2019-2020学年新高考人教版数学题型详解专题5.1 合情推理和演绎推理(解析版)

5.1 合情推理和演绎推理题型一 归纳推理【例1-1】（2020·全国高三专题练习）观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C【解析】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.【例1-2】（2020·全国高三专题练习）已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是（ ）A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1【答案】C【解析】a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2故选：C【例1-3】（2020·全国高三专题练习）已知整数对的序列为()1,1， ()1,2， ()2,1， ()1,3， ()2,2， ()3,1， ()1,4， ()2,3，（ ()3,2），()4,1， ()1,5， ()2,4，…，则第70个数对是（ ） A ．()3,10 B ．()4,9C ．()5,8D ．()6,7【答案】B【解析】(1,1)，两数的和为2，共1个， (1,2),(2,1)，两数的和为3，共2个， (1,3),(2,2),(3,1)，两数的和为4，共3个， (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，两数的和为5，共4个 …(1,n),(2,n −1),(3,n −2),…(n,1)，两数的和为n+1，共n 个 ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，∴第70对数是两个数的和为13的数对中，对应的数对为(1,12),(2,11),(3,10),(4,9)…(12,1)， 则第70对数为(4,9)，故选B.【例1-4】（2019·江苏高二期末）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378【答案】C【解析】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==．故选C ． 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）观察下列各式：2749=，37343=，472401=，……，则20187的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49【答案】D【解析】根据题意得，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k ﹣2的末两位数字是49，74k ﹣1的末两位数字是43，74k 的末两位数字是01，74k+1的末两位数字是07，（k=1、2、3、4、…）， ∵2018=504×4+2， ∴72018的末两位数字为49， 故选D.点睛：要解答本题，一定要多列举找到规律，不能只写几个就下结论,所以本题列举了8个式子，这样总结的结论才更准确.2．（2020·全国高三专题练习）如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2018个图形用的火柴根数为（ ）A ．2014×2017B ．2015×2016C ．3024×2018D ．3027×2019【答案】D【解析】由题意，第1个图形需要火柴的根数为31⨯； 第2个图形需要火柴的根数为3(12)⨯+； 第3个图形需要火柴的根数为3(123)⨯++； …由此，可以推出第n 个图形需要火柴的根数为3(123)n ⨯++++.所以第2018个图形所需火柴的根数为3(1232018)3⨯++++=⨯2018(20181)2⨯+＝30272019⨯. 故选：D3．（2020·全国高三专题练习）如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，－1）处标2，点（0，－1）处标3，点（－1，－1）处标4，点（－1，0）处标5，点（－1，1）处标6，点（0，1）处标7，……，以此类推，则标22019的格点的坐标为（ ）A ．（1010，1009）B ．（1009，1008）C ．（2019，2018）D ．（2018，2017）【答案】A【解析】点(1,0)处标1，即21；点(2,1)处标9，即23；点(3,2)处标25，即25；……，由此推断点(1,)n n +处标2(21)n +，当2n ＋1＝2019时，n ＝1009， 故标22019的格点的坐标为（1010，1009） 故选：A4．（2020·广东高三期末（文））一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A ．46656 B ．7776C ．216D ．36【答案】B【解析】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得： 数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q =，所以{}n a 的通项公式：1666n nn a -=⋅=，到第5天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有5567776a ==只蜜蜂.故选：B.题型二 类比推理【例2-1】（2020·全国高三专题练习）二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ） A ．42r π B ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A【解析】结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.【例2-2】（2020·全国高三专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值xx =确定出来x ＝2，类似地不难得到11111+++＝（ ）ABCD【答案】C 【解析】令11(0)111x x +=>++，即11x x +=，即210x x --=，解得12x +=(12x -=舍)，故11111+=++故选：C【例2-3】（2020·全国高三专题练习）如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FBAB ⊥ 时，，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（ ）A ．12BC1 D 1【答案】A【解析】设“黄金双曲线”的方程22221(0,0)x y a b a b-=>> ，则B （0，b ），F （－c ，0），A （a ，0）．在“黄金双曲线”中，因为FB AB ⊥，所以 FB AB 0⋅=又FB (,),AB (,)c b a b ==- ，所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac .在等号两边同除以a 2，得e 2－1＝e ，解得e.（e =舍去） 故选：A【例2-4】（2020·全国高三专题练习）若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且nd 也是等比数列，则n d 的表达式应为( )A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（理））明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇{}n a 中，k a =（ ）A ．n k -B ．n -C ．D ．【答案】C【解析】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C.2．（2019·辽宁高二期中）定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应右图中的（1），（2），（3），（4），则图中，a ，b 对应的运算是（ ）A ．*B D ，*AC B ．*BD ，*A D C ．*B C ，*A D D ．*C D ，*A D【答案】A【解析】,A B B C **都有B 运算，而图形都有正方形，故B 运算对应作正方形，A 对应作横线，C 对应作竖线；,C D D A **都有D 运算，而图形都有圆，故D 运算对应作圆.所以a 对应的运算是B D *，b 对应的运算是A C *，故选A.3．（2016·上海师大附中高三）已知ABC △的三边长为,,a b c ，内切圆半径为r ，则ABC △的面积1()2ABCSr a b c =++．类比这一结论有：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为124S S S 3，，S ，，内切球半径为R ，则三棱锥A BCD -的体积A BCD V -=______． 【答案】12341()3R S S S S +++ 【解析】连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R ，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积V A ﹣BCD 13=R （S 1+S 2+S 3+S 4）．故答案为：13R （S 1+S 2+S 3+S 4）．4（2020·全国高三专题练习）在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：_________________________. 【答案】在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n【解析】等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”故答案为：在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n5．（2020·全国高三专题练习）若点P 0（x 0，y 0）在椭圆22221x y a b +=（a >b >0）外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为00221x x y y a b +=.那么对于双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0），类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________.【答案】00221x x y ya b-= 【解析】若点P 0（x 0，y 0）在双曲线22221x y a b-=（a >0，b >0）外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为00221x x y ya b-=. 故答案为：00221x x y ya b-= 6．（2020·全国高三专题练习）在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：1a b ca b cP P P h h h ++=.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________________________.【答案】1a b c da b c dP P P P h h h h +++= 【解析】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：1a b c da b c dP P P P h h h h +++=. 故答案为：1a b c da b c dP P P P h h h h +++= 题型三 演绎推理【例3-1】22．（2019·吉林延边二中高二期中（理））下面几种推理是演绎推理的个数是（ ） ①两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°； ②猜想数列1，3，5，7，9，11，…的通项公式为21n a n =-； ③由正三角形的性质得出正四面体的性质；④半径为r 的圆的面积2=S r π，则单位圆的面积=S π．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：对于①是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A +∠B ＝180°”； 对于②是由特殊到一般，是归纳推理；对于③“正三角形的性质得出正四面体的性质”是类比推理；对于④是演绎推理，大前提是“半径为r 的圆的面积2=S r π”，小前提是“单位圆”，结论是“单位圆的面积=S π”；故选B【例3-2】（2020·牡丹江市第三高级中学高二期末（理））余弦函数是偶函数，()()1f x cos x =+是余弦函数，因此()()1f x cos x =+是偶函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确【答案】C【解析】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：()()1f x cos x =+是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误； 结论：()()1f x cos x =+是偶函数，因为该函数为非奇非偶函数，故错误； 因此以上推理形式中小前提不正确. 故选：C【例3-3】把下列推断写成三段论的形式：（1）因为ABC △三边的长依次为5，12，13，所以ABC △是直角三角形； （2）函数1y x =-+的图象是一条直线； （3）()tan y x x =∈R 是周期函数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形，…………大前提ABC 三边的长依次为5，12，13，而22251213+=， ……………………………………小前提 ABC 是直角三角形．………………………………………………………………………………结论（2）一次函数()0y kx b k =+≠的图象是一条直线，……………………………………………大前提 函数1y x =-+是一次函数， ………………………………………………………………………小前提函数1y x =-+的图象是一条直线． ………………………………………………………………结论 （3）三角函数是周期函数，…………………………………………………………………………大前提()tan y x x R =∈是三角函数，………………………………………………………………………小前提 ()tan y x x R =∈是周期函数．………………………………………………………………………结论【举一反三】1．（2019·全国高二专题练习（理））下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补；如果A ∠和B ∠是两条直线平行的同旁内角，则A ∠+B ∠=180︒． B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质．C ．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中，111111,(),(2)2n n n a a a n a --==+≥，由123,,a a a 推测{}n a 的通项公式． 【答案】A【解析】A 选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平 行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”B 选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；C 选项：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；D 选项中，在数列{an}中，通过计算123,,a a a 由此归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理． 综上得，A 选项正确2（2018·山西省阳高县第一中学校高二月考（文））利用导数和三段论证明：函数2()2f x x x =-+在（-∞，1）上是增函数。