【名师推荐资料】新2020版高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课时作业理

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2020年高考数学一轮复习第六章不等式第1讲不等式的概念与性质课件理

【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假.
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更方便.判断一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，此时只能用所学知识严密证明.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10. ∴5≤f(－2)≤10.
xc在(0，＋∞)上是减函数.又a>b>0，∴ac<bc.故B错误；显然当a＝1时，loga(a－c)无意义.故C错误.故选D.
答案：D
(4)(2018 年河北承德一中月考)下面四个条件中，使 a>b 成
立的充分而不必要的条件是( )
A.a>b－1
B.a2>b2
C.a>b＋1
D.a3>b3
答案：C
考点 3 利用作商比较大小例 3：(2014 年辽宁)设等差数列{an}的公差为d，若数列
A.d<0 C.a1d<0
B.d>0 D.a1d>0

答案：C
【规律方法】本题利用作商法比较大小.所谓作商法：若
判断商值与 1 的大小关系.指数不等式常用作商法证明.作答时有时要用到指数函数的性质，如若a＞1，且x<0，则ax<1 等.
ac＜bc
注意 c 的符号

高三数学第六章-不等式知识点归纳

高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.<-⇔a<b=a⇔>>-=-⇔b0b;a;baabab（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）a<bb（2）c⇒>a>>,（传递性）acbb（3）c+⇒>>（加法单调性）cbaba+（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a ,b 都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd abcd +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n n n n n n-==-≥++--p p1)n ==≥pp（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x xxx+=+≥与同号，故取等。

高考数学一轮复习第6章第1节不等式的概念与性质课件文新课标

(方法1)因为函数y＝f(x)的图象过原点，所以c＝0，故设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，所则以4amm－＋－nn2＝＝b42＝，，(m解＋得nmn)＝a＝－13.，(m－n)b，
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．因为1≤f(－1)≤2，所以3≤3f(－1)≤6. 又因为3≤f(1)≤4，所以6≤f(－2)≤10. 故f(－2)的取值范围是[6,10]． (方法2)设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
10．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
1．实数比较大小的方法 (1)a－b＞0⇔ a＞b ； (2)a－b＝0⇔ a＝b ； (3)a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b a. (2)a＞b，b＞c⇒a ＜ c. (3)a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. 推论1 a＋b＞c>⇔a ＞ c－b；推论2 a＞b，c＞d⇒a＋c ＞b＋d.
所以5≤f(－2)≤11. 该同学的解答是否正确？如果错误，错在哪里？并给出正确的解答．
关键提示：由已知可设f(x)＝ax＋b，主要是把f(－2)表示为mf(－1)＋nf(1)的形式．本题还可以用线性规划的解题思路进行求解．
解：该同学的解答是错误的，错误的根源在于②－①时使用了同向不等式相减．正确解法如下：
所以只需证明C－A＞0，A－B＞0. 因为A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，所以A＞B.

高考数学第一轮知识点总复习第六单元不等式

1
2
1
ab - 2ab (a b) ab - 2ab
ab
ab
ab
ab(a - 2 ab b) ab
ab( a - b)2
即aH<b G;
0,
由 A - G a b - ab a - 2 ab ,即b G <( Aa ;- b)2 0
2
2
2
由 Q - A a2 b2 - a b ,即2(aA2 <bQ2).- a b
∴T>2t,故乙先到教室.
际举意一义反，三本题中容易忽视“x,y∈N*”.
1. 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度满足后一次为前一次的
2. 1 (k∈N*),已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后
k
3. 进入木板部分的铁钉长度是钉长的4 ,请从这个实例中提炼出一个不
文字语言大于小于
大于等于小于等于
数学符号 > < ≥ ≤
文字语言至多至少
不少于不多于
数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤
（2）注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是“关系”，可用“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”表示，不等式则是表现不等关系的“式子”.对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实
a b ab
又a>b,∴a>0,b<0为真命题. 综上可知真命题有4个，故选C.
学后反思 (1)准确记忆不等式性质成立的条件，是正确应用性质的前提. (2)在不等式的判断中，举反例推翻结论是常用方法,如本例题①中令c=0, 则知结论错误.

高三数学一轮复习讲座之不等式

高三数学一轮复习讲座之不等式一、复习要求1、不等式的概念及性质；2、不等式的证明；3、不等式的解法；4、不等式的应用。

二、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：（1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；（2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

掌握不等式的性质，应注意：（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号；（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

高三数学高考一轮复习系列教案第六章不等式大纲版

第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题一、选择题1．设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为（） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2．如果－1<a <b <0，则有（）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23．下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则（）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称为a ，b 的算术平均数；称为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值．例题讲练【例1】设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是（） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2．若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（）A ．8B ．42C ．2D ．43．设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则（）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7．设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8．要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是．9．若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15．某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．例题讲练【例1】已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题一、选择题1．已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2．设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么（） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3．设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4．设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5．已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7．若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是．8．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为．9．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】（1）已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2）已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a .【例3】若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题一、选择题1．设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2．已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3．若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是（） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4．已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．226．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7．设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为．8．实数y x yx-=，则x 的取值范围是． 9．若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ，且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a <b ，① 求证:a ＋b <2② 若3f (a )＝4f (2ba +)，求a 、b 的值15．已知a 、b 为正数，求证：(1) 若a ＋1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b 成立；(2) 若对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b成立，则a ＋1＞b ．6．5 绝对值不等式的应用知识要点1、有关绝对值不等式的主要性质：① | x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝，|a －b |＝． ab ≤0，|a －b |＝，|a ＋b |＝． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．例题讲练【例1】解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题一、选择题1．如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x <b 1} D ．{x |－a 1<x <b1}2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则（）A ．f (1)>c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是（） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是（）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7．不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝． 8．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是．9．若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单元测试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3．若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4．欲证7632-<-，只需证（）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则（） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是（）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是（） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。

2020届高三一轮复习数学精品资料：第六章不等式(57页精美WORD)第六章不等式

2020届高三一轮复习数学精品资料：第六章不等式（57页精美WORD)第六章不等式 §6.1 不等式的概念及性质基础自测1.-1＜a ＜0,那么-a ,-a 3,a 2的大小关系是〔〕A. a 2＞-a 3＞-aB.-a ＞a 2＞-a3C.–a 3＞a 2＞-aD.a 2＞-a ＞-a 3答案 B2.假设m ＜0,n ＞0且m +n ＜0，那么以下不等式中成立的是( )A.-n ＜m ＜n ＜-mB.-n ＜m ＜-m ＜nC.m ＜-n ＜-m ＜nD. m ＜-n ＜n ＜-m 答案 D3.a ＜0,-1＜b ＜0,那么以下不等式成立的是〔〕A. a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a答案 D4.〔2018·厦门模拟〕yx＞1的一个充分不必要条件是〔〕A .x ＞yB .x ＞y ＞0C .x ＜yD .y ＜x ＜0答案B5.设甲:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<+<,30,42mn n m 乙:m ,n 满足⎩⎨⎧<<<<,32,10n m 那么〔〕A .甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的必要不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件答案B例1 〔1〕设x ＜y ＜0,试比较(x 2+y 2)(x -y )与(x 2-y 2)(x +y )的大小；〔2〕a ,b ,c ∈{正实数}，且a 2+b 2=c 2,当n ∈N ,n ＞2时比较c n与a n+b n的大小. 解〔1〕方法一〔x 2+y 2〕(x -y )-(x 2-y 2)(x +y ) =(x -y )［x 2+y 2-(x +y )2］=-2xy (x -y ), ∵x ＜y ＜0,∴xy ＞0,x -y ＜0, ∴-2xy (x -y )＞0,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ).方法二 ∵x ＜y ＜0,∴x -y ＜0,x 2＞y 2,x +y ＜0. ∴(x 2+y 2)(x -y )＜0,(x 2-y 2)(x +y )＜0,∴0＜))(())((2222y x y x y x y x +--+=xyy x y x 22222+++＜1,∴(x 2+y 2)(x -y )＞(x 2-y 2)(x +y ). (2)∵a ,b ,c ∈{正实数}，∴a n,b n,c n＞0, 而nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∵a 2+b 2=c 2, ∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a +2⎪⎭⎫⎝⎛c b =1,∴0＜c a ＜1,0＜cb＜1. ∵n ∈N ,n ＞2,∴nc a ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c a ,nc b ⎪⎭⎫ ⎝⎛＜2⎪⎭⎫ ⎝⎛c b , ∴nn n c b a +=n c a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+nc b ⎪⎭⎫⎝⎛＜222c b a +=1, ∴a n+b n＜c n.例2 a 、b 、c 是任意的实数，且a ＞b ,那么以下不等式恒成立的为〔〕A.(a +c )4＞(b +c )4B .ac 2＞bc 2C .lg|b +c |＜lg|a +c |D .(a +c )31＞(b +c ) 31答案 D例3〔12分〕-1＜a +b ＜3且2＜a -b ＜4,求2a +3b 的取值范畴. 解设2a +3b =m (a +b )+n (a -b ),∴⎩⎨⎧=-=+32n m n m , 2分∴m =25,n =-21. 4分 ∴2a +3b =25(a +b )-21(a -b ). 5分 ∵-1＜a +b ＜3,2＜a -b ＜4, ∴-25＜25(a +b )＜215,-2＜-21(a -b )＜-1, 8分 ∴-29＜25(a +b )- 21(a -b )＜213, 10分即-29＜2a +3b ＜213. 12分1.〔1〕比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ; (2)设a ∈R ,且a ≠0,试比较a 与a1的大小. 解〔1〕〔x 6+1〕-〔x 4+x 2〕 =x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1) =(x 2-1)2(x 2+1).当x =±1时，x 6+1=x 4+x 2; 当x ≠±1时，x 6+1＞x 4+x 2. 〔2〕a -a 1=aa 12-=a a a )1)(1(+-当-1＜a ＜0或a ＞1时,a ＞a 1；当a ＜-1或0＜a ＜1时,a ＜a1；当a =±1时,a =a1. 2.适当增加不等式条件使以下命题成立： (1)假设a ＞b ,那么ac ≤bc ; (2)假设ac 2＞bc 2,那么a 2＞b 2;(3)假设a ＞b ,那么lg(a +1)＞lg(b +1); (4)假设a ＞b ,c ＞d ,那么d a ＞cb ; (5)假设a ＞b ,那么a 1＜b1. 解 (1)原命题改为：假设a ＞b 且c ≤0，那么ac ≤bc ,即增加条件〝c ≤0〞. (2)由ac 2＞bc 2可得a ＞b ,但只有b ≥0时，才有a 2＞b 2,即增加条件〝b ≥0”. (3)由a ＞b 可得a +1＞b +1,但作为真数，应有b +1＞0,故应加条件〝b ＞-1”. 〔4〕d a ＞cb成立的条件有多种，如a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,因此可增加条件〝b ＞0,d ＞0〞.还可增加条件为〝a ＜0,c ＞0,d ＜0〞. (5)a 1＜b1成立的条件是a ＞b ,ab ＞0或a ＜0,b ＞0,故增加条件为〝ab ＞0”. 3.设f (x )=ax 2+bx ,1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (-2)的取值范畴. 解方法一设f (-2)=mf (-1)+nf (1) (m ,n 为待定系数), 那么4a -2b =m (a -b )+n (a +b ), 即4a -2b =(m +n )a +(n -m )b ,因此得⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ,解得⎩⎨⎧==13n m ,∴f (-2)=3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤3f (-1)+f (1)≤10, 故5≤f (-2)≤10.方法二由⎩⎨⎧+=-=-b a f ba f )1()1(,得[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)1()1(21)1()1(21f f b f f a , ∴f (-2)=4a -2b =3f (-1)+f (1). 又∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (-1)+f (1)≤10,故5≤f (-2)≤10.方法三由⎩⎨⎧≤+≤≤-≤4221b a b a 确定的平面区域如图.当f (-2)=4a -2b 过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,时,取得最小值4×23-2×21=5, 当f (-2)=4a -2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3-2×1=10, ∴5≤f (-2)≤10.一、选择题1.a ,b ,c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，那么以下选项中不恒成立的是〔〕A .a b ＞acB .cab -＞0C .c b 2＞ca 2D .acca -＜0 答案 C2.a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ,且ac ＜0,那么以下选项中一定成立的是〔〕A .ab ＞acB .c (b -a )＜0C .cb 2＜ab2D .ac (a -c )＞0答案A3.设a ＞1＞b ＞-1,那么以下不等式恒成立的是〔〕A .ba 11< B .ba 11> C .221b a >D .a ＞b2答案D4. (2018·杭州模拟)三个不等式：ab ＞0，bc -ad ＞0,bda c - ＞0(其中a ,b ,c ,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是〔〕A .0B .1C .2D .3答案D5.函数f (x )=log 2(x +1),设a ＞b ＞c ＞0,那么a a f )(,b b f )(,cc f )(的大小关系为 ( )A .aa f )(＜c c f )(＜b b f )( B . a a f )(＜b b f )(＜c c f )( C .c c f )(＜a a f )(＜bb f )(D .c c f )(＜bb f )(＜a a f )( 答案 B6.假设x ＞y ＞1,且0＜a ＜1,那么①a x＜a y;②log a x ＞log a y ;③x -a＞y -a;④log x a ＜log y a . 其中不成立的个数是〔〕A .1B .2C .3D .4答案 C 二、填空题 7.a +b ＞0，那么2b a +2a b 与a 1+b1的大小关系是 . 答案2ba +2ab ≥a 1+b18.给出以下四个命题： ①假设a ＞b ＞0,那么a 1＞b 1; ②假设a ＞b ＞0,那么a -a 1＞b -b1; ③假设a ＞b ＞0,那么b a b a 22++＞ba; ④设a ,b 是互不相等的正数，那么|a -b |+ba -1≥2. 其中正确命题的序号是 .〔把你认为正确命题的序号都填上〕答案 ② 三、解答题9.比较a ab b与a b b a〔a ,b 为不相等的正数〕的大小.解 ab ba b a b a =a a -b b b -a=ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛,当a ＞b ＞0时，b a ＞1,a -b ＞0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1；当0＜a ＜b 时，b a ＜1,a -b ＜0,∴ba b a -⎪⎭⎫⎝⎛＞1.综上所述，总有a a b b ＞a b b a.10.奇函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β,γ∈R 且α+β＞0, β+γ＞0, γ+α＞0. 试讲明f (α)+f (β)+f (γ)的值与0的关系. 解由α+β＞0,得α＞-β.∵f (x )在R 上是单调减函数,∴f (α)＜f (-β).又∵f (x )为奇函数,∴f (α)＜-f (β),∴f (α)+f (β)＜0, 同理f (β)+f (γ)＜0,f (γ)+f (α)＜0, ∴f (α)+f (β)+f (γ)＜0.11.某个电脑用户打算使用不超过1 000元的资金购买单价分不为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.依照需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解设买软件x 片、磁盘y 盒,那么x 、y 满足关系：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+y x y x y x 4300019080.12.a ＞0,a 2-2ab +c 2=0,bc ＞a 2.试比较a ,b ,c 的大小. 解 ∵bc ＞a 2＞0,∴b ,c 同号.又a 2+c 2＞0,a ＞0,∴b =ac a 222+＞0,∴c ＞0,由(a -c )2=2ab -2ac =2a (b -c )≥0,∴b -c ≥0. 当b -c ＞0,即b ＞c 时,由⎪⎭⎪⎬⎫>+=2222a bc a c a b ⇒a c a 222+·c ＞a 2⇒(a -c )(2a 2+ac +c 2)＜0.N + N +∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,∴2a 2+ac +c 2＞0, ∴a -c ＜0,即a ＜c ,那么a ＜c ＜b ；当b -c =0,即b =c 时, ∵bc ＞a 2,∴b 2＞a 2,即b ≠a .又∵a 2-2ab +c 2=(a -b )2=0⇒a =b 与a ≠b 矛盾, ∴b -c ≠0. 综上可知:a ＜c ＜b .§6.2 均值不等式基础自测1.a ＞0,b ＞0，a 1+b3=1，那么a +2b 的最小值为 ( )A .7+26B .23C .7+23D .14答案 A2.设a ＞0,b ＞0,以下不等式中不成立的是( ) A.baa b +≥2 B .a 2+b 2≥2abC .ba ab 22+≥a +b D .b a 11+≥2+ba +2答案 D3.〔2018·河南新郑模拟〕x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，那么()cdb a 2+的最小值是〔〕A .0B .1C .2D . 4 答案 D4.x +3y -2=0，那么3x+27y+1的最小值为〔〕A .7B .339C .1+22D .5答案 A5.〔2018·江苏，11〕x ,y ,z ∈R +，x -2y +3z =0,xzy 2的最小值是 . 答案 3例1 x ＞0,y ＞0,z ＞0.求证：⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8.证明 ∵x ＞0,y ＞0,z ＞0, ∴x y +x z ≥xyz 2＞0, y x +y z ≥y xz2＞0.z x +z y≥zxy 2＞0,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x≥xyzxyxz yz ••8=8.〔当且仅当x =y =z 时等号成立〕例2 〔1〕x ＞0,y ＞0，且x 1+y9=1,求x +y 的最小值；〔2〕x ＜45,求函数y =4x -2+541-x 的最大值；〔3〕假设x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0，求x +y 的最小值. 解〔1〕∵x ＞0,y ＞0,x 1+y9=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫⎝⎛+y x 91=xy +y x9+10≥6+10=16. 当且仅当xy =y x9时，上式等号成立，又x 1+y9=1,∴x =4,y =12时，(x +y )min =16. 〔2〕∵x ＜45,∴5-4x ＞0, ∴y =4x -2+541-x =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x =x451-,即x =1时，上式等号成立，故当x =1时，y max =1.(3)由2x +8y -xy =0,得2x +8y =xy ,∴y 2+x8=1, ∴x +y =(x +y )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 28=10+x y 8+y x2=10+2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y 4≥10+2×2×y xx y ⋅4=18,当且仅当xy 4=y x,即x =2y 时取等号，又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6, ∴当x =12,y =6时，x +y 取最小值18.例3 〔12分〕某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定〔平面图如下图〕，假如池四周围墙建筑单价为400元/米，中间两道隔墙建筑单价为248元/米，池底建筑单价为 80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.〔1〕试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；〔2〕假设由于地势限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解〔1〕设污水处理池的宽为x 米，那么长为x162米. 1分那么总造价f (x )=400×⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+x x 16222+248×2x +80×162=1 296x +x1002961⨯+12 960 =1 296⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 100+12 960 3分≥1 296×2xx 100•+12 960=38 880〔元〕，当且仅当x =x100(x ＞0), 即x =10时取等号. 5分 ∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元. 6分〔2〕由限制条件知⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<161620160x x ,∴1081≤x ≤16. 8分设g (x )=x +x 100⎪⎭⎫⎝⎛≤≤168110x . g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡168110,上是增函数，∴当x =1081时(现在x 162=16),g (x )有最小值，即f (x )有最小值.10分1 296×⎪⎭⎫⎝⎛+818008110+12 960=38 882(元).∴当长为16米，宽为1081米时，总造价最低，为38 882元. 12分1.,a ,b ,c 均为正数，且a +b +c =1. 求证：a 1+b 1+c1≥9. 证明a 1+b 1+c 1= a c b a +++b c b a +++cc b a ++ =3+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b +⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a a c +⎪⎭⎫⎝⎛+c b b c≥3+2+2+2=9. 当且仅当a =b =c =31时取等号. 2.假设-4＜x ＜1,求22222-+-x x x 的最大值.解 22222-+-x x x =21·()1112-+-x x =21()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x=-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x∵-4＜x ＜1,∴-(x -1)＞0,()11--x ＞0.从而()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≥2-21()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--111x x ≤-1当且仅当-(x -1)=()11--x ，即x =2〔舍〕或x =0时取等号. 即max22222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x =-1.3.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，汽车每小时的运输成本〔以元为单位〕由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时〕的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元. 〔1〕把全程运输成本y 〔元〕表示为速度v (千米/小时〕的函数，并指出那个函数的定义域；〔2〕为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解〔1〕建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时刻为v s ，全程运输成本为y =(a +bv 2) v s =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ,v ∈〔0,c ］.〔2〕依题意，有s ,b ,a ,v 差不多上正数.因此y =sb ⎪⎭⎫ ⎝⎛+bv a v ≥2s ab ;①假设b a ≤c ,那么当且仅当v =bv a ⇒v =ba时,y 取到最小值. ②假设ba≥c ,那么y 在〔0，c ］上单调递减，因此当v =c 时，y 取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当b a ≤c 时，行驶速度应该为v =ba ；当ba≥c 时，行驶速度应该为v =c .一、选择题1.假设不等式x 2+ax +4≥0对一切x ∈〔0，1］恒成立，那么a 的取值范畴为〔〕 A .[)+∞,0B .[)+∞-,4C .[)+∞-,5D .[]4,4- 答案 C2.在以下函数中，当x 取正数时，最小值为2的是〔〕A .y =x +x4B .y =xx lg 1lg +C .y =11122+++x x D .y =x 2-2x +3答案 D3.0＜x ＜1，那么x (3-3x )取得最大值时x 的值为( )A .31 B .21C .43D .32 答案 B4.〔2018·聊城模拟〕假设直线2ax +by -2=0 〔a ,b ∈R +〕平分圆x 2+y 2-2x -4y -6=0，那么a 2+b1的最小值是〔〕 A .1 B .5 C .42 D .3+22答案 D5.〔2018·汕头模拟〕函数y =log 2x +log x (2x )的值域是〔〕A .(]1,--∞B .[)+∞,3C .[]3,1-D .(][)+∞--∞,31,答案 D6.有一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的框架，有以下四种长度的钢管供应用，其中最合理〔够用且最省〕的是〔〕A .4.7 m B .4.8 m C .4.9 m D .5 m答案C二、填空题7.〔2018·徐州调研〕假设实数a ,b 满足ab -4a -b +1=0 (a ＞1),那么(a +1)(b +2)的最小值为 . 答案 278.假设a ,b 是正常数，a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞)，那么xa 2+yb 2≥()y x b a ++2,当且仅当x a =y b 时上式取等号.利用以上结论，能够得到函数f (x )=x 2+ x219-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,x 的最小值为，取最小值时x 的值为 . 答案 25 51三、解答题 9.〔1〕0＜x ＜34，求x (4-3x )的最大值；〔2〕点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，求2x+4y的最小值. 解〔1〕0＜x ＜34,∴0＜3x ＜4. ∴x (4-3x )=31(3x )(4-3x )≤3122343⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =34当且仅当3x =4-3x ,即x =32时〝=〞成立. ∴当x =32时，x (4-3x 〕的最大值为34. 〔2〕点(x ,y )在直线x +2y =3上移动，因此x +2y =3.∴2x +4y≥2y x 42=2y x 22+=232=42.当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=3242y x yx ，即x =23,y =43时〝=〞成立.∴当 x= 3 ,y= 3 时，2x+4y 的最小值为 4 2 . 2410.a、b∈〔0，+∞〕，且 a+b=1,求证：(1)a2+b2≥ 1 ; 2(2) 1 + 1 ≥8; a2 b2(3) a 1 2 + b 1 2 ≥ 25 ; a b 2(4) a 1 b 1 ≥ 25 . a b 4证明由a 2bab , a、b∈〔0，+∞〕，a b 1,得 ab ≤ 1 ab≤ 1 1 ≥4.24 ab〔当且仅当 a=b= 1 时取等号〕 2(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× 1 = 1 ， 42∴a2+b2≥ 1 . 2(2)∵ 1 + 1 ≥ 2 ≥8,∴ 1 + 1 ≥8.a 2 b 2 aba2 b2(3)由(1)、(2)的结论，知 a 1 2 + ab 1 2 =a2+b2+4+ b1 a2+1 b2≥ 1 +4+8= 25 ,∴ a 1 2 +22 ab 1 2 ≥ 25 . b 2(4) a 1 b 1 = b + a +ab+ 1 a b a bab=b a+a b+ 1 abab 2+2≥2+ 2 1 22 +2= 25 4.11.设 a＞0,b＞0,a+b=1.〔1〕证明：ab+ 1 ≥4 1 ; ab 4〔3〕探究猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+ 1 ≥〔〕；a3b3+ 1 ≥〔〕；a2b2a3b3〔3〕由〔1〕〔2〕归纳出更一样的结论，并加以证明.〔1〕证明方法一 ab+ 1 ≥4 1 4a2b2-17ab+4≥0 ab 4 (4ab-1)(ab-4)≥0. ∵ab=( ab )2≤ a b 2 = 1 ,2 4 ∴4ab≤1，而又知 ab≤ 1 ＜4,4因此〔4ab-1〕(ab-4)≥0 成立，故 ab+ 1 ≥4 1 . ab 4方法二 ab+ 1 =ab+ 1 + 15 ，ab42 ab 42 ab∵ab≤ a 2b 2 =1 4，∴1 ab≥4，∴15 42 ab≥15 4.当且仅当 a=b= 1 时取等号. 2又 ab+ 1 ≥2 ab • 1 = 1 ，42 • ab42 • ab 2当且仅当 ab= 1 ，即 1 =4,a=b= 1 时取等号.42 abab2故 ab+ 1 ≥ 2 + 15 =4 1 ab 4 4 4〔当且仅当 a=b= 1 时，等号成立〕. 2〔2〕解猜想：当 a=b= 1 时， 2不等式 a2b2+ 1 ≥( a2b2)与 a3b3+ 1 ≥( a3b3〔3〕解由此得到更一样性的结论：)取等号，故在括号内分不填 16 1 与 64 1 .1664anbn+ 1 ≥4n+ 1 .anbn4n证明如下：∵ab≤ a b 2 = 1 ,∴ 1 ≥4. 2 4 ab∴anbn+ 1 =anbn+1+ 42n 1anbn42n a nbn 42n anbn≥2 a nbn 1+ 42n 1 ×4n42n anbn 42n= 2 + 42n 1 =4n+ 1 ，4n4n4n当且仅当 ab= 1 ,即 a=b= 1 时取等号.4212.某工厂统计资料显示，产品次品率 p 与日产量 x(单位：件，x∈N*，1≤x≤96)的关系如下：x 1 2 3 4 96p1331 333 98 97 324又知每生产一件正品盈利 a(a 为正常数)元，每生产一件次品就缺失 a 元. 3〔注：次品率 p= 次品个数 ×100%，正品率=1-p) 产品总数〔1〕将该厂日盈利额 T〔元〕表示为日产量 x 的函数；〔2〕为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解〔1〕依题意可知：p= 3 (1≤x≤96,x∈N*), 100 x日产量 x 件中次品有 xp 件，正品有 x-px 件，日盈利额 T=a(x-px)- a px=a x 4x .3 100 x (2)∵T=a x4x 100 x =a x4x100100 x400 =a x4400 100 x =a104100x400 100 x ≤a(104-2 400 )=64a，因此当 100-x=20，即 x=80 时，T 最大. 因此日产量为 80 件时，日盈利额 T 取最大值.§6.3不等式的证明基础自测1.设 a、b∈〔0，+∞〕，且 ab-a-b≥1,那么有〔〕A.a+b≥2( 2 +1) C.a+b＜ 2 +1 答案 AB.a+b≤ 2 +1 D.a+b＞2( 2 +1)2.〔2018·宜昌调研〕假设 a,x,y 是正数，且 x + y ≤a x y 恒成立，那么 a 的最小值为A.2 2B. 2C.2答案 B3.以下三个不等式：①a2+2＞2a;②a2+b2＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.其中，恒成立的有A.3 个B.2 个C.1 个答案 CD.0 个4.设 a、b、c、d、m、n∈R+，P= ab cd ，Q= ma nc · b d , 那么有 mnA.P≥QB.P≤QC.P＞Q答案 B 5.〔2018·安徽合肥 5 月〕设 a＞0,b＞0,c＞0,以下不等关系不．恒．成．立．的．是．D.P＜QA.c2+c+1＞c2+ 1 c-1 4B.|a-b|≤|a-c|+|b-c|C.假设 a+4b=1,那么 1 1 ＞6.8 abD.ax2+bx-c≥0〔x∈R〕〔〕D.1〔〕〔〕〔〕答案 D例 1 a、b、m、n∈R+. 求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm.证明 am+n+bm+n-ambn-anbm =am(an-bn)+bm(bn-an) =(an-bn)(am-bm) ∵a、b、m、n∈R+, ∴当 a≥b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n≥ambn+anbm, ∴a≤b 时，(an-bn)(am-bm)≥0, ∴am+n+bm+n≥ambn+anbm. 综上知：am+n+bm+n≥ambn+anbm. 例 2 a，b，c 为不全相等的正数，求证： b c a c a b a b c ＞3.abc证明左式= b a c b a c 3 . a b b c c a∵a,b,c 为不全相等的正数，∴ b a ≥2, c b ≥2, a c ≥2,且等号不同时成立.abbcca∴ b a c b a c 3 ＞3, a b b c c a即 b c a c a b a b c ＞3.abc例 3 a＞b＞0,求证：（ a b）2 a b ab (a b)2 .8a28b证明欲证（ a b）2 a b (a b)2 ab ,8a28b只需证（ a b）2 ( a b )2 (a b)28a28b∵a＞b＞0,∴只需证 a b a b a b ,2 2a2 2 2b即 a b 1 a b2a2 b.欲证 a b 1. 2b只需证 a b 2 a , 即 b a .该式明显成立.欲证 1＜ a b , , 2a只需证 2 b a b, ，即 b a .该式明显成立.∴ a b 1 a b 成立，且以上各步都可逆.2a2b∴ (a b)2 a b ab (a b)2 成立.8a28b例 4 〔14 分〕设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，对 n∈N*总有 Sn=qan+1〔q＞0,q≠1〕,m,k∈N*,且 m≠k.〔1〕求数列{an}的通项公式 an;〔2〕证明：Sm+k≥ 1 (S2m+S2k); 2〔3〕证明：当 q＞1 时， 2 1 1 .S SSm k2m2k解〔1〕当 n=1 时，a1=S1=qa1+1,∵q≠1,∴a1= 1 . 1 q∵Sn=qan+1,∴Sn+1=qan+1+1②-①得 Sn+1-Sn=qan+1-qan,∴an+1=qan+1-qan.`∴(q-1)an+1=qan,∵q≠1,∴an+1= q an. q 1∴数列{an}是首项为 1 ,公比为 q 的等比数列.1 qq 1∴an= 1 ×〔 q 〕n-1.1 qq 1(2)由〔1〕得Sn=qan+1= q ×〔 q 〕n-1+1=1-〔 q 〕n.1 qq 1q 1令 q =t,那么 Sm+k=1-tm+k,S2m=1-t2m,S2k=1-t2k, q 1∴Sm+k- 1 (S2m+S2k) 2=(1-tm+k)- 1 [(1-t2m)+(1-t2k)］ 2分= 1 ［(t2m+t2k)-2tm+k］ 2= 1 (tm-tk)2≥0. 2∴Sm+k≥ 1 (S2m+S2k). 2(3)当 q＞1 时，t= q ＞1, q 1∵m≠k,∴t2m≠t2k,1-t2m＜0,1-t2k＜0,1-tm+k＜0.∴-1 S2m1 S2k 1 S2m 1 S2k1分 ① ② 3分4分79分＞2 1 S2m 1 S2k21 (t 2m 1)(t 2k 1)∵0＜(t2m-1)(t2k-1)=t2m+2k-(t2m+t2k)+1＜t2m+2k-2 t 2m t 2k 1 =(1-tm+k)2.∴1 1.(t 2m1 )(t 2k 1 ) (1 t mk ) 2∴-1 S2m1 S2k 21 (1 t mk )222 .t mk 1Smk∴ 2 1 1.S m kSS2m2k1.设数列{an}的首项 a1∈(0,1),an=3a n 1,n=2,3,4,….2(1)求{an}的通项公式；〔2〕设 bn=an3 2a n,证明 bn＜bn+1,其中 n 为正整数.〔1〕解由 an= 3 an1 ,n=2,3,4,…, 2整理得 1-an=- 1 (1-an-1).又 1-a1≠0, 2因此{1-an}是首项为 1-a1,公比为- 1 的等比数列， 2得 an=1-(1-a1) 1 n-1(n=2,3,4,…). 2〔2〕证明由〔1〕可知 0＜an＜ 3 ,故 bn＞0. 2因此 b2 n1 b2 n a2 n1(3-2an+1)-a2 n(3-2an)=3a n 22 3 23a n 2-a2 n(3-2an)=9a n(an-1)2.4又由(1)知an＞0且an≠1,故b2 n1b2 n＞0,因此 bn＜bn+1(n 为正整数〕.2.〔2018·成都模拟〕〔1〕设 a、b、c 差不多上正数，求证：bc ca ab ≥a+b+c; ab c (2)a、b、c∈(0，+∞〕，且 a+b+c=1,求证： 1 a 1 b 1 c ≥6. abc证明〔1〕∵a、b、c∈〔0，+∞〕，∴ bc、ca 、ab 差不多上正数. ab c11 分 13 分 14 分∴ bc ca ≥2c， ca ab ≥2a， bc ab ≥2b.abbcac三式相加，得 2( bc ca ab )≥2(a+b+c). ab c∴ bc ca ab ≥a+b+c. ab c〔2〕 1 a 1 b 1 c b c a c a b abc a b c= b a c a b c a b a c c b≥2+2+2=6.3.假设 0＜a＜c,b＜c,求证：c- c2 ab a c c2 ab .证明 c- c2 ab ＜a＜c+ c2 ab , c2 ab a c c2 ab | a c | c2 ab (a c)2 c 2 ab a2 2ac c2 c2 ab a(a b) 2ac a b 2c①因为 a＜c,故 a+c＜2c,又 b＜c.因此①式成立.因此原不等式成立.4.a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c.求证： a b c . 1 a 1b 1c证明方法一〔放缩法〕 ∵a＞0,b＞0,c＞0,a+b＞c,∴ab a b 1 a 1b 1 a b 1 a b= a b c (a b c) c . 1 a b 1 c (a b c) 1 c∴ a b c. 1 a 1b 1c方法二〔构造函数法〕令 f(x)= x ,x∈(0,+∞).1 x可知 f(x)= x 在〔0，+∞〕上为单调增函数. 1 x∵a+b＞c＞0,∴f(a+b)＞f(c). 即 ab c .1 a b 1c 又 a b a b ab ,1 a 1b 1 a b 1 a b 1 a b∴ a b c. 1 a 1b 1c一、选择题 1.m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,那么 x、y 的大小关系应是A.x＞y C.x＜y 答案 A 2.假设 0＜a＜b＜1,那么以下各式中成立的是abA.ab＜a ab ＜a 2 ＜aa〔〕 B.x=y D.与 m、n 的取值有关abB.aa＜ a ab ＜a 2 ＜ab〔〕abC.ab＜a 2 ＜aa＜a ab 答案 DabD.ab＜a 2 ＜a ab ＜aa23.a＞b＞0，且 ab=1,假设 0＜c＜1，p=logc a2 b2 2,q=logc 1 ab ,那么 p、q 的大小关系是〔〕A.p＞qB.p=qC.p＜qD.p≥q答案 C4.〔2018·厦门模拟〕假设不等式 x2+2x+a≥-y2-2y 对任意实数 x、y 都成立，那么实数 a 的取值范畴是〔〕A.a≥0B.a≥1C.a≥2D.a≥3答案 C5.假设 a＞b＞0，以下各式中恒成立的是〔〕A. 2a b a a 2b bB. b2 1 b2 a2 1 a2C.a+ 1 b 1abD.aa＞ab答案 B6.假设实数 m、n、x、y 满足 m2+n2=a,x2+y2=b,其中 a、b 为常数，那么 mx+ny 的最大值为〔〕A. a b 2答案 B 二、填空题B. abC. a2 b2 2D.a2 b227.〔2018·吉林白山一模〕不等式 1 1 0 ,对满足 a＞b＞c 恒成立，那么的取值范畴是.ab bc ca答案〔4，+∞〕8.假设 0＜a＜1,0＜b＜1,且 a≠b，那么 a+b,2 ab ,a2+b2,2ab 中最大的是.答案 a+b 三、解答题 9.假如 a＞b,ab=1,求证：a2+b2≥2 2 (a-b),并指明何时取〝=〞号.证明因为 a＞b,a-b＞0,因此欲证 a2+b2≥2 2 (a-b). 只需证 a 2 b2 ≥2 2 .ab 因为 a＞b,因此 a-b＞0，又知 ab=1.因此a2 b2=a2 b2 2ab 2ab(a b)2 2 ababab=(a-b)+ 2 2 (a b) 2 2 2 .abab因此 a2 b2 2 2 ,即 a2+b2≥2 2 (a-b). ab当且仅当 a-b= 2 ,即 a-b= 2 时，取等号. ab10.：a、b、c 均为正数. 求证：〔ab+a+b+1〕(ab+ac+bc+c2)≥16abc. 证明 ab+a+b+1=(a+1)(b+1), ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c),∵a、b、c∈(0,+∞),∴a+1≥2 a ＞0,b+1≥2 b ＞0,a+c≥2 ac ＞0,b+c≥2 bc ＞0.四式相乘得:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.11.x≥0,y≥0,求证： 1 (x+y)2+ 1 (x+y)≥x y +y x .24证明 1 (x+y)2+ 1 (x+y)-(x y +y x ).24= x y (x y 1 ) xy ( x y )22≥ xy (x y 1 ) xy ( x y ) 〔当且仅当 x=y 时等号成立〕 2= xy (x y 1 x y ) 2=xy (x 1)2 ( 2y1 )2 2 ≥0.因此原不等式成立.12. (2018·陕西理，22)数列{an}的首项 a1= 3 ，an+1=3a n，n=1，2，….52a 1 n〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕证明：对任意的 x＞0,an≥ 1 1 ( 2 x) ,n=1,2,…; 1 x (1 x)2 3n(3)证明：a1+a2+…+an＞ n 2 . n 1〔1〕解∵an+1=3a n,2a 1n∴ 1 2 1 ,∴ 1 1 1 ( 1 1).a 3 3aa3an 1nn 1n又 1 1 2 ,a31∴ 1 an 1是以2 3为首项，1 3为公比的等比数列.∴ 1 1 2 1 2 , ∴ a 3n .a n3 3n1 3nn 3n 2〔2〕证明由〔1〕知 an= 3n ＞0, 3n 21 1 ( 2 x) 1 x (1 x)2 3n= 1 1 ( 2 11 x) 1 x (1 x)2 3n=1 1 x1 (1 x)21 a n (1 x)= 1 1 2 a (1 x)2 1 xn=- 1 ( 1 a )2 a a .a 1 x nnnn∴原不等式成立.〔3〕证明由〔2〕知，对任意的 x＞0,有a1+a2+…+an≥ 1 1 ( 2 x) 1 1 x (1 x)2 31 x1 ( 2 x) 1 1 ( 2 x)(1 x)2 321 x (1 x)2 3n= n 1 ( 2 2 2 nx)1 x (1 x)2 3 323n∴取x=1 (2 n32 322 )3n2 (1 1 ) 3 3n n(1 1)=1 (1 n1 3n), .3那么 a1+a2+ +an≥nn2 n2 .1 1 (1 1 ) n 1 1 n 1n 3n3n∴原不等式成立.§6.4 不等式的解法基础自测1.以下结论正确的选项是 A.不等式 x2≥4 的解集为{x|x≥±2} B.不等式 x2-9＜0 的解集为{x|x＜3} C.不等式(x-1)2＜2 的解集为{x|1- 2 ＜x＜1+ 2 } D.设 x1,x2 为 ax2+bx+c=0 的两个实根，且 x1＜x2,那么不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为{x|x1＜x＜x2} 答案 C2.不等式 x 2 ≤0 的解集是 x 1A.(-∞,-1)∪(-1,2］B.［-1,2］〔〕〔〕C .(-∞,-1)∪［2,+∞)D .(-1,2］答案D3.〔2018·天津理，8〕函数f (x )=⎩⎨⎧≥-<+-,0,1,0,1x x x x 那么不等式x +(x +1)·f (x +1)≤1的解集是〔〕A .{x |-1≤x ≤2-1} B .{x |x ≤1}C .{x |x ≤2-1}D .{x |-2-1≤x ≤2-1}答案C4.在R 上定义运算⊗:x ⊗y =x (1-y ).假设不等式(x -a )⊗(x +a )＜1对任意实数x 成立,那么〔〕 A .-1＜a ＜1 B .0＜a ＜2 C .-21＜a ＜23D .-23＜a ＜21答案C5.〔2018·江苏，4〕A ={x |(x -1)2＜3x -7}，那么A ∩Z 的元素的个数为 . 答案 0例1 解不等式)35(232+-x ≥21(x 2-9)-3x .解原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x , 即2x 2-3x -7≤0.解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±.因此原不等式的解集为 .4654346543|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-x x例2 不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为(βα,),且0＜α＜β,求不等式cx 2+bx +a ＜0的解集. 解方法一由不等式的解集为〔βα,〕可得a ＜0, ∵βα,为方程ax 2+bx +c =0的两根，∴由根与系数的关系可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=②0①0)(αββαa c ab∵a ＜0,∴由②得c ＜0, 那么cx 2+bx +a ＜0可化为x 2+,0>+cax c b①÷②得,011)(<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=βααββαc b 由②得,0111>⋅==βααβc a∴α1、β1为方程x 2+c a x c b +=0的两根.∵0＜α＜β,∴不等式cx 2+bx +a ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11|x x x 或方法二由不等式解集为(βα,),得a ＜0, 且βα,是ax 2+bx +c =0的两根， ∴βα+=-a b ,αβ=ac,∴cx 2+bx +a ＜0012>++⇔x abx a c0)1)(1(01)()(2>--⇔>++-⇔x x x x βαβααβ 0)1(1>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇔βαx x .∵0＜α＜β,∴βα11>,∴x ＜β1或x ＞α1,∴cx 2+bx +a ＜0的解集为.11|⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβx x x 或例3 不等式011>+-x ax (a ∈R ).(1)解那个关于x 的不等式;(2)假设x =-a 时不等式成立,求a 的取值范畴. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1; ②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＞0,解得x ＜-1或x ＞a1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＜0;假设a 1＜-1,即-1＜a ＜0,那么a1＜x ＜-1; 假设a1=-1,即a =-1,那么不等式解集为空集;假设a 1＞-1,即a ＜-1,那么-1＜x ＜a1.综上所述,a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11|;a =-1时,原不等式无解;-1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x a x ;a =0时,解集为{x |x ＜-1};a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11|或.(2)∵x =-a 时不等式成立, ∴,0112>+---a a 即-a +1＜0,∴a ＞1,即a 的取值范畴为a ＞ 1.例4 〔12分〕f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞〕时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范畴. 解方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x =a ,1分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f 〔x )在［-1，+∞〕上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 3分要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 5分 ②当a ∈［-1，+∞〕时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 7分由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1, 又a ≥-1,∴-1≤a ≤1.10分综上所述，所求a 的取值范畴为-3≤a ≤1.12分方法二由得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞〕上恒成立， 4分即Δ=4a 2-4〔2-a 〕≤0或,0)1(10⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆f a8分解得-3≤a ≤1.12分1.解以下不等式：〔1〕-x 2+2x -32＞0;(2)9x 2-6x +1≥0.解〔1〕-x 2+2x -32＞0⇔x 2-2x +32＜0 ⇔3x 2-6x +2＜0Δ=12＞0,且方程3x 2-6x +2=0的两根为 x 1=1-33,x 2=1+33,∴原不等式解集为.331331|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-x x(2)9x 2-6x +1≥0⇔(3x -1)2≥0. ∴x ∈R ,∴不等式解集为R .2.关于x 的不等式(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31|x x ，求关于x 的不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0的解集.解 ∵(a +b )x +(2a -3b )＜0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<31|x x ,∴⎪⎩⎪⎨⎧>+=-+-+.0,0)32()31)((b a b a b a 因此a =2b ＞0,b ＞0,不等式(a -3b )x +(b -2a )＞0, 即为-bx -3b ＞0,亦即-bx ＞3b ,∴x ＜-3. 故所求不等式的解集为{x |x ＜-3}.3.解关于x的不等式,02<--a x ax 〔a ∈R 〕. 解⇔<--02ax a x 〔x -a 〕〔x -a 2〕＜0,①当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，现在a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，现在a 2＜x ＜a . 综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅. 4.函数f 〔x 〕=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范畴. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范畴. 解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,因此-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情形讨论(如下图):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点,但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--374620324220)3(42a a a a a a aa a 或解之得a ∈∅.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点,但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即.6774620324220)3(42-≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--a a a a a a a a a a 或综合①②③得a ∈［-7，2］.一、选择题1.函数y =)1(log 221-x 的定义域是〔〕A .［-2,-1〕∪〔1，2］B .［-2，-1］∪〔1，2〕C .［-2，-1〕∪〔1，2］D .〔-2，-1〕∪〔1，2〕答案A2.不等式0412>--x x 的解集是〔〕A .(-2,1)B .(2,+∞)C .(-2,1)∪(2,+∞)D .(-∞,-2)∪(1,+∞〕答案C3.假设(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)＜0对任何实数x 恒成立，那么实数m 的取值范畴是〔〕A .m ＞1B .m ＜-1C .m ＜-1113D .m ＞1或m ＜-1113答案C4.假设关于x 的不等式：x 2-ax -6a ＜0有解且解的区间长不超过5个单位，那么a 的取值范畴是〔〕A .-25≤a ≤1B .a ≤-25或a ≥1C .-25≤a ＜0或1≤a ＜24D .-25≤a ＜-24或0＜a ≤1答案D5. (2018·合肥模拟)函数f (x 〕的定义域为〔-∞，+∞〕，)(x f '为f (x )的导函数，函数y =)(x f '的图象如图所示，且f (-2)=1,f (3)=1,那么不等式f (x 2-6)＞1的解集为〔〕A .(2,3)∪(-3,-2)B .(-22，,)C .(2,3)D .(-∞,- 2)∪(2,+∞)答案A6.〔2018·珠海模拟〕不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集为〔〕A .{x |-1＜x ＜1}B .{x |0＜x ＜3}C .{x |0＜x ＜1}D .{x |-1＜x ＜3}答案C二、填空题7.假设不等式2x ＞x 2+a 关于任意的x ∈［-2，3］恒成立，那么实数a 的取值范畴为 .答案 (-∞,-8)8.{x |ax 2-ax +1＜0}=∅,那么实数a 的取值范畴为 . 答案 0≤a ≤4三、解答题9.解关于x 的不等式56x 2+ax -a 2＜0. 解原不等式可化为(7x +a )(8x -a )＜0,即.087<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a x①当-7a ＜8a ,即a ＞0时,-7a＜x ＜8a ;②当-7a =8a,即a =0时,原不等式解集为∅;③当-7a ＞8a ,即a ＜0时, 8a ＜x ＜-7a .综上知:当a ＞0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-87|a x a x当a =0时,原不等式的解集为∅;当a ＜0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x ax10.x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,求不等式qx 2+px +1＞0的解集.解 ∵x 2+px +q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x∴-31,21是方程x 2+px +q =0的两实数根，由根与系数的关系得,)21(312131⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯-=-q p ∴,6161⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==q p ∴不等式qx 2+px +1＞0可化为-61x 2+61x +1＞0,即x 2-x -6＜0,∴-2＜x ＜3,∴不等式qx 2+px +1＞0的解集为{x |-2＜x ＜3}.11.假设不等式2x -1＞m (x 2-1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范畴. 解方法一原不等式化为(x 2-1)m -(2x -1)＜0. 令f (m )=(x 2-1)m -(2x -1)(-2≤m ≤2).那么⎩⎨⎧<---=<----=-.0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得.231271+<<+-x方法二求不等式视为关于m 的不等式，〔1〕假设x 2-1=0，即x =±1时，不等式变为2x -1＞0,即x ＞21,∴x =1,现在原不等式恒成立. 〔2〕当x 2-1＞0时，使m x x >--1122对一切|m |≤2恒成立的充要条件是21122>--x x ,∴1＜x ＜.231+(3)当x 2-1＜0时，使m x x <--1122对一切|m |≤2恒成立的充要条件是<--1122x x -2.∴271+-＜x ＜1. 由〔1〕〔2〕〔3〕知原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-213217|x x .12.函数f (x )=ax 2+a 2x +2b -a 3,当x ∈(-2,6)时，其值为正，而当x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞〕时，其值为负.〔1〕求实数a ,b 的值及函数f (x )的表达式；。

2020年高考数学(理科)一轮复习课件：第6章不等式第1讲

基础知识过关
1.两个实数比较大小的依据 01 ＞ b. (1)a－b＞0⇔a □ (2)a－b＝0⇔a (3)a－b＜0⇔a
02 ＝ □ 03 ＜ □
b. b.
2．不等式的基本性质 01 b＜a (1)对称性：a＞b⇔ □ (2)传递性：a＞b，b＞c⇒
. 02 a＞c □
.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. 03 ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒ (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ □ (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒
答案
解析 M> N .
)
B．M≥N D．M≤N
A
M－ N＝ 2a(a－2)－ (a＋ 1)(a－ 3)＝a2－2a＋3 ＝ (a －1)2＋2>0，故
答案
解析
(4)已知函数 f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数 x，恒有 f(x)≤0，则实数 a 的取值范围是________．
答案 [－4,0]
02 □
．．
2 4 ac － b b 2 y＝a x ＋ (a≠0) ＋ 2 a 4 a
03 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) (3)两根式： □
．
5．三个二次之间的关系
1．概念辨析 (1)a＞b⇔ac ＞bc .( × ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2 ＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( √ ) (3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R .( × ) (4) 不等式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( × )

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D．当 a>b 时， e1>e2；当 a<b 时， e1<e2 5．(2015 年上海 ) 记方程①： x2＋a1x＋ 1＝ 0，方程②： x2＋ a2x＋2＝ 0，方程③： x2＋ a3x
＋4＝ 0，其中 a1， a2，a3 是正实数．当 a1，a2， a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程
③无实根的是 (
)
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
6．已知函数
f ( x) ＝ax2＋ bx＋c 满足
f (1)
＝ 0，且
c a>b>c，则的取值范围为
__________ ．
a
7．(2016 年山东滨州模拟 )A 杯中有浓度为 a 的盐水 x g，B 杯中有浓度为 b 的盐水 y g，
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a2 1
b2 1
1
1
11．已知 a＞ 0， b＞ 0，求证： b 2 ＋ a 2 ≥ a 2 ＋ b 2 .
sin α 12．已知 α ∈ (0 ， π ) ，比较 2sin 2 α 与 1－ cos α的大小．
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第 1 讲不等式的概念与性质
11 1． A 解析：① a＝ 1， b＝－ 1， a＜ b不成立；
ax＋ by bx＋ by
ax＋ by ax＋ ay
ax＋ by
则有 x＋ y > x＋ y ＝ b， x＋ y < x＋ y ＝ a. 故有 b< x＋ y <a.
8． 6 解析：设有 x 辆汽车，则货物重为 (4 x＋ 20) 吨．
ax＋ by x＋y .
x－＜ 4x＋ 20，
由题意，得 8x＞ 4x＋ 20， x∈N* .
解析：因为 f (1) ＝ 0，所以 a＋b＋ c＝ 0. 所以 b＝－ ( a＋ c) ．
又 a>b>c，所以 a>－ ( a＋c)> c，且 a>0， c<0.
所以
1>－
a＋ a
cc >a，即
cc
1>－
1－
>. aa
2c a <－ 1，所以 c a>－2，
c1
解得－
2<a<－
. 2
ax＋ by 7．b< x＋ y <a 解析：依题意，知 a>b，将 A，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为
3
13
4
则 y1＝ x＋ 4x·（n－1) ＝ 4x＋4nx， y2＝5nx.
13 4
因为
y
1－Байду номын сангаас
y
2＝
4
x＋
nx－ 4
5
nx
11
1
n
＝ 4x－ 20nx＝ 4x 1－5 .
当 n＝5 时， y1＝ y2 ；
当 n>5 时， y1<y2；
当 n<5 时， y1>y2.
因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，选甲车更优惠；少于 5
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第 1 讲不等式的概念与性质
1． (2017 年河北承德实验中学统测 ) 若 a， b， c∈ R，且 a＞ b，则下列不等式正确的个
数是 ( )
11 ① a<b；②
a2>b2；③
ac4 >bc 4；④
ab
c2
＋
1
> c
2＋
1
.
A． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
2． (2016 年北京 ) 已知 x， y∈ R，且 x>y>0，则 ( )
a－ ab＋ b 2 ab－ ab
＝
≥
＝ 1.
ab
ab
∴原不等式成立．
sin α 4sin α cos α － cos α
12．解： 2sin 2 α － 1－ cos α ＝
1－ cos α
－sin α
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＝
sin α 1－ cos α
(
－
4cos
2
α
＋
4cos
α
－1)
＝－
sin α 1－ cos α
11 A. x－y>0 B ． sin x－ sin y>0
C.
1 2
x－
1 2
y <0
D
． ln
3．已知下列不等式：①
x＋ ln y>0 x2＋ 3>2x；② a3 ＋ b3≥ a2b＋ ab2( a， b∈ R＋) ；③ a2＋ b2≥2( a－ b
－1) ．其中正确的个数是 ( )
A． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
< a a＋
m，即
e1<e2 . 故选
B.
5．B
解析：当方程①有实根，
且②无实根时，
a21 ≥ 4，a22<8，从而
a3
＝
a22 a1
8 <2
＝
4，∴
a23<16
，
即方程③： x2＋ a3x＋ 4＝ 0 无实根．故选 B. 而 A， D由于不等式方向不一致，不可推； C 推出
③有实根．
1
6.
－ 2，－ 2
11 ②若 b－ a＝ 1，则 a－ b＜ 1；
③若 | a－ b| ＝ 1，则 | a－ b| ＜1； ④若 | a3－b3| ＝ 1，则 | a－ b| ＜ 1.
其中的真命题有 __________． ( 写出所有真命题的编号 )
10． (2016 年湖南怀化模拟 ) 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说： “如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
α，当且仅当
α ＝时取等号． 3
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1) 2 ≥0，∴ a2＋b2≥2( a－ b－ 1) ．
4．B 解析： e1＝
b2 1＋ a2，e2＝
b＋ m 2
b b＋ m
1＋
a＋ m
2. 不妨令
e1<e2，化简，
得
a<a＋
( m
m>0)
，
b b＋m
b b＋ m
得 bm<am，得 b<a. 所以当
b>a
时，有
> a a＋
m，即
e1>e2；当
b<a 时，有
解得 5＜ x＜ 7，且 x∈ N*. 故只有 x＝ 6 才满足要求．
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9．①④
解析：①中，∵
a2－
b2＝
1，∴
a－
b＝
1 a＋
. b
∵ a＞ 0， b＞ 0，又 a2＝ b2＋ 1＞1，
1 ∴ a＞ 1. 从而 a＋b＜ 1，即 a－ b＜ 1.
∴①正确．
5 ②中，取 a＝ 5， b＝ 6，验证知②错误．
③中，取 a＝ 4， b＝ 1，验证知③错误．
④∵ a， b 是正实数，不妨设 a＞ b>0，
∴ a3－ b3＝( a－ b)( a2＋ b2＋ ab) ．
a3－ b3
1
∴ a－ b＝ a2＋ ab＋b2＝ a2＋ ab＋ b2.
∵ a3＝ 1＋b3＞ 1，∴ a2＞ 1. ∴ a2＋ab＋ b2＞ 1.
人时，选乙车队更优惠．
11．证明：方法一，左边－右边＝
a 3＋ ab
b3 － ( a＋ b)
a＋ b a－ ab＋ b － ab a＋ b ＝
ab
a＋ b a－2 ab＋ b
a＋ b
a－ b 2
＝
＝
≥0.
ab
ab
∴原不等式成立．方法二，左边 >0，右边 >0.
左边右边＝
a＋ b a－ ab＋ b ab a＋ b
调性，可知
sin
x－ sin
y>0 不一定正确， B 不正确；由
1 0<2<1， x>y>0，得
1x 1y 2 < 2 ，即
1 2
x－ 1 y<0， C 正确；由 x>y>0，得 xy>0，但不一定大于 1，故 ln x＋ ln y＝ ln xy>0 不一定 2
成立， D 不正确．
3． D 解析：∵ x2－ 2x＋ 3＝ ( x－1) 2＋ 2>0，∴ x2＋ 3>2x. ∵ a3＋ b3－ a2b－ ab2＝ ( a－ b)( a2 － b2) ＝ ( a＋ b)( a－ b) 2≥0，∴ a3＋ b3≥ a2b＋ ab2. ∵ a2＋ b2－ 2( a－ b－ 1) ＝ ( a－ 1) 2＋ ( b＋
② a＝ 1， b＝－ 1， a2＞ b2 不成立； ③ c＝ 0， ac4＞ bc4 不成立；
④因为
c2＋ 1＞ 0，a＞ b，所以
a c2＋
b 1＞ c2＋1成立．
11 1 1 2． C 解析：由 x>y>0，得 x<y，即 x－ y<0， A 不正确；由 x>y>0 及函数 y＝ sin x 的单
4．(2015 年湖北 ) 将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b( a≠ b) 同时增加
m( m>0) 个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2，则 (