2015届高考二轮复习 专题八 第2讲 数形结合思想

2 ∴圆 C 的最小半径为 ， 5 2 2 4 ∴圆 C 面积的最小值为 π( ) ＝ π. 5 5
答案
A
1
2
3
4 真题感悟
2 － x ＋2x，x≤0， 3.(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ lnx＋1，x>0.
若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围是( A.(－∞，0] C.[－2,1]
作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象
如图所示， 由图可得交点有3个. 答案 C
热点二
利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2
(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，
且 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 若 f(1) ＝ 0 ， 则 满 足 (－1,0)∪(0,1) x· f(x)<0的x的取值范围是____________. 解析 作出符合条件的一个函数图象
若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取 值范围是( 1 A.(0， ) 2 C.(1,2) ) 1 B.( ，1) 2 D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，
如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，
1 当直线g(x)＝kx过A点时斜率为 ， 2 1 故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为( 2 1). 答案 B
时可能先作适当调整，以便于作图 ) ，然后作出两
个函数的图象，由图求解.
热点分类突破
热点一 热点二 利用数形结合思想讨论方程的根 利用数形结合思想解不等式、求参数范围
热点三
利用数形结合思想解最值问题
热点一
利用数形结合思想讨论方程的根
例1
(2014· 山东)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，
答案 A
1
2
3
4 真题感悟
2.(2014· 江西)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴 和 y 轴上的动点， 若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x＋y －4＝0 相切，则圆 C 面积的最小值为( 4 A. π 5 C.(6－2 5)π 3 B. π 4 5 D. π 4 )
1
2
3
4 真题感悟
|m＋1| 而当直线与圆相切时有 ＝1， 2 又 m>0，所以 m＝ 2－1，
故 m 的取值范围是 m≥ 2－1.
答案 [ 2－1，＋∞)
(2)若不等式 9－x2≤k(x＋2)－ 2 的解集为区间[a，b]，且 b 2 －a＝2，则 k＝________. 解析 令 y1＝ 9－x2，y2＝k(x＋2)－ 2， 在同一个坐标系中作出其图象， 因 9－x2≤k(x＋2)－ 2的解集为[a，b] 且 b－a＝2.
圆心，则四边形PACB面积的最小值为________. 解析 从运动的观点看问题，当动点P沿
直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷
远处运动时，
1 1 直角三角形 PAC 的面积 SRt△PAC＝ |PA|· |AC|＝ |PA| 2 2 越来越大，从而 S 四边形 PACB 也越来越大；
当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB
m≥0} ， 则 使 A⊆B 成 立 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是
_______. 解析 集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，
集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的
点的集合，
要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含
(如图)， 即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离 (在圆的下方)，
解析
为 2，
由题意，知圆的圆心坐标为 (3，－1)，圆的半径长
|PQ|的最小值为圆心到直线 x＝－3的距离减去圆的半径长，
所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.
x－y＋1≤0， (2)若实数 x、y 满足x>0， y≤2，
y 则 的最小值是____. x
解析 可行域如图所示. y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点 x 连线的斜率k. 由图知，过点A的直线OA的斜率最小.
(3)简单性原则 .不要为了“数形结合”而数形结合 . 具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要 选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好 转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值
范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与
定二次曲线.
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的
变小，
显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，
S四边形PACB应有唯一的最小值，
|3×1＋4×1＋8| 此时|PC|＝ ＝3， 2 2 3 ＋4
从而|PA|＝ |PC|2－|AC|2＝2 2. 1 所以(S 四边形 PACB)min ＝2× ×|PA|×|AC|＝2 2. 2
答案 2 2
x－y＋1＝0， 联立 得 A(1,2)， y＝2，
2－ 0 y 所以 kOA＝ ＝2.所以 的最小值为 2. x 1－ 0
答案
2
本讲规律总结
1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表
示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义
等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题 的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关 系，达到解题的目的.
结合图象知 b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2＋ 2 又因为点(－2，－ 2)在直线上，所以 k＝ ＝ 2. 1＋2
热点三
利用数形结合思想解最值问题
例3
(1) 已知 P 是直线 l ： 3x ＋ 4y ＋ 8 ＝ 0 上的动点， PA 、 PB
是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是
解析
∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上.
设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，
则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，
∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物
线上，
∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.
1
2
3
4 真题感悟
|2×0＋0－4| 4 又|OD|＝ ＝ ， 5 5
思 维 (2) 如果 ( 不 ) 等式、代数式的结构蕴含着明显的 升 几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来 华
最值.
解题，即所谓的几何法求解.
变式训练3
(1)(2013· 重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是
直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( B )
A.6 B.4 C.3 D.2
变式训练1
2 x ＋bx＋c，x≤ 0， 设函数 f(x)＝ 若 f(－4)＝f(0)，f(－2) 2， x>0，
＝－2，则关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
)
解析
由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
x2＋4x＋2，x≤0， 解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝ 2， x>0.
2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，
这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达 到解题的目的. 3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出 即可，不需要精确图象.
4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜
率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；
点到直线的距离公式等.
法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇 特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的
训练，以提高解题能力和速度 . 具体操作时，应注
意以下几点：
(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的
个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有
)
B.(－∞，1] D.[－2,0]
1
2
3
4 真题感悟
解析
函数y＝|f(x)|的图象如图.
①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立.
②当a>0时，只需在x>0时，
ln(x＋1)≥ax成立.
比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度.
显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立.
1
2
x－ 2y＋1≥0， (2)已知点 P(x，y)的坐标 x，y 满足 |x|－ y－ 1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是( A.[2,4] C.[4,10] B.[2,16] D.[4,16]
)
解析 画出可行域如图，所求的x2＋y2－
6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上
求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的 图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两
思 个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位 维 升 置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避 华
免烦琐的y)|x2 ＋ (y－ 1)2 ＝ 1} ， B＝ {(x ， y)|x ＋ y＋
)
1
2
3
4 真题感悟
解析
设 P(x,0) ， 设 C1(2,3) 关 于 x 轴 的 对 称 点 为
C1′(2，－3)，
那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2| ＝ 2－3 ＋－3－4 ＝5 2.
而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5 2－4.
2 2
属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程