傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数通俗解析
=
=
=0 (n,m=1,2,3,…,n ) 当 n=m 时
=
= 最后证明两个是不同名的三角函数的情况
设
，
,把
代入(1)得
=
=
=0
(n,m 为任意整数)
因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个
皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满
足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备
息就喷涌而出。根据所叠加的不同三角函数的 不同，我们可以以 为 x 轴，作
频率谱线，研究一个信号所叠加的不同频率。根据所叠加的不同三角函数的 不
同，我们还可以以 为 x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
7
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得 到了启发。我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中 的意义。
傅里叶级数通俗解析
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级 数代表的物理含义。
1.完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数
,… 构成一个函数集，若这些函数在区间
上满足
如果是复数集，那么正交条件是
杨煜基 2016 年 3 月
8
用
化简合并得到
(8) 对于(8)式。其中的参数有
和
另
(8)式可化成
(9) 6
(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。 现在求 ，将上式两边同乘 ，并在一个周期内求积分得：
当 m=n 时
傅里叶变换最通俗的理解
傅里叶变换最通俗的理解傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个周期性信号分解成多个不同频率的正弦波，并且可以将非周期性信号转换成一个连续的频谱图。
在信号处理、图像处理、音频处理等领域中，傅里叶变换被广泛应用。
本文将从以下几个方面来解释傅里叶变换的原理和应用。
一、什么是傅里叶级数在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶级数。
傅里叶级数是一种将周期性函数表示为无穷多个正弦和余弦函数之和的方法。
具体地说，给定一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中ω=2π/T，a0、an和bn是常数系数。
这个式子意味着，任何一个周期函数都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
这就是傅里叶级数的基本思想。
二、什么是离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散时间序列（例如数字信号）转换为频域表示的方法。
它可以将一个长度为N的离散时间序列x(n)转换成一个长度为N的复数序列X(k)，其中k=0,1,...,N-1。
具体地说，DFT可以用以下公式表示：X(k) = Σ(x(n)*exp(-j2πnk/N))其中j是虚数单位，n和k分别是时间和频率的索引。
这个式子意味着，任何一个离散信号都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
DFT将原始信号转换成了一组复数表示，其中每个复数表示了对应频率上正弦波和余弦波的振幅和相位。
三、什么是傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是一种将连续时间信号转换为频域表示的方法。
它可以将一个连续时间函数f(t)转换成一个连续频谱函数F(ω)，其中ω是角频率。
具体地说，FT可以用以下公式表示：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt这个式子意味着，任何一个连续信号都可以被分解成由不同角频率的正弦波组成的积分。
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数和函数公式傅里叶级数是十九世纪初第二次工业革命时期最重要的数学发现之一，它也被称为“傅里叶级数理论”。
它是由法国数学家约瑟夫傅里叶于1822年首次提出的。
傅里叶级数可以用来描述一个函数的一般表示形式，或者更大的形式。
简单来说，傅里叶级数定义了一个易于表示和分析的函数公式，该公式用于将任意函数表示为无穷多的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的基本思想是将一个连续的、可积分的周期函数的值表示为一系列的正弦和余弦函数的加权和。
另外，傅里叶级数还可以用来表示非周期函数，即使这些函数没有看上去有任何规律。
傅里叶级数的主要思想是：把一个函数形式地分解成无穷多个正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶级数在许多领域，如比较分析学、通讯学和信号处理学中都有应用。
比如，在数字图像处理中，可以使用傅里叶变换来处理图像信号。
在通讯学中，可以使用傅里叶级数来分解信号，以便进行更精确的处理。
傅里叶级数的函数公式可以表示为：f (x) = a_0 + sum_{n = 1}^{infty} left[ a_n cos left( frac{n pi x}{L} right) + b_n sin left( frac{n pi x}{L} right) right] 其中，a_0 为常数项，a_n b_n变量系数，L 为周期长度。
在特定的函数中，系数 a_n b_n值可以通过傅里叶级数定理进行计算。
比如，若 f (x) 为一个周期为 L函数，则其系数 a_n b_n值分别可以表示为：a_n = frac{2}{L} int_{0}^{L} f (x) cos left( frac{n pi x}{L} right) , dxb_n = frac{2}{L} int_{0}^{L} f (x) sin left( frac{n pi x}{L} right) , dx而 a_0可以表示为：a_0 = frac{1}{L} int_{0}^{L} f (x) , dx从上面的公式可以看出，傅里叶级数的系数 a_n b_n际上是函数 f (x)正弦和余弦函数上的加权和。
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换中国航天科工集团二院706所宋晓秋一、傅里叶级数(1) 一个周期为2π的函数表示成不同周期的正弦函数、余弦函数之和。
f t=a02+a n cos nt+b n sin nt ∞n=1a n=1πf t cos nt dtπ−π,n=0,1,2,⋯b n=1πf t sin nt dtπ−π,n=1,2,3,⋯(2) 周期为T的函数怎么办？做下变换，令ω=2πTf t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯(3) 时域、频域的概念f t是随时间t变化的函数，它转换成了不同频率(周期的倒数)三角函数的和，即对应成了反映频率特征的a n、b n。
直接分析f t那是时域分析，通过a n、b n分析那是频域分析。
(4) 傅里叶级数的复数表达形式基础知识：复数e ix=cos x+i sin x，可知cos nωt=12e inωt+e−inωtsin nωt=12ie inωt−e−inωt将其代入下式的傅里叶级数（这里ω=2πT）f t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯得到傅里叶级数的复数表达形式f t=F n e inωt∞n=−∞F n=1Tf(t)e−inωt dtT2−T2,n=⋯,−2,−1,0,1,2,⋯同理，直接分析f t那是时域分析，通过F n分析那是频域分析。
记住周期函数的傅里叶级数复数表达形式，由此引出傅里叶变换。
二、傅里叶变换对于非周期函数怎么办？当然是让T→∞了,可以证明此时有f t=F n e inωt∞n=−∞→12πF(iΩ)e iΩt dΩ∞−∞F n T = f (t )e −inωt dt T 2−T 2→ f (t )e −iΩt dt ∞−∞=F (iΩ)直接分析 f t 那是时域分析，通过 F (iΩ)分析那是频域分析。
概述傅里叶变化的主要内容
概述傅里叶变化的主要内容傅里叶变换是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的工具，主要用于分析周期性或非周期性信号的频谱特征。
其主要内容包括傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换及其逆变换，以及傅里叶变换的性质和应用。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数表示为无穷级数的方法。
该级数由正弦函数和余弦函数之和组成，每个函数都以某个频率振动。
通过傅里叶级数，我们可以将任何周期性函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
2. 傅里叶积分傅里叶积分是用于将非周期函数展开为无穷积分的方法。
与傅里叶级数类似，它也是基于正弦和余弦函数的，但适用于非周期性函数。
通过傅里叶积分，我们可以将任何非周期性函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的积分组合。
3. 傅里叶变换及其逆变换傅里叶变换和逆变换是傅里叶理论的核心内容。
傅里叶变换可以将一个函数从时域转换到频域，而逆变换则可以将一个频域函数转换回时域。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，而通过逆变换，我们可以恢复原始信号。
4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要性质，包括线性、可移位性、对称性和卷积定理等。
这些性质在信号处理中非常重要，例如在滤波、调制和解调等方面。
5. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、通信系统、控制系统等。
例如，在信号处理中，我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频率成分，进行频谱分析和滤波等操作；在图像处理中，我们可以使用傅里叶变换来分析图像的频域特征，进行图像增强和去噪等操作。
此外，傅里叶变换在通信系统中也起着关键作用，如调制和解调等操作都离不开傅里叶变换的支持。
总之，傅里叶变换是一种强大的数学工具，可以用于分析信号和系统的频率特性，广泛应用于各种领域。
通过对傅里叶变换的学习和实践掌握其基本原理和方法，可以更好地解决实际问题并提高我们的专业素养。
傅里叶级数课件分解
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
一元函数的傅里叶级数与傅里叶级数的性质
一元函数的傅里叶级数与傅里叶级数的性质一、引言傅里叶级数是数学中重要的工具之一，用来将周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数。
在本文中，我们将讨论一元函数的傅里叶级数以及它的性质。
通过了解傅里叶级数的定义和性质，我们可以更好地理解周期函数的表示和傅里叶分析的应用。
二、一元函数的傅里叶级数定义傅里叶级数的定义是将任意周期函数表示为无穷级数的形式。
设函数f(x)在区间[-L, L]上有定义并且满足某些条件，那么f(x)的傅里叶级数可以写为：f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nπx/L) + bₙsin(nπx/L))其中a₀, aₙ和bₙ是系数，n是整数。
这个级数包含了所有的基本频率对应的正弦和余弦函数，并通过系数来决定它们在函数中所起的作用。
三、傅里叶级数的性质1. 周期性：傅里叶级数中出现的正弦和余弦函数都是周期函数，它们的周期与原函数的周期相同。
2. 奇偶性：如果原函数f(x)是一个偶函数，那么傅里叶级数中将只包含余弦函数；如果原函数f(x)是一个奇函数，那么傅里叶级数中将只包含正弦函数。
3. 收敛性：当原函数满足一定的条件时，其傅里叶级数能够收敛到原函数。
这个条件可以是函数的绝对可积性或者函数在某些点上的连续性。
4. 线性性：傅里叶级数是线性的，也就是说，如果两个函数f(x)和g(x)的傅里叶级数分别为Σaₙcos(nπx/L) + bₙsin(nπx/L)和Σcₙcos(nπx/L) + dₙsin(nπx/L)，那么这两个函数的线性组合的傅里叶级数为Σ(aₙ+cₙ)cos(nπx/L) + (bₙ+dₙ)sin(nπx/L)。
5. 傅里叶级数的收敛区间：如果原函数是连续的，那么其傅里叶级数在整个实数轴上均收敛。
如果原函数具有有限的间断点，那么傅里叶级数收敛到间断点的函数值的平均值。
四、傅里叶级数的应用傅里叶级数在数学和工程学科中具有广泛的应用。
其中一些应用包括：1. 信号处理：傅里叶级数可以将任意信号表示为基本频率的正弦和余弦函数的和，从而方便处理和分析信号。
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傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的物理含义。
1. 完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果 n 个函数卿（1），化（1）1，b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足j £卩心)仞MM = {监°如果是复数集，那么正交条件是j tpi(l)(p j ⑴山—{K ]"甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数 集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得ft +HI COS ticoleos iiiwl dt J L,当n 工討时=J ：綁卜恥(口 十十 COS tn - m)wt| di]ITsL (n+ ni}<ot siii (ti - injcfit 1'^ *+ (I1-T11>O J=0 (n,m=1,2,3,…；n 壬 ml )当n=m 时再证两个都是正弦的情况 设加（0 = sin阮（0 ’in mst ,把曲1）.帥⑴|代入⑴得/ t"Ttc~2[ fn + Tr>n)=J ： * *cos2no>t dt _T最后证明两个是不同名的三角函数的情况设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得Sr 『S + Tq>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41Ltip=^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n -ni)o>tl dt1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设讹恥⑴™^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得加；⑴山=叫伽恤当时，根据欧拉公式// S+Ttc当n 盖血时=丿："|凶£ (n 十 in)«t -心(11 - tti)曲 I 山* to]|sui (n+ ni)cot siiitn - tc =0(n,m=1,2,3，…；n 士 n 』)当n=m 时(n ■+ m)co=丿:“心朋（n - m ）血+ j 如用做n -S131 (n - mj&r * we 就n - m>artl h T T -(n - n 讹 'J (11 - «1)帅 1当n=m 时,（n ；m=1；2；3；…,n = m ）所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为 n, m 的取值范围是所有整数,所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为， 在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分, 分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出 来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表 示他，比如一个复杂的信号f （X ）o|把它分解，就是f （x ） -in （piO ） + 112>P2（C +…+】WnW 其中0（t ），徑⑴，…是我们所熟悉的函数，比 如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
我们的任务就是求出所分解 出来的函数，以及前方的系数n,然后对其研究。
那么怎么求呢。
完备正交函数 集给了我们提供了一种方法。
完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有 3条轴，3 条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴， 又不能准确地表达立体空间上所有的点， 所以3条就是完备的。
对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元 素的函数就可以表达清楚。
再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。
既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集， 那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。
用复指数函数集来表示一个复杂信号fd ）：f(l) =ni(pi(l) + I12(p2(t) + …工二小恤(t)其中，QnW =严t (n=1,2,3，…;n)。
用三角函数集表示一个复杂信号KO ：f(t) = no + + a ：cos2(ix)t + …+ bjsiiiwol + bzsmtoot + …”=ao + £二 jbiLCg (uft^cit) + biisinCnrt>ot)l=0(n,m=1,2,3,…,n 盘 m )=1这就是三角形式的傅里叶展开式。
2. 傅里叶级数上面说到，三角函数集和复指数函数集都是正交完备函数集， 那么对信号的 分解任务简化成求三角函数或者复指数函数前面的系数问题了。
下面首先研究三 角形式的傅里叶级数我们知道满足狄里赫利关系的周期信号f(t),可以展开成 1X0 吕 U0 + aicmooL + a3cos2ex)( + …+ hjsiiKDot +bjsiiKOol + …=ao + £：= I hncx (ru 闻l) + bjiStn (nw^)]这种形式，现在我们来求各基函数前面的系数。
先求闻。
把三角形式的傅里叶展开式写成如下形式:f(T)= y + S ：=]hf]Ccs (1 ⑹ot) + br$in(n<i>nt)l 对上式在［■九兀1内积分，得e fe aof 算 口旳二J —dt + J y lancc$ (n ①oi) + bnsin(iioot) Idt-IT "・3I 2』-■K J%-1=llO?l■ ■ do = =f f(l)dt 兀J 7推广到一般周期的情况:求血和bji 。
用u 成恋k 讪乘( 3)，再对其两边在［-兀引内积分，得j fCOcos (knoOdt - = J" uo 込汨jlldl + E dn J-n-■*n=l■*因为三角函数集是完备正交函数集，上式右边第一第三项均为 0;第二项只有当k=n 这一项积分不为0。
所以JC 0$ (kflii ) cos (not) ciL+ bbl I cos (竝ktuOsii 直攵iwaQtiLao =-J f(t)ccs (k(wt)flt = dj CCS (k(nOcos{ntnt)dt=鬲P C TKJJ O COS(8)同理，用 sin ：A ；＜k«l)|推广到一般周期的情况:bn以上就是三角形式傅里叶级数的参数推导。
复指数形式傅里叶级数接着研究复指数形式傅里叶级数。
e - i 血t _ (iiol) - ji>iii(iKot)[(4)+(5)]/2 得cos(1104)=推睑t + e j 曲)[(4)-(5)]/2 得sin (iifot)=岂严t -亡 如)可以得出复指数形式的傅里叶级数公式卄严+占用L 优替孑化简合并得到憊)=帥+葺1(罟靭加仃筈忖购+ees[^'i2nc nl)d1an =推广到一般周期的情况：从而有: 根据欧拉公式:严"-COS (ncoO +jsin(nwi)乘(3)可以求得 hn = GimtM把⑹,(7)代人(3)。
对于(8)式。
其中的参数有丁和丁另F n = 二也严,Fo = ao(8)式可化成(9)(8)(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。
现在求1订，将上式两边同乘［e'H ，并在一个周期内求积分得:当m=n 时三F1, • 231当n 时,=…闷dt-CD-fl=,cos (Ti - in)ciH dt J ： ^\n (ii - nOou cu]三角函数在其周期内积分为壮各复指数项的系数推广到一般周期的情况3. 傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的重要性不仅仅在于它能把复杂的周期信号分解成一个个简单 的函数的线性叠加，更重要的是，它提供一种分析信号的新思路一一换一个角度 来研究。
当我们在作图的时候，把x 轴作为时间轴时候，我们硬性思维地把信号 作为时间的函数，研究随着时间的不同，信号的变化情况。
尽管我们把一个信号 再变化，也再难深入研究了，因为只在时间这个角度，难以挖掘更多关于这个信 号的信息了。
但当我们把信号变成三角函数的叠加的时候，信号的信息就喷涌而 出。
根据所叠加的不同三角函数的W 不同，我们可以以M 为x 轴，作频率谱线, 研究一个信号所叠加的不同频率。
根据所叠加的不同三角函数的 b 不同，我们还 可以以d 为x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得到了启发。
我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中的意 义。
f Rt)e -加 al宙=-?r-co欧拉展开2、图二在没有傅里叶级数之前，我们研究信号，看到的是图二的时域图像， 把时域的图像信息挖掘殆尽之后，这个信号就被研究透彻了。
然而并不是这样的。
用傅里叶级数，我们从图一的红色箭头方向看图。
得出频域图像，这能让我们分 清晰一个信号里面所包含的各种不同的频率。
时域和频域对于研究一个信号来说，同等的重要。
傅里叶级数为我们研究信 号提供了一种新的思想，我们能更全面地去认识一个信号。
杨煜基 2016年3月10当我们 0图一■2-22015■%6。