离散数学试题及答案
离散数学练习题(含答案)
离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。
答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。
答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。
答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。
答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。
解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。
反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。
由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。
因此，R一定是反自反的。
答案完整证明了该结论。
2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。
解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。
所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
离散数学试题及解答
离散数学2^m*n一、选择题（2*10）1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。
（A）P→⌝Q （B）P∨⌝Q（C）P∧Q （D）P∧⌝Q2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。
（A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q）（C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）。
（A）所有人都不是大学生，有些人不会死（B）所有人不都是大学生，所有人都不会死（C）存在一些人不是大学生，有些人不会死（D）所有人都不是大学生，所有人都不会死4、永真式的否定是（）。
（A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能5、以下选项中正确的是（）。
（A）0= Ø（B）0 ⊆Ø（C）0∈Ø（D）0∉Ø6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（）（A）自反性（B）有限性（C）对称性（D）传递性7、集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y∈A}，则R的性质为（）。
（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的8．设D=<V, E>为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={<a, b>, <b, c>, <a, d>, <d, e>, <f, e>}是（）。
（A）强连通图（B）单向连通图（C）弱连通图（D）不连通图9、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（）条边围成？（A）2（B）4 （C）3（D）510．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。
（A）有些边不是割边（B）每条边都是割边（C）无割边集（D）每条边都不是割边二、填空题（2*10）1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。
离散数学习题集(十五套) - 答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10．下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
自考离散数学试题及答案
自考离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，下列哪个表达式表示“非”操作？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在下列哪个图论的术语中，表示图中任意两个顶点都相连？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：C4. 布尔代数中，下列哪个操作是“或”？A. ∧C. ¬D. →答案：B5. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 反对称性D. 传递性答案：A6. 有限自动机中，状态可以被分为哪两种类型？A. 初始状态和终止状态B. 接受状态和拒绝状态C. 确定状态和非确定状态D. 静态状态和动态状态答案：B7. 在关系数据库中，下列哪个操作用于删除表中的行？A. INSERTB. DELETEC. UPDATED. SELECT答案：B8. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？B. ∃C. ∧D. ∨答案：A9. 在命题逻辑中，德摩根定律描述了哪些逻辑运算的对偶性？A. ∧ 和∨B. ¬和→C. ¬和↔D. → 和↔答案：A10. 树的深度优先搜索（DFS）算法通常使用哪种数据结构来实现？A. 队列B. 栈C. 链表D. 哈希表答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在集合{1, 2, 3, 4, 5}中，子集的总数是_________。
答案：3212. 如果命题P为真，则命题P → Q的真值表中，Q的值必须为_________。
答案：真13. 在有向图中，一个顶点的入度是指_________。
答案：指向该顶点的边的数量14. 一个关系R(A, B, C)中，如果对于任意两个元组，当它们在属性A上的值相等时，它们在属性B和C上的值也相等，则称R具有_________。
答案：候选键15. 在布尔代数中，表达式(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)的结果是_________。
离散数学试题总汇及答案
离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。
B. 有些狗不会游泳。
C. 所有的狗都不会游泳。
D. 以上都不是真命题。
4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。
B. 有些鸟不会飞。
C. 所有的哺乳动物都是温血动物。
D. 以上都不是假命题。
9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。
A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。
2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。
离散数学试题及答案解析
离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。
在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。
2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。
B. 所有整数都是偶数。
C. 所有整数都是奇数。
D. 所有奇数都是整数。
答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。
选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。
二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。
答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。
如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。
2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。
答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。
三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。
答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。
例如，考虑整数集合上的“同余”关系。
对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。
这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。
2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。
一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。
《离散数学》复习题及答案
《离散数学》复习题及答案《离散数学》试题及答案⼀、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪⼏个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，⾃由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华⼈民共和国的⾸都。
(2) 陕西师⼤是⼀座⼯⼚。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三⾓形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我⼀杯⽔吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在⼀些⼈是⼤学⽣”的否定是( )，⽽命题“所有的⼈都是要死的”的否定是( )。
答：所有⼈都不是⼤学⽣，有些⼈不会死7、设P：我⽣病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在⽣病时，我才不去学校 (2) 若我⽣病，则我不去学校(3) 当且仅当我⽣病时，我才不去学校(4) 若我不⽣病，则我⼀定去学校答：（1）PP?P→（4）QQ→→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任⼀整数x存在整数 y满⾜x+y=0（2）存在整数y对任⼀整数x满⾜x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) ⾃然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成⽴答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学试卷与答案
试题与答案一、填空10%（每小题2分）。
1、若P，Q，为二命题，P→Q真值为0当且仅当2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，L(x,y):x>y为3、谓为词合式则命题的逻辑。
谓词公式公式∀xP(x)→∃xQ(x)。
的前束范式4、将量词辖域中出现的的部分不变，这种方法称为换名规则。
和指导变元交换为另一变元符号，公式其余5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
二、选择25%（每小题2.5分））。
B、x+y>0；1、下列语句是命题的有（A、明年中秋节的晚上是晴天；C、xy>0当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、P⇔Q；B、P⇒P∨Q；C、(¬P∨Q)∧(P∨¬Q)；D、¬(P↔Q)。
4、下列等价式成立的有（）。
A、P→Q⇔¬Q→¬P；B、P∨(P∧R)⇔R；C、P∧(P→Q)⇔Q；5、若D、P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R。
）。
A1,A2"An和B为wff，且A1∧A2∧"∧An⇒B则（A1∧A2∧"∧An为B的前件；B、称B为A、称A1,A2"An的有效结论C、当且仅当A1∧A2∧"∧An∧B⇔F；D、当且仅当A1∧A2∧"∧An∧¬B⇔F。
6、A，B为二合式公式，且A⇔B，则（A、A→B为重言式；C、A⇒B；B、A⇒B；D、A⇔B；****）。
E、A↔B为重言式。
）。
7、“人总是要死的”谓词公式表示为（（论域为全总个体域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A，B，其中A＝{1,2,3}, B= {1，2｝, 则A — B＝｛3} ；ρ(A）—ρ(B)＝{3｝,{1,3}，｛2,3}，｛1，2,3｝｝.2n。
2。
设有限集合A，｜A｜= n，则｜ρ(A×A)｜= 23。
设集合A = {a, b}，B = ｛1, 2｝，则从A到B的所有映射是α1= ｛(a，1），（b,1)}，α2= ｛（a,2)，(b，2)},α3= {(a，1), （b,2)｝，α4= {(a，2），(b，1)｝，其中双射的是α3, α4 。
4. 已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R)5。
设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3。
6设A、B为两个集合，A= {1,2,4}, B = {3，4｝, 则从A⋂B＝｛4} ; A⋃B＝｛1，2，3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性，对称性传递性。
8. 设命题公式G＝⌝(P→（Q∧R））,则使公式G为真的解释有（1, 0, 0), （1, 0，1），（1，1，0)9。
设集合A＝｛1,2，3，4｝，A上的关系R1 = ｛（1,4）,（2，3),(3,2）}, R2 = {（2，1）,（3,2），(4,3）｝，则R1•R2 ={(1,3)，（2，2)，(3,1)} ，R2•R1 = ｛（2，4)，（3,3)，（4，2）｝_R12 =｛（2，2),(3,3).10。
设有限集A, B,|A| = m，｜B｜= n，则｜|ρ（A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x ｜-1≤x≤1, x∈R}, B = ｛x ｜0≤x 〈2，x∈R}，则A—B = -1〈=x〈0 , B-A = {x ｜ 1 〈x < 2，x∈R｝,A∩B =｛x ｜0≤x≤1, x∈R｝, 。
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一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ?(A) - ?(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|?(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是?3, ?4 .4. 已知命题公式G＝?(P?Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧?Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝{4} ; A?B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2?R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |?(A?B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x?R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x?R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)??xQ(x)，则G的前束范式是?x(?P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
(完全图的边数2)1(-nn，树的边数为n-1)16.设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是_(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)) _.17. 设集合A ＝{1, 2, 3, 4}，A 上的二元关系R ＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S ＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
则R ?S ＝ {(1, 3),(2, 2)} ,R 2＝ {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}. 二、选择题1 设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( C )。
(A){2}?A (B){a}?A (C)??{{a}}?B ?E (D){{a},1,3,4}?B. 2 设集合A={1,2,3},A 上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，则R 不具备( D ).(A)自反性(B)传递性(C)对称性(D)反对称性3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示，若A 的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B 的( B )。
(A)下界(B)上界(C)最小上界 (D)以上答案都不对4 下列语句中，( B )是命题。
(A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗？ 5 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b},1 0 1b)P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P则在解释I 下取真值为1的公式是( D ). (A)?x ?yP(x,y) (B)?x ?yP(x,y)(C)?xP(x,x) (D)?x ?yP(x,y).6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝?xP(x), H ＝?xP(x),则一阶逻辑公式G ?H 是( C ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式. 8 设命题公式G ＝?(P ?Q)，H ＝P ?(Q ??P)，则G 与H 的关系是( A )。
(A)G ?H (B)H ?G (C)G ＝H (D)以上都不是. 9 设A, B 为集合，当( D )时A －B ＝B.(A)A ＝B (B)A ?B (C)B ?A(D)A ＝B ＝?.10 设集合A = {1,2,3,4}, A 上的关系R ＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R 具有( B )。
(A)自反性(B)传递性(C)对称性 (D)以上答案都不对11 下列关于集合的表示中正确的为( B )。
(A){a}?{a,b,c} (B){a}?{a,b,c}(C)??{a,b,c} (D){a,b}?{a,b,c}12 命题?xG(x)取真值1的充分必要条件是( A ).(A) 对任意x ，G(x)都取真值1. (B)有一个x 0，使G(x 0)取真值1. (C)有某些x ，使G(x 0)取真值1. (D)以上答案都不对.13. 设G 是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G 的边数是( A ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. 14. 设G 是5个顶点的完全图，则从G 中删去( A )条边可以得到树.(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 设图G 的相邻矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110110101110110010111110，则G 的顶点数与边数分别为( D ).(A)4, 5(B)5, 6(C)4, 10 (D)5, 8.三、计算证明题1.设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；(2)写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；(3)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
解：（1）（2）B无上界，也无最小上界。
下界1, 3; 最大下界是3（3）A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是12.设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y?A 且x ? y}, 求(1)画出R的关系图；(2)写出R的关系矩阵.解：（1）（2）1000110011101111RM⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.设R是实数集合，?,?,?是R上的三个映射，?(x) = x+3, ?(x) = 2x, ?(x) ＝x/4,试求复合映射???，???,???, ???，?????.解：(1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,(3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3,(4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2,(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.▲4. 设I是如下一个解释：D = {2, 3},a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3)3 2 3 2 0 0 1 1试求(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));(2)?x?y P (y, x).解：(1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2))= P(3, 2)∧P(2,3)= 1∧0= 0.(2) ?x?y P (y, x) = ?x (P (2, x)∨P (3, x))= (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3))= (0∨1)∧(0∨1)= 1∧1= 1.5. 设集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R为A上整除关系。
(1)画出半序集(A,R)的哈斯图；(2)写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；(3)写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.解：(1) (2)无最大元，最小元1，极大元8, 12; 极小元是1.(3) B无上界，无最小上界。
下界1, 2; 最大下界2.6.设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。
解：G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))= (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))= (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) = (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).7.(9分)设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式.解：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)= ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x)= (??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x)= (?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z)= ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；(2)画出r(R), s(R), t(R)的关系图.解：（1）r(R)＝R ∪I A ＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)},s(R)＝R ∪R －1＝{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)},t(R)＝R ∪R 2∪R 3∪R 4＝{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}； (2)关系图:11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：(1) G = (P ∧Q)∨(?P ∧Q ∧R) (2) H = (P ∨(Q ∧R))∧(Q ∨(?P ∧R)) 解：G ＝(P ∧Q)∨(?P ∧Q ∧R)＝(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧R) ＝m 6∨m 7∨m 3 ＝? (3, 6, 7)H = (P ∨(Q ∧R))∧(Q ∨(?P ∧R)) ＝(P ∧Q)∨(Q ∧R))∨(?P ∧Q ∧R)＝(P ∧Q ∧?R)∨(P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(?P ∧Q ∧R) ＝(P ∧Q ∧?R)∨(?P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R) ＝m 6∨m 3∨m 7G,H 的主析取范式相同，所以G = H.13. 设R 和S 是集合A ＝{a , b , c , d }上的关系，其中R ＝{(a , a ),(a , c ),(b , c ),(c , d )}, S ＝{(a ,b ),(b ,c ),(b ,d ),(d , d )}.(1) 试写出R 和S 的关系矩阵； (2) 计算R ?S , R ∪S , R －1, S －1?R －1. 解：(1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000101R M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000011000010S M(2)R?S ＝{(a , b ),(c , d )},R ∪S ＝{(a , a ),(a , b ),(a , c ),(b , c ),(b , d ),(c , d ),(d , d )}, R －1＝{(a , a ),(c , a ),(c , b ),(d , c )}, S －1?R －1＝{(b , a ),(d , c )}. 四、证明题1. 利用形式演绎法证明：{P →Q , R →S , P ∨R }蕴涵Q ∨S 。