离散数学1-5,1-6讲解
离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
离散数学代数结构部分-PPT
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
离散数学排列组合公式简介
离散数学排列组合公式简介离散数学是一门研究离散对象的数学学科，其中排列组合是其重要的一部分。
排列组合是指在给定的元素集合中，通过选择和安排元素，得到不同的结果。
在离散数学中，排列和组合是两个基本概念，并且有相应的计算公式来帮助解决问题。
一、排列公式排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序，选取若干元素进行排列。
在离散数学中，排列的计算方法有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种排列的计算公式。
1. 允许重复的排列当元素集合中的元素可以重复出现在排列中时，就称为允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n^r其中，P表示排列的个数，n表示元素集合中的元素个数，r表示选择的元素个数。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3^2 = 9因此，共有9种不同的排列方式：aa、ab、ac、ba、bb、bc、ca、cb、cc。
2. 不允许重复的排列当元素集合中的元素不允许重复出现在排列中时，就称为不允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，"!"表示阶乘，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × ... × 1。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1! = 6因此，共有6种不同的排列方式：ab、ac、ba、bc、ca、cb。
二、组合公式组合是指从给定的元素集合中，不考虑顺序，选择若干元素进行组合。
在离散数学中，组合的计算方法也有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种组合的计算公式。
离散数学1-7
（3）全体小项的析取式永为T。
求主析取范式的方法
（1） 真值表法 定理1-7.3 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应
的小项的析取,即为此公式的主析取范式。
例题7 求公式P →Q，P∨ Q，和┐ (P ∧ Q ）的主析取范式。 解 三公式的真值表如下：
（1） 真值表法
定理1-7.3 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的 小项的析取,即为此公式的主析取范式。
证明 设给定公式为A，其真值为T的指派所对应的小项为
m1’，m2’，…，mk’，这些小项的析取式记为B。要证A B，
只要证A与B在相应指派下具有相同真值。
首先对A为T的某一指派，其对应的小项为mi’，则因为mi’ 为T，而m1’，m2’，…，mi-1’mi+1’，mk’均为F，故B为T。
例题5 求(P ∧( Q → R)) →S的合取范式。 解 (P ∧( Q → R)) →S
┐(P ∧ (┐Q ∨R)) ∨S ┐P ∨(Q ∧┐R) ∨S (┐P ∨S) ∨ (Q ∧┐R) (┐P ∨S ∨Q ) ∧(┐P ∨S ∨ ┐R)
解 因为有公式 A B （A∧B） ∨（ ┐A ∧ ┐ B）
P Q P →Q P∨ Q ┐ (P ∧ Q ）
TT T
T
F
TF F
T
T
FT T
T
T
故
FF T
F
T
P → Q (┐P ∧┐Q )∨(┐P ∧Q ) ∨(P ∧Q)
P∨ Q (┐P ∧Q )∨(P ∧┐Q ) ∨(P ∧Q)
┐ (P ∧ Q) (┐P ∧┐Q )∨(┐P ∧Q ) ∨(P ∧┐Q)
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离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
以下是对离散数学中一些重要知识点的整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法、描述法等。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如{1, 2, 3}；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合，例如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，那么它们相等。
集合的运算有并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在一个班级中，同学之间的“同桌关系”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示中，若元素之间存在关系则对应的位置为1，否则为0；图表示中，用点表示元素，用线表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
关系的运算有复合关系和逆关系。
复合关系是将两个关系组合起来得到新的关系；逆关系是将原关系中的元素顺序颠倒得到的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射是既是单射又是满射。
离散数学教程PPT课件
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学1—6
例6、求命题公式 (p q) (q p)
的主析取范式，主合取范式，成真赋值和成假赋值。
解：先求主析取范式
(p q) (q p) ( p q) q p
(p q) ( p p) q
先求主 合取范 式更简 单
p (q q)
例2、 设 p ：天正在下雪；q：我将进城；
r ：我有空。用自然语言写出下列命题。 (1) q (r p) 解：我将进城去当且仅当我有空且天不下雪。
(2) p q
解：虽然天正在下雪，但我将进城去。
例2、 设 p ：天正在下雪；q：我将进城；
r ：我有空。用自然语言写出下列命题。 (3) (q r) (r q)
第六节 推理规则
内容：推理的概念，推理定律， 推理规则，构造证明法。
重点：(1) 理解推理的概念； (2) 掌握8条推理定律； (3) 掌握推理规则； (4) 掌握构造证明法 (含附加前提证明法和归谬法）。
一、推理的形式结构 1、定义：若 ( A1 A2 L Ak ) B 为重言式，
则称前提 A1, A2 ,L , Ak 推结论B 的推理正确， B为 A1, A2 ,L , Ak 的逻辑结论或有效结论。 记作 ( A1 A2 L Ak ) B 。 2、判断推理的方法 等值演算法，真值表法，主范式法。
前提：p q, p (q r) 结论：q r
前提：p q, p (q r) 结论：q r
证明：① p q ② qp
前提引入 ①置换规则
③ p (q r)
前提引入
④ q (q r)
②③假言三段论
⑤ qr
④置换规则
(q q r q q r
q q q r
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离散数学
P12：（7）a）
P：上午下雨，Q：我去看电影，R：我在家看书； S：我在家看报。
（┐P → Q） （P →（R ∨ S ））
离散数学
1-5 重言式与蕴含式 1-6 其他联结词
离散数学
一、重言式和矛盾式
从上节真值表和命题的等价公式推证中可以看到，有 些命题公式，无论对分量作何种指派，其对应的真值 都为T （见14页表1-4.4）或都为F（见13页表1-4.2）。
(1)设A、B、C为合式公式，若A B且A是重言式， 则B必是重言式。
证明 因为A→B永为T，所以，当A为T时，B必永 为T。
(2)若A B，且B C则A C，即蕴含关系是传 递的。
证明 由A B，B C，即A→B，B→C为重言式。 所以(A→B)∧(B→C)为重言式。
由表l-5.2的(11)式，(A→B)∧(B→C) A→C，故
所以┐Q∧(P→Q) ┐P成立。
离散数学
表 1-5.2 常用的蕴含式
P∧Q P（化简律）
1
P∧Q Q
2
P P∨Q（附加律）
3
┐P P→Q
4
Q P→Q
5
┐(P→Q） P
6
┐(P→Q） ┐Q
7
P∧(P→Q） Q（假言律）
8
┐Q∧(P→Q） ┐P
9
┐P∧(P∨Q） Q
TT F F T
T
TF F T F
F
FT T F T
T
FF T T T
T
Q→P ┐P→┐Q 逆换式 反换式
T
T
T
T
F
F
T
T
离散数学
从表1-5.1中看出：(P→Q）（┐Q→┐P） (Q→P）（┐P→┐Q）
因此要证明P Q，只需证明┐Q ┐P，反之亦然。 要证明P Q，即证P→Q是重言式。 对于P→Q来说，除P的真值取T，Q的真值取F这样一种指派时， P→Q的真值为F外，其余情况，P→Q的真值为T。 要证P→Q是重言式： （1）只要对条件命题P→Q的前件P，指定真值为T，若由此推 出Q的真值也为T，则P→Q是重言式，即P Q成立(前真看后 真)； （2）同理，如条件命题P→Q中，假定后件Q的真值取F，若 由此推出P的真值为F，即推证了┐Q ┐P 故P Q成立(后假 看前假)。
10个命题定律。
离散数学
表1-4.8
┐P∨Q P→Q
对合律 幂等律 结合律
交换律
分配律
吸收律
德摩根律
同一律 零律 否定律
┐┐P P P∨P P，P∧P P (P∨Q）∨R P∨（Q∨R） (P∧Q）∧R P∧（Q∧R） P∨Q Q∨P P∧Q Q∧P P∨（Q∧R） （P∨Q）∧（P∨R） P∧（Q∨R） （P∧Q）∨（P∧R） P∨（P∧Q） P P∧（P∨Q） P ┐(P∨Q) ┐P∧┐Q ┐(P∧Q) ┐P∨┐Q P∨F P，P∧T P
离散数学
一、不可兼析取（异析取）
从真值表看与双条件的关系
表1-6.1
P Q PQ
TT
F
TF
T
FT
T
FF
F
离散数学
(1)PQ QP (2)(PQ)R P(QR)
(3)P (QR) (P Q)(P R)
(4)(PQ) (P Q) (P Q)
离散数学
定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个 重言式。 证明 设A和B为两个重言式，则不论A和B的分量指派任 何真值，总有A为T，B为T，故A∧BT，A∨BT。
定理1-5.2 一个重言式，对同一分量都用任何合式公式 置换，其结果仍为一重言式。 证明 由于重言式的真值与分量的指派无关，故对同一分 量以任何合式公式置换后，重言式的真值仍永为T。
证明 因为A→B为T，C→B为T，故 (┐A∨B)∧(┐C∨B)为T。
即(┐A∧┐C)∨B)为T或A∨C→B为T。
所以
A∨C B
离散数学
重点掌握
1、重言式、蕴含式定义 2、蕴含式的证明 3、常用的蕴含式
离散数学
1-6 其他联结词
前面已经定义了5种联结词：┐，∧，∨，→和 ， 但这些联结词还不能广泛地直接表达命题间的联系， 下面再定义4种命题联结词：
(3)等价置换
离散数学
例题3 证明P P∨Q 证明 列出真值表：
从表中看出P→P∨Q是一 P Q P∨Q
个重言式，故P P∨Q T T T
成立。
TF T
FT T
FF F
P→P∨Q T T T T
离散数学
例题4 考察P∨Q P是否成立。
证明 列出真值表：
从表中看出P∨Q→P 不是一个重言式，故 P∨Q P不成立。
P Q P∨Q TT T TF T FT T
FF F
P∨Q→P T T F T
离散数学
由例题3和例题4可知，P→Q和Q→P不等价。 对P→Q来说， ❖Q→P称作它的逆换式； ❖┐P→┐Q称为它的反换式； ❖┐Q→┐P称为它的逆反式。
离散数学
它们之间的关系如表所示。
表1-5.1
P Q ┐P ┐Q P→Q ┐Q→ ┐P 原式 逆反式
逻辑相等 给定两个命题公式A和B，设P1，P2，……，Pn为所有出现 于A和B中的原子变元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派，A和B的真 值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。记作A B。
子公式如果X是合式公式A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则 称X为公式A的子公式。
定理1-4.1 设X是合式公式A的子公式，若X Y，如果将A中的X用Y 来置换，所得到公式B与公式A等价，即A B。
离散数学
例题2 证明┐(P∧Q）（┐P∨┐Q）
证明：据定理1-5.3 ，只需证：┐(P∧Q） （┐P∨┐Q） 为重言式。
P Q P∧Q TT T TF F FT F FF F
┐(P∧Q) ┐P ┐Q ┐P∨┐Q
F
FF
F
Байду номын сангаас
T
FT
T
T
TF
T
T
TT
T
┐(P∧Q） T T T T
（┐P∨┐Q）
离散数学
二、蕴含式
(5)(P∨ Q) ┐(P Q)
（6）PP F，FP P，T P P
离散数学
4. 定理
证明 如果P ∨ Q R
则 PR PPQ F Q Q
QR QPQ F P P PQR RR F
离散数学
二、条件否定
1. 定义
定义1-6.2 设P和Q是两个命题公式，复合命题P Q
联结词 可用→来表达。由第4节例题5可知： A B (A→B)∧(B→A)
下面讨论A→B的重言式。 1.定义 定义1-5.3 当且仅当P→Q是一个重言式时，我们称 “P蕴含Q”，并记作P Q。
离散数学
2. 蕴含式的证明方法：
(1)列真值表法： 根据定义， 只需证P→Q是重言式
(2)逻辑推论 前真看后真 后假看前假
由性质(1)，A→C为重言式，即A C。
离散数学
(3)若A B，且A C，则A (B∧C)。
证明 由假设A→B，A→C为重言式。设A为T，则 B、C为T，故B∧C为T。因此，A→(B∧C)为T。
若A为F，则B∧C不论有怎样的真值，A→(B∧C) 为T。
所以，
A (B∧C)
(4)若A B，且C B，则A∨C B。
P∨T T，P∧F F P∨┐P T，P∧┐P F
1 2 3
4
5
6
7
8 9 10
离散数学
化简如下语句： “情况并非如此：若他不来，则我不去”。
离散数学
解：首先符号化上述语句。 设P：他来。Q：我去 则原句：┐（┐P→┐Q） 然后化简上述命题公式 ┐（┐P→┐Q） ＜＝＞┐（ P ∨ ┐ Q ） ＜＝＞ ┐ P ∧ Q 即：我去了，但他未来。
离散数学
Discrete Mathematics
陈明
Email:mingchen_gang@
信息科学与工程学院 二零一三年九月
离散数学
课程回顾
第1次课：
命题；5个联结词
第2次课：
命题的翻译 命题公式等价的两种证明方法
真值表 利用命题定律推导
离散数学
合式公式：命题演算的合式公式(wff) 规定为： (1)单个命题变元本身是一个合式公式。 (2)如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。 (3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)，(A→B）
10
(P→Q）∧(Q→R） P→R（传递律）
11
(P∨Q）∧(P→R）∧(Q→R） R
12
(P→Q）∧(R→S） (P∧R)→(Q∧S)
13
(P Q)∧(Q R) (P R)
14
离散数学
三、等价式和蕴含式的关系
就象联结词 和→的关系一样，等价式与蕴含式之 间也有紧密的联系。
定理1-5.4 设P、Q为任意两个命题公式，PQ的 充分必要条件是P Q且Q P。
表1-4.4
P Q P∧Q TT T TF F FT F FF F
┐(P∧Q) ┐P ┐Q
F
FF
T
FT
T
TF
T
TT
┐P∨┐Q F T T T
┐(P∧Q） ┐P∨┐Q T T T T
离散数学
表 1-4.2
P Q P∧Q ┐P
TT T
F
TF F
F
FT F
T
FF F
T