第二章 谓词逻辑
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第二章 谓词逻辑
在D上是等值的，记作AB。
定义’ 设A,B是公式，如有AB为永真公式则称其
为等价永真公式，记为AB ，称A与B等值。
31
二、一阶逻辑等值式
三、应用
32
第二节 一、前束范式的概念
一阶逻辑前束范式
定义 一个公式的所有量词均非否定地出现在在公 式的最前面，其辖域延伸到公式的末尾，且其中不 含有→，联结词，则该公式称为前束范式。即具 有下列形式的公式：
xywt(﹁A(x,w)∨﹁A(x,z)∨B(u,v,t))
35
(2)﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x)→Q(x,y)))) 解﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x) →Q(x,y)))) ﹁x(﹁yP(x,y)∨xy(Q(x,y)∧y(﹁P(y,x)
是确定的。
23
2、改名规则和代入规则
a、改名规则——约束变元的更改
对公式中的约束变元改名时，应遵循下列规则：
(1)改名时需要改的变元符号的范围是量词中的变元 以及该量词辖域中此变元的所有约束出现处，而在 公式的其他部分不变。 (2)改名时所取的符号一定没有在量词辖域内出现过。
24
b、代入规则——自由变元的更改
(3)函数符号：f,g,h…
(4)谓词符号：F,G,H…
(5)联结词： ﹁, ∧, ∨, →, (6)量词： , (7)括号：（，）
18
2、公式概念
(a)项 定义 (1)个体常量是项；(2)个体变量是项；
(3)设f为n元函数符, x1,x2,…,xn是项，则
f(x1,x2,…,xn)是项；
6
三、量词
定义 表示个体常项或变项之间数量关系的词称 为量词。量词分为两类：全称量词x和存在量词 x，分别表示所有的个体x和存在一个个体x。 [注] a)x后面括号内的式子称为全称量词的辖域； x后面括号内的式子称为存在量词的辖域。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
第二章 谓词逻辑
例6 设个体域是人类，
每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 x yL(y,x) ∧┐y x L(x,y)
例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y x(M(x)→y (F(y)∧L(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→L(x,y)))
F(x,y)x摆满了y。 R(x)x是大红书柜。 Q(y)y是古书。
a这只 b那些 R(a)Q(b)F(a,b)
例5 所有运动员都钦佩一些教练员。
设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (x)(S(x)→(y)(J(y)∧L(x,y)))
A(x)中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元； A(x)中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由 出现，自由出现的变元成为自由变元。
例1(x)(A(x)(y)Q(x,y)) 解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y） 此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现 是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变 元。 例2(x)F(x)G(x,y) 解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次 出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出 现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x 是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y 仅是自由变元。
关于特性谓词的说明
M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅 是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人 的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死” 因而M(x)与D(x)是条件关系。
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
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命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
第2章 谓词逻辑hhs
第二章 谓词逻辑
在命题逻辑中，主要研究以原子命题为基本单 位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 命题逻辑的推理具有很大的局：（1）所有 的人都是要死的；（2）苏格拉底是人；（3）苏 格拉底是要死的。 不难发现使用命题逻辑无法对上述三段论进行 推证。 为了解决这类推理问题，需要对命题内部进行 进一步分析，分析其中的个体、谓词、量词，研 究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式 和规则。 这些是谓词逻辑的基本研究内容。
陈述句
主语：是独立存在的个体，既可以表示一个 具体的事物，也可以表示一个抽象的概念， 一般称为个体。 谓语：用以刻画个体的性质和关系，一般称 为谓词。
例如：(1) 李四是优秀学生。(2) 张三是优秀学生。 (3) 4是偶数。(4) 武汉位于北京和广州之间。 上述语句中，李四、张三、4、武汉、北京、广州均是个体， “是三好学生”、“是偶数”、“位于…和…之间”都是谓词。 (1)、(2)、(3)句中的谓词用以指明个体的性质。(4)句中的谓词用以 指明个体之间的关系。
4/73
2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn） 组成的P(x1, x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数， 简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词； 当n=0时，P称为零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻 划了个体的性质，多元谓词刻划了个体之间的关系。 个体变元的取值范围称为个体域或论域。如果不事先 指明，认为论域是一切可以作为对象的东西的集合，这样的 论域称为全总个体域。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
在命题逻辑中，主要研究以原子命题为基本单 位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 命题逻辑的推理具有很大的局：（1）所有 的人都是要死的；（2）苏格拉底是人；（3）苏 格拉底是要死的。 不难发现使用命题逻辑无法对上述三段论进行 推证。 为了解决这类推理问题，需要对命题内部进行 进一步分析，分析其中的个体、谓词、量词，研 究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式 和规则。 这些是谓词逻辑的基本研究内容。
陈述句
主语：是独立存在的个体，既可以表示一个 具体的事物，也可以表示一个抽象的概念， 一般称为个体。 谓语：用以刻画个体的性质和关系，一般称 为谓词。
例如：(1) 李四是优秀学生。(2) 张三是优秀学生。 (3) 4是偶数。(4) 武汉位于北京和广州之间。 上述语句中，李四、张三、4、武汉、北京、广州均是个体， “是三好学生”、“是偶数”、“位于…和…之间”都是谓词。 (1)、(2)、(3)句中的谓词用以指明个体的性质。(4)句中的谓词用以 指明个体之间的关系。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn） 组成的P(x1, x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数， 简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词； 当n=0时，P称为零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻 划了个体的性质，多元谓词刻划了个体之间的关系。 个体变元的取值范围称为个体域或论域。如果不事先 指明，认为论域是一切可以作为对象的东西的集合，这样的 论域称为全总个体域。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
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（x ）为相应量词的辖域或作用域。在x和x的辖域中，x的所有
出现都称为约束出现，F（x）中不是约束出现的其他变元均称为自 由出现。
19
2.2
2.2.2
例2.2.3
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况：
（1）x（F（x，y）→ G（x，z））
（2）x（P（x）→y R（x，y））
符号化： （1）对任意的x，都有x2-5x+6 =（x-2）（x-3）
（2）存在x，使得x+1=0。
其中：（a）个体域D1为自然数集合。 （b）个体域D2为实数集合。
10
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 解 （a）令F（x）：x2-5x+6 =（x-2）（x-3）；G（x）：x+1=0。 （1）可符号化为：
2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.2 量词 全称量词 对于日常生活和数学中出现的“一切的”、 “任意的”、“所有的”、“每一个”、“都”、 “凡”等词统称为全称量词，用符号“”表示。并 用x，y表示个体域中的所有个体，用（x ）F （x），（y）F（y）等表示个体域中的所有个体具 有性质F。 存在量词 对日常生活和数学中常用的“存在”、“存 在一个”、“有一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有的”等词统称为存在量词，用符号“”表示。并 用x，y表示个体域中有的个体，用（x）F（x）， （y）F（y）等表示个体域中有的个体具有性质F。
另外，量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时，个体
变元的所有可能的取代是可以枚举的。 设论域元素为a1，a2，…，an， 则 x A（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an） x A（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）。
24
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
（5）只有有限次地应用（1）~（4）构成的符号串才是合式公式。
16
2.2
2.2.1
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑的合式公式
例2.2.1 在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）不存在最大的数。 （2）计算机系的学生都要学离散数学。 解 取个体域为全总个体域。 （1）令F（x）：x是数，L（x，y）：x大于y；则命题（1）符号
第二章 谓词逻辑
1
本章学习目标
命题逻辑中原子命题是最小的单位， 不能够再进行分解，这给推理带来了很 大局限性，本章引入谓词逻辑。学习关 于谓词逻辑的相关概念和定理，解决实 际问题。
2
主要内容
2.1 谓词逻辑命题的符号化 2.2 谓词逻辑公式与解释
2.3 谓词逻辑约束公式的等价与蕴涵 2.4 前束范式 2.5 谓词演算的推理理论
（1）对每一个常项符号指定D中一个元素。
（2）对每一个n元函数符号，指定一个函数。 （3）对每一个n元谓词符号，指定一个谓词。 显然，对任意公式G，如果给定G的一个解释I，则G在I的解释下 有一个真值，记作TI（G）。
26
2.2
2.2.3
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑公式的解释
x F(x)
（2）可符号化为： x G（x） 在个体域D1中命题（1）为真命题，命题（2）为假命题。 （b）在个体域D2中（1）、（2）符号化分别为 （1） （2） x F（x） x G（x）
11
在个体域D2中命题（1）、（2）都是真命题。
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 例2.1.4 将下列命题符号化，并指出真值情况。 （1）没有人登上过月球。 （2）所有人的头发未必都是黑色的。 解 个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。 （1）令F（x）：x登上过月球。命题（1）符号化为： x（M（x）∧F（x）） 设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一名美国人，则M（a） ∧F（a）为真，故命题（1）为假。 （2）令H（x）：x的头发是黑色的。命题（2）可符号化为： x（M（x）H（x）） 我们知道有的人头发是褐色的，所以x（M（x）H（x））为 12 假，故命题（2）为真。
（3）x（F（x）→ G（y））→ y（H（x）∧M（x，y，z））
20
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
解 （1）对于x的辖域是A=（F（x，y）→ G（x，z）），在A 中，x是约束出现的，而且约束出现两次，y，z均为自由出现， 而且各自由出现一次。 （2）对于x的辖域是（P（x）→y R（x，y）），y的辖域是 R（x，y），x，y均是约束出现的。 （3）对于x的辖域是（F（x）→ G（y）），其中x是约束出现 的，而y是自由出现的。对y的辖域是（H（x）∧M（x，y， z）），其中y是约束出现的，而x，z是自由出现的。在整个公式
22
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
例2.2.4 对公式x（P（x）→ R（x，y））∧Q（x，y）进行换名。 解 对约束变元x换名为t后为 t（P（t）→ R（t，y））∧Q（x，y） 同理，对公式中的自由变元也可以更改，这种更改称作代入。 自由变元的代入规则是：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以代入，此时需要对公式
2．谓词：用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词 一般来说，“x是A”类型的命题可以用A（x）表达。对于 “x大于y”这种两个个体之间关系的命题，可表达为B（x，y） ，这里B表示“…大于…”谓词。我们把A（x）称为一元谓词， B（x，y）称为二元谓词，M（a，b，c）称为三元谓词，依次 5 类推，通常把二元以上谓词称作多元谓词。
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2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 例 2.1.2 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下 面的命题符号化： （1）所有人都是要死的。 （2）有的人天生就近视。 其中：（a）个体域D1为人类集合。 （b）个体域D2为全总个体域。 解（a）令F（x）：x要死的；G（x）：x天生就近视。 （1）在个体域D1中除人外，没有其他的事物，因而（1）可符号 化为： x F（x） （2）在个体域D1中有些人是天生就近视，因而（2）可符号化为: x G（x）
中，x约束出现一次，自由出现两次，y约束出现一次，自由出现
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一次，z仅自由出现一次。
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
2．约束变元的换名与自由变元的代入 约束变元换名的规则： （1）将量词的作用变元及其辖域中所有相同符号的变元用一个新 的变元符号代替，公式的其余部分不变。 （2）新的变元符号是原公式中没有出现的。 （3）用（1）、（2）得到的新公式与原公式等值。
（2）令F（x，y）：x摆满了y；R（x）：x是大红书柜；Q（x）:
x是古书；a：这只；b：那些。则命题（2）可符号化为 R（a）∧Q（b）∧F（a，b）
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2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
1．约束变元与自由变元的概念 定义 2.2.4 在公式x F（x）和x F（x）中，称x为指导变元，F
2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1个体词与谓词
例2.1 将下列命题在谓词逻辑中符号化，并讨论它们的真值： （1）只有4是素数，8才是素数。 （2）如果1小于2，则5小于4。 解（1）设谓词G（x）：x是素数，a：4，b：8；（1）中的 题符号化为谓词的蕴涵式： G（a）→G（b） 由于此蕴涵式的前件为假，所以（1）中的命题为真。 （2）设谓词H（x，y）：x小于y，a：1，b：2，c：5，d：4（2） 中的命题符号化为谓词的蕴涵式： H（a，b）→H（c，d） 6 由于此蕴涵式的前件为真，后件为假，所以（2）中的命题为假。
2.2
谓词逻辑公式与解释
2.2.1 谓词逻辑的合式公式 2.2.2 谓词的约束和替换 2.2.3 谓.1
定义2.2.1
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑的合式公式
谓词逻辑中项的定义：
（1）任何一个个体变元或个体常元是项； （2）若f（x1，x2，…，xn）是任意的n元函数，t1，t2，…，tn是 任意的n个项，则f（t1，t2，…，tn）是项； （3）由有限次使用（1），（2）得到的表达式是项； 定义2.2.2 设P（x1，x2，…，xn）是n元谓词公式，其中， x1x2，…，xn是个体变项，则称P（x1，x2，…，xn）为谓词演算的 原子公式。
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2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1 个体词与谓词 2.1.2 量词 2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化
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2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1个体词与谓词
1．个体词 ：个体词是指研究对象中不依赖于人的主观而独立存 在的具体的或抽象的客观实体 个体常项或个体常元 ： 个体变项或个体变元 ： 个体域或论域 ：
中出现该自由变元的每一处进行代入。 （2）用以代入的变元与原公式中所有变元的名称都不能相同。
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2.2
2.2.2
解
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
例2.2.5 对公式x（F（x）→ G（x，y））∧y H（y）代入。
对y实施代入，经过代入后原公式为 x（F（x）→ G（x，t））∧ y H（y）
命题（1）、（2）在个体域D1、D2中符号化的形式不同，主要区别 在于，使用个体域D2时，要将人从其它事物中区别出来，为此引 进谓词M(x)，象这样的谓词称为特性谓词，在命题符号化时一定 要正确使用特性谓词。
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2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化
例2.1.3 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下面的命题
化为：
﹁x（F（x）∧ y（F（y）→ L（x，y）））