Chapter9_1_特征值和乘幂法方法
数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）
数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）
摘要：n阶⽅阵A满⾜AX=λx，λ为矩阵A的特征值，x为特征值对应的特征向量。
⼀.乘幂法（求模最⼤特征值及对应特征向量）
设矩阵A有n个相性⽆关的特征向量x1,x2,x3,.....xn，相应的特征值λ1,λ2,λ3,.....λn（由⼤到⼩排列）。
迭代法引⼊：上⼀章学了迭代法求解线性⽅程组Ax=b的解，给定任⼀的初始值v0，不断迭代可以得到Ax=b的解。
同理，给定任⼀⾮零的n维向量v0，不断迭代可以 得到矩阵A的特征向量，
对于初始向量v0可以由A的n个线性⽆关的特征向量表⽰：
带⼊迭代⽅程中：
当迭代次数k趋近于⽆穷⼤时，可得到最⼤特征值λ1对应的特征向量a1x1(与x1线性相关)
同理，当迭代次数趋近于⽆穷⼤时，可得到绝对值最⼤的特征值，λ1
其中，m表⽰向量中的绝对值最⼤的那个元素值
如何利⽤迭代法求解按模最⼤特征值和特征向量
说明：
1.初始值：我们给定初始值x0=[1,1,1]^T,取特征值1
2.第⼀次迭代：
对应的近似特征值取：
3.第⼆次迭代：
⼆.改进乘幂法
这个规范化处理的⽬的：防⽌数据溢出或是数据消失
从上⾯可以看出，改进乘幂法即是每次迭代出的特征向量都进⾏⼀次规范化处理 。
幂法求特征值和特征向量
幂法求特征值和特征向量
幂法是一种用于求解特征值和特征向量的迭代算法。
它可以应用于任何具有特征值和特征向量的方阵，并且在实际应用中被广泛使用。
首先，我们需要了解什么是特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个实数，那么λ称为A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
幂法的基本思想是通过迭代过程得到一个向量序列，使得每一次迭代后的向量越来越接近于所需的特征向量。
具体步骤如下：
1. 选择一个非零向量b作为初始向量。
2. 迭代计算b的下一个近似向量b' = Ab，即将初始向量乘以
矩阵A。
3. 归一化向量b'，即将b'除以其模长，得到新的向量b。
4. 重复步骤2和步骤3，直到向量b的变化趋于稳定。
在每次迭代过程中，向量b的模长会越来越接近于最大的特征值。
此外，向量b也收敛到与最大特征值对应的特征向量。
需要注意的是，幂法只能找到矩阵A的最大特征值和对应的特征向量。
如果需要找到其他特征值和特征向量，可以通过将矩阵A进行位移变换，使得所需的特征值成为矩阵A的最大特征值。
幂法的收敛速度取决于矩阵A的特征值的大小差异。
如果特征值之间的差异很大，那么幂法将很快收敛。
然而，如果特征值之间的差异很小，那么幂法的收敛速度将较慢。
总之，幂法是一种简单而有效的方法，用于求解矩阵的特征值和
特征向量。
它在很多实际问题中都得到了广泛的应用，例如在机器学习、信号处理和物理学等领域。
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
幂法求矩阵最大特征值
幂法求矩阵最大特征值摘要在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。
幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。
对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。
用java来编写算法。
这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。
其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。
关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUMEIGENV ALUE MATRIXABSTRACTIn physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem.Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed.Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results.Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration目录1幂法 (1)1.1 幂法基本思想 (1)1.2规范化 (2)2概要设计 (3)2.1 设计背景………………..…………………………………………………………. .32.2 运行流程 (3)2.3运行环境 (3)3 程序详细设计 (4)3.1 第一部分：矩阵转化为线性方程组……..………………………………………. .43.2 第二部分：特征向量的极大值 (4)3.3 第三部分：求幂法函数块 (5)4 运行过程及结果 (6)4.1 运行过程.........................................................………………………………………. .64.2 运行结果 (6)4.3 结果分析 (6)5 心得体会 (7)参考文献 (8)附录：源程序 (9)1 幂法设A n 有n 个线性相关的特征向量v 1，v 2，…，v n ，对应的特征值λ1，λ2，…，λn ，满足|λ1| > |λ2| ≥ …≥ |λn |1.1 基本思想因为{v 1，v 2，…，v n }为C n的一组基，所以任给x (0)≠ 0，∑==ni i i v a x 1)0( —— 线性表示所以有])([)(21111111)0(∑∑∑∑====+====ni i i ki kni k k i i ni ik i n i i i kkv a v a v a v A a v a A xA λλλλ若a 1 ≠ 0，则因11<λλi知，当k 充分大时 A (k )x (0) ≈ λ1k a 1v 1 = cv 1 属λ1的特征向量,另一方面，记max(x ) = x i ，其中|x i | = ||x ||∞，则当k 充分大时，111111*********)0(1)0()max()max()max()max()max()max(λλλλλ==≈---v a v a v a v a x A x A k kk k k k若a 1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v 1方向上的分量不为0，迭代下去可求得λ1及对应特征向量的近似值。
特征值和特征向量计算的数值方法
特征值和特征向量计算的数值方法在数学和计算机科学领域中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值和特征向量的计算有许多不同的数值方法，本文将介绍其中一些常见的数值方法，并分析它们的优劣和适用范围。
一、特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，那么称v为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质以及解决一些实际问题。
二、幂法幂法是计算特征值和特征向量的常用数值方法之一。
幂法的基本思想是通过多次迭代，逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。
具体操作如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = A * bi / ||A * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
幂法的主要优点是简单易懂，且只需要进行矩阵向量乘法和内积计算。
然而，幂法仅能求取具有最大特征值的特征向量，而且对于存在多个特征值相等的情况并不适用。
三、反幂法反幂法是幂法的一种改进方法，用于求取矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。
反幂法的基本步骤如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = (A - μI)^-1 * bi / ||(A - μI)^-1 * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。
反幂法的改进之处在于引入了矩阵的逆运算，通过使用矩阵A减去一个合适的常数μ乘以单位矩阵来实现。
反幂法适用于矩阵A的特征值接近于μ的情况。
四、QR方法QR方法也是一种常用的特征值计算方法，它适用于求解所有特征值以及对应的特征向量。
QR方法的基本思想是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，然后迭代地将矩阵A转化为更接近上三角形的形式。
特征值和乘幂法方法
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中 有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相
关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
搜索引擎
G xx
T
xTe 1
G: Google Matrix,
或
k C min max R( x) xC , x 0
三、Hermite矩阵特征值问题的性态
矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都 存在当矩阵 A 的原始数据有小变化 ( 小扰动 ) 时， 引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引 起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之， 称为病态的. 矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就 单个特征值或整体特征值给出条件数进行分 析 . 对于 Hermite 矩阵，由于其特征值问题的特殊性 质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩 阵特征值的扰动定理.
1 H U AU D n
即A与以 1 , 2 ,, n 为对角元的对角阵相似
A为正定矩阵的充分必要条件是 1 , 2 ,, n全为 正数.
定理5 设 1 , 2 ,, n 是Hermite矩阵A的n个特征值， 那么
A 2 max i
H
~ 特征向量为u1, u2, …, un， C ni 1是由ui, ui+1, …, un
x ( A E) x i ~ max xCni 1, x 0 xH x H H x Ax x Ex ~ max ~ max H xCni 1, x 0 x x xCni 1, x 0 x H x
定理4
幂法求矩阵主特征值
幂法求矩阵主特征值幂法是一种用于求解矩阵的主特征值的迭代方法，它基于以下原理：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数值λ，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代，找到一个与特征值最接近的数值和向量对。
算法步骤如下：1.随机选择一个与A的列数相同的初始向量x(0)，并对其进行归一化。
2.计算x(k+1)=Ax(k)，得到下一轮的向量。
3.归一化x(k+1)，得到新的归一化向量y(k+1)。
4.利用归一化向量y(k+1)和x(k)的比值，计算相应的数值s(k+1)，即s(k+1)=(y(k+1)Tx(k))/(x(k)Tx(k))。
5.重复步骤2-4，直到迭代收敛，即当s(k+1)-s(k)小于一个给定的收敛值时停止。
6.返回最终的向量x(k)和数值s(k)。
幂法的收敛性和精确性与矩阵A的特征值和特征向量的相对大小有关。
在理论上，当迭代次数足够多时，幂法可以找到矩阵A的绝对值最大的特征值，并得到一个与之对应的特征向量。
在实际应用中，幂法有一些限制和局限性。
首先，幂法只能求解具有主特征值的矩阵，即矩阵A必须具有一个特征值的绝对值大于其他特征值的情况。
其次，幂法可能无法收敛，或者得到的结果可能并不是矩阵的主特征值。
为了克服这些限制，可以使用改进的幂法，如反幂法或位移幂法。
反幂法使用矩阵的倒数作为迭代的基础，可以求解矩阵的最小特征值。
位移幂法通过对矩阵进行平移或缩放，可以使得矩阵A的主特征值接近一些预先给定的值。
总结起来，幂法是一种简单而有效的方法，用于求解矩阵的主特征值。
尽管幂法存在一些限制，但在实践中，它仍然是一种常用的迭代方法，用于估计矩阵的特征值和特征向量。
【计算机】矩阵特征值计算
【计算机】矩阵特征值计算9 矩阵特征值计算在实际的工程计算中，经常会遇到求n阶方阵A的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。
对于一个方阵A，如果数值λ使方程组Ax=λx即 (A-λI)x=0有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为n特征值λ所对应的特征向量，其中I为n阶单位矩阵。
n由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。
本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR方法及一些相关的并行算法。
1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法1.1.1 乘幂法及其串行算法在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。
乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。
记实方阵A的n个特征值为λ ii=(1,2, …,n)，且满足:?λ???λ???λ??…??λ? 123n特征值λ对应的特征向量为x。
乘幂法的做法是:?取n维非零向量v作为初始向量;?ii0对于k=1,2, …,做如下迭代:u =Av v= u /?u? kk-1 kkk?直至u,u,ε为止，这时v就是A的绝对值最大的特征值λ所对应的特k+11k，k1,,征向量x。
若v与v的各个分量同号且成比例，则λ=?u?;若v与v的各个分量异号1k-1k1k?k-1k且成比例，则λ= -?u?。
若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较1k?运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一22 次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1的一轮计算时间为n+2n=O(n)。
算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法输入:系数矩阵A，初始向量v，ε ××nn n1输出:最大的特征值maxBeginwhile (?diff?>ε) do(1)for i=1 to n do(1.1)sum=0(1.2)for j= 1 to n dosum=sum+a[i,j]*x[j]end for(1.3)b[i]= sumend for(2)max=?b[1]?(3)for i=2 to n doif (?b[i]?>max) then max=?b[i]? end ifend for(4)for i=1 to n dox[i] =b[i]/maxend for(5)diff=max-oldmax , oldmax=maxend whileEnd1.1.2 乘幂法并行算法乘幂法求矩阵特征值由反复进行矩阵向量相乘来实现，因而可以采用矩阵向量相乘的数据划分方法。
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定理6
如果A的n个特征值为 1 2 ... n 其相
应的标准酉交的特征向量为u1 , u2 ,..., un 那么有
1 R( x ) n
定理7 设A是Hermite矩阵 ，那么
k min R( x) ~
xCk , x 0
或
k
~ xCnk 1 , x 0
xk zk xk x k 1 Az k
k 0,1,2,
T k
k 1 1
z x k 1 z Az k T T zk zk zk zk
T k
若λ1为A的实重根, 幂法仍然有效.
例1 试用幂法求按模最大的特征值和相应的特征向量
7 3 - 2 A 3 4 1 - 2 - 1 3
x0 z0 b1v1 b2 v 2 bn v n x0 Az0 x1 x1 Az 0 z1 || x1 || || Az0 ||
b1v1 1 z k 当1<0时 || b1v1 || | |
k 1 k 1
按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂 法的计算公式：
由定理
x Ax max i H xCni 1且x 0 x x
max x Ex n H x x
H
H
又由定理，对任意x≠0，有
1
从而有
i i 1
ni 1
xCni1且x 0
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 n 为矩阵-E的特
i i 1
定理10 设矩阵A和A’=A+E都是n阶Hermite矩 阵，其 特征值分别为 1 2
n和 1 2
2
， n
那么 i E 2 2 i E
这个定理表明，扰动矩阵 E 使 A 的特征值的变化 不会超过 ‖E‖2. 一般‖E‖2小，因此， Hermite 矩阵特征值是良态的.
xk Axk 1 A x0 a v1 a2 v2 an vn
k k 1 1 k 2 k n
n k 2 k [a1v1 a2 ( ) v2 an ( ) vn 1 1
k 1
因为
i 1 1
i 2, , n
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1. 因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量 有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{vk}中不
H
~ 特征向量为u1, u2, …, un， C ni 1是由ui, ui+1, …, un
x ( A E) x i ~ max xCni 1, x 0 xH x H H x Ax x Ex ~ max ~ max H xCni 1, x 0 x x xCni 1, x 0 x H x
1 H U AU D n
即A与以 1 , 2 ,, n 为对角元的对角阵相似
A为正定矩阵的充分必要条件是 1 , 2 ,, n全为 正数.
定理5 设 1 , 2 ,, n 是Hermite矩阵A的n个特征值， 那么
A 2 max i
为零的分量将随k的增大而无限增大，计算机就可
能出现上溢（或随k的增大而很快出现下溢）
xk x k 1 Az k k 0,1,2, 迭代格式改为: z k xk
因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先 对向量xk进行“规范化”。
对任意给定的初始向量x0
Ak z0 类似地 z k k || A z 0 || n k 2 k b1v1 b2 ( ) v 2 bn ( ) v n k 1 1 1 k | 1 | || b v b ( 2 ) k v b ( n ) k v || 1 1 2 2 n n 1 1 k b1v1 1 1 zk 当1>0时 k || b1v1 || | 1 |
第九章 矩阵特征值问题 的数值方法 (Numerical methods for eigenvalue problems)
引言/*Introduction*/
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中 有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械
机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相
§1 特征值与特征向量 /*Eigenvalue and eigenvector*/
定义1 设A是n阶矩阵, x是非零列向量. 如果有数λ存 在 , 满足 Ax = λx , 那么 , 称 x 是矩阵 A 关于特征
值λ的特征向量.
如果把右端写为λIx，那么又可写为: (λI-A)x=0 齐次线性 即 |λI-A| =0 方程组
§ 3 乘幂法
一、乘幂法
乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相 应特征向量的算法. 设A是n阶矩阵, 其n个特征值按模从大到小排序为
| 1 || 2 | | n |
又假设关于λ1, λ2, …, λn的特征向量v1, v2, …,vn 线性无关
任意取定初始向量x0
x0 a1v1 a2 v 2 an v n (a1 0)
1i n
A
证明 因此 又由 得
2
F
2 i i 1
n
A 2 ( AH A) ( A2 ) ( ( A))2
A 2 max i
1i n
2
A F tr( AH A) tr( A2 ) 2 i
A
F
n
i 1
n
i 1
2 i
x H Ax 设x是一个非零向量, A是Hermite矩阵, 称 H x x 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x).
关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
搜索引擎
G xx
T
xTe 1
G: Google Matrix,
“the world’s largest matrix computation”. 4,300,000,000
x: PageRank（网页级别） vector
“The $25,000,000,000 Eigenvector”
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u(k) 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 v(k) 1.000 000， 1.000 000， 1.000 000 1.000 000， 0.750 000， 0.000 000 1.000 000， 0.648 649， -0.297 297 1.000 000， 0.617 564， -0.371 105 1.000 000， 0.608 798， -0.388 840 1.000 000， 0.606 413， -0.393 095 1.000 000， 0.605 777， -0.394 121 1.000 000， 0.605 777， -0.394 369 1.000 000， 0.605 566， -0.394 429 mk 1.000 000 8.000 000 9.250 000 9.540 541 9.594 901 9.604 074 9.605 429 9.605 572 9.605 567
定理4
设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征值，x、 y分别是其相应的右特征向量和左特征向 量，那么，xTy=0 .
§2 Hermite矩阵特征值问题
设A为n阶矩阵，其共轭转臵矩阵记为AH. 如果 A=AH，那么，A称为Hermite矩阵
一、Hermite矩阵的有关性质
设 1 , 2 ,, n 是Hermite矩阵A的n个特征值.有 以下性质:
定理9 (扰动定理 ) 设矩阵A, E, A+E都是n阶Hermite 矩阵，其特征值分别为 1 2 n , 1 2 n , 1 2 n , 那么, i n i i 1 证明 设 矩 阵 A 关 于 特 征 值 λ 1 , λ 2 , … , λ n 的 标 准 酉 交 生成的n-i+1维子空间. ~ 对 C ni 1 中任意非零向量x,由极值定理,有
1 , 2 ,, n 全是实数.
有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化 为一组标准酉交的特征向量组 u1 , u2 ,, un ,即
ui u j ij
H
u1 , u2 ,, un 是酉空间中的一组标准酉交基.
记U=( u1 , u2 ,, un ),它是一个酉阵，即 UHU=UUH=I，那么
min
R( x)
二、极值定理
定理8 (极值定理) 设Hermite矩阵的n个特征值为 1 2 n ，其相应的标准酉交特征向量为
u1 , u2 ,, un
用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么
k max min R( x) C xC , x 0
k k
nk 1 nk 1
记 f ( ) | I A | an1
n
n1
a1 a0
它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多 项式， 其中a0=(-1)n|A|.