2020高二数学上学期期中试题理(6)

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安庆市怀宁县第二中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理

安徽省安庆市怀宁县第二中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．过点A(3,－4），B(－2,m)的直线l的斜率为－2，则m的值为A．6B．1C．2D．4 2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是A．（1，－2),5 B．（1,－2），错误!C．(－1,2），5D．(－1，2),错误!3．在空间直角坐标系O。

xyz中，点A在z轴上，它到点(22，错误!，1）的距离是错误!,则点A的坐标是A．（0,0，－1）B．（0,1,1) C．（0,0,1）D．(0，0,13)4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝05．若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是- 1 -A．l与l1，l2都不相交B．l与l1,l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交6．若点P（2，－1)为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝07.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16错误!π，则圆锥的体积是A．错误!B．错误!C．64πD．128错误!π8．直线l：y＝kx－1与曲线y－2x－1＝错误!不相交，则k的取值是A。

错误!或3 B。

错误!C．3 D.错误!9．在正三棱柱ABC。

A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!- 2 -10．过点P(－2,4）作圆（x－2）2＋(y－1）2＝25的切线l,直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是A。

海南省文昌市2020学年高二数学上学期期中试题理

海南省文昌市2020学年高二数学上学期期中试题理（完成时间：120分钟，满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答案写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k ＝ ( ) A ．2B ．－4C ．4D ．－22．已知命题p ：1∈{x|(x＋2)(x －2)<0}；命题q ：0∈∅. 下列判断正确的是 ( ) A ．p 假q 真B ．“p∨q 为真”C ．“p∧q 为真”D ．p 假q 假3．a∈R，| a |<4成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a<4 B ．| a |<3C ．a 2<16D ．0< a<34．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．535．在如下图所示的正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( ) A ．1010-B ．201-C ．201D ．10106．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝07．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于 ( ) A ．12(c －a －b)B ．12(a ＋b －c) C ．12(a －b ＋c) D ．12(b ＋c －a) 8．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A ． 2B ．3C ．2D ． 39．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( ) A ．12 B ．22C ．13D ．1610．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．6B ．3C ．2D ．811．已知二面角α-l-β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A ． 2 B ．2 C ． 3D ． 512．已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线2222x y a b=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B 异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( ) A ．3B ．6C ．12D ．42第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.14．与双曲线1422=-y x 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是．15．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为．16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM=31AB 1，BN=31BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN；②A 1C 1∥MN；③MN∥平面A 1B 1C 1D 1；④BD 1⊥MN. 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PC⊥平面ABCD ，PC=2，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M 在PB 上， PB=4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角. 求证：（1）CM∥平面PAD ；（2）平面PAB⊥平面PAD.18．(本小题满分12分) 若F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. （1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点N(0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，使OA →⊥OB→(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ADC＝60°，侧面PDC 是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD ，CD ＝2，M 为PB 的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM ；（2）求二面角 D －MC －B 的余弦值．20．(本小题满分12分) 设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．21．(本小题满分12分) 如图，四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A⊥底面ABCD ，AB∥DC，AB⊥AD，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE；（2）求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．22．(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBADDCADCABB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．214．112322=-y x 15．16 16．①③三、解答题（本大题共6小题，满分70分） 17．证明：如图建立空间直角坐标系C-xyz.因为PC⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，……1分所以∠PBC=30°，因为PC=2，所以BC=23，PB=4，所以D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,0,23， ………………………………………………2分所以==-=CM DA DP ),0,3,32( ),2,1,0(⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,0,23（1）设n=(x ，y ，z)为平面PAD 的一个法向量，所以即033202=+=+-y x z y令y=2，得n=(-3，2，1). ………………………4分因为n·CM =-3×23+2×0+1×23=0，所以n⊥CM. 又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD. …………………………6分（2）如图，取AP的中点E，连接BE，则E(3，2，1)，BE=(-3，2，1).因为PB=AB，所以BE⊥PA.又因为BE·DA=(-3，2，1)·(23，3，0)=0，……………………8分所以⊥.所以BE⊥DA.又PA∩DA=A，所以BE⊥平面PAD.又因为BE⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. ………………10分18．解：（1）依题意，得2a＝4，2c＝23，所以a＝2，c＝3，∴b＝a2－c2＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1. ………………………………4分（2）显然当直线的斜率不存在，即x＝0时，不满足条件．…………5分设l的方程为y＝kx＋2，由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24＋y2＝1，y＝kx＋2，消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. ………………………………7分∴Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)＞0，得k 2＞34.① …………………………………………8分x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2， …………………………9分 ∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ………………………11分＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4＝44－k 21＋4k 2＝0，∴k 2＝4.②由①②可知k ＝±2，所以，存在斜率k ＝±2的直线l 符合题意．……12分19．（1）证：取DC 的中点O ，连接PO ，OA ，因为侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD. ………………1分所以PO⊥底面ABCD ，因为底面ABCD 为菱形且∠ADC＝60°， DC ＝2，DO ＝1，则OA⊥DC. ………2分以O 原点，分别以OA ，OC ，OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A(3，0，0)，P(0，0，3)，B(3，2，0)， C(0，1，0)，D(0，－1，0)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，32， ……………………………………4分所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，32，PA →＝(3，0，－3)，DC →＝(0，2，0)，所以PA →·DM →＝3×32＋0×2＋(－3)×32＝0，PA →·DC →＝3×0＋0×2＋(－3)×0＝0，所以PA →⊥DM →，PA →⊥DC →，所以PA⊥平面DMC. ………………7分（2）解：CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，CB →＝(3，1，0)，设平面B MC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由n·CM →＝0，得x ＋z ＝0，由n·CB →＝0，得3x ＋y ＝0. 取x ＝－1，则y ＝3，z ＝1，所以一个法向量n＝(－1，3，1)． ……………………9分由(1)知，平面CDM 的一个法向量可取PA →＝(3，0，－3)．所以cos 〈n ，PA →〉＝n ·PA→|n||PA →|＝－235×6＝－105. ………………11分观察可知二面角 D －MC －B 为钝角，所以所求二面角的余弦值是－105. …………………………12分20．解：（1）设M 的坐标为(x ，y)，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C的方程为x 225＋y 216＝1. …………………5分（2）过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， ……………6分设直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0. ……………………9分∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为 |AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. ……12分21．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)， C 1(1，2，1)，E(0，1，0)． …………2分（1）证：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)， CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE. ………………3分（2）解：B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)．由(1)，B 1C 1⊥CE，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量． ………………6分于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m||B 1C 1→|＝－414×2＝－277， ……………7分从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1CEC 1的正弦值为217. …8分（3）AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1， ……………10分于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)， …………11分所以AM＝2. ……………………………………12分22．（1）解：抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ……………2分由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p 2－0－2＝0，即p ＝ 4.所以抛物线C的方程为y 2＝8x. ……………4分（2）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，线段PQ 的中点M(x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b. ①证明：由y 2＝2px ，y ＝－x ＋b消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*) …………8分因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p ＋2b>0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p.因为M(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p. ………………10分因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p)．②解：因为M(2－p ，－p)在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p)＋b ，即b ＝2－2p.由①知p ＋2b>0，于是p ＋2(2－2p)>0，所以p<43.因此，p的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. …………………12分。

2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。

2020-2021学年海南省海口市第四中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 海口市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题考试时间：120分钟，满分：150分命题人：许乔初审人：杨红俊终审人：韩敏一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

）1、已知集合 A ={1，2，3，5，7，11} ， B ={x|3<x <15} ，则B A ⋂中元素的个数为（）A. 2B.3C. 4D. 5 2、若()i i z -=+11，则=z （）A. i -1B.i +1C. i -D. i3、过点()31，-且垂直于032=+-y x 的直线方程为（） A.012=-+y x B.072=+-y x C. 052=--y x D.052=-+y x 4、若不等式022>-+bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-412x x ，则b a +等于（） A. 18- B. 8 C. 13- D. 1 5、直线032=-+k y x 和012=+-ky x 的交点在y 轴上，则k 的值为（）A.24-B. 6C. 6±D.6- 6、已知曲线x y C sin 1=：，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx y C ：，则下列结论正确的是（） A. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB. 把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CD. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C。

天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

天津市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +(a -1)y +a 2-1=0平行，则a 等于（） A ．-1 B ．-1或2 C ．2 D ．12．过点P (1，2)引直线使两点A (2，3)､B (4，-5)到它的距离相等，则直线方程是（） A ．4x +y -6=0B ．x +4y -6=0C ．2x +3y -7=0或x +4y -6=0D ．4x +y -6=0或3x +2y -7=03．过点P(1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（） A ．36 B ．18 C ． D ．5．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．已知圆C ：x 2+y 2-8x +15=0，若直线y =kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（）A ．32B ．43C ．53D ．54 7．过椭圆9x 2+25y 2=225的右焦点且倾斜角为45°的弦长AB 的长为（） A ．5 B ．6 C ．9017 D ．78．已知椭圆x 2+4y 2=12的左、右焦点分别为F 1､F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，则∣PF 1∣是∣PF 2∣的（）A ．3倍B ．4倍C ．5倍D ．7倍 9．若椭圆2a 2x 2-ay 2=2的一个焦点是(-2，0)，则a =（）A B C D 10．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（）A ．12 B C ．13 D二、填空题11．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________ 12．如果x 2+y 2-2x +y +k =0是圆的方程，则实数k 的取值范围是_____.13．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .14．过直线:0l x y +-=上一点P 作圆：221x y +=的两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为__________．15．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________.16．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若Rt F 1PF 2，则点P 到x 轴的距离为_____.三、解答题17．在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90°，∠P AB =60°，AB =BC =CA ，平面P AB ⊥平面ABC . （1）求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值；（2）求二面角B -AP -C 的余弦值.18．已知直线x +y -1=0与椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x -2y =0上.（1）求此椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 的右焦点关于直线l 的对称点在圆x 2+y 2=4上，求此椭圆C 的方程. 19．已知(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，求圆心C 的横坐标a 取值范围. 20．已知直线l ：x =my +1过椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆C 于A ､B 两点，点A ､B 在直线G ：x =a 2上的射影依次为点D ､E .（1）若22113||e OF OA FA +=，其中O 为原点，A 2为右顶点，e 为离心率，求椭圆C 的方程；（2）连接AF ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE ，BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.参考答案1．A【分析】根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.【详解】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =- 故选：A .【点睛】本题考查两直线1111:+0l A x B y C +=与2222:+0l A x B y C +=平行时有12212112=A B A B B C B C ⎧⎨≠⎩，易错点是忽略直线不能重合，造成增根.2．D【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为20kx y k --+=，由此利用点到直线的距离公式能求出直线方程.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，∵直线l 与两点A (2，3)， B (4，-5）的距离相等，=解得4k =-或32k =- .:.直线l 的方程为4420x y --++=或332022x y --++= 整理，得：460x y +-=或3270x y +-=故选：D【点睛】解决本题要注意设直线方程时，分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论，然后根据点到直线的距离相等即可求解.3．C【详解】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，当直线不经过原点时，设直线方程为1x y a b+=. 由题意得141,,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得33a b =-⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩综上，符合题意的直线共有3条.故选：C ．【点睛】首先明白直线的截距的概念，就是直线和坐标轴的交点的坐标，可正，可负，可0，截距不是距离．截距绝对值相等，截距互为相反数，横截距是纵截距的两倍，都要考虑过原点的情况．4．C【分析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【详解】圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为（2，2），半径为r =，圆心到到直线x+y-14=0=，所以圆上的点到直线的距离的最大值为d r +=d r -= 因此最大距离与最小距离的差是，故选C ．5．C【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限.故选：C6．B【分析】圆C 化成标准方程，得圆心为C （4，0）且半径r =1，根据题意可得C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k 的不等式，即可得到k 的最大值．【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2﹣8x +15=0，∴整理得：（x ﹣4）2+y 2=1，可得圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线y =kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， ∴点C 到直线y =kx ﹣2的距离小于或等于22≤，化简得：3k 2﹣4k ≤0，解之得0≤k ≤43，可得k 的最大值是43．故选：B7．C【分析】求出焦点坐标和直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得答案.【详解】由9x 2+25y 2=225得，221259x y +=，2225,9a b ==，所以216c =，右焦点坐标为(4,0)，直线AB 的方程为4y x =-，所以2241259y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2342001750x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以1212100175,1734x x x x +==，||AB ==9017==. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的弦长公式||AB =应用.8．D【分析】由已知得到焦点坐标，设(,)P x y ，根据中点坐标公式得到横坐标等于零得到P 点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案.【详解】由椭圆x 2+4y 2=12得，221123x y += ，2222212,3,9a b c a b ===-=，所以1(3,0)F F （-3,0),，设(,)P x y ，则线段1PF 的中点坐标为3,22x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以302x -=，所以3x =，所以2231123y +=，解得y =P ⎛ ⎝⎭，1||PF ==2||2PF ==，所以12||7||PF PF =，当3,2P ⎛- ⎝⎭，1||2PF ==，2||2PF ==，所以12||7||PF PF =，故选：D.9．C【分析】方程化为椭圆的标准方程，根据焦点求解即可.【详解】由原方程可得222y 112x a a-=，因为椭圆焦点是(-2，0)，所以2124a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得14a =±，因为20a->，即0a <，所以14a =，故选：C10．C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案.【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2ka k a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.11．4250x y --=【解析】试题分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式解：线段AB 的中点为(2，32)，垂直平分线的斜率 k=1AB k -=2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y-32=2（x-2），4x-2y-5=0，故答案为4250x y --=．考点：直线方程点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．12．5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】根据2240D E F +->即可求解.【详解】由2240D E F +->即(-2)2+12-4k >0，解得k <54. 所以实数k 的取值范围是5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：5-4∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了圆的一般方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 13．22(3)4x y -+= 【详解】设圆心为(,0)a ，则圆心到直线10x y --=的距离为d =因为圆截直线所得的弦长根据半弦、半径、弦心距之间的关系有222(1)a +=-，即2(1)4a -=，所以3a =或1a =-（舍去），半径r=3-1=2所以圆C 的标准方程为22(3)4x y -+=14．【详解】设切断为E 、F60EPF ∠=由切线的性质可知30OPF ∠=，因为,OE PE ⊥所以设，由故点P 的坐标为()2,2.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质．已知切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想，分析问题，解决问题的能力15．221259x y +=【解析】当点P 为椭圆的短轴顶点时，△PF 1F 2的面积最大，此时△PF 1F 2的面积为S ＝12×8×b ＝12，解得b ＝3.又a 2＝b 2＋c 2＝25，所以椭圆方程为22259x y ＋＝1.16．165或163【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组，再用等面积法求y. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得29y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165．（2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，121211||||||||22PF PF F F y =， 6|1|3y ∴=，由（1）（2）知：P 到x 轴的距离为165或163，故答案为：165或163．【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件. 17．（12【分析】(1)设AB 中点为D ，AD 中点为O ，连接,,OC OP CD ，可以证出∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角.不妨设P A =2,则OD = 1 , OP AB =4，在Rt △OCP 中求解；（2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE ，可证明CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角，解三角求解即可. 【详解】（1）设AB 中点为D ，取AD 中点为O ，连接OC ，连接PD 、CD . 如图，因为∠APB =90°，∠P AB =60°，1,2AP AB AD PD AD ===, 所以PAD 为等边三角形，所以PO AB ⊥，因为平面P AB ⊥平面ABC ，AB 为交线，所以PO ⊥平面ABC所以OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成的角因为AB =BC =CA ，所以CD ⊥AB . 因为∠APB =90°，∠P AB =60°，不妨设P A =2，则OD =1，OP AB =4.所以，OC ==在Rt OCP 中，13tan OP O C C O P ===∠，所以sin 4OCP ∠=故直线PC 与平面ABC （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE . 如图，由已知可得，CD ⊥平面P AB. 根据三垂线定理可知，CE ⊥P A ，所以，CED ∠就是二面角B -AP -C 的平面角.由（1）知，DE 在Rt △CDE 中， tan 2CED CDDE==∠，所以cos CED ∠=故二面角B AP C --. 【点睛】求立体几何中空间的角，利用传统做法把握好两方面即可：一是要找到或作出所求角，并要适当证明，二是要把角放在合适的三角形中求解.18．（1）2（2）22184x y +=【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式解得线段AB 中点M 坐标，代入直线l 的方程，解得离心率；（2）利用方程组解得右焦点关于直线l 的对称点坐标，代入圆方程，结合（1）解得a ，b ,即可求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆C ：b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)，即22221x y a b+=，（1）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由2222101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222222220a b x a x a a b +-+-=． ()()()222222220aab a a b ∆=--+->，即221a b +>．x 1+ x 2=2222a a b+， y 1+ y 2＝-( x 1+ x 2)+2=2222b a b +，∴点M 的坐标为（222a a b +，222b a b +）．又点M 在直线l 上，∴2222222a b a b a b -++=0， ∴()222222a b a c ==-，∴222a c =，∴c e a ==．（2）由（1）知b c =，设椭圆的右焦点F （b ，0）关于直线l ： 12y x =的对称点为（x 0，y 0），由000001121222y x b y x b -⎧⋅=-⎪-⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵22004x y +=，∴2234455b b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴24b =，222822b a c =∴==，显然有221a b +>．∴所求的椭圆的方程为22184x y +=．【点睛】解决此题的关键在于求出A ，B 两点的中点坐标，利用中点坐标在直线l ：x -2y =0上，建立关于,a b 的方程，结合222a b c =+，转化为关于,a c 的方程，求出椭圆的离心率e . 19．（1）3y =或34120x y +-=；（2）1205a . 【分析】（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上也在直线1y x =-上，求得圆心坐标，可得过A 的圆C 的切线方程.（2）设圆C 的方程为22()(24)1x a y a -+-+=，再设(,)M x y ，根据2MA MO =，求得圆22:(1)4D x y ++=，根据题意，圆C 和圆D 有交点，可得2112CD -+，即221(241)3a a +-+，由此求得a 的范围.【详解】解：（1）根据圆心在直线:24=-l y x 上，若圆心C 也在直线1y x =-上，则由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，求得32x y =⎧⎨=⎩，可得圆心坐标为(3,2).设过(0,3)A 的圆C 的切线方程为3(0)y k x -=-，即30kx y -+=，根据圆心到直线30kx y -+=的距离等于半径11=，求得0k =，或34k =-，故切线方程为3y =，或34120x y +-=.（2）根据圆心在直线:24=-l y x 上，可设圆的方程为22()(24)1x a y a -+-+=.若圆C 上存在点M ，使||2||MA MO =，设(,)M x y ，2MA MO =，∴=化简可得22(1)4x y ++=，故点M 在以(0,1)D -为圆心、半径等于2的圆上.根据题意，点M 也在圆C 上，故圆C 和圆D 有交点，2112CD ∴-+，即221(241)3a a +-+，求得251280a a -+，且25120a a -，解得1205a . 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，考查学生的数学抽象能力与计算能力，属于中档题.20．（1）22143x y +=（2）相较于定点5(2N ，0)，证明见解析.【分析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =，由已知等式可得e ，进而得到a ，b ，即可得到椭圆方程；（2）当0m =时，求得AE ，BD 的交点，猜想定点5(2N ，0)．当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合三点共线的性质，计算直线BN ，DN 的斜率，可判断B ，N ，D 共线，同理可判断A ，E ，N 共线，即可得到定点N ．【详解】（1）椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，设椭圆的半焦距为c ，由题意可得1c =，由22113||||||e OF OA FA +=，可得113ec a a c+=-，即有113a ce c a -+-=，即14e e =，解得12e =，则2a =，b ==所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）当0m =时，直线AB 垂直于x 轴，可得四边形ABED 为矩形，直线AE ，BD 相交于点5(2，0)，猜想定点5(2N ，0)；当0m ≠时，分别设A ，B 的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，由题意可得1(4,)D y ，2(4,)E y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(43)690m y my ++-=， 122643m y y m+=-+，122943y y m =-+，由2252BN y k x =-，1542DN y k =-，由212235()2235()22BN DNy y x k k x ---=-，又212121222353369(1)()()()022224343m y y my y y my y m m m -+-=+-=---=++，则0BN DN k k -=，即BN DN k k =，所以B ，D ，N 三点共线；同理可得A ，E ，N 三点共线．则直线AE ，BD 相交于一定点5(2N ，0)．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。

河南省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题理(PDF)

n
项和 Tn
.
21.（12 分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平
方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建
造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左
f x x2 5x 6 ．
（1）当 a＝2 时，命题 p∧q 为真命题，求实数 x 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
19.（12 分）已知函数 f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式 f（x）≤3；
（2）已知函数 gx |2x﹣2019﹣a|+|2x﹣2020|，若对于任意 x1∈R，都存在 x2∈R，
使得 f x1 gx2 成立，求实数 a 的取值范围．
高二理科数学第 3页（共 4 页）
20.（12 分）已知公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，S20 420 ，且 a2 ，
a4 ， a8 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设
bn
an
1
1
an
1
，求数列bn 的前
A．4
B．24
C．
） D．20
10．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2020＞0，S2021＜0，则满足 anan+1an+2＞0 的最
大 n＝（）
A．1008
B．1009
C．1010
D．1011
11．已知正数 x，y 满足 x+y＝1，则 1 1 的最小值为（） x 1 4y

河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版

2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=．（1）求角A ；（2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列．（1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由；（2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”，所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理列出关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数．【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒．故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<，所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=，所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =，则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-，因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±，又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-，所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-，平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-，经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=，则2x y -的最大值为：2．故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误；对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误；对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >；即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a；综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==，因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确；对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误；对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立，因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案．【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ，因此1211a b+--＝121114aa+--，＝18141a a a +--，＝12(41)2141a a a -++--，＝122141a a ++--，＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭，＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭，＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3，当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<，又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍），又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6，故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=．（1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤），化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列．（1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由；（2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解；的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列．则122n n S a +=①，当1n =时，11122S a +=，解得112a =．当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列．所以121222n n n a --=⋅=，故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-，由于n n n b c a =，则24216822n n nn n c ---==，所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =，故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=，则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=，当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =，当1n >时，15302n n +-<，故n d 的最大值为1，不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，只需21114m m --≥即可，故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。

四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析

四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。

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××市第六中学2018-2019学年度上学期期中考试
高二理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1. 已知直线l m ,，平面βα,，且α⊥m ，β⊂l ，下列命题正确的是（） A. 若βα⊥，则l m // B. 若βα⊥，则l m ⊥ B. 若l m ⊥，则βα// D. 若l m //，则βα⊥
2.正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，求异面直线AE 与B A 1所成角的余弦值（） A ．122-
B. 122 C ． 62- D ．6
2 3.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（） A. 22 B. 2 C. 1
3
D. 62
4．n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )
A ．360
B ．180
C ．90
D ．60
5.如图，在三棱锥BCD A -中，侧面⊥ABD 底面BCD ，
CD BC ⊥,32==AD AB ,32=BD ,则直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )
A.ο
30 B ．ο
45 C ． ο
60 D ． ο
90
6．用数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的四位数，其中比4000大的偶数共有（）个 A. 120 B. 96 C. 60 D.72
7.将编号为1,2,3,4,5,6的6个小球全部放入编号为1,2,3,4,5,6的6个盒子里，每个盒内放一个球，恰好有2个小球的标号与盒子的编号相同，则不同的放法种数为( ) A ．180 B ． 135 C.90 D ． 45
8.在新一轮的素质教育要求下，哈六中在高一开展了选课走班的活动，已知哈六中提供了3门选修课供高一学生选择，现有5名同学参加学校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则这5同学选课的种数为（）
A ．150
B ．180
C ．240
D ．540
9．设11
1122109)2()2()2()32)(1(+++++++=++x a x a x a a x x Λ，则1121a a a +++Λ的值为（）
A ． 1- B. 2- C ． 2 D ． 1
10.《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）种 A.72 B.48 C. 36 D.24
11.设D C B A ,,,是同一个半径为2的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为
34
9
，则三棱锥ABC D -体积的最大值为（）
A.
3427 B.349 C. 39 D.34
3
12．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的值为（）
A ．22
B ．4
C ．23
D ．26
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
B 1
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13.某地试行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.若要求考生物理、化学、生物三科中至少选一科，政治、历史、地理三科中至少选一科，则考生共有_________种选考方法.(用数字作答） 14．已知圆锥的顶点为S ，母线SB SA ,夹角的余弦值为4
15，SA 与圆锥底面所成角为ο
60，若SAB ∆的面积为2，则该圆锥的体积为___________
15. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“鳖臑”的三视图（图中网络纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为____________
16. 边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折成三棱锥BCD A -'，使1='C A ，给出下列四个结论
（1）C A BD '⊥；（2）三棱锥BCD A -'的体积为
6
14；（3）B A '与平面BCD 所成的角的正弦值为4
14；（4）三棱锥BCD A -'的外接球的表面积为π8 则正确结论的序号为_____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，
AC AA CAA 2,6011=︒=∠，
⊥BC 平面C C AA 11.
（1）证明：AB C A ⊥1；
（2）设2==AC BC ，求三棱锥11BC A C -的体积.
18.（本小题满分12分）已知n x
x )1(+的展开式中偶数项二项式系数和比()21n
x +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：
（1）()21n
x +展开式中二项式系数最大的项；（2）设n
x
x )1(+展开式中的常数项为p ，展开式中所有项系数的和为q ,求q p +.
C
B
C 1
B 1
A 1
A
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C AA 11是边长为4的正方形，底面ABC 是等边三角形，且平面ABC ⊥平面C C AA 11
（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111B BC A --的余弦值；（3）求点C 到平面11BC A 的距离.
已知几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形. （1）连接C B 1，若M 为AB 的中点，在线段CB 上是否存在一点P ，使得//MP 平面1CNB ？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.
（2）求二面角11C NB C --的余弦值.
P
B
C
D
E T
A
如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，直线PB 与底面ABCD 所成的角为ο
45，CD PA 2=，7=PD ，E 是棱PD 的中点.
（1）求证：AE CD ⊥；
（2）在棱PB 上是否存在一点T ，使得平面ATE 与平面APB 所成锐二面角的余弦值为
5
10
？若存在，请指出T 的位置；若不存在，请说明理由.
设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴和y 轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若
PA BP 2=且3=⋅.
（1）求点P 的轨迹M 的方程；
（2）若过)0,1(E 作两条互相垂直的直线，它们分别交轨迹M 于点C A ,和D B ,，求四边形ABCD 面积的最大值和最小值.
2020届高二上学期期中考试理科数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
D
B
D
C
C
B
A
A
C
B
C
二、填空题： 13. 18； 14、π33
8
； 15、π12 16、
（1）（2）（4）三、解答题：
17、解：（1）略（2）
3
3
4 18、（1）4=n ，4
570x T = （2）22
19、解：（1）略（2）77 （3）7
21
4 20、
21
2019年
22.（1）1222
=+y x （2）最大值2，最小值916。