傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数

本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的物理含义。

1. 完备正交函数集

要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数卿（1），化（1）1，b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足

j £卩心)仞MM = {监°

如果是复数集，那么正交条件是

j tpi(l)(p j ⑴山—

{K ]"

甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。

有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数 集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。

先证明三角函数集：

设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得

ft +H

I COS ticoleos iiiwl dt J L,

当n 工討时

=J ：綁卜恥(口 十

十 COS tn - m)wt| di

]ITsL (n+ ni}

+ (I1-T11>O J

=0 (n,m=1,2,3,…；n 壬 ml )

当n=m 时

再证两个都是正弦的情况 设加（0 = sin

阮（0 ’in mst ,把曲1）.帥⑴|代入⑴得

/ t"T

tc

~2[ fn + Tr>n)

=J ： * *cos2no>t dt _T

最后证明两个是不同名的三角函数的情况

设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得

Sr 『S + T

q>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41

L

tip

=^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n -

ni)o>tl dt

1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数)

因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。

由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。

接着是复指数函数集的证明

设讹恥⑴™^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得

加；⑴山=叫伽恤

当时，根据欧拉公式

/

/ S+T

tc

当n 盖血时

=丿："|凶£ (n 十 in)«t -心(11 - tti)曲 I 山

* to

]|sui (n+ ni)cot siii

tn - tc =0

(n,m=1,2,3，…；n 士 n 』)

当n=m 时

(n ■+ m)co

=丿:“心朋（n - m ）血+ j 如用做n -

S131 (n - mj&r * we 就n - m>artl h T T -(n - n 讹 'J (11 - «1)帅 1

当n=m 时,

（n ；m=1；2；3；…,n = m ）

所以，复指数函数集也是正交函数集。因为 n, m 的取值范围是所有整数,

所以复指数函数集是完备的正交函数集。

明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为， 在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。 有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分, 分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出 来。

把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表 示他，比如一个复杂的信号f （X ）o|把它分解，就是

f （x ） -in （piO ） + 112>P2（C +…+】WnW 其中0（t ），徑⑴，…是我们所熟悉的函数，比 如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解 出来的函数，以及前方的系数n,然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数 集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，

集合里面

的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有 3条轴，3 条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴， 又不能准确地表达立体空间上所有的点， 所以3条就是完备的。对于一个函数集

的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元 素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。

既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集， 那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。

用复指数函数集来表示一个复杂信号fd ）：

f(l) =ni(pi(l) + I12(p2(t) + …工二小恤(t)

其中，QnW =严t (n=1,2,3，…;n)。 用三角函数集表示一个复杂信号KO ：

f(t) = no + + a ：cos2(ix)t + …+ bjsiiiwol + bzsmtoot + …”

=ao + £二 jbiLCg (uft^cit) + biisinCnrt>ot)l

=0

(n,m=1,2,3,…,n 盘 m )

=1