ⎛ 5 , -2 5⎫ F (3, 0) G (4, 0)如图， ⎝ 3 3 ⎭ ， ⎝ 3 3 ⎭， ，直线l 过定点 ．(1 + k 2)x 2- 3( - 8k 2 x + 16k 2 = 0联立直线 的方程与曲线 的方程，消去 y 整理得．k = ± 3 I = 12 ∈⎛ 5 ,3⎤令判别式∆ = 0 ，解得4 ，由求根公式解得交点的横坐标为x H ， 5 ⎝ 3 ⎦ ． 11 分 0 26 / 112 5 7 由图可知：要使直线l 与曲线C 只有一个交点，则 k ∈[k DG , k EG ] {k GH , k GI }，即⎡ k ∈ ⎢- 2 5 ⎤ ⎧ 3 3 ⎫ , 7 ⎥ ⎨- , ⎬⎣ ⎦ ⎩ 4 4 ⎭ ． 12 分7 / 11( )1 11 5 151 5上的零点的和为 7，故选 A ． 高考数学（理科）专题练习数形结合思想 解 析1．∵a ＞0，∴a 2＋1＞1． 而 y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与 y ＝a 2＋1 的图象总有 2 个交点．12. 在同一坐标系中分别作出 f 1(x )＝|log 2|x ||与 f 2(x )＝2 x 的图象，如图所示，由图象知 f 1(x )与 f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是 x 1，x 2，x 3， (－2) (－4)2 4 2因为 f＜0，f1＞0，所以－ ＜x 1＜－ ，同理 ＜x 2＜1，1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－8，即所有零点之积大于－1．3. 函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在[－2，2 ]上的零点为函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )的交点的横坐标．因为 f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数 f (x )为关于 x ＝1 对称的偶函数，又因为当 x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则 在平面直角坐标系内画出函数 h (x )＝|cos(πx )|与函数 f (x )在[－2，2 ]内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有 7 个交点，不妨设从左到右依次为 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以 x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数 g (x )＝|cos(πx )|－f (x ) [－2，2 ]4. 函数 f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程 a ＋sin x ＝0 在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与 y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得 a ＝1．1 1 1 在8 / 114(5. 函数 g (x )有两个零点，即方程 f (x )－b ＝0 有两个不等实根，则函数 y ＝f (x )和 y ＝b的图象有两个公共点．①若 a ＜0，则当 x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当 x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．②若 0≤a ≤1，则 a 3≤a 2，函数 f (x )在 R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 y ＝b 至多有一个公共点．③若 a ＞1，则 a 3＞a 2，函数 f (x )在 R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0 或 a ＞1．6. 记 y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为 y 1＞y 2，由题意作出两个函数(π，1) π4 π4的图象，如图所示，知当 y 1＝log a x 的图象过点 A时，a ＝ ，所以当 ＜a ＜1 时，π 0，对任意 x ∈ 都有 y 1＞y 2．7. 令 g (x )＝xf (x )－ln|x |，则 g (x )是偶函数，9 / 113((1且当 x ＞0 时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－x ＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式 xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)，∴|x |＞1，解得 x ＞1 或 x ＜－1．故选 A ．1 18. 作出 y ＝|x －2a |和 y ＝2x ＋a －1 的简图，依题意知应有 2a ≤2－2a ，故 a ≤2．]9. 作出 f (x )的大致图象．由图象知，要使 f （A ）＝f （B ）＝f （C ），不妨设 a ＜b ＜c ，1则－lg a ＝lg b ＝－2c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝C ． 由图知 10＜c ＜12，∴abc ∈(10，12)．π T π π10. 因为 f (x )相邻两条对称轴之间的距离为4，结合三角函数的图象可知2＝4，即 T ＝2．2π π 2ω 2 (4x ＋π)又 T ＝ ＝ ，所以 ω＝2，f (x )＝sin ．π π π π[ ( ) ] ( 4 x － ＋ 4x －将 f (x )的图象向右平移 个单位得到 f (x )＝sin 8 π 2x －原来的 2 倍得到 g (x )＝sin 的图象．π2x －所以方程为 sin＋k ＝0.ππ ＝sin 8 的图象，再将所有点的横坐标伸长为[60，令 2x － ＝t ，因为 x ∈ 2 ，π 5π 所以－6≤t ≤ 6 ．ππ5π[0，]－，]若g(x)＋k＝0 在x∈上有且只有一个实数根，即y＝sin t 与y＝－k 在 6 6 上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知1 1－2≤－k＜2或－k＝1，1 1即－2＜k≤2或k＝－1．]11.根据题意，画出示意图，如图所示，1则圆心C 的坐标为(3，4)半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝2|AB|＝m．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC|＝|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m 的最大值为6．32＋42＝5，所以→→AF FB12.如图所示，直线与抛物线交于B，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵ ＝2 ，∴F 在A，B 中间，C 在A，F 之间，分别过B，C 作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1．由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|CF|＝|CC1|．→→AF FB∵ ＝2 ，|AF|＝6，∴|FB|＝|BB1|＝3．由△AFK∽△ABB1可知，|FK| |AF||BB1|＝|AB|，∴|FK|＝2．10 / 1111 / 11 32＋42 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，|CC 1| |AC |由△ACC 1∽△AFK ，得 |FK | ＝|AF |．a 6－a 3∴2＝ 6 ，∴a ＝2．3 9∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋2＝2．13. 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x ＋4y ＋8＝0 向左上方或右下方无1 1穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 S Rt △PAC ＝2|PA |·|AC |＝2|PA |越来越大，从而 S 四边形PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直于直线 l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，|3 × 1＋4 × 1＋8|此时|PC |＝ ＝3，从而|PA |＝ |PC |2－|AC |2＝2 2．1所以(S 四边形PACB )min ＝2×2×|PA |×|AC |＝2 2．14. 14．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
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第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一 利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． 又因为点(－2，－2)在直线上， 所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三 利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2， 消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9， 综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________． 答案2解析 由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值． 所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________． 答案 －33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解． 当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。