二项分布与超几何分布的区别练习题

超几何分布与二项分布的区别[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列()k n k M N MnNC C P X k C --==（0,1,2,,k m =L ）进行处理就可以了.二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位:cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.由于部分数据丢失，,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？15、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E(X).6、张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35． （Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．7、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123p =，乙的命中率为2p ，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”； （Ⅰ）若212p =,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； （Ⅱ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果5E ξ≥,求2p 的取值范围.9、A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。

若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

10、盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元． （Ⅰ）若某人摸一次球，求他获奖励的概率；（Ⅱ）若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数， （i ）求(1)P ξ> （ii ）求这10人所得钱数的期望．（结果用分数表示，参考数据：10141152⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）图（4）六级五级四级三级二级一级空气质量级别2天数64810 课后练习巩固1、空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示． （1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良 的天数，求X 的分布列及数学期望．2、根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:数AQI 进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图: （1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列. 3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9图5a 图3重量/克频率组距0.0320.020.018453525155O 3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I ）估计这次测试数学成绩的平均分；（II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．4．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ， 则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L .） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内 的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．（1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB．6．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。

我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。

某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.参考答案1.【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A 分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ………2分151332104106)(=⨯+=A p …… (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3. 30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……8分故… ………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分2.【解析】（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， ………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=．……5分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是107．…6分（Ⅱ）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………9分因此，ξ的分布列如下：15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分3.【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10)a +人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==，解得6a =，从而40(32)40382b a =-+=-=. （Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k kC C -，所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340()k kC C P k C ξ-==(0,1,2,3)k =.ξ的可能取值为0、1、2、3. 因为03241634014(0)247C C P C ξ===,12241634072(1)247C C P C ξ===,212416340552(2)1235C C P C ξ===,302416340253(3)1235C C P C ξ===， ξ4.【解析】（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X~B(6，23).6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)所以X所以1(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=. 或因为X~B(6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4．（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A P B A ==.(此处为244625C C =会更好!因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25. 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．5.【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则111()1(1)(1)6104P A =--⨯-=. 所以，该产品不能销售的概率为14. ……………………………………4分 （Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分411(320)()4256P X =-==， 134133(200)()4464P X C =-=⋅⋅=，22241327(80)()()44128P X C =-=⋅⋅=，3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=， 4381(160)()4256P X ===. ……………………………………10分所以X 的分布列为11分 E(X)1127278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=，故均值E(X)为40.……12分6.【解析】（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=．…4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为12． （Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2． …………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，339(=2)=4520P X ⨯=．…8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B :， 所以13322EY =⨯=．……12分 因为EX EY <，所以选择L2路线上班最好．……14分7.【解析】（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,………分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分 由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以1(4,)3X B :.…9分X0 1 234P1681 3281 2481 881 181………………………………11分14()433E X =⨯=.………………………13分8.【解析】（Ⅰ）1122211122111()()()()332233223P C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=---------6分 （Ⅱ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率11222222222212284()[(1)]()333399P C C p p p p p =⋅⋅⋅-+⋅=- 而(12,)B P ξ:，所以12E P ξ=,由5E ξ≥知2228412()599p p -≥,解得2314p ≤≤.-------12分9.【解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2；i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0，1，2依题意有1124()2339P A =⨯⨯=,2224()339P A =⨯=,0111()224P B =⨯=,1111()2222P B =⨯⨯=,所求的概率为0102121414144()()()4949299P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，且 ξ~ B(3,49), 3345()()(),0,1,2,399k k kP k C k ξ-===∴ ξ所以数学期望393E ξ=⨯=. 10.【解析】（Ⅰ）3421021=15C p C =（Ⅱ）（i ）由题意知110,)15Bξ:（， 则101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157P P P C ξξξ>=-=-==--⨯⨯=（ii ）设η为在一局中的输赢，则114610215155E η=⨯-⨯=-,所以6(10)1010()125E E ηη==⨯-=-,即这10人所得钱数的期望为12-.课后巩固参考答案1.解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．……………………………………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…2分 （2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，…………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．……………………………………9分所以X 的分布列为：所以数学期望3212211730=⨯+⨯+⨯=EX ．2.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分…………10分所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 61305P ==.---------------------4分 （2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,-----------------------------------------------5分则()22623065087C P C ξ===,-----------------------------------------------------------7分()114262301041435C C P C ξ===,----------------------------------------------------------9分()2423022145C P C ξ===-------------------------------------------------------11分所以ξ的分布列为:3.解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分 ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人）， 这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C =，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62.155P == ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．∴3323()()(),0,1,2,355k k k P k C k ξ-===∴变量ξ…………（10分）E ξ8365454601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯= …………（12分）4． (1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:. ……………5分ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）5.解：（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 …………1分30321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，213222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，…………3分223224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)327P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．…………5分所以ξ的分布列为ξ的数学期望为124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………7分解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，…………3分因此ξ的分布列为3333222()1333k kkkk P k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0123k =，，，．……5分 因为2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以2323E ξ=⨯=．…………7分 （2）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB C D =U ，且C D ，互斥，又…………8分22322211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4103=，…10分 333521114()33323P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………11分由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P AB P C P D =+=+==．………12分6.解：(1)由茎叶图可得中位数是45 (2) 依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2由2510215()k kC C p k C ξ-⋅==， 得025102153(0)7C C p C ξ⋅===， 1151021510(1)21CC p C ξ⋅===， 205102152(2)21C C p C ξ⋅===，31022012721213E ξ∴=⨯+⨯+⨯=(2)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153p == 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～2(360,)3B23602403E η∴=⨯=∴一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。