高考数学一轮复习讲义 第38课时 平面向量的坐标运算 理
平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习
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故
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=
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1=−
−
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⇒
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=
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=−
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,
6
6
2
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所以= = + ,λ+μ= ,故B选项错误;
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=-=- + ,
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7
因为= ,所以= =- + ,故= ,C选项正确;
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2
1
因为= ,所以S△ABM= S△ABF= S△ABC= S,故D选项正确.
(
,
).
3
3
2.如果对于一个基底 1 , 2 ,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.
特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(
等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(
A.点M,N,E三点共线
9
B.若=λa+μb,则λ+μ=
7
7
C.=
3
1
D.S△ABM= S,S为平行四边形ABCD的面积
7
)
【解析】选ACD.如图所示:
2023年高考数学(理科)一轮复习课件—— 平面向量基本定理及坐标表示
索引
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a
＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ ) (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
索引
3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a ＋ b ＝ __(_x_1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_)____ ， a － b ＝ __(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)_____ ， λa ＝ ___(λ_x_1_，__λ_y_1)_____，|a|＝____x_12＋__y_21__.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，12，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－21
D.12，－
3 2
索引
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°， 依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°， 则点 B 在 y 轴正半轴上，且|O→B|＝|O→A|＝1， ∴点 B(0，1)，则O→B＝(0，1).
知识梳理 1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不__共__线__向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，___有__且__只__有_一对实数λ1，λ2，使a＝_____λ_1e_1_＋__λ_2_e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
备战高考数学复习考点知识与题型讲解38---平面向量的概念及线性运算
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第38讲平面向量的概念及线性运算考向预测核心素养主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、向量共线定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，中低档难度．偶尔会在解答题中作为工具出现.数学抽象、直观想象一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．常用结论1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．2．若G为△ABC的重心，则有(1)GA→＋GB→＋GC→＝0；(2)AG→＝13(AB→＋AC→)．3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.二、教材衍化1．(人A必修第二册P4练习T1改编)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有( )A．3个 B.4个C.5个D.6个解析：选C.质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．2．(人A 必修第二册P 14例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b . 答案：b －a －a －b3．(人A 必修第二册P 15练习T 2)点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.答案：57 －27一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(多选)(向量概念理解不准确致误)下列命题错误的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．相反向量就是方向相反的向量 D ．a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b 答案：ACD2．(向量运算法则运用易错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A．－BC→＋12BA→ B.－BC→－12BA→C.BC→－12BA→ D.BC→＋12BA→答案：A3．(多选)(向量共线概念含义不清易错)已知a，b为两个非零向量，则下列说法中正确的是( )A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的2 5C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量解析：选ABC.A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25.C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a －b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量.考点一平面向量的概念(自主练透)复习指导：了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．1．下列命题正确的是( )A．|a|＝|b|⇒a＝b B.|a|>|b|⇒a>bC．a∥b⇒a＝b D.|a|＝0⇒a＝0解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误．对于B，两个向量不能比较大小，所以错误．对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误．对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．2．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B.a∥bC．a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|解析：选C.因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故“a＝2b”是“a|a|＝b|b|”成立的充分条件．3．给出下列命题：①若向量a∥b，b∥c，则a∥c；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；③在菱形ABCD中，一定有AB→＝DC→.其中是真命题的为________．(填序号)解析：若b＝0，则向量a不一定与c平行，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．在菱形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→方向相同，故AB→＝DC→，故③正确．答案：②③4.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC→的模为2，BC→的模为3，AD→的模为1，则DB→的模为________．解析：如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD＝∠BCD＝∠E，所以|AC →|＝|AE →|.因为BC ∥AE ，所以△ADE ∽△BDC ， 所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|＝23，故|DB →|＝32.答案：32平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．考点二 平面向量的线性运算(综合研析)复习指导：1.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 2．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．(1)(链接常用结论1)(一题多解)(2022·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.23a ＋13bB.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b (2)(2022·芜湖第一中学高三月考)如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝3AD ，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE→＝( )A．－1118AB→＋518AC→ B.－1118AB→＋119AC→C．－1118AB→＋49AC→ D.－12AB→＋56AC→【解析】(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋1 3AC→＝23a＋13b，故选A.优解一：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.优解二：由BD→＝13BC→，得AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝2 3a＋13b，故选A.(2)FE→＝FC→＋CE→＝12BC→＋13CD→＝12(AC→－AB→)＋13⎝⎛⎭⎪⎫23CB→＋BA→＝12AC→－12AB→＋29()AB→－AC→－13AB→＝－1118AB→＋518AC→，故选A.【答案】(1)A (2)A向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．|跟踪训练|1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B .BE →C .AD →D .CF →解析：选D .由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 2.(2022·安徽省宣城市郎溪县模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝( )A.1225a ＋925b B.1625a ＋1225b C.45a ＋35b D.35a ＋45b 解析：选B.BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫－34BF →＋BA →，即BF →＝BC →＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫－34BF →＋BA →，解得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b .3．已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0.所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，所以λ＝－2.答案：－2考点三向量共线定理的应用(多维探究)复习指导：理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．角度1 判定向量共线、点共线已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．【解】(1)证明：因为OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，所以OM→＝λOB→＋OA→－λOA→，OM→－OA→＝λOB→－λOA→，所以AM→＝λAB→(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．又AM→与AB→有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知，AM→＝λAB→，若点B在线段AM上，则AM→与AB→同向，且λ≠0，λ≠1，所以|AM→|>|AB→|>0，所以λ>1.故实数λ的取值范围为(1，＋∞)．角度2 利用向量共线定理求参数(链接常用结论3)(1)(一题多解)在△ABC中，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________．(2)如图所示，在△ABC中，AN→＝13AC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．【解析】(1)方法一：由AD→＝2DB→，知A，B，D三点共线．所以13＋λ＝1，从而λ＝23.方法二：由题意知CD→＝CA→＋AD→①，CD→＝CB→＋BD→②，且AD→＋2BD→＝0.①＋②×2，得3CD→＝CA→＋2CB→.所以CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23. (2)注意到N，P，B三点共线，因此有AP→＝mAB→＋211AC→＝mAB→＋611AN→，从而m＋611＝1，所以m＝5 11 .【答案】(1)23(2)511[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．|跟踪训练|1．已知向量a与b不共线，AB→＝a＋m b，AC→＝n a＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0 B.m －n ＝0 C ．mn ＋1＝0D.mn －1＝0解析：选 D.由AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )共线，得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即⎩⎨⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn －1＝0. 2．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ＝________．解析：因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得52λ＋2λ＝1，λ＝29.答案：29[A 基础达标]1．(2022·成都市高三高考适应性考试)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反，故A 不正确，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定，故C 不正确；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小，故D 不正确．2．若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝( ) A ．2CD →－CA → B.2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D.2CA →＋CD →解析：选A.如图，2CD →－CA →＝CD →＋(CD →－CA →)＝CD →＋AD →＝CD →＋DB →＝CB →.3．(2022·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( )A ．－2 B.－12C.－ 2D. 2解析：选A.DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.4．(2022·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C.4D.8解析：选A.因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)，所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同，所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S△PAB ＝S △ABC 3＝2.5．(多选)(2022·武汉市高三模拟)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB →－AC →＝BC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC →·AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形解析：选BC .由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →，AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错误，B 正确； 因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0， 所以AB →2＝AC →2，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 正确；因为AC →·AB →＞0，所以角A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故D 错误．故选BC .6．(多选)设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0，2π)，QR →＝2a －b .若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析：选CD.因为a ，b 是不共线的两个平面向量，所以2a －b ≠0.即QR →≠0，因为P ，Q ，R 三点共线，所以PQ →与QR →共线，所以存在实数λ，使PQ →＝λQR →，所以a ＋sin α·b ＝2λa －λb ，所以⎩⎨⎧1＝2λ，sin α＝－λ，解得sin α＝－12.又α∈(0，2π)，故α的值可以为7π6或11π6.7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________．解析：因为a 与b 共线，所以存在实数x ，使a ＝x b ，所以2e 1－e 2＝x e 1＋λx e 2，所以⎩⎨⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________． 解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：b －12a9．(2022·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，点E 是线段BC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAD →，则λ＝________，μ＝________．解析：取AB 的中点F ，连接CF (图略)，则由题意可得CF ∥AD ，且CF ＝AD . 因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12. 答案：3412[B 综合应用]10．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB→＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12解析：选ACD.若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →， 则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误； 若AM →＝－BM →－CM →， 即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →， 设AN →＝2AM →， 则M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．11．(多选)定义一种向量运算“”：ab ＝⎩⎨⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，则下列结论正确的是( )A ．a b ＝b aB ．λ(a b )＝(λa )b (λ∈R )C ．(a ＋b )c ＝ac ＋bcD ．若e 是单位向量，则|ae |≤|a |＋1解析：选AD.当a ，b 共线时，ab ＝|a －b |＝|b －a |＝ba ，当a ，b 不共线时，a b ＝a ·b ＝b ·a ＝b a ，故A 是正确的；当a ，b 共线且λ＝0，b ≠0时，λ(ab )＝0，(λa )b ＝|0－b |≠0，故B 是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )c ＝|a ＋b －c |，ac ＋bc ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 是错误的； 当e 与a 不共线时，|a e |＝|a ·e |<|a |·|e |＝|a |<|a |＋1，当e 与a 共线时，|ae |＝|a －e |≤|a |＋1，故D 是正确的．12．(一题多解)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．解析：方法一：AO →＝xAB →＋(1－x )AC →＝x (AB →－AC →)＋AC →，即AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，所以CO →＝xCB →，所以|CO →||CB →|＝x ，因为BD →＝2DC →，所以BC →＝3DC →，则0<x <|DC →||BC →|＝13，所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，13.方法二：设BO →＝λBC →，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →＝xAB →＋(1－x )·AC →，则x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1313．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n ∈R )，则1n ＋1m＝________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.答案：3。
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（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数 的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；
高考数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及坐标运算课件 文
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11
1．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于( )
答案：B
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13
3．(2015·南京模拟)已知A(－3,0)，B(0， 3 )，O为坐标原
点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，
→ OC
＝λ
→ OA
＋
→ OB
，则实数λ
的值为__________．
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14
解析：∵∠AOC＝30°，设C(x0，－ 33x0)，其中x0<0. 又O→C＝λO→A＋O→B，
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能 作基底．
问题探究2：向量的坐标与点的坐标有何不同？ 提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标 是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的 向量O→A的坐标与点A的坐标相同．
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8
2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
叫做 a 在 y 轴上的坐标．
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6
②设O→A＝x i＋yj，则__向__量__O→_A_的__坐__标___(x_，__y_)_就是终点 A 的坐 标，即若O→A＝(x，y)，则 A 点坐标为__(x_，__y_)___，反之亦成立(O 是坐标原点)．
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7
问题探究1：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表 示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底 吗？
高三数学一轮复习 第五章平面向量平面向量的基础定理与坐标运算课件 文
考点
考纲解读
1
平面向量的基本定理
了解平面向量的基本定理
及其意义.
2
平面向量的坐标表示
掌握平面向量的正交分解
及其坐标表示;会用坐标
表示平面向量的加法、减
法与数乘运算;理解用坐
标表示的平面向量共线的
条件.
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数 问题来解决,特别地,用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查 的重点,一般还是以选择题、填空题的形式出现,而且难度不是很大.
•
x1 y1
x2, y2.
2.证明共线(或平行)问题的主要依据: (1)对于向量a,b(a≠0),若存在实数λ,使得b=λa,则向量a与b共线. (2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a∥b. (3)对于向量a,b,若|a·b|=|a|·|b|,则a与b共线.
1.(2011年金华十校联考)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b等 于( ) (A)平行于x轴. (B)平行于第一、三象限的角平分线. (C)平行于y轴. (D)平行于第二、四象限的角平分线. 【解析】∵a+b=(0,1+x2),∴a+b平行于y轴. 【答案】C
1.a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b⇔
=xi+yj,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x 轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.
(2)设O A =xi+yj,则向量 O 的A 坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若
O=A(x,y),
平面向量的坐标表示及其运算讲义
例 2.已知 A(2, 1), B(8,8) ，求线段 AB 的三等分点 C、D 的坐标
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例 3.已知 A(3, 1), B(1, 1) ，O 为坐标原点。 （1）求 OA 2AB OB ; (2)若 xOA yOB 2AB.求实数 x,y 的值
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例 6. 已知点 O 是△ABC 内一点，∠AOB=150°,∠BOC=90°,设 OA =a, OB =b, OC =c,且
|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a 和 b 表示 c.
分析 本例是用平面内两个不共线的向量表示同一平面内的另一个向量.根据平面向量的基
则 a b =（x1 x2，y1+y2）
说明向量相加等于坐标分量相加；
a b =（ x1 x2, y1 y2 ） 说明向量相减等于坐标分量相减；
a = (x1, y1) = (x1, y1) 数乘向量等于数乘每一个分量；
a = x12 y12
向量的模等于对应坐标分量平方和开根号；
A．
1
(a
bBiblioteka c)2）
B．
1
(b
c
a)
2
C．
1
(c
a
b)
2
D．
1
(a
b
c)
2
9.如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且|AB|=λ |DC|，
若 AB =a, AD =b,则 AC 等于
A.λ a+b
B.a+λ b
高三第一轮复习数学平面向量的坐标运算
高三第一轮复习数学---平面向量的坐标运算一、教学目标：1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.． 二、教学重点：向量的坐标运算．三、教学过程：（一）主要知识：1、 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成y x +=，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x 叫作在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标。
注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
2、 平面向量的坐标运算(1) 若()()2211,,,y x y x ==，则()2121,y y x x ±±=± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()1212,y y x x --= (3) 若=(x,y)，则λ=(λx, λy)(4) 若()()0,,,,2211≠==y x y x ，则0//1221=-⇔y x y x (5) 若()()2211,,,y x y x ==，则()2121,y y x x ⋅⋅=⋅若⊥，则02121=⋅+⋅y y x x（二）主要方法：1．建立坐标系解决问题（数形结合）；2．向量位置关系与平面几何量位置关系的区别； 3．认清向量的方向求坐标值得注意的问题； （三）例题分析：例1、平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==，回答下列问题： （1）求满足n m +=的实数m,n ；（2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ； （3）若满足()()+-//5=，求解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k（3）()()4,2,1,4=+--=-y x 由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x练习：已知()(),1,,2,1x ==，且2+与-2平行，求x 。
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课题：平面向量的坐标运算
考纲要求：
①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘、数量积运算. ③理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 教材复习
1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，,i j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a xi y j =+成立，即向量a 的坐标是
2. 平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±＝ ，
3. 平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的 坐标减去 坐标.
4.实数与向量积的坐标表示：若(,)a x y =，则a λ＝
5. 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，由a b ⇔∥ ，a b ⇔⊥
6. 若()11,a x y =，()22,b x y =，则a b ⋅= ；
7. 若(),a x y =，则2
2a a a a ⋅=== ，a = ； 8. 若()11,A x y ,()22,B x y ,则AB = ； 9. 重要不等式：()11,a x y =，()22,b x y =，则a b -⋅≤a b ⋅≤a b ⋅
⇔1212x x y y +典例分析：
考点一 坐标的基本运算
问题1．()1（01新课程）若向量()1,1a =，()1,1b =-，()1,2c =-，则c =
.A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122
a b -+
()2 （2013辽宁）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为
.A 3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .B 4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- .C 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， .D 4355⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
()3（08广东文）已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则23a b +=
.A ()2,4-- .B ()3,6-- .C ()4,8-- .D ()5,10--
()4（2013湖北）已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB
在CD 方向上的投影为 .A .B .C .D
考点二 有关垂直、平行与夹角的计算
问题2．()1已知(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x
()2已知向量(,1)a m =,(2,)b m =的夹角为钝角,求m 的取值范围.
()3（2013(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，
，παβ<<<0。
（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。
考点三 长度的计算
问题3．()1已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则a b +=
()2（06全国Ⅱ）已知向量()sin ,1a θ=，()1,cos b θ=，22ππ
θ-<<.
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．
考点四 坐标运算的应用 问题4．（2012江西）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点， 点P 为线段CD 的中点，则2
2
2
PA PB PC
+= .A 2 .B 4 .C 5 .D 10
课后作业：
1.三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 共线的充要条件是 .A 12210x y x y -= .B 13310x y x y -=
.C 21313121()()()()x x y y x x y y --=-- .D 21313121()()()()x x x x y y y y --=--
2.如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是
.A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==
.B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数 .C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内
.D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对
3.已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量的坐标是_
4.已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为
5.已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=，求p a b c =++，并以,a b 为基底来表示p
6.设a 、b 为正数，且5a b +=
7.已知向量33(cos ,sin )22a x x =， (cos ,sin )22
x x
b =-；
()1当]2,0[π
∈x ，求,||a b a b ⋅+；
()2若()2||f x a b m a b =⋅-+≥2
3
-对一切实数x 都成立，求实数m 的范围
8.设E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 、CD
两边的中点，求cos EAF ∠的值
走向高考：
9.（07湖北文）设()4,3a =，a 在b
上的投影为
2
，b 在x 轴上的投影为2，且||14b ≤，则b 为 .A (2,14) .B 22,7⎛
⎫- ⎪⎝
⎭ .C 22,7⎛⎫- ⎪⎝⎭ .D (2,8)
10.（08全国Ⅱ文）设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，
则=λ
11.（07北京文）已知向量()2,4a =，()1,1b =．若向量()
b a b λ⊥+，则实数λ=
12.（07重庆文）已知向量(46)OA =，，(35)OB =，，且OC OA ⊥，AC OB ∥，则
向量OC = .A 3277⎛⎫
- ⎪⎝⎭， .B 24721⎛⎫- ⎪⎝⎭， .C 3277⎛⎫-
⎪⎝⎭， .D 2
4721⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
13.（08湖北文）设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +=
A B
C D
E
F
.A 5 .B 0 .C 3- .D 11-
14.（06重庆）与向量71,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，17,22b ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是
.A ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54.B ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54.C ⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322.D ⎪⎭⎫- ⎝
⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322
15.（06辽宁）设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,
若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是
.
A 112λ≤≤ .
B 112λ-≤≤ .
C 1122λ≤≤+ .
D 1122
λ-≤≤+
16.（05
全国Ⅱ）已知点A ，(0,0)B
，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC
相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于 .A 2 .B 12 .C 3- .D 13
-
17.（05天津）在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的
平分线上且2OC =,则OC =
18.（06湖北文）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B
两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB ⋅＝， 则点P 的轨迹方程是
.A 223312x y +
=(0,0)x y >> .B 223
312x y -=(0,0)x y >> .C 223312x y -=(0,0)x y >> .D 223
312x y +=(0,0)x y >>
19.（05全国Ⅲ）已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点
共线，则k =
20.（05山东)已知向量(cos ,sin )m θθ=和(
)
()2sin ,cos ,,2n θθθππ=
-∈，且
825m n +=
求cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.。