第二章 谓词逻辑
第二章 谓词逻辑
同理可证, x(A(x)⋁B(x)) x A(x)⋁x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 21
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
(5)量词分配的蕴含关系
Predicate Logic 谓词逻辑
x A(x) ⋁ x B(x)x(A(x)⋁B(x))
x(A(x)⋀B(x))x A(x) ⋀ x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 13
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例4】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题：
(1)所有的病人都相信医生。
(2)有的病人相信所有的医生。 (3)有的病人相信某些医生。 (4)所有的病人都相信某些医生。 解: 设F(x)：x是病人，G(y)：y是医生，H(x，y)：x相信y。
4/16/2014 5:10 PM chapter2 19
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
Predicate Logic 谓词逻辑
x(A(x)→B) x A(x) → B 不成立(×)
x(A(x)→B) x(┒A(x)⋁B)
x ┒A(x)⋁B ┒x A(x)⋁B x A(x) → B 同理, x(A(x)→B) x A(x) → B
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
全总个体域
全总个体域
要死的
人
活一百岁以上
人
4/16/2014 5:10 PM
chapter2
12
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例2】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题 (a) 没有不犯错误的人。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
第二章 谓词逻辑
例6 设个体域是人类，
每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 x yL(y,x) ∧┐y x L(x,y)
例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y x(M(x)→y (F(y)∧L(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→L(x,y)))
F(x,y)x摆满了y。 R(x)x是大红书柜。 Q(y)y是古书。
a这只 b那些 R(a)Q(b)F(a,b)
例5 所有运动员都钦佩一些教练员。
设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (x)(S(x)→(y)(J(y)∧L(x,y)))
A(x)中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元； A(x)中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由 出现，自由出现的变元成为自由变元。
例1(x)(A(x)(y)Q(x,y)) 解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y） 此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现 是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变 元。 例2(x)F(x)G(x,y) 解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次 出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出 现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x 是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y 仅是自由变元。
关于特性谓词的说明
M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅 是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人 的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死” 因而M(x)与D(x)是条件关系。
离散数学第二章谓词逻辑
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
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x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
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命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学第2章 谓词逻辑
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
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第二章谓词逻辑1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？2.么叫做谓词？3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？4.填空题：1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。
∀x(F(x,y)→∃yP(y))∧Q(z)∧∃xA(x)∀x∃y∀z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？∀x(F(x,y)→∃yP(y))∧Q(z)∧∃xA(x)7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。
8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。
客体 j：金某人。
用上面给出的符号将下面命题符号化。
1．所有教练员是运动员。
2．某些运动员是大学生。
3．某些教练是年老的，但是健壮的。
4．金教练既不老，但也不是健壮的。
5．不是所有运动员都是教练。
6．某些大学生运动员是国家选手。
7．没有一个国家选手不是健壮的。
8．所有老的国家选手都是运动员。
9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。
10．有些女同志既是教练又是国家选手。
11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员。
9.将下面命题符号化1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。
2．没有大学生不懂外语。
3．有些液体可以溶解所有固体。
4．每个大学生都爱好一些文体活动。
5．每个自然数都有唯一的后继数。
10.令P表示天气好。
Q表示考试准时进行。
A(x)表示x是考生。
B(x)表示x提前进入考场。
C(x)表示x取得良好成绩。
E(x,y)表示x=y。
利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。
1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。
2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。
4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。
11.将下面命题符号化。
1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。
(S(x):x是大学生；Q(x):x取得了优异成绩；H(x):x刻苦学习。
) 2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。
(Z(x):x是自然数； E(x,y):x=y； Q(x,y):y是x的前驱数。
)12.<A,≤>是偏序集，B是A的非空子集。
在括号内分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。
y是B的极小元⇔( )y是B的最小元⇔( )y是B的下界⇔( )13.设论域D={1,2} 又已知a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F求谓词公式∀x∃y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
(要求有解题的过程)14设论域为{2,3}，Ａ(x,y)表示 x+y=xy。
求谓词公式⌝∀x∃yA(x,y) 的真值。
(要求有解题的过程。
)15.设谓词P(x,y)表示x是y的因子，论域是{1,2,3}。
求谓词公式∀x∃y⌝A(x,y)的真值。
(要求有解题过程)16.令论域D={a,b}，P(a,a)：F， Pa,b)：T， P(b,a)：T， P(b,b)：F。
公式( )的真值为真。
A：∀x∃yP(x,y) B：∃x∀yP(x,y) C：∀x∀yP(x,y) D：⌝∃x∃yP(x,y) 17.令论域D={a,b}，P(a,a):F，P(a,b):T，P(b,a):T，P(b,b):F，公式( )的真值为真。
a:⌝∃x∃yP(x,y) b:∃x∀yP(x,y) c:∀x∀yP(x,y) d: ∀x∃yP(x,y)18.令Lx,y)表示x<y, 当论域为( )时, 公式∀x∃yL(x,y)的真值为假。
a: 自然数集合 b: 整数集合 c: 有理数集合 d:实数集合19.设论域为{1,2,3}，已知谓词公式∃xP(x,3) →(∀y⌝P(3,y) →∃zP(1,z)) 的真值为假，则x=2时，使P(x,3)为真。
此说法是否正确？针对你的答案说明原因。
20.什么叫做对谓词公式赋值？21.什么叫做谓词公式的永真式？22.什么叫做谓词公式A与B等价？23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B？24.设Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，在下面的等价公式中，哪些是不正确？说明不正确的原因。
1. ∀xA(x)∨B⇔∀x(A(x)∨B)2. ∀xA(x)∧B⇔∀x(A(x)∧B)3. B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))4. ∀xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)25.证明下面等价公式∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)26.证明下面等价公式∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))27.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∃xA(x)∧∃xB(x) ⇔∃x(A(x)∧B(x))28.下面谓词公式等价成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∀x(A(x)∨B(x)) ⇔∀xA(x)∨∀xB(x)29.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∃xA(x)∧∃xB(x) ⇒∃x(A(x)∧B(x))30.下面永真蕴涵式成立吗？对你的回答给予证明或者举反例。
∀x(A(x)∨B(x)) ⇒∀xA(x)∨∀xB(x)31.什么叫做谓词公式的前束范式？32.不是谓词公式∀x(A(x,y)→∃yB(x,y)) 的前束范式的为 ( )a: ∀x∃y(A(x,t)→ B(x,y)) b: ∀x∃t(A(x,y)→ B(x,t))c: ∀x∃y(A(x,y)→ B(x,y)) d: ∀t∃y(A(t,x)→ B(t,y))33.写出谓词公式∀x(P(x)∧R(x))→(⌝∃xP(x)∧Q(x))的前束范式。
34.分别指出推理规则US、ES、的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。
35.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。
并分析发生的错误。
36.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规则所指定的客体c (即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体)。
并分析发生的错误。
37.分别指出推理规则EG、UG的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。
38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
(要求按照推理的格式书写推理过程。
)∀xC(x), ∃x(A(x)∨B(x)), ∀x(B(x)→⌝C(x)) ⇒∃xA(x)39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。
(要求按照推理的格式书写推理过程。
) “不认识错误的人，也不能改正错误。
有些诚实的人改正了错误。
所以有些诚实的人是认识了错误的人。
”设A(x):x是认识错误的人。
B(x):x改正了错误。
C(x):x是诚实的人。
命题符号化为：∀x(⌝A(x)→⌝B(x))，∃x(C(x)∧B(x)), ⇒∃x(C(x)∧A(x))40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）∀x(A(x)→(⌝B(x)∨⌝C(x))), ∀x(A(x)→(⌝C(x)→D(x))), ∃x(A(x)∧⌝D(x)) ⇒∃x(A(x)∧⌝B(x))41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
∃x(A(x)∧(B(x)→⌝C(x))), ∀x(A(x)→(C(x)∨⌝D(x))), ∀x(A(x)→D(x))⇒∃x(A(x)∧⌝ B(x))42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“鸟都会飞。
猴子都不会飞。
所以，猴子都不是鸟。
”43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“一些病人喜欢所有医生。
任何病人都不喜欢庸医。
所以没有医生是庸医。
”44. 给定谓词如下：S(x):x是学生；L(x):x是校领导； G(x):x是好的；T(x):x 是老师；P(x): x受过处分； C(x,y):y表扬x。
用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。
“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。
所以，有的老师是校领导。
”45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行。
”46. 给定谓词 M(x):x是高山俱乐部成员。
H(x):x是滑雪者。
D(x):x是登山者。
L(x,y):x喜欢y。
客体：a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。
用谓词逻辑推理证明方法，解决下面问题。
（要求按照推理格式书写推理过程。
）“小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。
没有一个登山者喜欢雨。
而所有滑雪者都喜欢雪。
凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。
小杨喜欢雨和雪。
试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。
如果有，他是谁？”47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。
）∃x(⌝P(x)→ Q(x)), ∀x(⌝Q(x)∨⌝R(x)), ∀xR(x) ⇒∃xP(x)48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。
）∀x(P(x)→(Q(x)∧R(x))), ⌝∀x(R(x)→Q(x)) ⇒∃x(R(x)∧⌝P(x))49. 用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
(要求：按照教材中推理的格式写出推理过程)∀x(⌝C(x)∨(⌝A(x)∨⌝B(x))), ∀x(A(x)→(⌝C(x)→D(x))), ⌝∀x(⌝A(x)∨D(x)) ⇒∃x(A(x)∧⌝B(x))50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。
(要求：按照逻辑推理格式书写推理过程)∀x(∃y(S(x,y) ∧M(y)) →∃z((P(z)∧R(x,z))) ⇒⌝∃zP(z) →∀x∀y (S(x,y) →⌝M(y))51.设：Ｎ(x)表示x是自然数；Ｏ(x)表示x是奇数；Ｅ(x)表示x是偶数；Ｃ(x)表示x能被２整除。
用上面给定的谓词表示下面各个命题，然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。