高三数学教案 数形结合思想
高三数学：数形结合思想辅导教案
题型三 利用数形结合求最值
例3(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()
A.7 B.6 C.5 D.4
点评利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.
点评利用数形结合解不等式或求参数的方法
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.
变式训练2若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()
A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)
第二步：转化为几何问题.
第三步：解决几何问题.
第四步：回归代数问题.
第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
高三数学教学计划
高三数学教学计划高三数学教学计划一一、指导思想。
研究新教材，了解新的信息，更新观念，探求新的教学模式，加强教改力度，注重团结协作，面向全体学生，因材施教，激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学素质，全力促进教学效果的提高。
二、学生基本情况。
新的学期里，本人任教高三10、11班两个文科班的数学课，这些学生大部分基础知识薄弱，没有自主学习的习惯，自制能力差，上课注意力不集中，容易走神，课后独立完成作业能力差，懒惰思想严重，因此整个高三的复习任务相当艰巨。
三、工作措施。
1、认真学习《考试说明》，研究高考试题，提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，备考的依据。
高考试题是《考试说明》的具体体现。
因此要认真研究近年来的考试试题，从而加深对《考试说明》的理解，及时把握高考新动向，理解高考对教学的导向，以利于我们准确地把握教学的重、难点，有针对性地选配例题，优化教学设计，提高我们的复习质量。
2、教学进度。
按照高三数学组学年教学计划进行，结合本班实际情况，进行第一轮高三总复习，预计在2月底3月初完成。
配合学校举行的月考，并及时进行教学反思。
3、了解学生。
通过课堂展示、学生交流互动、批改作业、评阅试卷、课堂板书以及课堂上学生情态的变化等途径，深入的了解学生的情况，及时的观察、发现、捕捉有关学生的信息调节教法，让教师的教最大程度上服务于学生。
对于基础较薄弱的学生，应多鼓励、多指导学法，增强他们学下去的信心和勇气。
4、精心备课。
精心的备好每一节课，努力提高课堂效率，平常多去听同科教师的课，向老教师学习经验和好的教学方法，努力提高自己的任教能力。
5、优化练习。
提高练习的有效性：知识的巩固，技能的熟练，能力的提高都需要通过适当而有效的练习才能实现。
练习题要精选，题量要适度，注意题目的典型性和层次性，以适应不同层次的学生;对练习要全批全改，做好学生的错题统计，对于错的较多的题目，找出错的原因。
练习的讲评是高三数学教学的一个重要的环节，不该讲的就不讲，该点拨的要点拨，该讲的内容一定要讲透;对于典型问题，要让学生展示讲解，充分暴露学生的思维过程，加强教学的针对性。
高考数学复习数形结合教案
数形结合思想教学设计一、考情分析在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
高中数学数形结合教案
高中数学数形结合教案
主题：数学与数形结合
教学目标：
1. 能够熟练掌握常见数形的性质和相关计算方法；
2. 能够运用数学知识解决实际问题；
3. 能够灵活运用数形结合的思维方式解决各类问题。
教学重点：
1. 数形的性质和计算方法；
2. 数学与数形结合的思维方式。
教学内容：
1. 基础数形的性质和计算方法；
2. 数形结合的应用实例。
教学步骤：
第一步：引入
通过展示一些常见的数形，引导学生思考数形之间的联系和应用。
第二步：学习数形的性质和计算方法
1. 讲解常见数形（如矩形、三角形、圆等）的性质和计算方法；
2. 练习相关计算题目，巩固学生对数形的理解和应用能力。
第三步：数形结合的思维方式
1. 介绍数形结合的思维方式，引导学生掌握解决问题的方法；
2. 指导学生运用数形结合的思维方式解决实际问题。
第四步：综合练习
组织学生进行综合练习，检验他们的数形结合能力。
第五步：总结与反思
总结本节课的学习内容，鼓励学生积极思考数形结合的应用领域，并提出问题和建议。
教学方式：
1. 教师讲解与学生练习相结合；
2. 个别指导与小组合作相结合。
教学工具：
1. 黑板和彩色粉笔；
2. 教科书和练习册；
3. 数学工具箱。
教学评价：
通过课堂练习和作业评估学生的学习情况，检查学生对数形结合的理解和应用能力。
《“数形结合”思想在高中数学中的应用》ppt课件
B. 2个 D. 1个或2个或3个
6
一.与方程有关的问题
例1 已知0 a 1，则方程a|x| | log a x |的实根个数为Ｂ()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或3个
解析：判断方程的根的个数就是判断图象 y a|x|与y | loga x |
的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交 点．故方程有2个实根，选（B）。
高三数学第二轮专题复习
“数形结合”思想 在高中数学中的应用
1
x1 x
考题热身
r
已知向量a (cos 75o,sin 75o),
r
b (cos15o,sin15o),
x1 x
rr
求 a b 的值等于多少？
rr 答案：a b 1
2
数形结合思想
复习目标
数学：数量关系、空间形式 数形结合：以形助数、以数解形 复杂问题简单化、抽象问题具体化
值范围
答案
2. 已知复数z满足6|、z 2 2i | 2则，|z|的最大值为
答案
3.若关于x的方程x 2 – 4|x| + 5 = m有四个不相等的实根 则实数m的取值范围为____ 答案
4.若不等式 4x x2 (a 1)x 的解集为A，且A {x | 0x
2}，求a的取值范围。 答案
22
1.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,求常数 k的取值范围 {k|k≥4或k<0}
解析：方程lg(kx)=2lg(x+1)的解 等价于两线交点
y=kx, (y>0)
如图：
y
y=(x+1)2 , (x>-1)
高三数学上册教案5篇
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数形结合思想的应用
数形结合思想的应用方法解读1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．应用数形结合的思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手： ①函数与函数图象．②不等式与函数图象．③曲线与方程．④参数本身的几何意义．⑤代数式的结构特点．⑥概念自身的几何意义．⑦可行域与目标函数最值．⑧向量的两重性．典例分析一、数形结合思想在方程与不等式中的应用例1、设关于θ的方程√3cosθ+sinθ+a =0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α+β的值．解：(1)原式可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y =sin (x +π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是{−1<−a 2<1−a 2≠√32 ,即 −2<a <−√3 或 −√3<a <2 .(2)由图知：当 −√<a <2，即 −a 2∈(−1,√32) 时，直线y =−a 2与三角函数y =sin (x +π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴ α+β2=7π6，∵α+β=73π . 当−2<a <−√3 ，即−a 2∈(√32,1 ) 时，直线y =−a 2与三角函数y =sin (x +π3)的图象交于A 、B ，由对称性知，α+β2=π6，∵α+β=π3， 综上所述，α+β=π3 或 α+β=73π .归纳拓展 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．课堂练习1、设有函数f (x )=a +√−x 2−4x 和g (x )=43x +1，已知x ∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a 的取值范围．解:f(x)≤g(x)，即a +2−4x ≤43x +1，变形得√−x 2−4x ≤43x +1−a ，令y =√−x 2−4x ，①y =43x +1−a ②①变形得(x +2)2+y 2=4(y ≥0)，即表示以(−2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1−a 的平行直线系． 设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为：y =43x +b(b ＞0)，则圆心(−2,0)到AT 的距离为d =|−8+3b |5，由|−8+3b |5=2得，b =6或−23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤−5时，f(x)≤g(x) ．二、数形结合思想在求代数式或参数范围的应用例2、已知实系数一元二次方程x 2+ax +2b =0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1) 点(a,b)对应的区域的面积；(2) b−2a−1的取值范围；(3) (a －1)2+(b －2)2的值域．解:(1)方程x 2+ax +2b =0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y =f (x )=x 2+ax +2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内．由此可得不等式组{f (0)>0,f (1)<0,f (2)>0⇒{b >0, a +2b +1<0,a +b +2>0由{a +2b +1=0,a +b +2=0解得A(−3,1)． 由{a +b +2=0,b =0解得B(−2,0)． 由{a +2b +1=0b =0解得C(−1,0)．∴在如图所示的aOb 坐标平面内，满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．△ABC 的面积为S △ABC ＝12×BC ×ℎ=12 (ℎ为A 到Oa 轴的距离)．(2)b−2a−1的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率．∵k AD =2−11+3=14，k CD =2−01+1=1，由图可知k AD <b−2a−1<k CD ，∴14<b−2a−1<1，即b−2a−1∈(14,1)． (3)∵(a －1)2+(b －2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方， ∴(a －1)2+(b －2)2∈(8,17)．归纳拓展 b−n a−m 型表示坐标平面上两点(a,b)，(m,n)连线的斜率，√(a －m)2+(b －n)2表示这两点间的距离，解决此类问题时，一定要注意观察，联想数与形的对应类型，就能自然地运用数形结合的思想方法．课堂练习2、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=3(y ≥0)，m =y+1x+3，b =2x +y .(1)求m 的取值范围；(2)求证：b ∈[−2√3,√15]．(1)解:m 可看作过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上的点M(x,y)和定点A(−3,−1)的直线的斜率．由图可知k 1≤m ≤k 2(k 1，k 2分别为直线AM 1，AM 2的斜率)，k 1＝13＋3＝3－36， 圆心到切线k 2x −y +3k 2－1＝0的距离为d = |3k 2－1|k 22＋1＝3，k 2= 3±216(舍去负值)， ∴3－36≤m ≤3＋216. (2)证明:b 可看作斜率为−2，过半圆x 2+y 2=3(y ≥0)上一点P(x,y)的直线在y 轴上的截距．由图可知n 2≤b ≤n 1，P 2C 有方程为y =−2(x +√3)，令x ＝0，y =n 2=−2√3 ，∵圆心到切线P 1B ：2x +y +c =0的距离d = |c |5＝3，∴c =±15，n 1= 15，∴－23≤b ≤15.课后作业1、已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值为________．解析:如图，设OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −c ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c . 由题意知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2 .2、已知直线l 1：4x −3y +6=0和直线l 2：x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为________．解析:记抛物线y 2=4x 的焦点为F ，则F(1,0)，注意到直线l2：x =−1是抛物线y 2=4x 的准线，于是抛物线y 2=4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于PF ，问题即转化为求抛物线y 2=4x 上的动点P 到直线l 1：4x −3y +6=0的距离与它到焦点F(1,0)的距离之和的最小值，结合图形，可知，该最小值等于焦点F(1,0)到直线l 1：4x −3y +6=0的距离，即等于|4×1－3×0＋6|5＝2.3、已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx .(1)若函数y =f(x)在x =2处有极值−6，求y =f(x)的单调递减区间；(2)若y =f(x)的导数f /(x)对x ∈[－1,1]都有f /(x)≤2，求b a−1的范围． 解:(1)f /(x )=3x 2+2ax +b ，依题意有{f /(2)=0f (2)=−6 ,即⎩⎨⎧ 12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎨⎧ a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13<x <2. ∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.(2)由⎩⎨⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎨⎧ 2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎨⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝－1. ∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线斜率． ∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2， 即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．。
《高中数学教学中渗透数形结合思想方法的实践研究》
《高中数学教学中渗透数形结合思想方法的实践研究》数学课题结题报告常州市武进区礼嘉中学数学课题组顾海燕、庄晓燕一、研究背景：1.研究背景：数形结合作为数学教学中非常重要的思想萌芽于古希腊，欧几里德就著有《几何原本》，后到十七世纪笛卡尔建立平面直角坐标系并发表了《几何学》。
后来费马用代数方法研究古希腊的几何学，发表著作《平面与立体轨迹引论》，自此后，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。
我国的数形结合开始于公元前十五世纪的甲骨文记载，在其中就有了“规”和“矩”二字的存在。
规是用来画圆的，矩是用来画方的。
汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理。
中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机地配合起来，在实践中获得良好的效果。
近代来，我国著名的数学家就说过：“数缺形式少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
”2.研究意义：通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛，更深入了，其次是为代数课提供了几何直观。
由于代数借用的几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力，如线性代数正是借用几何学中的空间，线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的。
代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合，相互促进，使我们加深了对数低关系与空间形式的认识。
正如拉格朗日所说“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。
”而且数形结合从方法角度能给人们以重要的启示。
在平面上把点与数，曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发数学家们把一个个函数视为点，而把某类函数的全体视为“空间”。
数形结合也是数学学科分支建立的内驱力。
可以说，从知识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。
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第十三专题 数形结合思想
考情动态分析：
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复复杂问题简单化、抽象总是具体化，从而起到优化解题途径的目的.
一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法.
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果.
数形结合的重点是研究“以形助数”，但以数解形在近两年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视.
数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在三角函数问题中都有充分体现.运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择题、填空题解答中更显优越.
第一课时 方程、函数中数形结合问题
一、考点核心整合
利用“形”的直观来研究方程的根的情况，讨论函数的值域（或最值），求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，能使烦琐的数量运算变得简捷.
二、典例精讲：
例1 方程的实根的个数有（ ） A 、1个 B 、2个
C 、3个
D 、无穷多个
例 2 已知函数x x x g x x f 2)(|,|23)(2
-=-=，构造函数)(x F ，定义如下：当)()(x g x f ≥时，)()(x g x F =；当)()(x g x f <时，)()(x f x F =.那么)(x F （ ） A 、有最大值3，最小值1-
B 、有最大值727-，无最小值
C 、有最大值，无最小值
D 、无最大值，也无最小值
例3 已知0>x ，设:P 函数x
c y =在R 上单调递减；:Q 不等式1|2|||>-+c x x 的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围.
例 4 已知0>a ，且方程022
=++b ax x 与方程022
=++a bx x 都有实数根，求b a +的最小值.
三、提高训练：
（一）选择题： 1．函数||x a y =和a x y +=的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A 、),1(+∞
B 、)1,1(-
C 、),1[]1,(+∞--∞
D 、),1()1,(+∞--∞
2．已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3
sin(2π
有两个不同的实数解，则实数a 的
取值范围为（ ）
A 、]2,2[-
B 、]2,3[
C 、]2,3(
D 、)2,3(
3．已知)(2))(()(b a b x a x x f <---=，且βα、是方程0)(=x f 的两根)(βα<，则实数βα、、、b a 的大小关系为（ ）
A 、βα<<<b a
B 、b a <<<βα
C 、βα<<<b a
D 、b a <<<βα 4．方程2log ,2log 23=+=+x x x x 的根分别是βα、，那么α与β的大小关系是（ ） A 、βα>
B 、βα<
C 、βα=
D 、不确定
5．已知)1(log )(2+=x x f ，且0>>>c b a ，则
c c f 、
b b f 、a a f )
()()(的大小关系是（ ） A 、
c c f b b f a a f )
()()(>
> B 、a a f b b f c c f )()()(>
> C 、c
c f a a f b b f )()()(>
>
D 、b
b f
c c f a a f )()()(>
> （二）填空题：
6．
40cos 20cos 40sin 20sin --=_____________；
7．已知关于x 的方程m x x =+-5||42
有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围是
_____________________. （三）解答题：
8．设方程0sin cos 3=++a θθ在)2,0(π上有相异两解βα、. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求βα+的值.
9．已知012462
2
≤+--+b a b a ，求2
2
b a +的最值. 10．设R x ∈，求函数11)(22+-+++=
x x x x x ϕ的值域.
第二课时 不等式、解析几何中的数形结合
一、考点核心整合
数形结合的本质是：
几何图形的性质反映了数量关系； 数量关系决定了几何图形的性质；
数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助地形的几何直观来阐明数之间的某种关系.
把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，把形作为手段的数形结合主要体现在不等式、方程的根、函数的值域、距离、面积等之中.
本节的主要内容是：1、利用函数的性质解不等式问题；2、利用数形结合的方法求解析几何中的变量的取值范围问题.
二、典例精讲：
例1 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是____________________.
例2 已知实数、y x 满足y x b x y m y y x +=++=
≥=+2,3
1),0(32
2.
求证：（Ⅰ）
6
21
3633+≤≤-m ； （Ⅱ）1532≤≤-b .
例3 已知向量)0,2(=OB ，向量)sin 2,cos 2(αα=OA ，求向量与向量夹
角的范围.
例4 解不等式813613622≤+++
+-x x x x .
三、提高训练：
（一）选择题：
1．设1
101
10,1101102002200120012000++=++=N M ，则M 与N 的大小 关系为（ ）
A 、N M >
B 、N M =
C 、N M <
D 、无法判断
2．如果实数、y x 满足不等式3)2(2
2=+-y x ，那么x
y 的最大值是（ ）
A 、2
1
B 、33
C 、23
D 、3
3．方程|2|)1(2)1(222++=-+-y x y x 表示的曲线是（ ） A 、抛物线
B 、椭圆
C 、双曲线
D 、圆
4．已知点P 是抛物线x y 42
=上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线
0122=-+y x 的距离为2d ，则21d d +的最小值是（ ）
A 、5
B 、4
C 、55
11
D 、511
5．曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的
取值范围是（ ） A 、]4
3,125(
B 、),12
5
(
+∞ C 、]4
3,31(
D 、)12
5,
0( （二）填空题：
6．不等式112->+x x 的解集是___________________.
7．当)2,1(∈x 时，x x a log )1(2
<-恒成立，则a 的取值范围是__________________.
（三）解答题：
8．已知R 、b a ∈，且01=++b a ，求证：18)3()2(2
2
≥-+-b a .
9．已知、y x 满足022
2
=-+y y x ，欲使不等式0≥++c y x 恒成立，求c 的取值范围.
10．设)(1)(2R x x x f ∈+=，对任意R 、b a ∈，且b a ≠， 证明：|||)()(|b a b f a f -<-.。