考虑激电效应的MT贝叶斯反演

1.地球物理反演问题的描述
在地球物理反演中，通常使用m表示M维模型向量，d表示N 维数据向量，
数 据：
d d1 , d 2 , d3 , d 4, , d N
d f(m) d G(m)
N i 1
T
T
模型参数： m m1 , m2 , m3 , m4, , mM 线 性 问 题： 非线性问题：
Cole-Cole模型
(j )=
1 ] 1 m j [1 cj 1 mj 1 (i j )
j
频率相关系数c改变的激电效应特性曲线
4.考虑激电效应的大地电磁正演
Cole-Cole模型
(j )=
1 ] 1 m j [1 cj 1 mj 1 (i j )
后验概率密度函数（PPD）：
p(mi | d )

exp[ (mi )]
Q j
exp[ (m j )]

exp[ (mi ) / (kT )]
Q j
exp[ (m j ) / ( kT )]
在均匀分布[0，1]中生成一个随机数 ξ
Metropolis接受准则：
exp( / T )
p(m | d)
p(m) p(d | m) p(d)
对于PPD我们关心的不是其具体值的大小二是其比例分布：
MT观测数据为不同频率下的一组视电阻率，相应的似然函数为：
L(m| d) f1 (d1 | m)f2 (d2 | m)f3 (d3 | m) f F (dF | m)
当数据误差为高斯分布时：
似然函数： L(m | d)
i 1 F
(di di (m))2 1 exp[ ] 2 2 i 2 i
能量越小似然 函数的值越大
能量函数： E (m) 1 (d d(m))T C1 (d d(m))
2
p(m | d) exp( (m))
exp( (m))dm '
exp[ (m j )]
V Q I f (mi ) p(mi | d) Q i 1
Monte Carlo重点采样：
以g(m)为重点采样函数，在模型空间抽取Q个模型，归一化条件为：
g | d) 1 Q f (mi ) p(mi | d) g (m)dm g (m) Q i 1 g (mi )
5.激电频谱参数的提取
一维边缘概率分布
5.激电频谱参数的提取
二维边缘概率分布
5.激电频谱参数的提取
三层低阻高极化模型
模型参数
ρ1 ρ2 ρ3 h1 h2 c1 c2 c3 m1 m2 m3 τ1 τ2 τ3 真实模型 搜索区间
目标函数： （m）=[dai dci (m)]2
1.地球物理反演问题的描述
地球物理的各种反演方法，归根到底都是一个对目标函数（或 概率、概率密度）的最优化过程，只是实现的途径个方法不同。
2.贝叶斯反演理论
反演的观点分类：
（1）确定性的观点与方法 常规的地球物理反演方法：将观测数据和模型
3.1模拟退火法
SA算法过程
降温外循环：选取初始温 度T0，每次接受模型或超过 内循环次数降低温度。 等温内循环：设置最大内 循环次数，随机生成新模型 直到找到满足要求的模型或 达到最大次数跳出内循环。 Metropolis接受准则:
1 p(mi m j ) E ( mi ) E ( m j ) exp[ ] kbT E (m j ) E (mi ) E (m j ) E (mi )
向量都看做确定的量，反演问题就是求解使目标函
数处于全局最小时的模型。 （2）概率统计的观点与方法
贝叶斯反演：将观测数据和模型向量都看做是
随机变量，反演问题的解可以从后验概率密度函数 中提取。
2.贝叶斯反演理论
贝叶斯公式： p(m | d)
p(m) p(d | m) p(d)
p(m)：模型参数的先验概率分布，可以是均匀分布或高斯分布 p(d ) ：归一化常数， p(d) p(m) p(d | m)dm p(d|m)：给定模型m使数据d的概率分布，它反映了模型与数据 的匹配程度，也称似然函数L(m|d) p(m|d)：后验概率密度函数，包含一个反演问题所有解的信息
ˆ m 99.95 589.72 48.53 498.12 1007.5 9.56E-04 0.112 4.78E-02 7.38E-05 0.289 2.767E-04 15.05 44.67 10.66
m
102.01 608.54 51.46 496.6 1019.3 0.012 0.121 0.023 0.002 0.309 0.003 13.32 50.78 15.98
当g(m)=1/V时为标准Monte Carlo采样
1 Q 当g(m)=p(m|d)时，积分可以简化为： I f (mi ) Q i 1
积分的关键在于构造以PPD为 分布的采样函数
3.2数值采样积分
根据热力统计学，在温度T时，系统能量ϕ(mi) 处于状态mi的概率服从Gibbs分布
pG (mi | T )
3.1模拟退火法
物理退火过程：
加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原 先可能存在的非均匀态； 等温过程——对于与环境换热而温度不变的封 闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减 少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达 到平衡态； 冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序， 系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。
T=1，K=1时的Gibbs分布就是后验概率分布
基于马尔科夫链的蒙特卡洛采样（MCMC）
q(m p | mc ) U (mc sm; mc sm)
p(d | m p ) p(m p ) pa (m p , mc ) min 1, p ( d | m ) p ( m ) c c
v
一维边缘概率分布： p(m | d) i
二维边缘概率分布： p(m , m i j
(m m ) p(m | d)dm | d) (m m ) (m m ) p(m | d)dm
v i i v i i j j
2.贝叶斯反演理论
p(m | d ) L(m | d)
Rj
j 1 R j 1 j th(ik j h j ) j j 1 R j 1th(ik j h j )
用表征激电效应的复电阻率代替水平层状大地的介质电阻率 得到的就是考虑激电效应的大地电磁正演
4.考虑激电效应的大地电磁正演
选取电阻率为100Ω· m的均匀半空间模型， 频谱参数c=0.1、m=0.1、τ=1，依次改变 其中一个参数，其他参数不变
MSA在搜索区间随机生成新模型
MSA反演参数搜索轨迹图
3.1模拟退火法
极快速模拟退火（VFSA）根据类Cauchy分布生成新模型
mi k 1 mi k yi (mi max mi min )
yi T sgn(u 0.5)[(1 1/ T )|2u 1| 1]
1 x0 sgn( x) 0 x 0 1 x 1
j
充电率m改变的激电效应特性曲线
时间常数τ改变的激电效应特性曲线
5.激电频谱参数的提取
两层低阻高极化模型
模型参数 ρ1 ρ2 h1 真实模型 400 100 500 搜索区间 [0,1000] [0,1000] [0,1000]
ˆ m
400.10 101.67 499.98
m
400.94 101.47 497.96
不同温度下的扰动路径
不同温度下类柯西分布的统计图
3.1.模拟退火法
VFSA电阻率和厚度反演轨迹 最优模型：ρ1=699.96，ρ2 =101.02，ρ3 =500.17，h1 =998.59，h2 =506.68 真实模型：ρ1=700，ρ2 =100，ρ3 =500，h1 =1000，h2 =500
反演信息的提取：
ˆ Argmax p(m | d) Argmin (m) 最大后验概率模型：m
概率期望模型： 模型协方差： Cm (m m)(m m) p(m | d)dm
T v
m m p (m | d)dm
v
积分的一般形式：
I f (m ) p (m | d)dm
c2
m2
0.2
0.3
[0, 0.6]
[0, 0.6]
0.202
0.297
0.16
0. 37
τ2
0.1
[0, 100]
0.105
24.83
5.激电频谱参数的提取
二维边缘概率分布
5.激电频谱参数的提取
三层高阻高极化模型
模型参数 ρ1 ρ2 ρ3 h1 h2 c1 c2 c3 m1 m2 m3 τ1 τ2 τ3 真实模型 100 600 50 500 1000 0 0.1 0 0 0.3 0 0 40 0 搜索区间 [0,1000] [0, 1000] [0,1000] [0,2000] [0,2000] [0, 0.6] [0, 0.6] [0, 0.6] [0, 0.6] [0, 0.6] [0, 0.6] [0.001,100] [0.001,100] [0.001,100]
v
(m) E(m) loge P(m)
模型空间中绝大多数的似然函数L(m|d)都非常小，接近于0
3.1模拟退火法
SA得到最 优模型 最优模型附近 数值采样积分
模拟退火法（Simulated Annnealing，简称SA）源于统计热力物理 学，它模拟物质从熔融状态下缓慢冷却到结晶的物理过程
4.考虑激电效应的大地电磁正演