离散数学 第二章 谓词逻辑 习题课
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东南大学 离散数学 第2章 谓词逻辑
对公式中的自由变元也可以进行更改,这种 更改叫做代入,代入规则是: ⑴ 对于谓词公式中的自由变元可以代入, 代入时需对公式中该变元自由出现的每处进 行. ⑵ 代入的变元与原公式中其他变元的名称 不能相同.
【例2.12】对(x)(P(y)∧R(x,y))→(y)Q(y) 中的自由变元y进行代入. 解: 下面哪个是正确的? (x)(P(z)∧R(x,z))→(y)Q(y) (x)(P(x)∧R(x,x))→(y)Q(y) (x)(P(z)∧R(x,y))→(y)Q(y)
因 为 (x)P(x) 与 (y)P(y) , (x)P(x) 与 (y)P(y) 都具有相同意义,所以约束变元与表示该变 元的符号无关.根据这个特点,可以对约束 变元换名.换名规则如下: ⑴对约束变元可以换名,其更改变元名称 的范围是量词的指导变元,以及该量词辖域 中的所有该变元,公式的其余部分不变. ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的 变元名,最好是公式中没有的变量名.
(1)每列火车都比某些汽车快. (2) 某些汽车比所有火车慢. 解:设A(x):x是火车.B(x):x是汽车.C(x,y): x比y快. "每列火车都比某些汽车快."符号化为: (x)(A(x)→(y)(B(y)∧C(x,y))) "某些汽车比所有火车慢."符号化为: (x)(B(x)∧(y)(A(y)→C(y,x)))
【例2.3】 命题:⑴ 所有数小于5. ⑵ 至少有一个数小于5. 个体域: ① -1,0,1,2,4 ② 3,-2,7,8 ③ 15,20,24 解:设L(x):x小于5. ⑴ "所有数小于5."符号化为:(x) L(x) 5 (x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,假,假. ⑵ "至少有一个数小于5."符号化为:(x)L(x) 在个体域①,②,③中, 真值分别为:真,真,假.
离散数学第2章谓词逻辑新
第二章 谓词逻辑
问题的提出：
所有的金属都导电，铜是金属，所以铜导电。 设： A：所有的金属都导电。 B：铜是金属。 C：铜导电。 该推理符号化为： A，B C
这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前 提，C是结论。显然，这个推理是有效的，但是这个 推理用命题逻辑是无法推证的。
为什么？
因为命题 A、B、C 在句子内部是有联系的，而 仅把命题表示成一个大写字母，就掩盖了这种联系。 也就是说一个命题仅用一个大写字母表示的方式太粗 了，我们必须加以细化，用另外的表示方式来表达命 题。 命题是表达判断的陈述句，将其细分，表达出主 语、谓语及宾语(若有的话)，而一个句子中“谓语”
I
I 包含 N x(N(x)→I(x))
对于存在量词：例如， 有些大学生吸烟。 令 S：大学生集合，A：烟民的集合。
S
A
吸烟的大学生
吸烟大学生是 S 与 A 的交集 x(S(x)∧A(x))
例题3.
每个人都有一个生母。 M(x,y)：y 是 x 的生母。 此命题可以表达为： xyM(x,y)
约定：
将不带个体变元的谓词称为
0 元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0
元谓词是命题；
当谓词是变项时， 0 元谓词是命题变元。
四、命题函数 含有 n 个变元的命题函数是以个体域为定 义域，以{ F,T } 为值域的 n 元函数。 例： A(x)：x身体好。 G(x, y)：x > y。 B(x, y, z)：点 x 在点 y 与点 z 之间。 这些都是命题函数。
例：若 A(x)：x 身体好。 B(x)：x 学习好。 C(x)：x 工作好。 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示：如果 x 身 体不好，则 x 的学习与工作都不会好。 这也是命题函数 。 约定：对于一个命题函数，如果没有指明其 个体域，则假定其个体域是全总个体域。
问题的提出：
所有的金属都导电，铜是金属，所以铜导电。 设： A：所有的金属都导电。 B：铜是金属。 C：铜导电。 该推理符号化为： A，B C
这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前 提，C是结论。显然，这个推理是有效的，但是这个 推理用命题逻辑是无法推证的。
为什么？
因为命题 A、B、C 在句子内部是有联系的，而 仅把命题表示成一个大写字母，就掩盖了这种联系。 也就是说一个命题仅用一个大写字母表示的方式太粗 了，我们必须加以细化，用另外的表示方式来表达命 题。 命题是表达判断的陈述句，将其细分，表达出主 语、谓语及宾语(若有的话)，而一个句子中“谓语”
I
I 包含 N x(N(x)→I(x))
对于存在量词：例如， 有些大学生吸烟。 令 S：大学生集合，A：烟民的集合。
S
A
吸烟的大学生
吸烟大学生是 S 与 A 的交集 x(S(x)∧A(x))
例题3.
每个人都有一个生母。 M(x,y)：y 是 x 的生母。 此命题可以表达为： xyM(x,y)
约定：
将不带个体变元的谓词称为
0 元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0
元谓词是命题；
当谓词是变项时， 0 元谓词是命题变元。
四、命题函数 含有 n 个变元的命题函数是以个体域为定 义域，以{ F,T } 为值域的 n 元函数。 例： A(x)：x身体好。 G(x, y)：x > y。 B(x, y, z)：点 x 在点 y 与点 z 之间。 这些都是命题函数。
例：若 A(x)：x 身体好。 B(x)：x 学习好。 C(x)：x 工作好。 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示：如果 x 身 体不好，则 x 的学习与工作都不会好。 这也是命题函数 。 约定：对于一个命题函数，如果没有指明其 个体域，则假定其个体域是全总个体域。
第二章谓词逻辑
30
2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
15
2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
16
2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
22
2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))
23
2-2 命题函数与量词
26
2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。
2-3 谓词公式及命题符号化
而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词 后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式(x)(A(x)→B(x))中x后边的括号 不是最外层括号，所以不可以省略。 谓词演算公式中使用的符号（共七种）
简单命题函数与复合命题函数统称为命题函数
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2-2 命题函数与量词
例如，给定简单命题函数： A(x)：x身体好，B(x)：x学习好，C(x)：x工作好， 1.复合命题函数 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好。 2.复合命题函数B(x)∧C(x)：x学习好，工作也好 3.复合命题函数B(x)→C(x)：若x学习好，则x工作也 好
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2-2 命题函数与量词
2-2.2个体域 (论域) 例1：设Q(x,y)表示“x比y重” x,y为人或物时，它是一个命题 x,y为实数时,Q(x,y)就不是一个命题。 例2:S(x)表示x是大学生 x范围是某大学学生， S(x)是永真式 x范围是某中学学生，则S(x)是永假式 x范围是某个剧场中的观众，则S(x)对某些观众 是真，对某些观众是假
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2-2 命题函数与量词
用全总个体域时，对每一个客体变元的变化范 围，用特性谓词加以限制。 全称量词：特性谓词常作为蕴涵的前件 存在量词：特性谓词常作为合取项 例题１.所有的自然数都是整数。 设 N(x)：x是自然数。I(x)：x是整数。 命题为：x(N(x)→I(x))
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2-2 命题函数与量词
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2-3 谓词公式及命题符号化
要注意区分客体函数与谓词间的区别体变元用客体带入后的结果依 然是个客体(3∈N,g(3)=6，所以g(3)∈N)。
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
7
练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
19
练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
离散数学第2章 谓词逻辑
上述符号P 上述符号P、Q、R、T表示的是命题，而符号C（上 表示的是命题，而符号C ）、F ）、B ）、S 李兰， 海）、F（甲，乙）、B（3，2，5）、S（李兰，高 则是命题所对应的谓词表示形式， 翔）则是命题所对应的谓词表示形式，它们都有确 切的真值。 切的真值。
8
a:上海；b:甲，c:乙；d:3，e:2，f:5；g:李兰， a:上海；b:甲 c:乙 d:3，e:2，f:5；g:李兰， 上海 李兰 h:高翔 则上述命题又可表示为： 高翔。 h:高翔。则上述命题又可表示为： P：C（上海） ： （上海） Q：F（甲，乙） ： （ R：B（3，2，5） R：B（3，2，5） T：S（李兰，高翔） ： （李兰，高翔） P：C（a） ： （ ） Q：F（b，c） ： （ ， ） R：B（d，e，f） R：B（d，e，f） T：S（g，h） ： （ ， ）
谓词的基本概念与表示 如有句子： 例 如有句子： 张红是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生； 张红是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 王南是一个中州大学的学生； 是一个中州大学的学生 李华是一个中州大学的学生 是一个中州大学的学生。 李华是一个中州大学的学生。 则在命题中必须要用三个命题P 来表示。 则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。 但是，它们都具有一个共同的特征： 是一个大学生” 但是，它们都具有一个共同的特征：“是一个大学生” 因此，若将句子分解成： 因此，若将句子分解成： 主语＋谓语” “主语＋谓语” 表示“是一个大学生” 后紧跟“某某人” 用P表示“是一个大学生”，P后紧跟“某某人”。则 上述句子可写为：P(张红 张红) P(王南 王南) P(李华 李华) 上述句子可写为：P(张红)；P(王南)；P(李华)。一 般地， 般地， P(x)： 是一个大学生。 ： P(x)：x是一个大学生。 P：谓词 x：个体词 ： 4 P(x)：命题函数 ：
离散数学-谓词逻辑2PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
∀x P(x,y) → ∃z R(x,z)
离散数学
29
❖ 任意谓词公式都能够转化成前束范式
离散数学
30
前束范式转换
❖ 一般公式向前束范式转换旳环节：
❖ 1. 先把公式中旳联结词转换为ㄱ, ∨, ∧
❖ 2. 使用量词转换律和摩根律把公式中旳ㄱ移到简朴命题函数 旳前面
❖ 3. 利用约束元换名规则和自由元代入规则，使全部约束元和 自由元均不重名
指导变元及相应旳约束变元改成该量词辖域中未曾 出现过旳某个体变量符号，公式旳其他部分不变， 所得公式与A等价.
例：ㄱ(x) (P(x,y) Q(x)) xR(x) ㄱ(z) (P(z,y) Q(z)) xR(x)
离散数学
8
等价替代基本规则(3)
3．自由元旳代入规则 设A为一公式，将A中某个自由出现旳个体变元旳全 部出现用A中未曾出现过旳个体变元符号替代，A中 其他部分不变，所得公式与A等价.
离散数学
20
谓词演算举例
试证明： (x) (A(x) → B(x)) (x)A(x) → (x)B(x) 证明： (x) (A(x) → B(x))
( x) ( A(x) ∨ B(x)) ∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇔ ∃x A(x)∨ ∃x B(x)
( x) A(x) ∨ ( x) B(x)
离散数学
12
量词旳分配公式
∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例： 令 x旳个体域为正整数。
A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
∀x (A(x) ∨ B(x)) 全部正整数是奇数或者偶数。
∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 全部正整数都是奇数或者全部正整数都是 偶数。
离散数学
29
❖ 任意谓词公式都能够转化成前束范式
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30
前束范式转换
❖ 一般公式向前束范式转换旳环节：
❖ 1. 先把公式中旳联结词转换为ㄱ, ∨, ∧
❖ 2. 使用量词转换律和摩根律把公式中旳ㄱ移到简朴命题函数 旳前面
❖ 3. 利用约束元换名规则和自由元代入规则，使全部约束元和 自由元均不重名
指导变元及相应旳约束变元改成该量词辖域中未曾 出现过旳某个体变量符号，公式旳其他部分不变， 所得公式与A等价.
例：ㄱ(x) (P(x,y) Q(x)) xR(x) ㄱ(z) (P(z,y) Q(z)) xR(x)
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8
等价替代基本规则(3)
3．自由元旳代入规则 设A为一公式，将A中某个自由出现旳个体变元旳全 部出现用A中未曾出现过旳个体变元符号替代，A中 其他部分不变，所得公式与A等价.
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谓词演算举例
试证明： (x) (A(x) → B(x)) (x)A(x) → (x)B(x) 证明： (x) (A(x) → B(x))
( x) ( A(x) ∨ B(x)) ∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇔ ∃x A(x)∨ ∃x B(x)
( x) A(x) ∨ ( x) B(x)
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量词旳分配公式
∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例： 令 x旳个体域为正整数。
A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
∀x (A(x) ∨ B(x)) 全部正整数是奇数或者偶数。
∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 全部正整数都是奇数或者全部正整数都是 偶数。
离散数学课件--2谓词逻辑共60页文档
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离散数学-第2章 习题课
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
24
谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
16
谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
17
谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
27
变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
29
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补充题：
1.每个人的叔叔都是他父亲的弟弟。 设：P(x):x是人，U(x,y):y是x的叔叔， B(x,y):x是y的弟弟， f(x)=x的父亲 (x)(P(x)→y(U(x,y)→B(y,f(x))) 2.下面是判定一个年号是否为闰年的命题: “年号能被4整除并且不能被100整除的为闰年. 或者年 号能被400整除的也是闰年.” 设 Y(x):x是年号; D(x,y):x可整除y; R(x):x是闰年 (x)(Y(x)→(((D(4,x)∧D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x))))
66页
(3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} (x)(P→Q(x))∨R(a)(P→(x)Q(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F 4)b)对约束变元换名 (x)(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ (x)R(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→(x)B(x,z))∧ (x)zC(x,y,z) (yA(u,y)→(x)B(x,v))∧ (x)zC(x,w,z)
习题课
72页(2)d)论域为{1,2} P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
(x)y(P(x)∧Q(x,y)) y(P(1)∧Q(1,y))∧y(P(2)∧Q(2,y)) ((P(1)∧Q(1,1))∨(P(1)∧Q(1,2)))∧ ((P(2)∧Q(2,1))∨(P(2)∧Q(2,2))) ((F∧T)∨(F∧T))∧((T∧F)∨(T∧F)) (F∨F)∧(F∨F)F
(x)(A(x)→B(x))
(x)(A(x)→B(x)) ⑴ (x)(A(x)∨B(x)) ⑵ (x)(A(x)∧B(x) ⑶ (x)(A(x)∧B(x)) ⑷ ((x)A(x)∧(x)B(x)) ⑸ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑹ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑺ (x)A(x)→(x)B(x) 因为由公式E18 P→QQ→P (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x) ， P Q 得 ((x)A(x)∧(x)B(x))(x)(A(x)∧B(x))
离 散 数 学
第二章 谓词逻辑 习题课
一. 命题符号化 60页(2)
a) (x)(J(x)→L(x)) b) (x)(L(x)∧S(x)) c) (x)(J(x)∧O(x)∧V(x)) d) J(j)∧O(j)∧V(j) e) (x)(L(x)→J(x)) 或者 (x)(L(x)∧J(x) f) (x)(S(x)∧L(x)∧C(x)) g) (x)(C(x)∧V(x) 或者(x)(C(x)→V(x)) h) (x)((C(x)∧O(x))→L(x)) i) (x)(W(x)∧C(x)∧H(x)) j) (x)(W(x)∧J(x)∧C(x)) k) (x)(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) l) (x)(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
Hale Waihona Puke 75页(1)b)(x)(yP(x,y)→(zQ(z)→R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨(zQ(z)∨R(x))) (x)(yP(x,y)∨ z(Q(z)∨R(x))) (x)yz(P(x,y)∨(Q(z)∨R(x))) (2)c)(x)P(x)→(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨(x)(zQ(x,z)∨zR(x,y,z)) (x)P(x)∨u(zQ(u,z)∨tR(u,y,t)) (x)uzt(P(x)∨(Q(u,z)∨R(u,y,t))) (x)uzt(P(x)∨Q(u,z)∨R(u,y,t)) 此式既是前束析取范式，也是前束合取范式。
习题课
5)b)设N(x):x是数，A(x,y):y是x的后继数
(x)(N(x)∧A(x,1))
(6) 设 A(x):x 是戴眼镜的 ,B(x):x 是用功的 ,C(x):x 是大 学生,D(x):x是大的,E(x):x是厚的，F(x):x是巨著, A(x,y):x在看y,a:那位，b:这本 A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(b)∧ A(a,b)
6)判断下面推证是否正确。
(x)(A(x)→B(x)) ⑴ (x)(A(x)∨B(x)) ⑵ (x)(A(x)∧B(x) ⑶ (x)(A(x)∧B(x)) ⑷ ((x)A(x)∧(x)B(x)) ⑸ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑹ (x)A(x)∨(x)B(x) ⑺ (x)A(x)→(x)B(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： (x)(A(x)∧B(x))((x)A(x)∧(x)B(x)) 无 此 公 式 ， 而 是 (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x)，应将⑷中的换成 即：
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(2)
(x)y((P(x)∧P(y)∧E(x,y)) →z(L(z)∧R(x,y,z)∧t((L(t)∧R(x,y,t))→E(t,z))))
(3)b)设R(x):x是实数，G(x,y):x＞y
(x)(R(x)→y(R(y)∧G(y,x))) c)设R(x):x是实数，G(x,y):x＞y f(x,y)=x+y g(x,y)=xy (x)yz(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(f(x,y),g(x,z))) 或者 (x)yz(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))