工程硕士学位考试高等工程数学试题111
高等工程数学考研真题试卷
高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。
高等工程数学考试部分答案1
工程硕士学位课程考试
高等工程数学试题
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上
矩阵分析部分
一．（6分）设求值。
解：参考试题2第一题
二．（8分）已知函数矩阵：，求矩阵
解：参考试题2第二题
三．（10分）设向量
与，令，
（1）求的一组基和维数；（2）求维数。
解：参考试题2第三题
四．（10分）设，
1．求的Jordan标准形及最小多项式；
解: 矩阵的最小多项式为, Jordan标准形为
2。
求解初值问题
解：参考试题2第四题（2）小题
五．（8分）设与是线性空间的两个基，为从基到的过渡矩阵，为的一个线性变换，在基下的矩阵，求线性变换在基下的矩阵。
解: 由题意有
所以由第一式有
把第二式和第三式代入得到
把第一式代入左边得到
从而有, 所以
六．（8分）设且可逆，，求证：的特征值都是正数。
证明: 因为为正规矩阵, 所以酉矩阵与对角矩阵. 即存在酉矩阵, 使得, 其中为对角矩阵, 从而
所以的元素全为实数. 设为任意一个特征值, 是属于的特征向量, 则有
得证.。
高等工程数学试题及参考答案-工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。
（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）； 3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)Tf x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）； 4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n ==L ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X L 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L ）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。
2018-工程硕士数学试卷-范文word版 (28页)
?y1??1??1?（6）设有线性回归模型?y2?2?1??2??2，其中?i~N(0,?2
)(i?1,2,3) 且相互独立，写出参数
?y???2???123?3
?1,?2的最小二乘估计。
四、（本题14分）某厂生产A、B、C三种产品，需要甲、乙两种原料，加工单位产品所需要原料及其他数据见下表。
3、设X、Y相互独立，X~N(?1,2)，Y~N(1,3)，则X?2Y服从（ B ） A. N(1,8)； B. N(1,14) ；C. N(1,22)； D. N(1,40).
~??
4、已知总体X~N(?,?2),(X1,X2,?Xn)为样本，为 样本均值，S2为样本二阶中心矩，则T?S/n?1服从的分布为（ B）
0?x?1?x，?
5设随机变量X的概率密度为f(x)??2?x，1?x?2，试求：
?0，其它?
（1）X的分布函数F(x)；（2）P{X?；（3）E(X)，D(X).
6. 设随机变量X的分布列为 p
a
6
a
15
30
32
（1）求a；（2）求Y?X2的分布列；（3）求D(X).
篇二：高等工程数学试题--201X-11-2工程硕士
1、已知P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8, 则P(A?B)?__0.7____. 2、设随机变量X~U(1,3)，则X的数学期望为______2___. 3、设D(X)?4,D(Y)?9,?XY?0.6，则D(3X?2Y)?
4、已知袋中有3个红球，2个白球，现将袋中之球逐一取出（不放回），则最后一次取得红球的概率为____3/5______.
高等工程数学习题答案
高等工程数学习题答案【篇一：高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)】xt>一、填空题（每小题3分，共15分）2x12???x101，设总体x服从正态分布n(0,4)，而(x1,x2?,x15)是来自x的样本，则u?222(x11???x15)服从的分布是_______ .解：f(10,5)．?是总体未知参数?的相合估计量的一个充分条件是2，?n?)??, limvar(??)?0．解：lime(?nnn??n??3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：?检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．22?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体x~n(1,9)，(x1,x2,?,x9)是x的样本，则（a）x?1x?1~n(0,1)；（b）~n(0,1)； 31x?1~n(0,1)． ~n(0,1)；（d92（c）2，若总体x?n(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??减小，则?的2置信区间____b___ .（a）长度变大；（b）长度变小；（c）长度不变；（d）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____b___ . （a）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（b）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（c）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（d）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设st为总离差平方和，se为误差平方和，sa为效应平方和，则总有___a___ .（a）st?se?sa；（b）sa?2??2(r?1)；（c）sa/(r?1)?f(r?1,n?r)；（d）sa与se相互独立.se/(n?r)?)=?[in?x(xx???0n；（b）cov(??)x?]；（a）???2?1（c）?????n?p?1是?2的无偏估计；（d）（a）、（b）、（c）都对.22三、（本题10分）设总体x?n(?1,?)、y?n(?2,?)，(x1,x2,?,xn1)和(y1,y2,?,yn2)分别是来自x和y的样本，且两个样本相互独立，和sx、sy分别是它们的样本均值和样本方差，证明2222(n1?1)sx?(n2?1)sy其中s??.n1?n2?22?t(n1?n2?2)，证明：易知??n(?1??2,?2n1??2n2)，u??n(0,1)．由定理可知2(n1?1)sx?2由独立性和?分布的可加性可得2??(n1?1)，22(n2?1)sy?2??2(n2?1)．v?2(n1?1)sx?2?2(n2?1)sy?2??2(n1?n2?2)．由u与v得独立性和t分布的定义可得??t(n1?n2?2)．?1?2?, 0?x??,??1,??x?1,其中参数?（0???1) 四、（本题10分）设总体x的概率密度为f(x;?)??2(1??)??0, 其他，???；?，xn)是来自总体的一个样本，是样本均值，未知，(x1，x2，（1）求参数?的矩估计量?（2）证明4不是2?2的无偏估计量．解：（1）e(x)??????xf(x,?)dx???01xx1?dx??dx??，?2(1??)2?42??2?令?e(x)，代入上式得到?的矩估计量为?（2）1． 2111?1?4e(42)?42?4[?()2]?4?dx?(??)2??dx?????，424?n?n因为d(x)?0，??0，所以 e(4)??．故42不是?的无偏估计量．五、（本题10分）设总体x服从[0,?](??0)上的均匀分布，(x1,x2,?xn)是来自总体x的一个样本，试求参数?的极大似然估计．解：x的密度函数为,0?x??;??f(x,?)??0,其他,?222似然函数为???n,0?xi??,i?1,2,?,n,l(?)??其它??0,??max?x,x,?,x?是?的显然??0时，l(?)是单调减函数，而??max?x1,x2,?,xn?，所以?12n极大似然估计．六、（本题10分）设总体x服从b(1,p)分布，(x1,x2,?xn)为总体的样本，证明是参数p的一个umvue．证明：x的分布律为f(x;p)?px(1?p)1?x,x?0,1．容易验证f(x;p)满足正则条件，于是???1i(p)?e?lnf(x;p)??．?pp(1?p)??另一方面2var()?1p(1?p)1， var(x)??nnni(p)即得方差达到c-r下界的无偏估计量，故是p的一个umvue．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布n(?0,?)，由以前的观测可知?0?56．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得?61, s?400, 问此仪器测出的结果与以往相2解：设h0：???0?56．构造检验统计量22t???0~t(15)， n确定拒绝域的形式?t?t??．由??0.05，定出临界值t?/2?t0.025?2.1315，从而求出拒绝域t?2.1315．?????2而n?16,?60，从而 |t|???0.8?2.1315，接受假设h0，即认为此仪器测222出的结果与以往相比无明显的差异．2八、（本题10分）已知两个总体x与y独立，x~(?1,?1)，y~(?2,?2)，?1, ?2, ?1, ?2未知，?12(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)分别是来自x和y的样本，求2的置信度为1??的置信区间.?2122分别表示总体x，y的样本方差，由抽样分布定理知解：设s12,s2p?f?/2(n1?1,n2?1)?f?f1??/2(n1?1,n2?1)??1??，则22??s12/s2?12s12/s2p??2???1??， ?f1??/2(n1?1,n2?1)?2f?/2(n 1?1,n2?1)?22??s12/s2s12/s2?12,所求2的置信度为1??的置信区间为 ??．?2f(n?1,n?1)f(n?1,n?1)2?/212?1??/21?九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测【篇二：高等工程数学试题答案】>一、设总体x具有分布律其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：ex??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??314?(1?2?1)?33??5. 令ex?，得?6（2）最大似然估计：l(?)?????2?(1??)?2??2?2256dln(?)?10?4?12?5?0 d???5得?6二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度x~n(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是22否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）解：（1）检验假设h0：?=1，h1：?≠1；取统计量：??222(n?1)s2?20；拒绝域为：?2≤?21?2222?=2.70或≥(n?1)??(9)?(n?1)???0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，1故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。
中南大学高等工程数学试题
中南大学工程硕士“高等工程数学〞考试试卷〔开卷〕考试日期：2021年 4 月 日 时刻110分钟注：解答全数写在答题纸上一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 那么方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 必然收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估量式*x x k-≤L-1ε；2. 成立最优化问题数学模型的三要素是： 确信决策变量 、 成立适当的约束条件 、 成立目标函数 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象〞，其缘故是： 最速下降法前后两个搜索方向老是垂直的 ； 4．函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，那么)(x S 知足的三个条件〔1〕在每一个子区间[]i i x x ,1-〔i=1，2，…，n 〕上是不高于三次的多项式；〔2〕S 〔x 〕，S ’〔x 〕，S ’’〔x 〕在[]b a ,上持续；〔3〕知足插值条件S 〔x i 〕=y i 〔i=1，2，…，n 〕； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，那么~X N 〔3，〕；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示实验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示实验最多能够安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵知足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进展LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了幸免 采纳绝对值很小的主元素 致使误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler 法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩()1002,1,009.003.01 =+=+n y x y n n n的公式为 。
工程硕士(GCT)数学模拟试卷113(题后含答案及解析)
工程硕士（GCT）数学模拟试卷113(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题选择题（25题，每小题4分，共100分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设a，b，c是非负实数，如果a＋1，b＋2，c＋3，7的算术平均数是7，那么abc的最大值是[ ]．A．7B．49C．25D．125正确答案：D解析：本题主要考查了几个数的算术平均数的概念及算术平均数与几何平均数的关系．由于所以a＋b＋c＝15，从而且等号在a＝b＝c＝5时取到．即abc的最大值为125．故选D．2．一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为[ ]．A．1：2B．1：4C．1：8D．1：24正确答案：D解析：圆柱体积＝π×(4×4)×8＝128π，圆锥体积＝，．故选D．3．两个相同规格的容器，分别装上A，B两种液体后的总重量分别是1800g 和1250g，已知A液体的重量是B液体的两倍．那么这个空容器的重量是[ ]g．A．550B．600C．700D．1100正确答案：C解析：设这个空容器的重量为xg，B液体的重量是yg，根据题意，得解得x＝700．故选C．4．一个棱长为整数n的正方体，表面全涂上红色后，被分成若干个体积都等于1的小正方体．在这些小正方体中，六个面都没有红色的小正方体个数占全部小正方体个数的，则n＝[ ]．A．4B．5C．6D．7正确答案：C解析：所有小正方体的个数是n3，六个面都没有红色的小正方体个数为(n —2)3．根据题意，得．解得n＝6．故选C．5．若实数x，y，z满足，则7x＋5y—3z＝[ ]．A．—24B．—12C．0D．12正确答案：A解析：因为，所以2z(x＋y)＝3y(x＋z)．整理得3xy—2xz＋yz＝0，即6(x＋y)—6(x＋z)＋4(y＋z)＝0．所以x＝5y．代入，故x＝24，进而得到．故7x ＋5y—3z＝—24．故选A．6．某装置的启动密码是由0到9中的三个不同数字组成，连续三次输入错误密码，就会导致该装置永久关闭，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人能够启动此装置的概率为[ ]．A．B．C．D．正确答案：C解析：由0到9中的三个不同数字组成的不同密码共有A103＝10×9×8＝720，一个仅记得密码是由三个不同数字组成的人一次能够启动该装置的概率是，所以他在三次之内能够启动此装置的概率是．故选C．7．已知集合A＝{(x，y)｜y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)｜y＝2x，z∈R)，则A∩B的元素数目为[ ]．A．0B．1C．2D．无穷多正确答案：C解析：如图所示，集合A是函数y＝2x(x∈R)的图像．集合B是函数y＝2x(x ∈R)的图像．在直角坐标系中稍微精磺一些作出函数的图像，即可看出它们有两个交点．应该注意到，在x无限增大时，指数函数y＝2x的增长总是比幂函数快得多．故选C．8．不等式的解集是[ ]．A．B．C．{x｜x＞6)D．正确答案：B解析：要使不等式中的根式有意义，要求3x—2≥0，即．由含绝对值不等式的解法，本题解集应是下面两个不等式组解集的并集：不等式组(1)中，第二式化为．两边平方解出x＞6．所以(1)的解集是{x｜x＞6}．同理，不等式组(2)中第二式化为，平方后解出x＜2，(2)的解集为．(1)与(2)解集的并集就是选项B．故选B．9．若f(x)＝x3＋px2＋qx＋6含有一次因式x—3和x—1，则pq＝[ ]．A．3B．5C．8D．10正确答案：D解析：由f(1)＝0和f(3)＝0得到线性方程组解出p＝—2，q＝—5．故选D．10．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝—24，a18＋19＋a20＝78，则此数列前20项之和为[ ]．A．160B．180C．200D．220正确答案：B解析：设数列公差为d，由条件a1＋a2＋a3＝—24，可得3a1＋3d＝—24，由a18＋a19＋a20＝78，可得3a1＋54d＝78．两方程联立解出a1＝—10，d＝2．所以故选B．11．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边a，b，C成等差数列，且知∠B＝30°，三角形面积，则b＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：B解析：，∠B＝30°推得ac＝6．由条件2b＝a＋c及余弦定理分别得4b2＝a2＋c2＋2ac，b2＝a2＋c2—2accos∠B．两式相减得．选项B的平方．故选B．12．已知w>0，函数f(x)＝2sinwx在区间上为增函数，则有[ ]．A．B．0＜w≤2C．D．w＞2正确答案：A解析：是函数sinx的一个增区间，在它的任一个子区间，sinx都是增函数，若有区间(a，b)，其端点有一个在上，另一端点不属于它，则sinx在(a，b)上不是增函数．对于函数sinωx(其中ω>0)，是它的一个增区间，具有类似上述性质．本题已知f(x)＝2sinωx在上为增函数，由奇函数的对称性，f(x)在上也是增函数，所以只要使．故选A．13．曲线C：x2＋y2＋2x＋4y—3＝0上与直线x＋y＋1一0的距离等于的点有[ ]个．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：C的方程写成(x＋1)2＋(v＋2)2＝，即C是以(—1，—2)为图心，半径为的圆．圆心到直线z：x＋y＋1＝0的距离．这正好等于圆C半径的一半，所以过圆心作平行于z的直线，与圆交于两点A，B．再过圆心作垂直l的直线，与圆的交点之一及点A，B到l趵距离都是(见图)．故选C．14．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．O为抛物线的顶点，则△ABO是一个[ ]．A．等边三角形B．直角三角形C．不等边锐角三角形D．钝角三角形正确答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过F的直线AB的方程可可写成，代入y2=2px，得y2—2pmy—P2＝0．所以y1y2＝—p2，，故有，即得，∠AOB 为钝角．故选D．15．如图所示，扇形的半径为12，圆心角为60°，O为扇形的内切圆圆心，则阴影部分的面积为[ ]．A．8πB．16πC．20πD．24π正确答案：A解析：扇形面积为．扇形内切圆半径为．OO1＋OA＝O1A为扇形半径，又扇形内切圆半径，所以内切圆面积为π(×(OA)2＝π×42＝16π．阴影部分面积＝扇形面积—内切圆面积＝24π—16π＝8π．故选A．16．设在(—∞，＋∞)内连续，则[ ]．A．a＝2，b＝1B．n＝1，b＝1C．D．正确答案：D解析：由题设，只需考虑f(x)在x＝0处的连续性．要使f(x)在x＝0处连续，须，b＝2．故选D．17．如图所示，曲线y＝f(x)上任一点P的切线为PT，以PT为斜边的直角三角形PTQ的面积为，则y与y’满足的方程是[ ]．A．y’＝yB．y’＝—yC．y’2＝yD．y’＝y2正确答案：D解析：见图，曲线y＝f(x)在点P(x，y)的切线方程为Y—y＝y’(X—x)，令Y＝0，得，所以T点的横坐标为．，于是有y’＝y2．故选D．18．图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数S(t)，一条是汽车的速度函数v(t)，一条是汽车的加速度函数a(t)，则[ ]．A．曲线a是s(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线c是a(t)的图形B．曲线b是s(t)的图形，曲线n是v(t)的图形，曲线c是a(t)的图形C．曲线a是S(t)的图形，曲线c是v(t)的图形，曲线b是a(t)的图形D．曲线c是S(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线a是a(t)的图形正确答案：D解析：因r’(t)＝v(t)，v’(t)＝a(t)，图中C曲线单调上升，b曲线在x轴上方；在b曲线单调上升的区间上c曲线在x轴的上方，在b曲线单调下降的区间上c曲线在x轴的下方，再利用导数符号判断函数单调性的定理可推得选D．故选D．19．光滑曲线y＝f(x)通过原点，且在x＝1处与曲线y＝e2x相切，则＝[ ]．A．0B．e2C．—e2D．2e2正确答案：B解析：因光滑曲线y＝f(x)通过原点，所以f(0)＝0．由于曲线．y＝f(x)在x ＝1处与y＝e2x相切，而(e2x)’｜x＝1＝2e2x｜x＝1＝2e2，因此f(1)＝e2，f’(1)＝2e2．进而故选B．20．设，则F(x)为[ ]．A．正常数B．负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：被积函数esint.sint是以2π为周期的函数，因此它在任一个周期上的积分都相等，从而上式最后一步利用了“被积函数是连续的大于等于零但不恒为零函数的积大于零”的结论．故选A．21．设y＝f(x)在[a，b]上单调，且有连续的导数，其反函数为x＝g(y)．又α＝f(a)，β＝f(b)，＝[ ]．A．αβ—ab—AB．bβ—αa—AC．αβ—ab＋AD．bβ—αa＋A正确答案：B解析：在中，令y＝f(x)，且当y＝α时，x＝a，当y＝β时，x＝b，g[f(x)]＝x，dy＝f’(x)dx．因此故选B．注用几何解释很简单．设y＝f(x)单调递增，f(x)＞0，a≥0，如图所示，y＝f(x)，x＝g(y)表示同一曲线，在几何上表示曲边梯形αMNβ的面积B，它等于矩形ObNβ的面积减去矩形OaMα的面积后，再减去曲边梯形abNM的面积，而矩形ObNβ的面积等于bβ．矩形OaMβ的面积等于aα，曲边梯形abNM的面积为＝bβ—aα—A．22．设三阶方阵A，B满足关系式A—1BA＝6A＋BA，且则B＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：A解析：三阶方阵A，B满足A—1BA＝6A＋BA，等式两边右乘A—1，得A —1B＝6I＋B，(A—1—I)B＝6I，B＝(A—1—I)—1.6I．而故选A．23．设三阶方阵A，B满足关系式A—1BA＝6A＋BA，且则B＝[ ]．A．B．C．D．正确答案：D解析：因为所以A的对应于特征值2的一个特征向量是。
南京理工大学工程硕士高等工程数学题
南京理工大学工程硕士学位课程考试高等工程数学试题注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（6分）设，其中1,121,312243122-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,AX A A ∞值。
解：A ∞=max{|2|+|-1|+|3+4i|,|-2|+|2i|+|-1|,|-i|+|-3|+|i|}=max{8,5,5}=8 1A =max{|2|+|-2|+|-i|,|-1|+|2i|+|-3|,|3+4i|+|-1|+|i|}=max{5,6,7}=734i AX 34i 6+⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2AX二．（8分） 已知函数矩阵：22222222222223332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解：∵()AtAte Ae'=又 ()2t t2t t t 2t At 2t t 2t t t 2t 2t t 2t tt 2t 4e e 2e e e 2e e 2e e 4e e 2e 4e 6e 3e 2e e 3e 4e ⎛⎫--- ⎪'=--- ⎪ ⎪---⎝⎭∴ A=AE=Ae 0=Ae At |t=0=(e At )’|t=0=311132311-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量)5,1,2,3(),4,1,1,2(),1,0,1,1(321---=-=-=ααα与)3,1,1,2(),1,1,0,1(21-==ββ，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。
解：(1) 对下列矩阵施行如下初等行变换()TT TT T 12312A =αααββ1231212312112010111101111011111451302201--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭1231212312011110111100000000210002100000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴ r(A)=3 ∴ r(α1,α2,α3,β1,β2)=3 ∴ dim(V 1+V 2)=3可选{α1,α2,β1}为V 1+V 2的一组基(2) ∵ dimV 1=r{α1,α2,α3}=2 dimV2=r{β1,β2}=2∴ dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1四．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411301621A ，1． 求A 的Jordan 标准形J 及最小多项式)(λm ；2． 求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==114)0(X AX dt dX解： 1.12613E A 131********λ+-λ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪λ-=λ-→λ+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ-⎝⎭⎝⎭210010012330(1)(2)3(1)111011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→λ+-λ-λλ-→λ-λ+λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-λλ-λ-λ-⎝⎭⎝⎭21001000110100(1)(2)3(1)0(1)(2)(1)⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→λ-λ-→λ- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪λ-λ+λ-λ-λ+-λ-⎝⎭⎝⎭210001000(1)⎛⎫ ⎪→λ- ⎪ ⎪λ-⎝⎭∴ d 1(λ)=1 d 2(λ)=λ-1 d 3(λ)=(λ-1)2∴ A 的初等因子为： λ-1，(λ-1)2∴12100100J A J 010J 110J 011001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 m(λ)=d 3(λ)=(λ-1)22. 设f(z)=e zt （z 为自变量，t 为固定字母），T(λ)=a+b λ 则 f ’(z)=te zt ，T ’(λ)=b令T(1)f (1)T (1)f (1)=⎧⎨''=⎩得t te a b e b ⎧=+⎨=⎩ 解得t a 0b e =⎧⎨=⎩∴ T(λ)=a+b λ=e t λ∴ e At =f(A)=T(A)=aE+bA=t 126e 103114--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭∴ X=X(t)=e At X(0)=tt t t t 126444e e 1031e 1e 11411e ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪--=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭五．（8分） 设},{21αα与},{21ββ是线性空间V 的两个基，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111P 为从基},{21αα到},{21ββ的过渡矩阵，T 为V 的一个线性变换，T 在基},{21ββ下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求线性变换T 在基},{21αα下的矩阵B 。
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（一）矩阵分析
一．（6分）设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=02
1320
012A ，求21,,A A A ∞
的值。
二．（8分）已知函数矩阵()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+---=t
t
t
t
t
t
t tA
e t te
te e t te e e e 33333310
1003，求矩阵A 。
三．（10分）在4R 中，求由基4321,,,αααα到4321,,,ββββ的过渡矩阵，其中 ()()
()
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--=-=-=-=T
T T T
1,0,1,11,1,2,11,1,1,10,1,2,14
32
1
αααα与()
()
()()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===T
T
T T 2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24
321ββββ
并求向量()T
x x x x 4321,,,=ξ在4321,,,ββββ下的坐标。
四．（10分）设线性映射2
3:R R A →在基(),1,1,11T
-=α()T
1,0,12-=α，()T
1,1,03=α与
基()T
1,11=β，()T
2,02=β的矩阵表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2
10111A 求：()1A 的核空间的一组基与维数； ()2A 的值域的一组基与维数。
五．（8分）设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=31
1111
002A ()1求A 的最小多项式和tA e ； ()2求微分方程
()()⎪⎩⎪
⎨⎧-==T t x Ax dt dx
1,0,10
的解。
六．（8分）设A 是实对称矩阵，证明：A 的属于不同特征值的特征向量正交。
（二）数值分析
一．（8分）确定一个次数不高于4的多项式()x p ，使得它满足条件()()000='=p p ， ()(),111='=p p ()12=p 。
二．（10分）用迭代法求解方程0cos 2=-x x 的所有实根，并精确到四位有效数字。
三．（12分）
()1用列主元素法求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-6
1531815
3312321
321321x x x x x x x x x 计算结果保留到小数点后3位；
()2写出用Seidel Gauss
_迭代法求解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++=++30
153212824
3220321
321321x x x x x x x x x
迭代格式，并判断其收敛性。
四．（12分）
()1给定求积公式
()()()()h f A f A h f A dx
x f h
h
102210++-=⎰--
试决定系数101,,A A A -，使得求积公式的代数精度尽量高；
()2用8=n
的复化Simpson 公式计算⎰
+1
2
14dx x。
五．（8分）用四阶Kutta Runge _法求解初值问题
()⎩
⎨⎧=+-='101y y x y
取步长1.0=h ，计算()()()()4.0,3.0,2.0,1.0y y y y 。
（三）数理统计
一．（10分）从一批钉子中随机抽取16枚测得其长度（单位：cm ）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.13 2.12 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 假设钉子的长度服从正态分布()2
,σμN ，其中01.0=σ
，求总体均值μ的置信水平为
90%的置信区间。
二．（10分）设总体X 的概率密度为
()⎪⎩⎪⎨
⎧=--0
,1
a
x
a e
ax x f λλλ
0≤>x x
其中0>λ是待估参数，0>a 是已知常数。
试根据来自总体的样本n X X X ,,21求λ 的极大似然估计。
三．（10分）某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为 ()%i x 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值服从正态分布，问在01.0=α下能否接受假设这批矿砂的镍含量为3.25？ 四．（12分）合成纤维的强度y 与其拉伸倍数x 有关，测得实验数据如下：
1
.8,0.8,0.7,3.6,4.6,0.5,2.4,5.3,7.2,5.2,5.2,3.10.10,0.9,0.8,1.7,3.6,2.5,5.4,0.4,5.3,7.2,5.2,0.2i i y x
（1）试求y 对x 的回归直线；
（2）检验回归直线的显著性。
()05.0=α
五．（8分）设总体()24,2~N X ，从中随机抽取一容量为10的样本。
（1）试确定样本均值X 的分布； （2）求31≤≤X 的概率。