离散数学 第2章 习题解答

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离散数学课后习题答案二

离散数学课后习题答案二

习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z 中所有有序4元组。

解 }6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。

假设不增加新的5元组,找出二维表3.18所有的主键码。

表3.18 航班信息航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 32234底特律09:44解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ,,,时你能得到什么?解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量? 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir 航空公司=σ到二维表3.18以后得到的表。

解对航班信息二维表进行投影运算5,3,2π后得到的二维表航班 登机口 起飞时间 112 34 08:10 221 22 08:17 122 33 08:22 323 34 08:30 199 13 08:47 222 22 09:10 3223409:44对航班信息二维表进行选择运算Nadir 航空公司= 后得到的二维表航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Nadir 199 13 底特律 08:47 Nadir 32234底特律09:446. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量?解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。

离散数学课后习题答案(第二章)

离散数学课后习题答案(第二章)
习题 2-1,2-2 (1) 用谓词表达式写出下列命题。 a) 小张不是工人。 解:设 W(x) :x 是工人。c:小张。 则有 ¬W ( c )
b) 他是田径或球类运动员。 解:设 S(x) :x 是田径运动员。B(x) :x 是球类运动员。h:他 则有 S(h)∨B(h) c) 小莉是非常聪明和美丽的。 解:设 C(x) :x 是聪明的。B(x) :x 是美丽的。l:小莉。 则有 C(l)∧ B(l) d)若 m 是奇数,则 2m 不是奇数。 解:设 O(x) :x 是奇数。 则有 O(m)→¬ O(2m) 。 e)每一个有理数是实数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 (∀x) (Q(x)→R(x) ) f) 某些实数是有理数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 (∃x) (R(x)∧Q(x) ) g) 并非每个实数都是有理数。 解:设 R(x) :x 是实数。Q(x) :x 是有理数。 则有 ¬(∀x) (R(x)→Q(x) ) h)直线 A 平行于直线 B,当且仅当直线 A 不相交于直线 B。 解:设 P(x,y) :直线 x 平行于直线 y,G(x,y) :直线 x 相交于直线 y。 则有 P(A,B)�¬G(A,B) (2) 找出以下十二个句子所对应的谓词表达式。 a) 所有的教练员是运动员。 (J(x),L(x)) 解:设 J(x):x 是教练员。L(x):x 是运动员。 则有 (∀x) (J(x)→L(x) ) b) 某些运动员是大学生。 (S(x)) 解:设 S(x):x 是大学生。L(x):x 是运动员。 则有 (∃x) (L(x)∧S(x) ) c) 某些教练是年老的,但是健壮的。 (O(x),V(x) ) 解:设 J(x):x 是教练员。O(x):x 是年老的。V(x) :x 是健壮的。 则有 (∃x) (J(x)∧O(x)∧V(x) ) d) 金教练既不老但也不健壮的。 (j) 解:设 O(x):x 是年老的。V(x) :x 是健壮的。j:金教练 则有 ¬ O(j)∧¬V(j) e) 不是所有的运动员都是教练。 解:设 L(x):x 是运动员。J(x):x 是教练员。 则 ¬(∀x) (L(x)→J(x) ) f) 某些大学生运动员是国家选手。 (C(x) )

离散数学(微课版) 第2章习题答案

离散数学(微课版) 第2章习题答案

离散数学(微课版)第2章习题答案习题 2.11. 给出以下相关数集的定义:•人类:所有人类的集合。

•学生:具有在某所学校注册学籍的人的集合。

•男学生:具有在某所学校注册学籍且性别为男性的学生的集合。

2. 判断以下命题是否为真:•男学生集合是人类集合的子集。

•学生集合是男学生集合的子集。

答案:1.人类集合和学生集合的关系可以表示为:学生集合是人类集合的子集。

因为学生是人类的一个子集,但并不是全部人类都是学生。

2.男学生集合是人类集合的子集,因为男学生是学生的一个子集,而学生又是人类的一个子集。

所以男学生集合也是人类集合的一个子集。

3.学生集合是男学生集合的超集,因为男学生是学生的一个子集,但并不是所有学生都是男学生。

所以学生集合包含了男学生集合。

习题 2.21. 给出以下关系的定义:•R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}。

2. 判断以下命题是否为真:•R 是对称关系。

•R 是自反关系。

答案:1.该关系 R 中的元素可以表示为有序对的形式,如 (1, 1) 表示元素 1 和元素 1 之间存在关系。

根据 R 的定义,可以发现所有的对称元素都存在于 R 中。

所以 R 是一个对称关系。

2.该关系 R 中包括了所有元素对 (x, x),表示每个元素和它自己之间都存在关系。

所以 R 是一个自反关系。

习题 2.31. 给出以下集合的定义:• A = {1, 2, 3, 4}• B = {2, 4, 6, 8}• C = {1, 3, 5, 7}2. 判断以下命题是否为真:• A ∩ B = {2, 4}• A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7}答案:1. A ∩ B表示 A 和 B 的交集,即包含了同时属于 A 和B 的元素。

根据 A 和 B 的定义,可以发现共同元素为 {2, 4}。

所以命题A ∩ B = {2, 4} 是真的。

2. A ∪ C 表示 A 和 C 的并集,即包含了属于 A 或 C 的所有元素。

离散数学 第2章 习题解答

离散数学 第2章 习题解答

习题 2.11.将下列命题符号化。

(1) 4不是奇数。

解:设A(x):x是奇数。

a:4。

“4不是奇数。

”符号化为:¬A(a)(2) 2是偶数且是质数。

解:设A(x):x是偶数。

B(x):x是质数。

a:2。

“2是偶数且是质数。

”符号化为:A(a)∧B(a)(3) 老王是山东人或河北人。

解:设A(x):x是山东人。

B(x):x是河北人。

a:老王。

“老王是山东人或河北人。

”符号化为:A(a)∨B(a)(4) 2与3都是偶数。

解:设A(x):x是偶数。

a:2,b:3。

“2与3都是偶数。

”符号化为:A(a)∧A(b)(5) 5大于3。

解:设G(x,y):x大于y。

a:5。

b:3。

“5大于3。

”符号化为:G(a,b)(6) 若m是奇数,则2m不是奇数。

解:设A(x):x是奇数。

a:m。

b:2m。

“若m是奇数,则2m不是奇数。

”符号化为:A(a)→A(b)(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

解:设C(x,y):直线x平行于直线y。

设D(x,y):直线x相交于直线y。

a:直线A。

b:直线B。

“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

”符号化为:C(a,b)↔¬D(x,y)(8) 小王既聪明又用功,但身体不好。

解:设A(x):x聪明。

B(x):x用功。

C(x):x身体好。

a:小王。

“小王既聪明又用功,但身体不好。

”符号化为:A(a)∧B(a)∧¬C(a)(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。

解:设A(x,y,z):x隔开了y和z。

a:秦岭。

b:渭水。

c:汉水。

“秦岭隔开了渭水和汉水。

”符号化为:A(a,b,c)(10) 除非小李是东北人,否则她一定怕冷。

解:设A(x):x是东北人。

B(x):x怕冷。

a:小李。

“除非小李是东北人,否则她一定怕冷。

”符号化为:B(a)→¬A(a)2.将下列命题符号化。

并讨论它们的真值。

(1) 有些实数是有理数。

解:设R(x):x是实数。

离散数学习题解答-第2章命题逻辑

离散数学习题解答-第2章命题逻辑

(2) 有 4 个不同的命题变元,使公式的真值为 0 的赋值有 p 0, q 0, r 1, w 0 ;
p 0, q 1, r 0, w 1 ; p 0, q 1, r 1, w 0 ; p 1, q 1, r 0, w 1 ;
3
p 1, q 1, r 1, w 1 ; 使 公 式 的 真 值 为 1 有 赋 值 有 p 0 , q 0 ,r 0 ,w ; 0 p 0, q 0, r 0, w 1 ; p 0, q 0, r 1, w 1 ; p 0, q 1, r 0, w 0 ; p 0, q 1, r 1, w 1 ; p 1, q 0, r 0, w 0 ; p 1, q 0, r 0, w 1 ; p 1, q 0, r 1, w 0 ; p 1, q 0, r 1, w 1 ; p 1, q 1, r 0, w 0 ; p 1, q 1, r 1, w 0 ;
((p q) s) (r t )
3. 列出下列各公式的所有赋值, 并指出哪些赋值使公式的真值为 1, 哪些赋值使公式的真值 为 0。 (1) ( p q) r r (2) (w q) ( p r ) w (3) (( p q) ( p q)) p (4) ((u q) (t r )) (r u) (5) (m q) ((q r ) s) (6) (m q) (t r ) q 解 : (1) 有 3 个 不 同 的 命 题 变 元 , 使 公 式 的 真 值 为 0 的 赋 值 有 p 0, q 0, r 0 ;
p 0, q 0, r 1 ; p 0, q 1, r 0 ; p 0, q 1, r 1 ; p 1, q 0, r 1 ; p 1, q 1, r 0 ; p 1, q 1, r 1 . 使公式的真值为 1 有赋值有 p 1, q 0, r 0 .

离散数学(刘任任版)第2章答案

离散数学(刘任任版)第2章答案
(4) 反对称关系矩阵 M R (rij )nn 的元素满足: 当i≠j 时 , rij rji 0 。
而关系图中任何两个结点之间的有向弧是单向的。 (即若关系R是反对称的,当且仅当关系矩阵中 以对角线对称的元素不能同时为1,在关系图上 任两个结点的定向弧线不可能成对出现)
5.
R·S={<1,4>,<1,3>},S·R={<3,4>}; R 2={<1,1>,<1,2>,<1,4>}; S 2={<2,2>,<3,4>,<3,3>}.
β(A×A-{<x,x>})=2n2-n
(4)共有2n 2n(n1)/ 2 2n(n1)/ 2 种定义在A上
的不同的对称关系; 说明: ∵A上的对称关系必须满足:如果<x,y>在
这个关系中,则<y,x>也必须在这个关系中。 ∴在构造A上的对称关系的时候可以先将所有 的<x,y>和<y,x>(其中x≠y)看成是一个整体。 ∴要考虑的序偶的个数有:
s(R1) s(R2 ) (R1 R11) (R2 R21)任取 x, y s(R1 R2 ) (R1 R2 ) (R1 R2 )1 (i)若 x,y (R1 R2 ),
则 x, y R1 R1 R11,且 x, y R2 R2 R21,从而 x,y (R1 R11) (R2 R21)
14.
证明 S {Ai Bj | Ai Bj } (1)由S定义知, Ai Bj (2)任取Ai Bi S和Al Bm S, 1 i, j r,1 j, m s ( Ai Bj ) ( Al Bm ) ( Ai Am ) (Bj Bm )

离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案培训资料

离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案培训资料

离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案2.13 设解释I为:个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F(X):X≤3,G (X):X>5,R(X):X≤7。

在I下求下列各式的真值。

(1)∀x(F(x)∧G(x))解:∀x(F(x)∧G(x))⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))⇔0∧0∧0⇔0(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)解:∀x(R(x)→F(x))∨G(5)⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0⇔0(3)∃x(F(x)∨G(x))解:∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)⇔1 ∨ 1 ∨ 1⇔12.14 求下列各式的前束范式,要求使用约束变项换名规则。

(1)⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)(2) ⌝(∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) )解:(1)⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1(2 )⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2(2)③⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2(1)④(2)⌝(∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) )⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))2.15 求下列各式的前束范式,要求使用自由变项换名规则。

离散数学 杨圣洪等著第二章习题三解答

离散数学 杨圣洪等著第二章习题三解答

第二章习题三一、证明如下推理式1、∃xF(x)→∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x) ⇒∃xR(x)(1)∃xF(x) 前提条件(2)∃xF(x) →∀y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) 前提条件(3)∀y((F(y) ∨G(y)) →R(y)) (1)(2)假言推理(4)F(c) (1)存在量词指定(5)F(c) ∨G(c) (4)及析取的定义(6)(F(c) ∨G(c)) →R(c) (3)全称量词指定(7)R(c) (5)(6)假言推理(8)∃xR(x) (7)存在推广2、∀x(F(x)→(G(a) ∧R(x))),∃xF(x) ⇒∃x(F(x) ∧R(x))(1)∃xF(x) 前提条件(2)F(c) (1)存在量词指定(3)∀x(F(x)→G(a) ∧R(x))) 前提条件(4)F(c)→G(a)∧R(c)) (3)全称指定,尤其x=c应成立(5)G(a)∧R(c) (2)(4)假言推理或分离原则(6)R(c) (5)与合取的定义(2)(6)与合取的定义(7)F(c)∧R(c)(8)∃x(F(x)∧R(x) (7)存在推广3、∀x(F(x)∨G(x)),¬∃xG(x) ⇒∃xF(x)(1)¬∃xG(x) 前提条件(2)∀x¬G(x) (1)的等值(3)¬G(x0) (2)全称指定,x0为任意变元(4)∀x(F(x) ∨G(x)) 前提条件(4)全称指定为x0(5)(F(x0) ∨G(x0))(6)¬G(x0) →F(x0) (5)等值变换(7)F(x0) (3)(6)分离原则或假言推理(8)∃xF(x) (7)存在推广4、∀x(F(x) ∨G(x)),∀x(¬R(x) ∨¬G(x)),∀xR(x) ⇒∃xF(x)(1)∀x(F(x) ∨G(x)) 前提条件(2)(F(x0) ∨G(x0)) (1)全称指定,x0为任意变元(3)∀x(¬R(x) ∨¬G(x)) 前提条件(4)(¬R(x0) ∨¬G(x0)) (3)全称指定,变元x指定为(2)中确定的变元x0,即是同一个x0(5)∀xR(x) 前提条件(6)R(x0) (5)全称指定,与(2)中的x0为同一个(4)的等值变换(7)R(x0) →¬G(x0)(8)¬G(x0) (6)(7)分离原则或假言推理(9)¬G(x0) → F(x0) (2)的等值变换(10)F(x0) (8)(9)分离原则或假言推理(11)∃xF(x) (10)存在推广。

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第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令x(是鸟xF:)(会飞翔.G:)xx命题符号化为xF∀.Gx→)())((x(2)令xx(为人.F:)(爱吃糖G:)xx命题符号化为xFx→G⌝∀))()((x或者Fx⌝x∧∃)))(((xG(3)令xx(为人.F:)G:)(爱看小说.xx命题符号化为xF∃.Gx∧(x())()(4) x(为人.xF:)(爱看电视.G:)xx命题符号化为Fx⌝∧⌝∃.xG()())(x分析 1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。

(1)-(4)中的)F都是特性谓词。

(x2°初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为Fx∀Gx∧())()(x即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。

将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。

”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。

若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。

”这显然改变了原命题的意义。

3° (2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。

2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为)(x xF ∀其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。

(2) 在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xG ∃其中02:)(=+x x G ,此命题在(a )中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。

(3)在)(),(),(c b a 中均符号化为)(x xH ∃其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题,在(c)中为真命题。

分析 1°命题的真值与个体域有关。

2° 有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题“人都呼吸”。

在个体域为人类集合时,应符号化为)(x xF ∀这里,x x F :)(呼吸,没有引入特性谓词。

在个体域为全总个体域时,应符号化为))()((x G x F x →∀这里,x x F :)(为人,且)(x F 为特性谓词。

x x G :)(呼吸。

2.3 因题目中未给出个体域,因而应采用全总个体域。

(1) 令:x x F :)(是大学生,x x G :)(是文科生,x x H :)(是理科生,命题符号化为))()(()((x H x G x F x ∨→∀(2)令x x F :)(是人,y y G :)(是化,x x H :)(喜欢,命题符 号化为))),()(()((y x H y G y x F x →∀∧∃(3)令x x F :)(是人,x x G :)(犯错误,命题符号化为)),()((x G x F x ⌝∧⌝∃或另一种等值的形式为)()((x G x F x →∀(4)令x x F :)(在北京工作,x x G :)(是北京人,命题符号化为)),()((x G x F x →⌝∀或)),()((x G x F x ⌝∧∃(5)令x x F :)(是金属,y y G :)(是液体,x y x H :),(溶解在y 中,命题符号化为))).,()(()((y x H y G y x F x ∧∃→∀(6)令x x F :)(与y 是对顶角,x y x H :),(与y 相等,命题符号化为)).,(),((y x H y x F y x →∀∀分析 (2),(5),(6)中要使用2无谓词,用它们来描述事物之间的关系。

2.4 (1)对所有的x ,存在着y ,使得0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。

(2)存在着,x 对所有的y ,都有0=⋅y x ,在)(),(b a 中为真命题,在)(),(d c 中为假命题。

(3)对所有x ,存在着y ,使得1=⋅y x ,在))((),(c b a 中均为假命题,而在)(d中为真命题。

(4)存在着x ,对所有的y ,都有1=⋅y x ,在))()((),(d c b a 中都是假命题。

(5)对所有的x ,存在着y ,使得x y x =⋅在))()((),(d c b a 中都是真命题。

(6)存在x ,对所有的y ,都有x y x =⋅,在)(),(b a 中为真命题,在))((d c 中为假命题。

(7)对于所有的x 和y ,存在着z ,使得z y x =-,在)(),(b a 中为真命题,在))((d c 中为假命题。

2.5 (1)取解释1I 为:个体域R D =(实数集合),x x F :)(为有理数,x x G :)(能表示成分数,在1I 下,))()((x G x F x →∀的含义为“对于叙何实数x 而言,若x 为有理数,则x 能表示成分数”,简言之为“有理数都能表示成分数。

”在此蕴含式中,当前件)(x F 为真时,后件)(x G 也为真,不会出现前件为真,后件为假的情况,所以在1I 下,))()((x G x F x →∀为真命题。

在在1I 下,))()((x G x F x ∧∀的含义为“对于任何实数x,x 既为有理数,又能表示成分数。

” 取2=x ,则)2()2(g F ∧显然为假,所以,在1I 下,))()((x G x F x ∧∀为假命题.(2) 取解释2I 为:个体域D=N(自然数集合), x x F :)(为奇数, x x G :)(为偶数,在2I 下,))()((x G x F x ∧∃的含义为“存在自然数x,x 发既为奇数,又为偶数。

”取2=x ,则)2(F 为假,于是)2()2(G F →为真,这表明)()((x G x F x →∃为真命题。

分析 本题说明)),()(())()((x G x F x x G x F x ∧∀⇔→∀)),()(())()((x G x F x x G x F x →∃⇔∧∃这里,B A ⇔表示A 与B 不等值,以后遇到⇔,含义相同。

在一阶逻辑中,将命题符号化时,当引入特性谓词(如题中的))(x F 之后,全称量词∀后往往使用联结词→而不使用∧,而存在量词∃后往往使用∧,而不使用→,如果用错了,会将真命题变成假命题,或者将假命题变成真命题。

2.6 在解释R 下各式分别化为(1));0(<-∀x x(2));(x y x y x ≥-∀∀(3)));()(z y z x y x z y x -<-→<∀∀∀(4)).2(y x x y x -<∃∀易知,在解释R 下,(1),(2)为假;,(3)(4)为真。

2.7 给定解释I 为:个体域D=N (自然数集合),x x F :)(为奇数,x x G :)(为偶数。

(1)在解释I 下,公式被解释为“如果所有的自然数不是奇数就是偶数,则所有自然数全为奇数,或所有自然数全为偶数。

”因为蕴含式的前件为真,后件为假,所以真值为假。

(2)在I 下,公式解释为“如果存在着自然数为奇数,并且存在着自然为偶数,则存在着自然数既是奇数,又是偶数。

”由于蕴含式的前件为真,后件为假,后以真值为假。

分析 本题说明全称量词对析取不满足分配律,存在量词对合取不满足分配律。

2.8 令)),,()()((y x L y G x F y x A →∧∀∀=在A 中,无自由出现的个体变项,所以A 为闭式。

给定解释1I :个体域D=N (整数集合),x x F :)(为正数,x x G :)(为负数,y x y x L >:),(,在1I 下,A 的含义为“对于任意的整数x 和y ,如果x 为正整数,y 为负整数,则y x >。

”这是真命题。

设解释2I :个体域D=R (R 整数集合),x x F :)(为有理数,y y G :)(为无理数,y x y x L ≤:),(,在2I 下,A 的含义为“对于任意的实数x 和y ,如果x 为有理数,y 为元理数,则y x ≥。

” 这是假命题。

分析 闭式在任何解释下不是真就是假,不可能给出解释I, 使得闭式在I 下真值不确定,这一点是闭式的一个重要特征。

而非封闭的公式就没有这个特征。

2.9 取)),(),,((1y x g y x f L A =和)),,((2x y x f x A ∀=,则1A 和2A 都是非土产的公式,在1A 中,x, y 都是自由出现的,在2A 中,y 是自出现的。

取解释I 为,个体域D=N (N 为自然数集合),y x y x g y x y x f ⋅=+=),(,),,(),(y x L 为y x =。

在I 下,1A 为y x y x ⋅=+为假,所以在I 下,1A 真值不确定,即在I 下2A 的真值也是命题。

在I 下,2A 为),(x y x x =+∀当0=y 时,它为真;0≠y 时为假,在I 下2A 的真值也不确定。

分析 非闭式与 闭式的显著区别是,前者可能在某些解释下,真值不确定,而后者对于任何解释真值都确定,即不是真就是假。

当然非闭式也可以是逻辑有效式(如)()(x F x F →),也可能为矛盾式(如))()(x F x F ⌝∧,也可能不存在其值不确定的解释。

2.10 (1)))()()(()(c A b A a A x xA ∧∧⌝⇔⌝∀ (消去量词等值式))()()(c A b A a A ⌝∨⌝∨⌝⇔ (德·摩根律))(x A x ⌝∃⇔ (消去量词等值式)(2)))()()(()(c A b A a A x xA ∨∨⌝⇔⌝∃ (消去量词等值式))()()(c A b A a A ⌝∧⌝∧⌝⇔ (德·摩根律)⇔(消去量词等值式))∃x⌝(xA2.11 (1)令xF:)(为人。

xG:)(长着绿色头发。

xx本命题直接符号化为Fx∧⌝∃]xG)))(((x而))Fx∧⌝∃xG)(((xx∧F⌝∀x⇔(量词否定等值式)(x()G())∨x⌝⌝⇔(德·摩根律)F∀x)))(((xGx⌝F→⇔(蕴含等值式)x∀))()((xG最后一步得到的公式满足要求(使用全称量词),将它翻译成自然语言,即为“所有的人都不长绿色头发”。

可见得“没有人长着绿色头发。

”与“所有人都不长绿色头发。

”是同一命题的两种不同的叙述方法。

(2)令x(是北京人xF:)(去过香山。

G:)xx命题直接符号化为xFx⌝∧G∃]))()((x而))xFx⌝∧∃G(x()(Fx⌝⇔(双重否定律)x∧⌝⌝∃(G)))((x∧x⌝⌝⇔(理词否定等值式)F⌝∀x)))((G(xx∨F⌝⌝∀x⇔(德·摩根律))G())((xFx→⌝∀x⇔(蕴含等值式)())()G(x最后得到的公式满足要求(只含全称量词),将它翻译成自然语言,即为“并不是北京人都去过香山。

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