数形结合思想公开课教案
数学思想方法之数形结合教学设计
数学思想方法之数形结合教学设计一、教学目标：1.了解数形结合的概念和重要性；2.培养学生的数学思维能力和观察能力；3.提高学生解决问题的能力和创造力。
二、教学重难点：1.数形结合的概念和应用；2.培养学生的观察能力；3.教学过程中如何引导学生思考和解决问题。
三、教学准备：1.教学工具：数学教具、幻灯片等；2.教学素材：与数形结合相关的题目和例题。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图形，引导学生思考图形和数字之间的关系，提出“数形结合”这一概念，并向学生解释数形结合在数学中的意义和重要性。
2.理解数形结合（10分钟）3.数形结合的应用（15分钟）通过一道应用题，引导学生运用数形结合的思想来解决问题。
例如，题目为：一条长方形的周长是20厘米，它的长比宽多2倍，求长方形的面积。
引导学生首先通过周长计算出长方形的宽，然后根据长和宽的关系得到长方形的面积。
4.拓展应用（10分钟）给学生一些拓展性的应用题，让他们运用数形结合的思想来解决问题。
例如，通过圆的直径计算圆的周长和面积，通过正方体的体积计算正方体的边长等。
5.练习（15分钟）配发练习题给学生，让他们独立完成，然后讲解答案，纠正错误，巩固所学内容。
6.展示和总结（10分钟）邀请一些学生上台展示他们解决问题的方法和思路，然后对整个课堂的学习内容进行总结，强调数形结合思想方法在解决实际问题中的重要性。
7.课后作业（5分钟）布置课后作业，要求学生运用数形结合的思想解决问题。
五、教学反思通过本节课的教学设计，学生能够了解数形结合的概念和应用，并能够运用数形结合的思想方法解决问题。
通过培养学生的观察能力和创造力，提高了学生解决问题的能力和数学思维能力，达到了教学目标。
同时，通过与学生的互动和展示，增强了学生的参与性和积极性，使学生对数形结合有了更深入的理解。
数形结合思想的教案
数形结合思想的教案教案标题：数形结合思想的教案教学目标：1. 通过数形结合的思维方式，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
2. 帮助学生理解数学概念与几何图形之间的关系，提高学生对数学的兴趣和学习动力。
3. 培养学生的合作与沟通能力，通过小组合作探究数形结合的思想。
教学准备：1. 教学材料：数学教科书、几何图形模型、白板、彩色粉笔、学生练习册。
2. 教学环境：教室内需要提供充足的桌椅空间，以便学生进行小组合作活动。
教学过程：引入活动：1. 教师用一个简单的问题引发学生对数形结合思想的思考，例如：在一个正方形的边长为10厘米的图形中，画出一个边长为5厘米的小正方形，求小正方形的面积是多少？2. 学生思考后，教师引导学生发现数学概念与几何图形之间的关系，并引出数形结合思想的重要性。
探究活动：1. 学生分成小组，每个小组分配一份几何图形模型和练习册。
2. 学生通过观察几何图形模型，思考并回答一系列与数形结合思想相关的问题，例如：给定一个三角形，边长为3厘米、4厘米和5厘米，求其面积；给定一个矩形，长为6厘米，宽为8厘米，求其周长等。
3. 学生在小组内合作讨论，并记录下自己的思考和解答过程。
讲解与总结：1. 学生完成练习后，教师将学生的答案进行汇总，并逐一进行讲解和解释。
2. 教师强调数形结合思想的重要性，以及数学概念与几何图形之间的密切联系。
3. 教师总结本节课的重点内容，并与学生一起进行思维导图的绘制，以帮助学生整理和巩固所学知识。
拓展活动：1. 学生可以在小组内设计更多的数形结合思想相关问题，并交换解答。
2. 学生可以尝试用数形结合思想解决其他数学问题，如面积、周长等。
3. 学生可以利用数形结合思想设计和解决一些实际问题，如设计一个花坛的形状和尺寸等。
评估与反馈：1. 教师可以通过观察学生在小组合作中的表现、学生的练习册答案等方式进行评估。
2. 教师可以针对学生的表现给予及时的反馈，并提供进一步的指导和建议。
数形结合思想教案
三、数形结合思想教学目标：1.通过复习使学生领会数形结合思想的本质，培养学生用数学思想方法解决问题的意识。
2.通过对具体问题的学习，使学生能够用数形结合思想方法探求解决问题的思路。
3.掌握用数形结合的思想解题的三种类型，并能熟练运用，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点与难点：用数形结合思想方法探求解决问题的思路。
教学过程：一、提出问题你能解决吗？对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c ＜0，则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（）A、只有一个交点B、有两个，都在x轴的正半轴C、有两个，都在x轴的负半轴D、一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴二、思想概述数形结合思想是数学中重要的思想方法．它根据数学问题中条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握．解题策略：数形结合思想包含“以形助数”和“以数助形”两个方面．即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判数，用形解决数的问题，常见于借用数轴、函数图象、几何图形来求解代数问题；二是就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题．2. 热点内容(1).利用数轴解不等式(组)(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.三、数形结合思想的应用 （一）与数轴结合的问题 1、在数与式中的应用例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a b -=_________．2、在不等式中的应用例2、已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________．例3、已知︱x-1︱+︱2+x ︱=3,则x 的取值范围是（ ）（A ）-2﹤x ﹤1 (B)-2≤x ≤1 （C ）x ﹤-2或x ＞1 （D ）x ≤-2或x ≥1 （二）与函数图象结合的问题 3、在方程函数中的应用例4、方程 的正根的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个例5、 (08安徽)如图为二次函数y=a x 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①a bc<0 ②方程a x 2+bx+c=0的根是x 1=－1，x 2=3 ③a +b+c>0 ④当x>1时，y 随x 的增大而增大 正确的说法有__________． （三）与几何结合的问题例6、如图所示，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x ．(1)用含x 的代数式表示AC+CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小?(3)根据(2)挑战自我： 练习T10 四、课堂小结“数形结合思想”就是通过数量与图形之间相互转化来解决数学问题的思想. “数”与“形”是相互联系的.数轴与直角坐标系的建立，为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有了形象直观的几何意义，而直观图象的性质也常可用数量关系加以精确地描述. 五、作业：见练习纸x2=x 2x -2+数形结合练习1.在△ABC 中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则s i n B= 1/5 ．2.若一次函数m x m y 23)12(-+-=的图像经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是 ． 分析：根据一次函数的性质进行分析：由图形经过一、二、四象限可知（2m ﹣1）＜0，3﹣2m ＞0，即可求出m 的取值范围 m ＜213 .数轴上点A 、B 的位置如图所示，若点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数为分析：点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是3，所以，|AB|=4；点B 关于点A 的对称点为C ，所以，点C 到点A 的距离|AC|=4，即，设点C 表示的数为x ，则，﹣1﹣x=4，解出即可解答； x=﹣54.一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______. 分析：首先由等腰梯形的性质，求得MN ⊥BC ，EF═21（AD+BC ），然后过点D 作DK ∥AC 交BC 的延长线于K ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，即可得四边形ACFD 是平行四边形， 四边形MNHD 是矩形，则可得△BDK 是等腰梯形，由三线合一的知识，可得BH=EF ，在 Rt △BDH 中由勾股定理即可求得答案．解答：解：如图：已知：AD ∥BC ，AB=CD ，E ，N ，F ，M 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且EF 2+MN 2=8．求：这个等腰梯形的对角长．解：过点D 作DK ∥AC 交BC 的延长线于K ，过点D 作DH ⊥BC 于H ， ∵AD ∥BC ，AB=CD ，E ，N ，F ，M 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点， ∴EF=21（AD+BC ），MN ⊥BC ，AC=BD ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴DK=AC=BD ，CK=AD ， ∴BH=CH=21BK=21（BC+CK ）=21（BC+AD ）， ∴BH=EF ，∵四边形MNHD 是矩形， ∴DH=MN ， ∴在Rt △BDH 中，BD 2=BH 2+DH 2=EF 2+MN 2=8， ∴BD=22．∴这个等腰梯形的对角长为22．故答案为：22．点评：此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形，直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．5.如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB =4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ C ）A ．43B ．35C ．34D ．45分析：由四边形ABCD 是矩形，可得：∠A =∠B =∠D =90°，CD =AB =4，AD =BC =5，由折叠的性质可得：∠EFC =∠B =90°，CF =BC =5，由同角的余角相等，即可得∠DCF =∠AFE ，然后在Rt △DCF 中，即可求得答案．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a y x=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ B ）分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以 确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xa y =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．7.巳知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实效根12x x 、满足12=4x x +和12=3x x ⋅，那么二次函救20(0)y ax bx c a =++=>的图象有可能是(C )【分析】根据二次函数二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的交点横坐标就是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根，利用两个实数根x 1，x 2满足x 1+x 2=4和x 1•x 2=3，求得两个实数根，作出判断即可．ABDC【解答】解：∵已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两个实数根x 1，x 2满足x 1+x 2=4和x 1•x 2=3， ∴x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根， 解得：x 1=1，x 2=3 ∴二次函数ax 2+bx+c （a ＞0）与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）8.某中学为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了部分学生一周参加体育锻炼的时间，得到如图的条形统计图，根据图形解答下列问题：（1）这次抽查了_______名学生；（2）所抽查的学生一周平均参加体育锻炼多少小时？（3）已知该校有1200名学生，估计该校有多少名学生一周参加体育锻炼的时间超过6小时？分析：（1）把各段的-人数相加即可求解；60；（2）根据平均数的计算公式即可求解； 6.25（3）1200乘以样本中超过6小时的人数所占的比例即可求解．7009.如图，抛物线y ＝（x +1）2+k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3） （1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA +PC 的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点的坐标．分析：（1）由抛物线y ＝（x +1）2+k 与y 轴交于点C （0，－3），即可将点C 的坐标代入函数解析式，解方程即可求得k 的值，由抛物线y ＝（x +1）2+k 即可求得抛物线的对称轴为：x ＝－1；（2）连接AC 交抛物线的对称轴于点P ，则PA +PC 的值最小，求得A 与C 的坐标，设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式，则可求得此时点P 的坐标；（3）①设点M 的坐标为：（x ，（x +1）2－4），即可得S △AMB ＝21×4×|（x +1）2－4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；②如图3，设点M 的坐标为：（x ，（x +1）2－4），然后过点M 作MD ⊥AB 于D ，由S 四边形ABCM ＝S △OBC +S △ADM +S 梯形OCMD ，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y ＝（x +1）2+k 与y 轴交于点C （0，－3），∴－3＝1+k ，∴k ＝－4. ∴抛物线的解析式为：y ＝（x +1）2－4，∴抛物线的对称轴为：x ＝－1；（2）存在．如图1，连接AC 交抛物线的对称轴于点P ，则PA +PC 的值最小，当y ＝0时，（x +1）2－4＝0，解，得x ＝－3或x ＝1，∵A 在B 的左侧，∴A （－3，0），B （1，0），设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ， ∴⎩⎨⎧-==+-.303b b k ，解得⎩⎨⎧-=-=.31b k ，∴直线AC 的解析式为：y ＝－x －3，当x ＝－1时，y ＝－（－1）－3＝－2， ∴点P 的坐标为：（－1，－2）；（3）①如图2，设点M 的坐标为：（x ，（x +1）2－4），∵AB ＝4，∴S △AMB ＝21×4×|（x +1）2﹣4|＝2|（x +1）2－4|，∵点M 在第三象限，∴S △AMB ＝8－2（x +1）2，∴当x ＝－1时，即点M 的坐标为（－1，－4）时，△AMB 的面积最大，最大值为8；②设点M 的坐标为：（x ，（x +1）2－4），如图3，过点M 作MD ⊥AB 于D ，S 四边形ABCM ＝S △OBC +S △ADM +S 梯形OCMD ＝21×3×1+21×（3+x ）×[4－（x +1）2]+ 21×（－x ）×[3+4－（x +1）2] ＝23-（x 2+3x －4）＝23-（x +23）2+875， 当32x =-时，2315(1)424y =-+-=-． 即当点M 的坐标为（23-，415-）时，四边形AMCB 的面积最大，最大值为875．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思图3图2图1想与数形结合思想的应用．10.如图，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠BCD =90°，∠B =60°，AB =6，AD =9，点E 是CD 上的一个动点（E 不与D 重合），过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F （当E 运动到C 时，EF 与AC 重合）．把△DEF 沿EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE =x ，△GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）求CD 的长及∠1的度数；（2）若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；（3）求y 与x 之间的函数关系式．并求x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？考点：直角梯形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）. 分析：（1）将AB 平移，使点A 与点D 重合，利用勾股定理，则可得出CD 的长度，根据CD 与AD 的长度关系可得出∠DAC 的度数，也就得出了∠1的度数．（2）根据点G 落在BC 上时，有GE =DE =x ，EC =x ，求出∠GEF =∠GEC =60°，然后根据GE =2CE 列出方程即可得出x 的值．（3）根据△EFG ≌△EFD 列出y 的表达式，从而讨论x 的范围，分别得出可能的值即可．解答：解：（1）CD =1=30°； （2）若点G 恰好在BC 上，则有GE =DE =x ，EC =x ，∵∠1=30°，∴∠FED =60°，∴∠GEF =60°，∴∠GEC =60°，∴GE =2CE ，∴)x x =，∴x = （3）∵△EFG ≌△EFD ，2122EFD y S D E D F ∆==⨯⨯=，①当0≤x ≤时，随着x 的增大，面积增大，此时△的面积就是重叠的面积，当x =时，达到最大值，为．②当x >△EFG 就有一部分在梯形外，如图3，x∵GE =DE =x ，EC =x -，易求ME =)x ，∴GM =GE －ME =x －)x =3x －，∴NG =6-，116)(322M NG S NG M G x ∆=⨯=--26)2-，此时1122EFD M NG y S S DE DF NG M G∆∆=-=⨯⨯-⨯226)22--=218)x -+=2x -+当x =m ax y =x =m ax y =点评：本题考查直角梯形与三角形的综合，难度较大，解答本题的关键是掌握基础知识，然后将所求的题目具体化，从而利用所学的知识建立模型，然后有序解答．。
(完整版)数形结合思想教学案例
一、数形结合思想方法简述数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。
数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。
另外，数形结合思想在关于几何图形的问题中，用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。
在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。
应用数形结合解题，从抽象到直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。
对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。
左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。
“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。
通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。
数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。
应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。
在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。
当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。
初中数学数形结合教案
教案：数形结合在初中数学教学中的应用一、教学背景数形结合是数学的一种重要思想方法，它将数与形有机地结合起来，通过对图形的观察、分析，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想的运用可以提高学生的思维能力，培养学生解决问题的能力。
本节课旨在让学生理解数形结合的概念，学会运用数形结合思想解决实际问题。
二、教学目标1. 理解数形结合的概念，掌握数形结合的基本方法。
2. 能够运用数形结合思想解决简单的数学问题。
3. 培养学生的观察能力、分析能力以及解决问题的能力。
4. 感受数学与实际生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
三、教学内容1. 数形结合的概念及意义。
2. 数形结合的基本方法。
3. 数形结合在初中数学教学中的应用实例。
四、教学过程1. 导入：通过一个简单的例子，让学生感受数形结合的魅力。
例如，讲解一个几何问题，通过画图来直观地展示问题的解决过程。
2. 讲解数形结合的概念：数形结合是将数与形有机地结合起来，通过对图形的观察、分析，来解决数学问题。
3. 讲解数形结合的基本方法：（1）图形表示法：通过画图来表示数量关系，例如，用线段表示距离、用饼图表示比例等。
（2）方程表示法：通过列方程来表示数量关系，例如，用一元一次方程表示速度、时间、路程的关系。
（3）函数表示法：通过函数关系式来表示数量关系，例如，用一次函数表示两点之间的斜率关系。
4. 应用实例：让学生通过数形结合的方法解决实际问题。
例如，通过画图来解决一个几何问题，或者通过列方程、函数关系式来解决一个实际问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数形结合在初中数学教学中的应用价值。
五、教学评价1. 学生能够理解数形结合的概念，掌握数形结合的基本方法。
2. 学生能够运用数形结合思想解决实际问题。
3. 学生能够提高观察能力、分析能力以及解决问题的能力。
六、教学建议1. 注重培养学生的观察能力，鼓励学生多画图、多分析。
2. 引导学生将数学与实际生活联系起来，提高学生学习数学的兴趣。
数形结合教案
第一讲数形结合思想【提纲挈领】一、考纲解读所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也即将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合.二、知识升华数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。
它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
三、高考预测数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。
但在解答题中，运用数形结合思想时，注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。
【教学实记】一、教学目标1.通过对本堂内容的学习，学生能熟练地做出常见的函数图像；2.通过对数形结合思想的教学，学生能利用“以形助数”解决“数”的问题；3.通过对数形结合思想的教学，学生能掌握可利用“形”处理的常见类型；二、教学重难点1．教学重点：数形结合思想之“以形助数”；“以数助形”2．教学难点：数形结合思想的灵活应用三、教学方法：启发诱导，讲练结合四、教学类型：数学方法复习课五、教学过程：（一）山东高考真题回扣：1.(2011.第1题)设集合{}{}2|60,|13,M x x x N x x=+-<=≤≤则M N =（）A.[1,2)B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3]2.(2009.第10题)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)y ax a=≠的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.24y x=± B.28y x=± C. 24y x= D. 28y x=3.(2013.第14题)在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组2360,20,x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是__________．4.(2013.第13题)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________．5.(2013.第15题)在平面直角坐标系xoy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为__________．（三）数形结合思想分析角度一、形助数【例1-1】已知函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1)；②当x∈［-1，1］时，f(x)=x2，则方程f(x)=log a x解的个数是9个，则a的取值范围是（）A.[8,9]B.[9,10]C.(9,11)D.[9,11)【思维流程】【规律总结】【课堂练习】 1.(2014菏泽一模9)已知函数 ()2014sin (01)log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩ 若a 、b 、c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c ),则a +b +c 的取值范围是( )A.（1,2014）B. （1,2015）C.(2,2015)D.[2,2015]【例1-2】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，f (x )单调递减.若数列{a n }是等差数列，且a 3<0，则f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+f (a 4)+f (a 5)的值（ ）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【思维流程】 【规律总结】 【强化练习】1.(2014德州一模10)已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，对R x ∈有f (x -1)=f (x +1)成立，当 (]0,1x ∈ 且12x x ≠时，有()()21210f x f x x x -<- ，给出下列命题： (1)f (1)=0(2)f (x )在[-2,2]上有5个零点(3)(2013,0)是函数y =f (x )的一个对称中心(4)直线x =1是函数y =f (x )图象的一条对称轴，则正确的命题个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 角度二、数助形【例2】(2013.山东高考)函数y=x cos x+sin x 的图象大致是 （ ）【思维流程】 【规律总结】 【课堂练习】3.(2014.滨州一模）函数ln x x y x=的图象大致是 （ ）【强化练习】2.(2012.山东高考)函数cos 622x xx y -=-的图象大致是 （ ）【例3】(2014.青岛一模)设F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>右支上存在一点M ，使()110F M OF OM ⋅+=，O 为坐标原点，且123F M F M = 则该双曲线的离心率为 （ ）A.12 B. 1 C. 2D. 【思维流程】 【规律总结】 【强化练习】5.(2014.济南二模)已知F 1、F 2是双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点，过点F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交与A 、B 两点，△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.（1,2）B. (C.（1,5）D.)+∞高考专题复习数形结合思想（四）课堂小结：一个思想：数形结合思想两个角度：形助数；数辅形三个应用：1.在函数、方程、不等式中的应用2.在判断函数图象中的应用.3.在圆锥曲线中的应用.（五）课后作业：1.订正学案中的错题并总结规律2.完成复习手册P76选择、填空题。
初中数形思想结合教案
初中数形思想结合教案教学目标：1. 理解数形结合思想的含义和作用；2. 学会运用数形结合思想解决数学问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
教学重点：1. 数形结合思想的含义和作用；2. 运用数形结合思想解决数学问题的方法。
教学难点：1. 数形结合思想的灵活运用；2. 解决实际问题时数形结合思想的运用。
教学准备：1. 教师准备相关数学问题和案例；2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数学学习中遇到的困难和问题；2. 提问：有没有同学尝试过用图形来解决数学问题呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍数形结合思想的含义：数形结合思想是将数学中的“数”与“形”有机地结合起来，通过图形来直观地表示数量关系和几何形状，从而更好地解决问题。
2. 讲解数形结合思想的作用：数形结合思想可以帮助我们直观地理解问题，发现问题的规律和特点，找到解决问题的线索，提高解题效率。
3. 示例讲解：通过实际案例，展示如何运用数形结合思想解决数学问题。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出几个数学问题，要求学生运用数形结合思想进行解答；2. 学生独立思考，动手操作，完成练习；3. 学生分享自己的解题过程和答案，教师进行点评和指导。
四、应用拓展（15分钟）1. 教师给出一个实际问题，要求学生运用数形结合思想进行解决；2. 学生分组讨论，合作探究，找到解决问题的方法；3. 学生代表进行汇报，教师进行点评和指导。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结数形结合思想的应用方法和技巧；2. 学生分享自己的学习心得和体会；3. 教师提出改进措施和建议。
教学评价：1. 学生对数形结合思想的理解程度；2. 学生运用数形结合思想解决数学问题的能力；3. 学生在课堂中的参与程度和合作意识。
数形结合教案
《数形结合的思想》教学设计教学过程设计即由⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛2121ln2121a a a f ，希望a a ->-2121ln ，即a a ->2121ln 。
现在我们只有，021ln>a ，可知210<<a 。
由021ln >a ，可以推出a a ->2121ln 吗？ 由a a ->2121ln，即2121ln ln -<-a a ，联想到x x y -=ln 是()1,0上的增函数。
即由于x x y -=ln 在()1,0上单调增加，得2121ln ln -<-a a ，即a a ->2121ln， 212121212121ln 2121-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a f 。
（方法2）()1,2121ln >+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x g ，注意()021ln >+='x x g ，则()0>x g 。
也可得到D 。
（方法3）2121x a x <<，210<<a 。
由于()012ln 222=+-='ax x x f ，得12ln 22-=ax x ， 所以，()()2222ln ax x x x f -=()122-=ax x分层次布置作业生巩固所学知识余力的学生留有进一步探索、发展的空间10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-思路：()x f 有两个极值点，则()12ln +-='ax x x f 有两个零点()2121,x x x x <，于是0>a 。
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数形结合思想专题复习公开课教案
教学目标：
1、知识与技能：通过学习数形结合的思想方法，使学生能够运用数形结合的思想进行解决问题。
2、过程与方法：经历根据题目所提供的图形及已知条件提取准确的信息，利用数形结合解决数与式的问题、方程问题、不等式的问题、函数的问题、几何的问题等，培养学生利用数形结合的思想解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：让学生体会数形结合是数学解题中一种常用的数学思想方法，灵活运用数形结合的方法能使很多问题迎刃而解，且解法简捷，在解决问题的过程中培养学生数形结合思想运用的意识，使学生了解数与形之间的密切联系。
教学重点：迅速提取题目中的信息，将数与形进行转化，找到适当的方法使问题得到解决。
教学难点：灵活运用数形结合的思想解决问题。
教学方法：引导发现法、讲练结合法
教学准备：多媒体课件。
教学过程：
一、导入
在数学的解题过程中，我们经常会利用形来研究数，或利用数来研究形。
这种数学思想就是本节课要给大家介绍的数形结合的思想。
数形结合思想是重要的数学思想之一，也是解决数学问题的重要方法之一，通过数与形的相互转化我们常常能把数学问题化难为易，化抽象为具体。
今天我们就一起来感受一下利用数形结合的思想解决初中数学问题的微妙之处。
二、专题透析
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。
所以，我国著名数学家华罗庚就曾经说过“数无形时少直观，形无数时难入微”。
这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想。
三、例题分析，
（一）在数与式中的应用 例1、实数a 、b
||a b -=_________。
思路分析：利用数形结合，由a 、b 在数轴上位置可知a <0 b>0
因此||a b -=
-a+[-(a-b)]=b-2a
跟踪练习：1．实数a 、b 上在数轴上对应位置如图
3-3-6所示，则2||a b b -+等于（ ）
A ．a
B ．a －2b
C ．－a
D ．b －a
（二）在方程、不等式中的应用
例2、已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨
->⎩的整数解共有2个，则a 的取值范围是____________。
思路分析：解不等式x-a>0可得x>a, 解不等式2-x>0可得x<2由于不等式组有两个整数解，所以两个不等式解集有公共部分，即a<x<2, 利用数形结合，借助数轴，可得a 的取值范围是：-1<a<0
例3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次
方程组是（ ）
A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，
B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩
， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 思路分析：由图象可知两个一次函数图象的交点坐标为P （1，1），两个一次函数的k,一个大于0,一个小于0可先排除B 答案，再由两个一次函数与坐标轴的交点坐标可知C 、D 答案不满足，故正确答案为A
跟踪练习：1、如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图
象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为
x>1 ．
2、若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两 根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ B ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜b C ．a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b
（三）在几何中的应用
例4（2012三明中考）．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P ，O ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ）
· P （1，1）
1 1
2 2
3 3 －1 －1 O x y
1 y=ax+O y P y=x+b
3
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
思路分析：利用数形结合，画出草图，可知满足条件的点
有4个，一个在x 轴的负半轴上，三个在x 轴的正半轴上，故
选择C 答案。
（四）在函数中的应用
例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：
①0ac <；②方程2
0ax bx c ++=的根
为11x =-，23x =；③0a b c ++>；
④当1x >时，y 随着x 的增大而增大．
正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
思路分析：由图象可知a>0,c<0,，所以ac<0正确；图象与x 轴有两个交点分别为（-1.0）和（3，0）因此方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =是正确的；当x=1时 有a+b+c<0;由图象可知对称轴为：直线x=1, 当1x >时，y 随着x 的增大而增大是正确的，故正确的说法有①②④
三、综合训练
1、某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话电话收费，3分钟以内收费2.4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y （元）与通话时间（分）之间的关系的图象正确的是（ ）
2、若M 11
,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，N 21,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 31,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点都在函数(0)k y k x
=<的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）
x y
O 3 -1
A、y2＞y3＞y1
B、y2＞y1＞y3
C、y3＞y1＞y2
D、y3＞y2＞y1
3、关于x的一元二次方程x2―x―n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2―x―n的顶点在（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
4、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =150°，
OA＝OB=2，则点A、B的坐标分别是___________
和___________。
5、在同一直角坐标系中，函数y=kx－k与y= k
x（k≠0）的图象大致是（）
6、已知在平面直角坐标系内两点A（-2，0）B（8，0），以AB为直径作⊙E，直线y=kx+4经过点C(-1,3),若点P在直线y=kx+4上，且△ABP为直角三角形，求点P的坐标。
四、课堂小结:
数形结合思想是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系；或者是把抽象的几何问题，用数量或方程的形式来表示，利用数量关系来研究几何图形的性质与特征。
涉及的主要知识点有代数中的数与式、方程、函数、不等式，几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆等知识．
五、作业布置：2015中考总复习导与练74页第2、5、9题
板书设计：
课题
例1 例3 例5 跟踪练习
例2 例4 综合训练教学反思：。