大连理工大学软件学院离散数学习题答案
大连理工大学软件学院离散数学习题答案
（2）C(x)US（1）
（3）(x)C(x)→(x)¬B(x)P
（4）C(x)→¬B(x)US（3）
（5）¬B(x)T（2）（4）
（6）(x)A(x)→(x)B(x)P
（7）A(x)→B(x)US（6）
（8）¬A(x)T（5）（7）
（9）(x)¬A(x)UG（8）
（10）(x)C(x)→ (x)¬A(x)CP（1）（9）
（（P∧┓P）∨（P∧Q））→Q
（F∨（P∧Q））→Q
（┓P∨┓Q）∨Q
┓P∨T
T
（3）原式（（┓P∨Q）∧（┓Q∨R））→（┓P∨R）
（P∧┓Q）∨（Q∧┓R）∨（┓P∨R）
（（P∧┓Q）∨Q）∧（（P∧┓Q）∨┓R）∨（┓P∨R）
（P∨Q）∧（┓Q∨Q）∧（P∨┓R）∧（┓Q∨┓R）∨（┓P∨R）
（5） P→QCP规则
第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
24.（1）证明：
（1）┓┓PP规则（假设前提）
（2） PT规则（1）
（3） P→QP规则
（4） QT规则（2）（3）
（5） R→┓QP规则
（6）┓RT规则（4）（5）
（7） R∨SP规则
（8） ST规则（6）（7）
（9） S→┓QP规则
（10）┓QT规则（8）（9）
M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6
∏（1,2,3,4,5,6）
第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
18.（1）证明：
左侧（┓P∨Q）∧（┓P∨R）
（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨Q∨┓R）∧（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨R）
∏（4,5,6）
右侧┓P∨（Q∧R）…∏（4,5,6）
(完整版)离散数学习题答案
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r∧→15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0，，()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q→⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：p qp⌝q⌝()p p →⌝()p p q→⌝→⌝001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧，此即公式的主析取范式，()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式，此即公式的主合取范式，()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔所以成假赋值为100。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
大连理工大学软件学院-离散数学-群作业1答案
设 Z 为整数集合， 在 Z 上定义二元运算， 任意 x,y∈Z 有 x○y=x+y-2,那么 Z 与运算。 能否构成群？为什么？
2011-06-23 08:08 提问者： cici_y2013 |浏览次数：448 次 我来帮他解答
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2011-06-23 08:22
能。因为满足 1）封闭性； 2）结合律； 3）具有单位元 2； 4）每一个元素 x 也都有逆元 4-x. 符合群的定义，所以构成群。
ห้องสมุดไป่ตู้
第五题
与18互质的数有1，5，7，11，13，17，因此，1，5，7，11， 13，17是群Z18，18的生成元． 18的因数有1，2，3，6，9，18，因此，群Z18，18的子群有 1=Z18，18，
2={0，2，4，6，8，10，12，14，16}，18， 3={0，3，6，9，12，15}，18， 6={0，6，12}，18， 9={0，9}，18， 18={0}，18． Z18，18 的子群格为{18 ， 3，2，1}，，其哈斯图为 全下界为18，全上界为1， 18’=1，1’=18， 2’=9，9’=2，3和6没 18 有补元． 1 9，6，
第三题、设 H,K 分别为群 G 的两个 m 与 n 子群,证明:若(m,n)=1,则 H∩K={e}
H∩K 还是群，且分别是 H 和 K 的子群。 于是|H∩K|必分别整除 m 和 n 如果不为|H∩K|≠1，则与(m,n)=1 矛盾
4、
求群Z18，18的所有生成元和子群，画出Z18，18的子群 格，指出该子群格的全下界、全上界和有补元，并求其补 元．
2020年大连理工大学软件学院 离散数学 第六章 代数系统2
群中元素的幂
定义6(2).3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1a
(a1)m
n0 n0 n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有
23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有
(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
14
6(2).2 子群与群的陪集分解
定义6(2).5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半
群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 (5) <AA,◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算 (6) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y
离散数学课后习题答案 (2)
离散数学课后习题答案1. 第一章习题答案1.1 习题一答案1.1.1 习题一.1 答案根据题意，设集合A和B如下：Set A and BSet A and B在此情况下，我们可以得出以下结论：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }。
因此，习题一.1的答案为：•A的幂集为{ {}, {a}, {b}, {a, b} }；•B的幂集为{ {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }；•A和B的笛卡尔积为{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b,2), (b, 3) }。
1.1.2 习题一.2 答案根据题意，集合A和B如下所示：Set A and BSet A and B根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A \\cap B = \\{ 2, 3 \\}$b)$\\emptyset \\in B$c)$A \\times B = \\{ (a, 2), (b, 1), (b, 3) \\}$d)$B \\subseteq A$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A \\cap B = \\{ x\\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, x \\in B \\} = \\{ 2, 3 \\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset \\in B$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A \\times B = \\{ (x, y) \\,|\\, x \\in A \\, \\text{且} \\, y \\in B \\} = \\{ (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) \\}$。
离散数学课后习题答案二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解5,3,2πNadir 航空公司＝6. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算2结果第4章：群、环、域习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
《离散数学》试题及标准答案解析
《离散数学》试题及标准答案解析⼀、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝ __________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝ _____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1= {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 = ________________________,R2? R1 =____________________________, R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A =__________________________ , A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设⼀阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的⼆元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。
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目录第一章命题逻辑 (2)第二章谓词逻辑 (9)第三章集合论习题答案 (13)第四章二元关系习题答案 (21)第五章函数习题答案 (42)第六章代数系统习题答案 (51)第七章群与环习题答案 (57)第八章格与布尔代数习题答案 (66)第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71)第十章几种图的介绍 (82)第十一章树 (90)第一章命题逻辑1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题；2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是偶数并且-3不是负数；3.（1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。
否命题：如果天下雨，我将不去公园。
逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。
（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。
否命题：如果你不去，那么我不逗留。
逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。
（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。
否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。
逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。
（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。
否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。
逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。
4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F；5.6.（1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。
（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。
（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。
（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。
7.8.9.（1）（P∧Q）→R；（2）┓P；（3）（┓P∧┓Q）→┓R10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。
本题可用真值表求解：（4）得真值表如下：1，故为重言式。
可见不论命题变元的真值指派如何，命题公式总取1，故为重言式。
其他小题可用同样的方法求解。
11.（2）原式⇔┓((P∨Q)∧R)∨P∨R⇔┓(P∨Q)∨┓R∨P∨R⇔┓(P∨Q)∨P∨T⇔ T（4）原式⇔ P∨（┓（┓Q∧R）∨P）⇔ P∨（Q∨┓R∨P）⇔ P∨Q∨┓R⇔┓（┓P∧┓Q∧R）第（1）、（3）、（5）小题方法相同，解答略。
12.（3）原式⇔┓P∧┓Q∧（R∨P）⇔（┓P∧┓Q∧R）∨（┓P∧┓Q∧P）⇔（┓P∧┓Q∧R）∨F⇔┓（P∨Q∨┓R）第（1）、（2）小题方法相同，解答略。
13.（2）左式⇔（P∨（┓Q∧Q））∧（┓P∨┓Q）⇔（P∨F）∧（┓P∨┓Q）⇔（P∧┓P）∨（P∧┓Q）⇔F∨（P∧┓Q）⇔P∧┓Q右式⇔ P∧┓Q故：左式⇔右式，证明完毕。
根据对偶式定义，该式的对偶式为：（P∧┓Q）∨（P∧Q）∨（┓P∧┓Q）第（1）、（3）小题方法相同，解答略。
14.（1）原式⇔（P∧（┓P∨Q））→Q⇔（（P∧┓P）∨（P∧Q））→Q⇔（F∨（P∧Q））→Q⇔（┓P∨┓Q）∨Q⇔┓P∨T⇔ T（3）原式⇔（（┓P∨Q）∧（┓Q∨R））→（┓P∨R）⇔（P∧┓Q）∨（Q∧┓R）∨（┓P∨R）⇔（（P∧┓Q）∨Q）∧（（P∧┓Q）∨┓R）∨（┓P∨R）⇔（P∨Q）∧（┓Q∨Q）∧（P∨┓R）∧（┓Q∨┓R）∨（┓P∨R）⇔（P∨（Q∧┓R））∧（┓Q∨┓R）∨（┓P∨R）⇔（（P∨（Q∧┓R））∧┓Q）∨（（P∨（Q∧┓R））∧┓R）∨（┓P∨R）⇔（P ∧┓Q）∨（Q∧┓R∧┓Q）∨（P ∧┓R）∨（Q∧┓R∧┓R）∨（┓P∨R）⇔（P ∧┓Q）∨（P ∧┓R）∨（Q∧┓R）∨┓（P ∧┓R）⇔（P ∧┓Q）∨（Q∧┓R）∨T⇔ T第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
15.（1）证明：假设P∧Q为真，则P为真且Q为真，则P→Q为真。
所以：P∧Q ⇒P→Q。
（3）证明：右侧⇔┓P∨Q，假设┓P∨Q为假，则P为真且Q为假，则P→Q为假。
所以：P→Q ⇒P→P∧Q。
（5）证明：假设Q→R为假，则Q为真且R为假，则左侧为假。
所以：（P∨┓P→Q）→（P∨┓P→R）⇒Q→R。
第（2）、（4）、（6）小题方法相同，解答略。
16.（1）代入可得：（（（P→Q）→（（P→Q）→R））→（P→Q））→（P→Q）（2）代入可得：（（Q→┓P）→（┓P→Q））17.（1）主析取范式：原式⇔（P∧Q）∨（P∧┓Q）⇔ m2∨m3⇔∑（2,3）主合取范式：原式⇔（（P∧Q）∨P）∧（（P∧Q）∨┓Q）⇔P∧（P∨Q）∧（P∨┓Q）∧T⇔ P∨（Q∧┓Q）⇔M0∧M1⇔∏（0,1）（3）主析取范式：原式⇔（（（┓P∨Q）∧┓P）∨（（┓P∨Q）∧R））∧（（（P∨┓Q）∧P）∨（（P∨┓Q）∧┓R））⇔（┓P∨（┓P∧Q）∨（┓P∧R）∨（Q∧R））∧（（P∧Q）∨（P∧┓Q）∨（P∧┓R）∨（┓Q∧┓R））⇔（（┓P∧┓Q）∨（┓P∧Q）∨（┓P∧R）∨（Q∧R））∧（（P∧Q）∨（P∧┓Q）∨（P∧┓R）∨（┓Q∧┓R））⇔（（┓P∧（┓Q∨R））∨（Q∧（┓P∨R）））∧（（P∧（Q∨┓R）∨（┓Q∧（P∨┓R）））⇔F∨（Q∧（┓P∨R）∧P∧（Q∨┓R））∨（┓P∧（┓Q∨R）∧┓Q∧（P∨┓R））∨F⇔（P∧Q∧R∧Q）∨（P∧Q∧R∧┓R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）∨（┓P∧┓R∧R）⇔（P∧Q∧R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）⇔m0∨m7⇔∑（0,7）主合取范式：原式⇔（┓P∨（Q∧R））∧（P∨（┓Q∧┓R））⇔（┓P∨Q）∧（┓P∨R）∧（P∨┓Q）∧（P∨┓R）⇔（┓P∨Q）∨（R∧┓R）∧（┓P∨R）∨（Q∧┓Q）∧（P∨┓Q）∨（R∧┓R）∧（P∨┓R）∨（Q∧┓Q）⇔（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨Q∨┓R）∧（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨┓R）∧（P∨Q∨┓R）∧（P∨┓Q∨┓R）⇔M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6⇔∏（1,2,3,4,5,6）第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
18.（1）证明：左侧⇔（┓P∨Q）∧（┓P∨R）⇔（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨Q∨┓R）∧（┓P∨Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨R）⇔∏（4,5,6）右侧⇔┓P∨（Q∧R）⇔…⇔∏（4,5,6）左侧⇔右侧，得证。
（3）证明：左侧⇔┓（┓P∨Q）∨（P∧Q）⇔（P∧┓Q）∨（P∧Q）⇔∑（2,3）右侧⇔（P∨Q）∧（P∨┓Q）⇔（P∧P）∨（P∧┓Q）∨（P∧Q）∨（Q∧┓Q）⇔（P∧┓Q）∨（P∧Q）⇔∑（2,3）左侧⇔右侧，得证。
第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
19.对于A,B,C,D,E5个变元的所有真值指派，推出前提A↔B，B↔（C∧D），C↔（A∨E），A∨E和结论A∧E的值，得到真值表。
当真值表中各前提的真值都为1时，若结论也为1，则结论有效，否则结论无效。
根据真值表可看出，当前提为1时，结论也为1，则结论有效。
（3）采用推理方法证明：P∧Q为真，可得P为真且Q为真，又P→（Q→R）为真且P、Q为真，得R也为真。
则结论有效。
第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
21.（1）证明：假设公式全部同时成立，由┓S为真得到S为假，由┓P→S为真，得P为真，由P↔Q 为真得到Q为真，由Q→R为真得到R为真，由┓R∨S为真得到S为真。
这与前面“S为假”矛盾，则公式不能同时成立。
（2）证明：假设公式全部同时成立，由┓S为真得到S为假，由┓R∨S为真得到R为假，由R∨M 为真得到M为真，由┓M为真得到M为假，矛盾。
则公式不能同时成立。
22.首先符号化：P:大连获得冠军；Q:北京获得亚军；R:上海获得亚军；S:广州获得亚军。
即求公式：P→（Q∨R），R→┓P，S→┓Q，P ┓S是否成立。
{1} （1）P P规则{2} （2）R→┓P P规则{1,2} （3）┓R T规则{4} （4）P→（Q∨R）P规则{1,2,4} （5）Q T规则{6} （6）S→┓Q P规则{1,2,4,6} （7）┓S T规则23.（1）证明：（1）┓R P规则（2）┓Q∨R P规则（3）┓Q T规则（1）（2）（4）┓（P∧┓Q）P规则（5）┓P T规则（3）（4）（3）题目有误（5）证明：（1）P P规则（附件前提）（2） P→（P∧Q）P规则（3） P∧Q T规则（1）（2）（4） Q T规则（1）（3）（5） P→Q CP规则第（2）、（4）小题方法相同，解答略。
24.（1）证明：（1）┓┓P P规则（假设前提）（2） P T规则（1）（3） P→Q P规则（4） Q T规则（2）（3）（5） R→┓Q P规则（6）┓R T规则（4）（5）（7） R∨S P规则（8） S T规则（6）（7）（9） S→┓Q P规则（10）┓Q T规则（8）（9）（11） Q∧┓Q T规则（4）（10）（12）┓P F规则（1）（11）（2）证明：（1）┓R P规则（2） R∨S P规则（3） S T规则（1）（2）（4） S→┓Q P规则（5）┓Q T规则（3）（4）（6） P↔Q P规则（7）┓P T规则（5）（6）（3）原式修改为：┓（P→Q）→┓（R∨S），（Q→P）∨┓R，R P↔Q 证明：（1） R P规则（2） R∨S T规则（1）（3）┓（P→Q）→┓（R∨S） P规则（4） P→Q T规则（2）（3）（5）（Q→P）∨┓R P规则（6） Q→P T规则（1）（5）（7）（P→Q）∧（Q→P）T规则（4）（6）（二） P↔Q T规则（7）第二章谓词逻辑1.（1）S(x)：x聪明；L(x)：x好学；a：表示小明，命题：S(a)∧L(a)。
（2）S(x)：x是素数；G(x,y)：x大于y，命题：（3）U(x)：x是大学生；S(x)：x能成为科学家，命题：（4）N(x)：x是自然数；A(x)：x是奇数；B(x)：x是偶数，命题：（5）P(x)：x是诗人；T(x,y)：x游览y；V(x)：x是名山大川；a：表示李白命题：2.（1）约束变元：x，辖域：和；自由变元：y。
（2）约束变元：中的x,y和中的z；自由变元：中的x。
（3）约束变元：x,y，辖域：；自由变元：z。
3.参考教材2.3部分。
4.（1）证明：（1）(∀x)¬B(x) P（2）¬B(x) US（1）（3）(∀x)(¬A(x)→B(x)) P（4）¬A(x)→B(x) US（3）（5）A(x) T（2）（4）（6）(∃x)A(x) EG（5）（3）证明：由于：(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒(∀x)A(x) →(∀x)B(x)；(∀x)(C(x)→¬B(x)) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x)；(∀x)(C(x)→¬A(x)) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬A(x)即证：(∀x)A(x) →(∀x)B(x)，(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x) ⇒(∀x)C(x) →(∀x)¬A(x)（1）(∀x)C(x) P（附加）（2）C(x) US（1）（3）(∀x)C(x) →(∀x)¬B(x) P（4）C(x) →¬B(x) US（3）（5）¬B(x) T（2）（4）（6）(∀x)A(x) →(∀x)B(x) P（7）A(x) →B(x) US（6）（8）¬A(x) T（5）（7）（9）(∀x)¬A(x) UG（8）（10）(∀x)C(x) → (∀x)¬A(x) CP（1）（9）第（2）、（4）小题方法相同，解答略。